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/ 让教学更有效 精品试卷 | 数学学科
【原创】2026春人教八下数学阶段测试卷
期中学业质量评价
考试时间：120分钟　　满分：120分
一、选择题(每小题3分，共30分)
1.下列各组长度的线段中，能构成直角三角形的是(C)
A.2，4，5 B.8，8，14
C.，3，2 D.5，10，13
2.已知矩形ABCD的周长为16，AB＝5，则BC的长为(A)
A.3 B.5 C.6 D.11
3.下列计算正确的是(C)
A.3＋2＝5 B.＝4
C.÷＝3 D.＝－2
4.如图，在 ABCD中，AB＝4，BC＝6，将线段AB水平向右平移a个单位长度得到线段EF.当四边形ECDF为菱形时，a的值为(B)
A.1 B.2 C.3 D.4第4题图　　第5题图　　第7题图
5.如图，将四根木条用钉子钉成一个矩形框架ABCD，然后向左扭动框架，观察所得四边形的变化，下面判断错误的是(C)
A.四边形ABCD由矩形变为平行四边形
B.对角线BD的长度减小
C.四边形ABCD的面积不变
D.四边形ABCD的周长不变
6.若b＝＋－a＋10，则＋的值为(C)
A.2 B.3 C.4 D.6
7.如图，在△ABC中，BC＝26，且BD，CE分别是AC，AB上的高，F，G分别是BC，DE的中点.若ED＝10，则FG的长为(B)
A.10 B.12 C.13 D.14
8.如图是高空秋千的示意图，小明从起始位置点A处绕着点O经过最低点B，最终荡到最高点C处.若∠AOC＝90°，点A与点B的高度差AD＝1 m，水平距离BD＝4 m，则点C与点B的高度差CE为(B)
A.4 m B.4.5 m C.5 m D.5.5 m第8题图　　第9题图　　第10题图
9.如图，在数学实践课上，老师要求学生在一张A4纸(矩形ABCD)上剪出一个面积为100 cm2的等边三角形AEF.某小组分析后，先作∠MAB＝60°，再算出AF的长，然后分别在AM，AB上截取了AE＝AF，连接EF，则AF的长为(D)
A.5 cm B.10 cm C.10 cm D.20 cm
10.如图，在正方形ABCD中，E，F分别是AB，BC的中点，CE，DF交于点G，连接AG.下列结论：①CE＝DF；②CE⊥DF；③∠AGE＝∠CDF.其中正确的是(D)
A.①② B.①③ C.②③ D.①②③
二、填空题(每小题3分，共15分)
11.要使式子有意义，则x的取值范围是　x≥－8　.
12.如图，已知△ABO为等腰三角形，且OA＝AB＝5，点B的坐标为(－6，0)，则点A的坐标为　(－3，4)　.第12题图 第13题图 第14题图 第15题图
13.如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝5，点E在AB上，连接CE，沿CE折叠△BCE，得到△FCE，点B的对应点为点F.当点F落在AD上时，AF的长为　1　.
14.如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AB＝5，AC＝6，过点D作AC的平行线，交BC的延长线于点E，则△BDE的面积为　24　.
15.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，D是直线AB上的一点，G是CD的中点，过点G的直线EF分别交AC，BC于点E，F，EG＝FG.
(1)若D是AB的中点，则EF的长为　2.5　；
(2)连接AG，若△ADG是直角三角形，则AD的长为　3.2或4　.
三、解答题(共9题，共75分)
16.(6分)计算：(2－)2＋(＋2)÷.
解：原式＝4－4＋2＋5÷
＝6－4＋5
＝6＋.
17.(6分)已知a＝＋3，b＝－3，求代数式a2＋b2＋ab的值.
解：∵a＝＋3，b＝－3，
∴a＋b＝2，ab＝1，
∴a2＋b2＋ab＝a2＋b2＋2ab－ab＝(a＋b)2－ab＝(2)2－1＝39.
18.(6分)如图，在△ABC中，AC＝5，E为边BC上一点，且CE＝1，AE＝，BE＝4，求AB的长.
解：∵AC＝5，CE＝1，AE＝，
∴AC2＋CE2＝26，AE2＝26，
∴AC2＋CE2＝AE2，
∴△ACE是直角三角形，∠C＝90°.
∵BC＝CE＋BE＝5，
∴AB＝＝＝5.
