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四川省成都市2026年初中学业水平模拟考试数学卷
A卷（共100分）
第Ⅰ卷（选择题，共32分）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题4分，共32分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．27的立方根是（ ）
A．3 B．9 C． D．
【答案】A
【详解】解：∵ 若一个数的立方等于，即，则是的立方根，，且正数的立方根是正数，
∴ 的立方根是．
2．下列常见的几何体中，主视图和左视图不同的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了简单几何体的三视图．分别分析四种几何体的主视图和左视图，找出主视图和左视图不同的几何体．
【详解】解：A、圆台的主视图和左视图都是梯形，本选项不符合题意；
B、圆柱的主视图是长方形，左视图是圆，本选项符合题意；
C、圆锥的主视图与左视图相同，都是等腰三角形，本选项不符合题意；
D、球的主视图和左视图相同，都是圆，本选项不符合题意．
故选：B．
3．下列式子计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查合并同类项、积的乘方、完全平方公式和平方差公式，根据相关运算法则逐项计算即可得出答案．
【详解】解：A，，计算错误，不合题意；
B，，计算错误，不合题意；
C，，计算错误，不合题意；
D，，计算正确，符合题意；
故选D．
4．点关于原点对称的点的坐标为（　 　）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了关于原点对称的点坐标的关系．解题的关键在于熟练掌握关于原点对称的点的关系．根据“关于原点对称的点的坐标关系，横坐标与纵坐标都互为相反数”，即可求解．
【详解】解：∵关于原点对称的点的坐标关系，即横坐标与纵坐标都互为相反数，
∴点关于原点的对称点的坐标是．
故选A．
5．在九年级下学期某次数学模拟检测中，7位同学的成绩依次为：，，，，，，．这组数据的中位数是（ ）
A．75 B．78 C．79 D．80
【答案】D
【分析】本题考查了求中位数“将一组数据按照由小到大（或由大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数”，熟记中位数的定义是解题关键．根据中位数的定义求解即可得．
【详解】解：将这组数据按从小到大进行排序为，，，，，，，
则这组数据的中位数是80，
故选：D．
6．如图，矩形的对角线和交于点，则下列结论一定正确的是( )
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了矩形的性质，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．由矩形的性质分析每个选项，从而可得答案．
【详解】解：四边形是矩形，
，，， ，
，不一定成立，不一定成立，，一定成立，
故选：D．
7．《孙子算经》中有这样一个问题：“今有竿不知长短，度其影得一丈五尺．别立一表，长一尺五寸，影得五寸，问竿长几何？”意思是：今有竿不知其长短，在阳光下，将其垂直立于地面，测得影长为一丈五尺．同一时刻，测得直立于地面长一尺五寸的标杆的影长为五寸，问竿的长度是多少？（1丈尺；1尺寸）．设竿的长度为x尺，则下列方程正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查平行投影，根据同一时刻，同一地点，物高与影长对应成比例，列出方程即可．
【详解】解：一丈五尺尺，一尺五寸尺，五寸尺，
由题意，可列方程为：；
故选A．
8．已知：抛物线，对称轴为，且，，有以下结论：
抛物线一定经过点；
；
关于x的一元二次方程必有一根大于1；
关于m的一元二次方程一定有两个不相等的实数根．
上述结论中，所有正确结论的序号是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查二次函数的图象和性质，一元二次方程根的判别式，二次函数与一元二次方程的综合．
根据条件 可判断，由和，得，，结合对称轴直线的解析式，可判断，由二次函数的图象和性质，结合图象平移变换，可判断，由一元二次方程的根的判别式，可判断．
【详解】解：∵，
∴ 当时，，
∴抛物线过点，
故正确；
∵ 对称轴，
由和，得，，
∴，
∴，
∴，
故错误；
