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河北省2026年初中学业水平模拟考试数学卷
（考试时间：120分钟 试卷满分：120分）
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1．的倒数的绝对值的相反数是（ ）
A．2 B． C． D．
2．如图，，于点，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
3．下列各式运算正确的是（　　）
A． B． C． D．
4．由6个大小相同的小正方体搭成的几何体如图所示，把小正方体M移到小正方体N的正前方后，三视图发生变化的是（ ）
A．只有俯视图 B．只有左视图
C．主视图和俯视图 D．主视图、左视图和俯视图
5．小张同学要从长度分别为，，，的四根小木棒中选出三根摆成一个三角形，那么他选的三根木棒形成的三角形的周长为（ ）
A．34 B．42 C．51 D．50
6．如表所示的是小颖作业中的一道题目，“”处都是0但发生破损，小颖查阅后发现本题答案为1，则破损处“0”的个数为（ ）
已知：，求的值．
A．5 B．4 C．3 D．2
7．随着科技和环保意识的不断提高，电动汽车行业的发展前景越来越好．如图，，分别表示某款燃油汽车和某款电动汽车所需费用y（元）与行驶路程s（千米）的关系．已知燃油汽车每千米所需的费用比电动汽车每千米所需的费用的3倍多0.1元，设电动汽车每千米所需的费用为x元，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
8．尺规作图：如图（1），在锐角三角形中，，，在边上求作一点P，使．如图（2）是一名同学的五种作法，其中正确的有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
9．为助力“校园读书月”活动，某班20名同学积极分享自己的课外读物，他们分享的书籍数量（单位：本）如下表．根据表中的信息，下列结论正确的是（ ）
书籍数量/本 2 3 4 5 6
人数/名 3 4 5 6 2
A．分享的书籍数量的众数是6本
B．分享的书籍数量的平均数是3本
C．分享的书籍数量的中位数是4本
D．分享的书籍数量的方差是2.5
10．如图1，木质镂空花格常见于江南园林的门窗与屏风．图2是其示意图，正八边形的内部包含4个全等的正方形和1个正八边形（阴影部分），则正八边形与阴影部分的面积比是（ ）
A． B． C． D．
11．已知实数k，现有甲、乙、丙、丁四人对关于x的方程进行了讨论：甲说：这一定是关于x的一元二次方程；乙说：这有可能是关于x的一元一次方程；丙说：只有当且时，该方程有实数根；丁说：当时，该方程有实数根（ ）
A．甲和丙说的对 B．甲和丁说的对
C．乙和丁说的对 D．乙和丙说的对
12．如图，直角坐标系中长方形的四个顶点坐标分别为，，，，点从点出发，沿长方形的边顺时针运动，速度为每秒个长度单位，同时点从点出发，沿长方形的边逆时针运动，速度为每秒个长度单位，记，在长方形边上第次相遇时的点为，第二次相遇时的点为，第三次相遇时的点为，……，则点的坐标为（ ）．
A． B． C． D．
第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分）
13．化简：______．
14．若为正整数，且满足，则___________．
15．如图，的顶点A，B分别在反比例函数和的图象上，C，D在x轴上，若，且，是关于x的一元二次方程的两个实数根，则m的值等于______．
16．我国古代主流钱币一般采用外圆内方的形式铸造，其中最具代表性的是从秦朝开始流通的方孔圆钱．如图，在方孔圆钱的示意图中，圆心和正方形的中心重合，分别延长，交于点E，F．若的半径为2，正方形的边长为1，则_____ ．
三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（7分）有个填写数字的游戏：在“”中的每个□内，填入数字（可重复使用），然后计算结果．
(1)若三个□内从左到右依次填入9，，5，请你计算结果；
(2)若，请推算□内的数字；
(3)若的结果是最大的负整数，请推算□内的数字．
18．（8分）一个数学活动小组编了一个创新题目：如图，在三张硬纸板的正面分别写了一个代数式，记为，，，然后在黑板上写了一个等式：（，为常数）．
(1)求，的值；
(2)当为任意正整数时，的结果都能被这个活动小组的人数整除，求这个活动小组有几个人（活动小组的人数大于1）．
19．（8分）【问题背景】
“刻漏”是我国古代的一种利用水流计时的工具．综合实践小组准备用甲、乙两个透明的竖直放置的容器和一根带节流阀（控制水的流速大小）的软管制作简易计时装置．
【实验操作】
综合实践小组设计了如下的实验：先在甲容器里加满水，此时水面高度为30cm，开始放水后每隔10min观察一次甲容器中的水面高度，获得的数据如下表：
流水时间t/min 0 10 20 30 40
水面高度h/cm（观察值） 30 29 28.1 27 25.8
任务1 分别计算表中每隔10min水面高度观察值的变化量．
【建立模型】
小组讨论发现：“，”是初始状态下的准确数据，水面高度值的变化不均匀，但可以用一次函数近似地刻画水面高度h与流水时间t的关系．