19.(8分)如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，M，N分别是AB，AC的中点，延长BC至点D，使CD＝BD，连接CM，DN，MN.
(1)求证：四边形DCMN是平行四边形；
(2)若AB＝6，求DN的长.
(1)证明：∵M，N分别是AB，AC的中点，
∴MN∥BC，MN＝BC.
∵CD＝BD，∴CD＝BC，∴MN＝CD，
∴四边形DCMN是平行四边形.
(2)解：∵∠ACB＝90°，M是AB的中点，∴CM＝AB＝3.
由(1)知四边形DCMN是平行四边形，∴DN＝CM＝3.
20.(8分)如图，在四边形ABCD中，∠ADC＝90°，∠CAD＝30°，AB＝AC，E，F分别为BC，AC的中点，连接DE，DF，EF.
(1)求证：DF＝EF；
(2)若∠B＝75°，AB＝2，求DE的长.
(1)证明：∵∠ADC＝90°，F为AC的中点，
∴DF＝AF＝AC.
∵F，E分别为AC，BC的中点，
∴EF为△ABC的中位线，∴EF＝AB.
∵AB＝AC，∴DF＝EF.
(2)解：∵∠B＝75°，AB＝AC＝2，∴∠ACB＝∠B＝75°，∴∠BAC＝30°.
∵EF为△ABC的中位线，∴EF∥AB，
∴∠EFC＝∠BAC＝30°.
∵∠CAD＝30°，AD＝DF，
∴∠DFC＝2∠CAD＝60°，∴∠EFD＝90°.
∵DF＝EF＝AB＝1，∴DE＝＝.
21.(8分)如图，地面上放着一个小凳子，点A距离墙面40 cm，在图1中，一根细长木杆的一端与墙角重合，另一端靠在点A处，OA＝50 cm.在图2中，木杆的一端与点B重合，另一端靠在墙上点C处.
(1)求小凳子的高度；
(2)若OC＝90 cm，木杆的长度比AB长60 cm，求木杆的长BC和小凳子坐板的宽AB.
图1　　　图2
解：(1)过点A作AM垂直墙面于点M，则AM＝40 cm.
在Rt△AOM中，OM＝＝＝30(cm).
答：小凳子的高度为30 cm.
(2)延长BA交墙面于点N，可得∠BNC＝90°，AN＝40 cm.
由(1)知小凳子的高为30 cm，∴ON＝30 cm.
设AB＝x cm，则BC＝(x＋60)cm，BN＝(x＋40)cm，CN＝OC－ON＝90－30＝60(cm).
在Rt△BCN中，由勾股定理，得BN2＋CN2＝BC2，
即(40＋x)2＋602＝(60＋x)2，解得x＝40，
∴AB＝40 cm，BC＝100 cm.
答：木杆的长BC为100 cm，小凳子坐板的宽AB为40 cm.
22.(10分)阅读下列材料，解答问题：
已知－＝1，求＋的值.
李聪同学是这样解答的：
∵(－)(＋)
＝()2－()2
＝15－x－8＋x＝7，
∴＋＝7.
这种方法称为“构造对偶式”.
问题：已知＋＝7.
(1)求－的值；
(2)求x的值.
解：(1)(＋)(－)＝()2－()2＝30－x－9＋x＝21.
∵＋＝7，∴－＝3.
(2)由(1)知－＝3①.
∵＋＝7②，
∴①＋②，得2＝10，解得x＝5.
23.(11分)如图， ABCD的对角线AC，BD交于点O，过点D作DE⊥BC于点E，延长CB至点F，使BF＝CE，连接AF，OF.
(1)求证：四边形AFED是矩形；
(2)若AD＝7，BE＝2，∠ABF＝45°，求OF的长.
(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC.
∵BF＝CE，∴BF＋BE＝CE＋BE，
即FE＝BC，∴FE＝AD，
∴四边形AFED是平行四边形.
∵DE⊥BC，∴∠DEF＝90°，
∴平行四边形AFED是矩形.
(2)解：由(1)知四边形AFED是矩形，
∴∠AFE＝90°，FE＝AD＝7，
∴FB＝FE－BE＝5，∴CE＝FB＝5，
∴FC＝FE＋CE＝7＋5＝12.
∵∠ABF＝45°，∴△ABF是等腰直角三角形，∴AF＝FB＝5.