设 ，
∵ ，
∴抛物线开口向下，
∵抛物线经过点，，
∴抛物线向上平移1个单位后，在对称轴右侧与的交点横坐标一定大于1，
∴关于x的一元二次方程必有一根大于1，
故正确；
方程 的判别式 ，
代入 ，得 ，
若 ，则 ，，但 即 ，矛盾，
∴ ，
∴关于m的一元二次方程一定有两个不相等的实数根，
故正确，
综上，正确结论为．
故选：B．
第Ⅱ卷（非选择题，共68分）
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上）
9．因式分解：______．
【答案】
【分析】本题考查了因式分解．先提取公因数，再利用平方差公式分解因式．
【详解】解：
故答案为：．
10．如图，一次函数与反比例函数的图象相交于点，两点，当时，则自变量x的取值范围是____．

【答案】或
【分析】本题考查的是一次函数与反比例函数的图象与不等式的解，解题的关键是数形结合．
根据图象中一次函数与反比例函数的分布即可求出取值范围．
【详解】解：∵一次函数与反比例函数的图象相交于点，两点，
由图象知，当时，即一次函数在反比例函数上方，此时或，
故答案为：或．
11．分式方程的解是____________．
【答案】
【分析】本题主要考查分式方程的解法，熟练掌握分式方程的解法是解题的关键；先去分母，然后再进行求解方程即可．
【详解】解：
去分母得：，
整理得：
移项、合并同类项得：，
系数化为1得：，
经检验：是原方程的解；
故答案为．
12．如图，与是以原点O为位似中心的位似图形，点的坐标为，点A的坐标为，则相似比为__________．
【答案】
【分析】先由勾股定理算出，，再结合位似的性质进行列式代入数值，进行计算即可作答．本题考查位似变换，勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
【详解】解：∵点的坐标为，点A的坐标为，
∴，，
∵与是以原点为位似中心的位似图形，
∴，
∴相似比为，
故答案为：．
13．如图，在平行四边形中，以点为圆心，为半径作弧，交于点，再分别以点，为圆心，大于为半径作弧，两弧交于点，射线交于点． 若，，则的长为______．
【答案】
【分析】本题考查平行四边形的性质，菱形的判定与性质，勾股定理．连接，设交于点，证明四边形是菱形，利用勾股定理求出即可解决问题．
【详解】如图，连接，设交于点，
由作图可知：，平分，
，，，
四边形是平行四边形，
，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
四边形是菱形，
，
在中，，，
，
．
故答案为：．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分，解答过程写在答题卡上）
14．（1）计算：
（2）解不等式组：
【答案】（1）0；（2）
【分析】本题考查了实数的混合运算，解不等式组，解题的关键是：
（1）利用负整数指数幂、零指数幂的意义，特殊角的三角函数，二次根式的性质以及二次根式的乘法计算即可；
（2）分别求出两个不等式的解集，然后求出公共部分即可．
【详解】（1）解：原式
；
（2）解：
解不等式①，得：
解不等式②，得：
∴不等式组的解集为．
15．某校学生会准备在校艺术活动月中组织“唱歌”“舞蹈”“演讲”“书法”四项活动．策划阶段，学生会随机调研了若干名学生的参与意向，被调研学生每人都选出了自己“最想参加的一项活动”，学生会统计并绘制了如图统计图（均不完整）．
请根据统计图，回答下列问题：
(1)这次抽样调查的总人数为 人．
(2)在扇形统计图中，“书法”所在扇形的圆心角度数为 ．
(3)活动结束后，学生会从参加“演讲”的学生中初选出4名同学（两男两女），并准备从中随机选取2名同学主持“艺术活动月汇报展演”活动，请用列表或画树状图的方法求主持人恰为一男一女的概率．
【答案】(1)120
(2)
(3)
【分析】本题主要考查了条形统计图和扇形统计图，利用树状图或列表法求概率，根据题意，准确从统计图中获取信息是解题的关键．
（1）利用演讲的人数和所占的百分比求解即可；
（2）用360乘以参加“书法”的人数所占的百分比，即可求解；
（3）根据题意，列出表格，再根据概率公式计算，即可求解．
【详解】（1）解：（人）．
∴这次抽样调查的总人数为120人．
故答案为：120；
（2）解：，
∴“书法”所在扇形的圆心角度数为．
故答案为：；
（3）解：列表如下：
男1 男2 女1 女2
男1 （男2，男1） （女1，男1） （女2，男1）
男2 （男1，男2） （女1，男2） （女2，男2）
