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4.6 两条平行线间的距离
第4章 平面内的两条直线
1. 理解公垂线、公垂线段的概念；
2. 在实践活动中，掌握公垂线段都相等的性质；
3. 理解两条平行线之间距离的本质是公垂线段的长度，会度量两条平行线之间的距离.
某火车站一位铁路护路工人因有事出差，为了保证火车安全行驶，假设由你来顶替他的工作，你应该怎样确定两条铁轨是平行的呢？
请同学们用直尺量一量自己的数学课本的宽度.
平行. 直尺与课本的两边互相垂直．
问题2：测量的结果是多少？
A
E
F
C
D
B
问题1：如图，AB 和 CD 平行吗？测量时，你的直尺与课本的两边成什么角度？
18.4 cm.
公垂线和公垂线段
与两条平行直线都垂直的直线，叫做这两条平行直线的公垂线，
这时连接两个垂足的线段，叫做这两条平行直线的公垂线段．
直尺所在直线 EF是平行线 AB 与 CD 的公垂线.
线段 EF 是平行线 AB 与 CD 的公垂线段.
A
E
F
C
D
B
如图， l1∥l2，在 l1 上任取两点 A，C，分别作 AB⊥l2，CD⊥l2，垂足分别为点 B，D.
问题2：在 l1 上再多取几个点，结果会发生变化吗？
思考：由此你发现两条平行线的所有公垂线段有什么关系？
问题1：点 A，C 到直线 l2 的距离 AB，CD有什么大小关系？量一量.
相等
不会
都相等
l1
l2
A
C
B
D
于是 AB∥CD.
l1
l2
A
C
B
D
将直线 AB 沿点 A 到点 C 的方向平移 AC 的长度，
则易知线段 AB 的对应线段是 CD.
由平移的性质可知，AB = CD.
证明：如图， l1∥l2，在 l1 上任取两点 A，C，分别作 AB⊥l2，CD⊥l2，垂足分别为点 B，D.
两条平行线的所有公垂线段都相等.
几何语言：
因为 a∥b，AC，BD 是 a，b 的公垂线段，
所以 AC = BD.
两条平行线的所有公垂线段都相等.
公垂线段的性质：
a
b
A
B
C
D
定义：两条平行线的公垂线段的长度叫作两条平行线间的距离.
l1
l2
A
C
B
D
如图，线段 AB，CD 的长度就是平行线 l1，l2 间的距离.
两条平行线间的距离
思考：如图，l1 ∥l2 ，在直线 l1 上任取一点 A，作 AB⊥ l2 于点 B. 平行线 l1 与 l2 的距离等于点 A 到直线 l2 的距离吗？
l1
l2
A
B
因此，平行线 l1 与 l2 的距离等于点 A 到直线 l2 的距离.
又线段 AB 的长度是点 A 到直线 l2 的距离，
解：因为l1 ∥l2 ，AB⊥ l2 于点 B，
从而线段 AB 的长是直线 l1 与 l2 之间的距离.
所以 AB⊥ l1 于点 A，
所以线段 AB 是平行线 l1 与 l2 的公垂线段，
两条平行线间的距离等于其中一条直线上任意一个点到另一条直线的距离.
两条平行线间距离的性质：
例1 如图，AB∥DC，AB=DC，DE⊥AB，BF⊥CD，垂足分别为点 E，F，那么线段AE与CF相等吗？
解：因为AB∥DC，DE⊥AB，
所以 DE⊥DC.
又 AB∥DC，BF⊥CD，
于是 BF⊥AB. 因而 DE∥FB.
又 DF⊥DE，DF⊥FB，
从而线段 DF，EB 都是平行线 DE 与 FB 的公垂线段. 故 DF = EB.
又 AB = DC，所以 AB – EB = DC - DF，即 AE = CF.
A
B
C
D
E
F
EB⊥DE，EB⊥FB，
解：在 a 上任取一点 A，过点 A 作 AC⊥a，分别与 b，c 相交于 B，C 两点.
所以 AC = AB + BC = 5 + 2 = 7.
A
b
c
B
C
a
5
2
因此 a 与 c 的距离是 7 .
例2 如图，设 a，b，c 是三条互相平行的直线. 已知 a 与 b 的距离为 5 ，b 与 c 的距离为 2 ，求 a 与 c 的距离．
因为 a，b，c是三条互相平行的直线，
所以 AB⊥a，AB⊥b，BC⊥b，BC⊥c，AC⊥c，
所以 AB，BC，AC 分别表示 a 与 b，b 与 c，a 与 c 的公垂线段，
若将例2中的“如图”去掉，a与c的距离会变化吗？同学们相互交流一下.
a与c的距离为7
a与c的距离为3
a
b
c
a
b
c
议一议
两
条
平
行
线
间
的
距
离
性质
概念
公垂线
公垂线段
两条平行线间的距离
1. 两条平行线的所有公垂线段都相等.
2. 两条平行线间的距离等于其中一条直线上任意一个点到另一条直线的距离.
2.下列说法中，错误的是( ).
A. 平行线间的距离就是两条平行线间的公垂线
B. 两条平行线的所有公垂线段都相等
C. 两条平行线间的距离等于其中一条直线上任意一个点到另一条直线的距离
D. 垂线段最短
A
1. 两平行线的公垂线段有（ ）.
A. 1 条 B. 2 条 C. 无数条 D. 一条也没有
C
4. 已知 a∥b∥c，a 与 b 之间的距离为 3 cm，b 与 c 之间的距离为 4 cm，则 a 与 c 之间的距离为　　　cm.
3. 如图，已知直线 MN∥PQ，BC = 4 cm，若△ABC 的面积为 6 cm ，则平行线 MN，PQ 的距离是　　 cm.
3
7 或 1
A
M
N
Q
P
B
C
5. 如图，MN∥AB，P，Q 为直线 MN 上的任意两点，△PAB 与△QAB 的面积有什么关系？为什么？
解：S△PAB= S△QAB .理由如下：
分别过P，Q两点作PC⊥AB，QD⊥AB，垂足为C，D.
因为MN//AB，PC⊥AB，QD⊥AB，
所以 PC=QD.
所以 S△PAB= S△QAB .
又因为S△PAB= (AB·PC) ，
C
D
M
N
P
Q
A
B
S△QAB=(AB·QD) ,
6.如图，直线a∥b，直线c⊥a于点A，直线d⊥b于点B，点P从点A出发，沿着箭头方向前进，速度为2cm/s；同时点Q从点B出发，沿着箭头方向前进，速度为3cm/s.两点的运动时间为ts，直线a与b之间的距离为30cm，当t的值为多少时，点P与点Q距离最近？
解：根据题意可知，当PQ∥a时，PQ最短，
此时AP+BQ=30cm，
所以2t + 3t =30，
所以t=6,
所以当点P与点Q距离最近时，t的值为6.

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