在Rt△AFC中，由勾股定理，得AC＝＝＝13.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，∴OF＝AC＝.
24.(12分)在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，E是对角线AC上任意一点，F是线段BC的延长线上一点，且CF＝AE，连接BE，EF.
(1)如图1，当E是线段AC的中点时，求证：BE＝EF；
(2)如图2，当E不是线段AC的中点，其他条件不变时，则(1)中的结论　成立　；(填“成立”或“不成立”)
(3)如图3，当E是线段AC的延长线上任意一点，其他条件不变时，(1)中的结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由.
图1　图2　图3
(1)证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC.
∵∠ABC＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠BCA＝60°.
∵E是线段AC的中点，
∴∠CBE＝∠ABE＝∠ABC＝30°，AE＝CE.
∵CF＝AE，∴CE＝CF，∴∠F＝∠CEF＝∠BCA＝30°，
∴∠CBE＝∠F，∴BE＝EF.
(3)解：结论成立.证明如下：
过点E作EG∥BC，交AB的延长线于点G.
由(1)知△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC，∠BCA＝∠BAC＝60°.
∵EG∥BC，
∴∠G＝∠ABC＝60°，
∴△AGE是等边三角形，
∴AG＝AE＝GE，
∴AG－AB＝AE－AC，即BG＝EC.
∵CF＝AE，
∴GE＝CF.
∵∠ECF＝∠BCA＝60°，
∴∠G＝∠ECF，
∴△BGE≌△ECF(SAS)，
∴BE＝EF.
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【原创】2026春人教八下数学阶段测试卷
期中学业质量评价
考试时间：120分钟　　满分：120分
一、选择题(每小题3分，共30分)
1.下列各组长度的线段中，能构成直角三角形的是(C)
A.2，4，5 B.8，8，14
C.，3，2 D.5，10，13
2.已知矩形ABCD的周长为16，AB＝5，则BC的长为(A)
A.3 B.5 C.6 D.11
3.下列计算正确的是(C)
A.3＋2＝5 B.＝4
C.÷＝3 D.＝－2
4.如图，在 ABCD中，AB＝4，BC＝6，将线段AB水平向右平移a个单位长度得到线段EF.当四边形ECDF为菱形时，a的值为(B)
A.1 B.2 C.3 D.4第4题图　　第5题图　　第7题图
5.如图，将四根木条用钉子钉成一个矩形框架ABCD，然后向左扭动框架，观察所得四边形的变化，下面判断错误的是(C)
A.四边形ABCD由矩形变为平行四边形
B.对角线BD的长度减小
C.四边形ABCD的面积不变
D.四边形ABCD的周长不变
6.若b＝＋－a＋10，则＋的值为(C)
A.2 B.3 C.4 D.6
7.如图，在△ABC中，BC＝26，且BD，CE分别是AC，AB上的高，F，G分别是BC，DE的中点.若ED＝10，则FG的长为(B)
A.10 B.12 C.13 D.14
8.如图是高空秋千的示意图，小明从起始位置点A处绕着点O经过最低点B，最终荡到最高点C处.若∠AOC＝90°，点A与点B的高度差AD＝1 m，水平距离BD＝4 m，则点C与点B的高度差CE为(B)
A.4 m B.4.5 m C.5 m D.5.5 m第8题图　　第9题图　　第10题图
9.如图，在数学实践课上，老师要求学生在一张A4纸(矩形ABCD)上剪出一个面积为100 cm2的等边三角形AEF.某小组分析后，先作∠MAB＝60°，再算出AF的长，然后分别在AM，AB上截取了AE＝AF，连接EF，则AF的长为(D)
A.5 cm B.10 cm C.10 cm D.20 cm
10.如图，在正方形ABCD中，E，F分别是AB，BC的中点，CE，DF交于点G，连接AG.下列结论：①CE＝DF；②CE⊥DF；③∠AGE＝∠CDF.其中正确的是(D)
A.①② B.①③ C.②③ D.①②③
二、填空题(每小题3分，共15分)
11.要使式子有意义，则x的取值范围是　x≥－8　.
12.如图，已知△ABO为等腰三角形，且OA＝AB＝5，点B的坐标为(－6，0)，则点A的坐标为　(－3，4)　.第12题图 第13题图 第14题图 第15题图
13.如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝5，点E在AB上，连接CE，沿CE折叠△BCE，得到△FCE，点B的对应点为点F.当点F落在AD上时，AF的长为　1　.