女1 （男1，女1） （男2，女1） （女2，女1）
女2 （男1，女2） （男2，女2） （女1，女2）
由列表可得共有12种等可能结果，其中恰好选取一男一女的结果有8种．
∴选取的两人恰为一男一女的概率．
16．图1是一种可升降的阅读支架放置在桌面上，这种支架的侧面结构如图2所示，可分别绕点转动，测量知C是的中点，且．当转动到，时，求支撑板上的点E到底面的距离是多少？（结果精确到；参考数据：）
【答案】支撑板上的点E到底面的距离是．
【分析】本题考查解直角三角形的实际应用，矩形的判定和性质等知识，正确作出辅助线构造直角三角形是解题关键．过点作于点F，过点C作于点G．即得出，．结合题意可求出，，从而可求出，进而可求，最后根据求解即可．
【详解】解：如图，过点作于点F，过点C作于点G．
∴四边形为矩形，
∴，，
∴．
∵，，
∴，，
∴．
∵C是的中点，
∴，
∴，
∴，即支撑板上的点E到底面的距离是．
17．如图，四边形的顶点A，B，C在上，，直径与弦相交于点F，点D是延长线上的一点，．
(1)求证：是的切线；
(2)若四边形是平行四边形，，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查切线的判定，圆周角定理，解直角三角形等知识点，熟练掌握切线的判定方法，圆周角定理，是解题的关键．
（1）连接，根据圆周角定理得到，推出，根据等边对等角，推出，根据直径得到，进而得到，继而得到，即，即可得证；
（2）由平行四边形的性质得到，根据，得到，求出的长，证明是菱形，得到为等边三角形，进而得到，解，求出的长即可．
【详解】（1）证明：如图1，连接，
，，
．
，
．
是的直径，
，即．
，
，即．
为的半径，
是的切线．
（2）解：如图2，
四边形是平行四边形，
．
又，
，
．
，
是菱形，
．
为等边三角形，
∴．
在中，．
18．如图，点和点是反比例函数图象上的两点，一次函数的图象经过点，与轴交于点，过点作轴，垂足为，连接．已知与的面积满足．
(1)求的面积和的值；
(2)求直线的表达式；
(3)过点的直线分别交轴和轴于M，N两点，，若点为的平分线上一点，且满足，请求出点的坐标．
【答案】(1)的面积为，的值为3
(2)
(3)或
【分析】本题是反比例函数综合题，主要考查了反比例函数图象上点的坐标的特征，k的几何意义，相似三角形的判定与性质等知识．
（1）首先可知C的坐标，从而得出的面积，再根据，得，可得k的值；
（2）由点在反比例函数上，可得，再将点A的坐标代入反比例解析式即可；
（3）设，分点N在y轴正半轴上或点N在y轴负半轴两种情形，分别根据相似三角形的判定与性质求出和的长，从而得出的长，即可得出答案．
【详解】（1）解：∵一次函数与y轴交于C，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵点B在反比例函数上，
∴，
∴的面积为，的值为3；
（2）解：∵点在反比例函数上，
∴，
∴，
将代入一次函数得，
，
∴，
∴直线的表达式为：；
（3）解：设，则，
分以下三种情况：
当点N在y轴正半轴上，点M在轴正半轴上时，作轴于H，则，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∵点P为的平分线上一点，，
∴点P到x轴和y轴的距离相等，设为，则，
∴，解得，
∴；
当点N在y轴负半轴上，点M在轴正半轴上时，如图，
同理可得，，，
∴，，
∴，
∵点P为的平分线上一点，，
∴同理可得点P到x轴和y轴的距离相等为，
∴，
当点M在x轴负半轴上时，，不合题意，舍去．
综上：或．
B卷（共50分）
一、填空题（本大题共5个小題，每小題4分，共20分，答案写在答题卡上）
19．已知，则_____________．
【答案】
【分析】本题考查了分式的化简求值，二次根式的混合运算，先根据分式的运算法则化简代数式，然后将代入，即可求解．
【详解】解：
，
，
原式
故答案为：．
20．已知与是方程的两个不同的根，那么代数式的值为________．
【答案】2020
【分析】本题主要考查了一元二次方程的根与系数的关系，一元二次方程的解的定义，根据一元二次方程的解的定义可得的值，根据根与系数的关系可得的值，再把所求式子变形为，据此计算求解即可．
【详解】解：∵与是方程的两个不同的根，
∴，，
∴
，
故答案为：2020．
21．正方形的边长为2，分别以四个顶点为圆心，以1为半径作弧形成如图所示的封闭图形（阴影部分）．在正方形上做随机投针试验，针头落在阴影部分的概率是_______． （用含的式子表示）．
【答案】
【分析】本题考查了几何概率，求出正方形的面积与阴影部分的面积，再用阴影部分的面积除以正方形的面积即可得解．
【详解】解：由题意可得，正方形的面积为，阴影部分的面积为，
∴在正方形上做随机投针试验，针头落在阴影部分的概率是，
故答案为：．
22．如图，在等边中，，点在边上，且，点为边上一点，连接，在的右侧作，且，连接，则的最小值为___________．
【答案】9
【分析】将绕点旋转，交于点，倍长至点，连接，交于点，易得为等边三角形，证明，得到，进而得到为等边三角形，点在射线上运动，得到，过点作，根据含30度角的直角三角形的性质，求出的长，根据垂线段最短，得到的最小值即为的长即可．
【详解】解：将绕点旋转，交于点，倍长至点，连接，交于点，如图，则：，
∵为等边三角形，
∴，
∴，
∴为等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴点在射线上运动，
∵，，
∴，
∴为等边三角形，
∴，
∴，
∴，
过点作，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵点在射线上运动，
∴当点与点重合时，的值最小，即为的长，
∴的最小值为9．
故答案为：9
【点睛】本题考查等边三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形，旋转的性质，相似三角形的判定和性质，解题的关键是构造旋转相似，确定点的运动轨迹．
23．如图所示，在平面直角坐标系中，点和点，抛物线与线段有公共点，则h的取值范围是__________．
【答案】
【分析】本题考查了二次函数图象和系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，求出抛物线与直线的交点，再分情况讨论即可，即可得出结论．
【详解】解：∵点和点，
∴直线解析式为，
当时，解得，即，
∴抛物线与直线的交点为，，
∵抛物线与线段有公共点，
∴当，两个点都在线段上时，如图
此时，解得；
当只有在线段上时，如图
此时，解得；
当只有在线段上时，如图
此时，解得；
综上所述，若抛物线与线段有公共点，则的取值范围是，
故答案为：．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分，解答过程写在答题卡上）
24．文创产业蓬勃发展，成为新时代文艺的一大亮点．某商店老板在某店定制A、B两款文创帆布包，已知每件A款帆布包的利润比每件B款帆布包的利润多8元，销售A款帆布包获利300元和销售B款帆布包获利180元的销售数量相同．
(1)求每件A款帆布包和每件B款帆布包的利润；
(2)若该商店计划购进A，B两款帆布包共200件进行销售，且A款帆布包数量不超过B款帆布包数量的．商店购进A，B两款帆布包各多少件，才能使销售完这200件帆布包获得的利润最大？最大利润是多少？
【答案】(1)每件A款帆布包的利润为元，每件B款帆布包的利润为元
(2)商店购进A，B两款帆布包分别为件和件时，才能使销售完这200件帆布包获得的利润最大，最大利润是3360元
【分析】本题考查分式方程的实际应用，一元一次不等式和一次函数的实际应用，正确的列出方程，不等式和函数解析式，是解题的关键：
（1）设每件A款帆布包的利润为元，根据每件A款帆布包的利润比每件B款帆布包的利润多8元，销售A款帆布包获利300元和销售B款帆布包获利180元的销售数量相同，列出方程进行求解即可；
（2）设购进A款帆布包件，根据A款帆布包数量不超过B款帆布包数量的，列出不等式，求出的范围，根据总利润等于两款帆布包的利润之和，列出函数关系式，求最值即可．
【详解】（1）解：设每件A款帆布包的利润为元，则每件B款帆布包的利润元，由题意，得：
，解得：，
经检验，是原方程的解且符合题意；
∴；
答：每件A款帆布包的利润为元，每件B款帆布包的利润为元；
（2）设购进A款帆布包件，则购进B款帆布包件，设总利润为元，
则：，解得：，
∵，，
∴当时，的值最大为：元；此时；
答：商店购进A，B两款帆布包分别为件和件时，才能使销售完这200件帆布包获得的利润最大，最大利润是3360元．
25．如图，在平面直角坐标系中，抛物线交x轴于，两点，交y轴于点C．
(1)求二次函数解析式；
(2)如图1，若在x轴上方的抛物线上存在一点D，使得，求点D的坐标；
(3)如图2，平面上一点，过点E作任意一条直线交抛物线于P、Q两点，连接、，分别交y轴于M、N两点，则与的积是否为定值 若是，求出此定值；若不是，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)是定值，为2，理由见解析