14.如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AB＝5，AC＝6，过点D作AC的平行线，交BC的延长线于点E，则△BDE的面积为　24　.
15.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，D是直线AB上的一点，G是CD的中点，过点G的直线EF分别交AC，BC于点E，F，EG＝FG.
(1)若D是AB的中点，则EF的长为　2.5　；
(2)连接AG，若△ADG是直角三角形，则AD的长为　3.2或4　.
三、解答题(共9题，共75分)
16.(6分)计算：(2－)2＋(＋2)÷.
解：原式＝4－4＋2＋5÷
＝6－4＋5
＝6＋.
17.(6分)已知a＝＋3，b＝－3，求代数式a2＋b2＋ab的值.
解：∵a＝＋3，b＝－3，
∴a＋b＝2，ab＝1，
∴a2＋b2＋ab＝a2＋b2＋2ab－ab＝(a＋b)2－ab＝(2)2－1＝39.
18.(6分)如图，在△ABC中，AC＝5，E为边BC上一点，且CE＝1，AE＝，BE＝4，求AB的长.
解：∵AC＝5，CE＝1，AE＝，
∴AC2＋CE2＝26，AE2＝26，
∴AC2＋CE2＝AE2，
∴△ACE是直角三角形，∠C＝90°.
∵BC＝CE＋BE＝5，
∴AB＝＝＝5.
19.(8分)如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，M，N分别是AB，AC的中点，延长BC至点D，使CD＝BD，连接CM，DN，MN.
(1)求证：四边形DCMN是平行四边形；
(2)若AB＝6，求DN的长.
(1)证明：∵M，N分别是AB，AC的中点，
∴MN∥BC，MN＝BC.
∵CD＝BD，∴CD＝BC，∴MN＝CD，
∴四边形DCMN是平行四边形.
(2)解：∵∠ACB＝90°，M是AB的中点，∴CM＝AB＝3.
由(1)知四边形DCMN是平行四边形，∴DN＝CM＝3.
20.(8分)如图，在四边形ABCD中，∠ADC＝90°，∠CAD＝30°，AB＝AC，E，F分别为BC，AC的中点，连接DE，DF，EF.
(1)求证：DF＝EF；
(2)若∠B＝75°，AB＝2，求DE的长.
(1)证明：∵∠ADC＝90°，F为AC的中点，
∴DF＝AF＝AC.
∵F，E分别为AC，BC的中点，
∴EF为△ABC的中位线，∴EF＝AB.
∵AB＝AC，∴DF＝EF.
(2)解：∵∠B＝75°，AB＝AC＝2，∴∠ACB＝∠B＝75°，∴∠BAC＝30°.
∵EF为△ABC的中位线，∴EF∥AB，
∴∠EFC＝∠BAC＝30°.
∵∠CAD＝30°，AD＝DF，
∴∠DFC＝2∠CAD＝60°，∴∠EFD＝90°.
∵DF＝EF＝AB＝1，∴DE＝＝.
21.(8分)如图，地面上放着一个小凳子，点A距离墙面40 cm，在图1中，一根细长木杆的一端与墙角重合，另一端靠在点A处，OA＝50 cm.在图2中，木杆的一端与点B重合，另一端靠在墙上点C处.
(1)求小凳子的高度；
(2)若OC＝90 cm，木杆的长度比AB长60 cm，求木杆的长BC和小凳子坐板的宽AB.
图1　　　图2
解：(1)过点A作AM垂直墙面于点M，则AM＝40 cm.
在Rt△AOM中，OM＝＝＝30(cm).
答：小凳子的高度为30 cm.
(2)延长BA交墙面于点N，可得∠BNC＝90°，AN＝40 cm.
由(1)知小凳子的高为30 cm，∴ON＝30 cm.
设AB＝x cm，则BC＝(x＋60)cm，BN＝(x＋40)cm，CN＝OC－ON＝90－30＝60(cm).
在Rt△BCN中，由勾股定理，得BN2＋CN2＝BC2，
即(40＋x)2＋602＝(60＋x)2，解得x＝40，
∴AB＝40 cm，BC＝100 cm.
答：木杆的长BC为100 cm，小凳子坐板的宽AB为40 cm.
22.(10分)阅读下列材料，解答问题：
已知－＝1，求＋的值.