【分析】（1）由待定系数法即可求解；
（2）先证明，再由得到，再证明，得到，即可求解；
（3）证明得到，求出，同理，，即可求解．
【详解】（1）设，
则；
（2）抛物线的表达式为，则点，
连接，过作交于点，作轴于点，
将代入得，
，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，即，
，
，
，
，，
，
，，
，
设直线的解析式为，
，
，
直线的解析式为，
联立，
解得（舍去），或，
；
（3）是定值，为2，理由：
过点作一直线交抛物线于、两点，
设直线的解析式为，，，，，
，，
直线的解析式为②，
联立①②得：，
，，
如图，作轴于点，作轴于点，
则，
，即，
，
同理，，
，为定值．
【点睛】本题是二次函数综合题，考查二次函数的性质，用待定系数法求一次函数的解析式，相似三角形的判定和性质，根和系数的关系等．解决（3）问的关键的是通过相似三角形用坐标表示出线段，的长．
26．【模型建立】：如图1，在正方形中，E，F分别是边上的点，且，探究图中线段之间的数量关系．
（1）小宋的探究思路如下：延长到点G，使，连接，先证明，再证明．之间的数量关系为______．若，则______．
【模型应用】：
（2）如图2，在矩形中，，点F为中点，，求的长．
【拓展提升】：
（3）通过对图2的分析，小宋同学在深入思考后，他发现一个很有意思的结论，若，且，则______．（用含a、b的代数式表示）
【答案】（1），；（2）；（3）
【分析】（1）证明，可得，，再证，可得，则；设，则，，然后在中，利用勾股定理构建方程求解即可；
（2）如图作辅助线，构造正方形，设，则，，在中，利用勾股定理构建方程求出，再利用平行线分线段成比例计算的长即可；
（3）如图2作辅助线，设，，，则，，，在中，利用勾股定理构建方程求出，再根据正切函数的定义计算即可．
【详解】解：（1）延长到点G，使，连接，
∵在正方形中，，，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
∵，
∴，，
设，则，，
在中，由勾股定理得，
∴，
解得：，
即，
故答案为：，；
（2）如图2，延长，至M、N，使四边形是正方形，延长到点H，使，连接，延长交于P，连接，
∵，点F为中点，
∴，
∴，
设，则，
由（1）得：，
在中，由勾股定理得，
∴，
解得：，
∵，
∴，
∴，即，
∴；
（3）如图2作辅助线，
∵，
∴设，，
∴，
设，则，
由（2）得：，
在中，由勾股定理得，
∴，
解得：，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，平行线分线段成比例，锐角三角函数的定义等知识，灵活运用相关判定定理和性质定理，作出合适的辅助线是解题的关键．中小学教育资源及组卷应用平台
四川省成都市2026年初中学业水平模拟考试数学卷
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
A卷（共100分）
第Ⅰ卷（选择题，共32分）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题4分，共32分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．27的立方根是（ ）
A．3 B．9 C． D．
2．下列常见的几何体中，主视图和左视图不同的是（ ）
A． B．
C． D．
3．下列式子计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．点关于原点对称的点的坐标为（　 　）
A． B． C． D．
5．在九年级下学期某次数学模拟检测中，7位同学的成绩依次为：，，，，，，．这组数据的中位数是（ ）
A．75 B．78 C．79 D．80
6．如图，矩形的对角线和交于点，则下列结论一定正确的是( )
A． B． C． D．
7．《孙子算经》中有这样一个问题：“今有竿不知长短，度其影得一丈五尺．别立一表，长一尺五寸，影得五寸，问竿长几何？”意思是：今有竿不知其长短，在阳光下，将其垂直立于地面，测得影长为一丈五尺．同一时刻，测得直立于地面长一尺五寸的标杆的影长为五寸，问竿的长度是多少？（1丈尺；1尺寸）．设竿的长度为x尺，则下列方程正确的是（ ）
A． B． C． D．
8．已知：抛物线，对称轴为，且，，有以下结论：
抛物线一定经过点；
；
关于x的一元二次方程必有一根大于1；
关于m的一元二次方程一定有两个不相等的实数根．
上述结论中，所有正确结论的序号是（ ）
A． B． C． D．
第Ⅱ卷（非选择题，共68分）
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上）
9．因式分解：______．
10．如图，一次函数与反比例函数的图象相交于点，两点，当时，则自变量x的取值范围是____．

11．分式方程的解是____________．
12．如图，与是以原点O为位似中心的位似图形，点的坐标为，点A的坐标为，则相似比为__________．
13．如图，在平行四边形中，以点为圆心，为半径作弧，交于点，再分别以点，为圆心，大于为半径作弧，两弧交于点，射线交于点． 若，，则的长为______．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分，解答过程写在答题卡上）
14．（1）计算：
（2）解不等式组：
15．某校学生会准备在校艺术活动月中组织“唱歌”“舞蹈”“演讲”“书法”四项活动．策划阶段，学生会随机调研了若干名学生的参与意向，被调研学生每人都选出了自己“最想参加的一项活动”，学生会统计并绘制了如图统计图（均不完整）．
请根据统计图，回答下列问题：
(1)这次抽样调查的总人数为 人．
(2)在扇形统计图中，“书法”所在扇形的圆心角度数为 ．
(3)活动结束后，学生会从参加“演讲”的学生中初选出4名同学（两男两女），并准备从中随机选取2名同学主持“艺术活动月汇报展演”活动，请用列表或画树状图的方法求主持人恰为一男一女的概率．
16．图1是一种可升降的阅读支架放置在桌面上，这种支架的侧面结构如图2所示，可分别绕点转动，测量知C是的中点，且．当转动到，时，求支撑板上的点E到底面的距离是多少？（结果精确到；参考数据：）
17．如图，四边形的顶点A，B，C在上，，直径与弦相交于点F，点D是延长线上的一点，．
(1)求证：是的切线；
(2)若四边形是平行四边形，，求的长．
18．如图，点和点是反比例函数图象上的两点，一次函数的图象经过点，与轴交于点，过点作轴，垂足为，连接．已知与的面积满足．
(1)求的面积和的值；
(2)求直线的表达式；
(3)过点的直线分别交轴和轴于M，N两点，，若点为的平分线上一点，且满足，请求出点的坐标．
B卷（共50分）
一、填空题（本大题共5个小題，每小題4分，共20分，答案写在答题卡上）
19．已知，则_____________．
20．已知与是方程的两个不同的根，那么代数式的值为________．
21．正方形的边长为2，分别以四个顶点为圆心，以1为半径作弧形成如图所示的封闭图形（阴影部分）．在正方形上做随机投针试验，针头落在阴影部分的概率是_______． （用含的式子表示）．
22．如图，在等边中，，点在边上，且，点为边上一点，连接，在的右侧作，且，连接，则的最小值为___________．
23．如图所示，在平面直角坐标系中，点和点，抛物线与线段有公共点，则h的取值范围是__________．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分，解答过程写在答题卡上）
24．文创产业蓬勃发展，成为新时代文艺的一大亮点．某商店老板在某店定制A、B两款文创帆布包，已知每件A款帆布包的利润比每件B款帆布包的利润多8元，销售A款帆布包获利300元和销售B款帆布包获利180元的销售数量相同．
(1)求每件A款帆布包和每件B款帆布包的利润；
(2)若该商店计划购进A，B两款帆布包共200件进行销售，且A款帆布包数量不超过B款帆布包数量的．商店购进A，B两款帆布包各多少件，才能使销售完这200件帆布包获得的利润最大？最大利润是多少？
25．如图，在平面直角坐标系中，抛物线交x轴于，两点，交y轴于点C．
(1)求二次函数解析式；
(2)如图1，若在x轴上方的抛物线上存在一点D，使得，求点D的坐标；
(3)如图2，平面上一点，过点E作任意一条直线交抛物线于P、Q两点，连接、，分别交y轴于M、N两点，则与的积是否为定值 若是，求出此定值；若不是，请说明理由．
26．【模型建立】：如图1，在正方形中，E，F分别是边上的点，且，探究图中线段之间的数量关系．
（1）小宋的探究思路如下：延长到点G，使，连接，先证明，再证明．之间的数量关系为______．若，则______．
【模型应用】：
（2）如图2，在矩形中，，点F为中点，，求的长．
【拓展提升】：
（3）通过对图2的分析，小宋同学在深入思考后，他发现一个很有意思的结论，若，且，则______．（用含a、b的代数式表示）

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