李聪同学是这样解答的：
∵(－)(＋)
＝()2－()2
＝15－x－8＋x＝7，
∴＋＝7.
这种方法称为“构造对偶式”.
问题：已知＋＝7.
(1)求－的值；
(2)求x的值.
解：(1)(＋)(－)＝()2－()2＝30－x－9＋x＝21.
∵＋＝7，∴－＝3.
(2)由(1)知－＝3①.
∵＋＝7②，
∴①＋②，得2＝10，解得x＝5.
23.(11分)如图， ABCD的对角线AC，BD交于点O，过点D作DE⊥BC于点E，延长CB至点F，使BF＝CE，连接AF，OF.
(1)求证：四边形AFED是矩形；
(2)若AD＝7，BE＝2，∠ABF＝45°，求OF的长.
(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC.
∵BF＝CE，∴BF＋BE＝CE＋BE，
即FE＝BC，∴FE＝AD，
∴四边形AFED是平行四边形.
∵DE⊥BC，∴∠DEF＝90°，
∴平行四边形AFED是矩形.
(2)解：由(1)知四边形AFED是矩形，
∴∠AFE＝90°，FE＝AD＝7，
∴FB＝FE－BE＝5，∴CE＝FB＝5，
∴FC＝FE＋CE＝7＋5＝12.
∵∠ABF＝45°，∴△ABF是等腰直角三角形，∴AF＝FB＝5.
在Rt△AFC中，由勾股定理，得AC＝＝＝13.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，∴OF＝AC＝.
24.(12分)在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，E是对角线AC上任意一点，F是线段BC的延长线上一点，且CF＝AE，连接BE，EF.
(1)如图1，当E是线段AC的中点时，求证：BE＝EF；
(2)如图2，当E不是线段AC的中点，其他条件不变时，则(1)中的结论　成立　；(填“成立”或“不成立”)
(3)如图3，当E是线段AC的延长线上任意一点，其他条件不变时，(1)中的结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由.
图1　图2　图3
(1)证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC.
∵∠ABC＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠BCA＝60°.
∵E是线段AC的中点，
∴∠CBE＝∠ABE＝∠ABC＝30°，AE＝CE.
∵CF＝AE，∴CE＝CF，∴∠F＝∠CEF＝∠BCA＝30°，
∴∠CBE＝∠F，∴BE＝EF.
(3)解：结论成立.证明如下：
过点E作EG∥BC，交AB的延长线于点G.
由(1)知△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC，∠BCA＝∠BAC＝60°.
∵EG∥BC，
∴∠G＝∠ABC＝60°，
∴△AGE是等边三角形，
∴AG＝AE＝GE，
∴AG－AB＝AE－AC，即BG＝EC.
∵CF＝AE，
∴GE＝CF.
∵∠ECF＝∠BCA＝60°，
∴∠G＝∠ECF，
∴△BGE≌△ECF(SAS)，
∴BE＝EF.
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【原创】人教新版八下数学阶段测试卷 讲解课件
人教版八下数学期中模拟押题卷
全国卷 湖北等地适用
一、选择题(每小题3分，共30分)
1.下列各组长度的线段中，能构成直角三角形的是(　　)
A.2，4，5 B.8，8，14
C.，3，2 D.5，10，13
2.已知矩形ABCD的周长为16，AB＝5，则BC的长为(　　)
A.3 B.5
C.6 D.11
C
A
3.下列计算正确的是(　　)
A.3＋2＝5 B.＝4
C.÷＝3 D.＝－2
C
4.如图，在 ABCD中，AB＝4，BC＝6，将线段AB水平向右平移a个单位长度得到线段EF.当四边形ECDF为菱形时，a的值为(　　)
A.1
B.2
C.3
D.4
第4题图
B
5.如图，将四根木条用钉子钉成一个矩形框架ABCD，然后向左扭动框架，观察所得四边形的变化，下面判断错误的是(　　)
A.四边形ABCD由矩形变为平行四边形
B.对角线BD的长度减小
C.四边形ABCD的面积不变
D.四边形ABCD的周长不变
第5题图
C
6.若b＝＋－a＋10，则＋的值为(　　)
A.2 B.3
C.4 D.6
C
7.如图，在△ABC中，BC＝26，且BD，CE分别是AC，AB上的高，F，G分别是BC，DE的中点.若ED＝10，则FG的长为(　　)
A.10
B.12
C.13
D.14
第7题图
B
8.如图是高空秋千的示意图，小明从起始位置点A处绕着点O经过最低点B，最终荡到最高点C处.若∠AOC＝90°，点A与点B的高度差AD＝1 m，水平距离BD＝4 m，则点C与点B的高度差CE为(　　)
A.4 m
B.4.5 m
C.5 m
D.5.5 m
第8题图
B
9.如图，在数学实践课上，老师要求学生在一张A4纸(矩形ABCD)上剪出一个面积为100 cm2的等边三角形AEF.某小组分析后，先作∠MAB＝60°，再算出AF的长，然后分别在AM，AB上截取了AE＝AF，连接EF，则AF的长为(　　)
A.5 cm
B.10 cm
C.10 cm
D.20 cm
第9题图
D
10.如图，在正方形ABCD中，E，F分别是AB，BC的中点，CE，DF交于点G，连接AG.下列结论：①CE＝DF；②CE⊥DF；③∠AGE＝∠CDF.其中正确的是(　　)
A.①②
B.①③
C.②③
D.①②③
第10题图
D
二、填空题(每小题3分，共15分)
11.要使式子有意义，则x的取值范围是____________.
12.如图，已知△ABO为等腰三角形，且OA＝AB＝5，点B的坐标为(－6，
0)，则点A的坐标为______________.
第12题图
x≥－8
(－3，4)
13.如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝5，点E在AB上，连接CE，沿CE折叠△BCE，得到△FCE，点B的对应点为点F.当点F落在AD上时，AF的长为_______.
第13题图
1
14.如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AB＝5，AC＝6，过点D作AC的平行线，交BC的延长线于点E，则△BDE的面积为________.
第14题图
24
15.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，D是直线AB上的一点，G是CD的中点，过点G的直线EF分别交AC，BC于点E，F，EG＝FG.
(1)若D是AB的中点，则EF的长为_________；
(2)连接AG，若△ADG是直角三角形，则AD的长为____________.
第15题图
2.5
3.2或4
三、解答题(共9题，共75分)
16.(6分)计算：(2－)2＋(＋2)÷.
解：原式＝4－4＋2＋5÷
＝6－4＋5
＝6＋.
17.(6分)已知a＝＋3，b＝－3，求代数式a2＋b2＋ab的值.
解：∵a＝＋3，b＝－3，
∴a＋b＝2，ab＝1，
∴a2＋b2＋ab＝a2＋b2＋2ab－ab＝(a＋b)2－ab＝(2)2－1＝39.
18.(6分)如图，在△ABC中，AC＝5，E为边BC上一点，且CE＝1，AE＝
，BE＝4，求AB的长.
解：∵AC＝5，CE＝1，AE＝，
∴AC2＋CE2＝26，AE2＝26，
∴AC2＋CE2＝AE2，
∴△ACE是直角三角形，∠C＝90°.
∵BC＝CE＋BE＝5，
∴AB＝＝＝5.
19.(8分)如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，M，N分别是AB，AC的中点，延长BC至点D，使CD＝BD，连接CM，DN，MN.
(1)求证：四边形DCMN是平行四边形；
证明：∵M，N分别是AB，AC的中点，
∴MN∥BC，MN＝BC.
∵CD＝BD，∴CD＝BC，∴MN＝CD，
∴四边形DCMN是平行四边形.
(2)若AB＝6，求DN的长.
解：∵∠ACB＝90°，M是AB的中点，∴CM＝AB＝3.
由(1)知四边形DCMN是平行四边形，∴DN＝CM＝3.
20.(8分)如图，在四边形ABCD中，∠ADC＝90°，∠CAD＝30°，AB＝
AC，E，F分别为BC，AC的中点，连接DE，DF，EF.
(1)求证：DF＝EF；
证明：∵∠ADC＝90°，F为AC的中点，
∴DF＝AF＝AC.
∵F，E分别为AC，BC的中点，
∴EF为△ABC的中位线，∴EF＝AB.
∵AB＝AC，∴DF＝EF.
(2)若∠B＝75°，AB＝2，求DE的长.
解：∵∠B＝75°，AB＝AC＝2，∴∠ACB＝∠B＝75°，∴∠BAC＝30°.
∵EF为△ABC的中位线，∴EF∥AB，
∴∠EFC＝∠BAC＝30°.
∵∠CAD＝30°，AD＝DF，
∴∠DFC＝2∠CAD＝60°，∴∠EFD＝90°.
∵DF＝EF＝AB＝1，∴DE＝＝.
21.(8分)如图，地面上放着一个小凳子，点A距离墙面40 cm，在图1中，一根细长木杆的一端与墙角重合，另一端靠在点A处，OA＝50 cm.在图2中，木杆的一端与点B重合，另一端靠在墙上点C处.
(1)求小凳子的高度；
解：过点A作AM垂直墙面于点M，则AM＝40 cm.
在Rt△AOM中，OM＝＝＝30(cm).
答：小凳子的高度为30 cm.
(2)若OC＝90 cm，木杆的长度比AB长60 cm，求木杆的长BC和小凳子坐板的宽AB.
解：延长BA交墙面于点N，可得∠BNC＝90°，AN＝40 cm.
由(1)知小凳子的高为30 cm，∴ON＝30 cm.
设AB＝x cm，则BC＝(x＋60)cm，BN＝(x＋40)cm，CN＝OC－ON＝90－30＝60(cm).
在Rt△BCN中，由勾股定理，得BN2＋CN2＝BC2，
即(40＋x)2＋602＝(60＋x)2，解得x＝40，
∴AB＝40 cm，BC＝100 cm.
答：木杆的长BC为100 cm，小凳子坐板的宽AB为40 cm.
22.(10分)阅读下列材料，解答问题：
已知－＝1，求＋的值.
李聪同学是这样解答的：
∵(－)(＋)
＝()2－()2
＝15－x－8＋x＝7，
∴＋＝7.
这种方法称为“构造对偶式”.
问题：已知＋＝7.
(1)求－的值；
解：(＋)(－)＝()2－()2＝30－x－9＋x＝21.
∵＋＝7，∴－＝3.
(2)求x的值.
解：由(1)知－＝3①.
∵＋＝7②，
∴①＋②，得2＝10，解得x＝5.
23.(11分)如图， ABCD的对角线AC，BD交于点O，过点D作DE⊥BC于点
E，延长CB至点F，使BF＝CE，连接AF，OF.
(1)求证：四边形AFED是矩形；
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC.
∵BF＝CE，∴BF＋BE＝CE＋BE，
即FE＝BC，∴FE＝AD，
∴四边形AFED是平行四边形.
∵DE⊥BC，∴∠DEF＝90°，
∴平行四边形AFED是矩形.
(2)若AD＝7，BE＝2，∠ABF＝45°，求OF的长.
解：由(1)知四边形AFED是矩形，
∴∠AFE＝90°，FE＝AD＝7，
∴FB＝FE－BE＝5，∴CE＝FB＝5，
∴FC＝FE＋CE＝7＋5＝12.
∵∠ABF＝45°，∴△ABF是等腰直角三角形，∴AF＝FB＝5.
在Rt△AFC中，由勾股定理，得AC＝＝＝13.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，∴OF＝AC＝.
24.(12分)在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，E是对角线AC上任意一点，F是线段BC的延长线上一点，且CF＝AE，连接BE，EF.
(1)如图1，当E是线段AC的中点时，求证：BE＝EF；
证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC.
∵∠ABC＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠BCA＝60°.
∵E是线段AC的中点，
∴∠CBE＝∠ABE＝∠ABC＝30°，AE＝CE.
∵CF＝AE，∴CE＝CF，∴∠F＝∠CEF＝∠BCA＝30°，
∴∠CBE＝∠F，∴BE＝EF.
(2)如图2，当E不是线段AC的中点，其他条件不变时，则(1)中的结论__________；(填“成立”或“不成立”)
成立
(3)如图3，当E是线段AC的延长线上任意一点，其他条件不变时，(1)中的结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由.
解：结论成立.证明如下：
过点E作EG∥BC，交AB的延长线于点G.
由(1)知△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC，∠BCA＝∠BAC＝60°.
∵EG∥BC，
∴∠G＝∠ABC＝60°，
∴△AGE是等边三角形，
∴AG＝AE＝GE，
∴AG－AB＝AE－AC，即BG＝EC.
∵CF＝AE，
∴GE＝CF.
∵∠ECF＝∠BCA＝60°，
∴∠G＝∠ECF，
∴△BGE≌△ECF(SAS)，
∴BE＝EF.
Thanks!
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