任务2 利用时，；时，这两组数据求水面高度h与流水时间t的函数解析式．
20．（8分）某校七年级准备开展以“火星冲日”为主题的项目化学习．为了了解学生对“火星冲日”天文景象的知晓情况，该校七年级备课组随机对七年级部分学生进行了问卷调查，调查结果共分成四个类别：A表示“非常了解”，B表示“比较了解”，C表示“不太了解”，D表示“从未听说过”．根据调查统计结果，绘制成两幅不完整的统计图．请结合统计图，回答下列问题．

(1)在此次调查中一共抽取了多少名学生？并将条形统计图补充完整．
(2)扇形统计图中B部分的圆心角是多少度？
(3)在A类学生中，有2名男生和2名女生，现需要从这4名学生中随机抽取2名，在课前进行“火星冲日”天文景象的介绍，请利用画树状图或列表的方式，求所抽取的2名学生中恰好是1名男生和1名女生的概率．
21．（9分）如图，为的切线，为切点，是上一点，过点作，垂足为，交于点．

(1)如图①，若，求的度数；
(2)如图②，连接并延长交于点，连接，，若，的半径为，求的长．
22．（9分）完成项目任务主题：设计遮阳篷素材1：北半球在一年中，冬至这一天的正午时刻，太阳光线与地平面的夹角最小；夏至这一天的正午时刻，太阳光线与地平面的夹角最大．
素材2：图1是北半球某市一家商店，大门朝南，设计了遮阳篷．图2是其示意图，设计了垂直于墙面AC的遮阳篷（横截面为直角 ）．表示大门高度．
若让遮阳篷满足在冬至正午刚好不遮住应该射进室内的阳光，此时太阳光与BD平行，太阳光与地面夹角最小为；若让遮阳篷在夏天满足阳光刚好不射入室内，此时太阳光与平行，太阳光与地面夹角最大为．
(1)任务1：该市冬至日正午太阳光与地平面的夹角是 ，夏至日正午太阳光与地平面的夹角是．素材2中的商店门高为3米，若要不遮住冬天温暖的阳光，还要夏天正午时刻，门前设计能有1米宽的阴影．图3是其示意图，求遮阳篷的长．（精确到米）参考数据：，，，，，．
(2)任务2：在任务1的基础上，考虑遮阳篷兼带遮雨功能，所以考虑遮阳篷往下倾斜 ，如图4，即把遮阳篷改造为横截面如 的样子，与水平面夹角为 那么遮阳篷的最小宽度约是 米（精确到米）参考数据：，，．
23．（11分）已知，如图，矩形中，，菱形的三个顶点E，G，H分别在矩形的边，，上，，连接．
(1)若，求证：四边形为正方形；
(2)当点G在边上运动时，点F到边的距离是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由；
(3)试说明当点G运动到何处时，的面积最小，并求出这个最小值．
24．（12分）如图，直线与轴，轴分别交于点，抛物线经过点，交轴于另一点，点为线段上一动点，直线交抛物线于点．
(1)填空：______，_____；
(2)若，求点的坐标；
(3)在（2）的条件下，抛物线上有一动点，过点作轴的垂线分别交直线和直线于点，设，点的横坐标为
①求关于的函数关系式；
②求满足为整数的点的个数．中小学教育资源及组卷应用平台
河北省2026年初中学业水平模拟考试数学卷
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1．的倒数的绝对值的相反数是（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】B
【分析】根据倒数，绝对值和相反数的定义进行求解即可．
【详解】解：的倒数是，
的绝对值是，
的相反数是，
∴的倒数的绝对值的相反数是，
故选B．
【点睛】本题主要考查了倒数，绝对值，相反数，熟知倒数，绝对值，相反数的定义是解题的关键：如果两个数的乘积为1，那么这两个数互为倒数；正数和0的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数；两个数只有符号不同，那么这两个数互为相反数，0的相反数是0．
2．如图，，于点，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】于点，
．
在中，，
．
，
．
．
3．下列各式运算正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：∵幂的乘方法则为底数不变，指数相乘，
∴，A运算正确；
∵合并同类项时，字母和指数不变，系数相加，
∴，B运算错误；
∵同底数幂相乘，底数不变，指数相加，
∴，C运算错误；
∵同底数幂相除，底数不变，指数相减，
∴，D运算错误．
4．由6个大小相同的小正方体搭成的几何体如图所示，把小正方体M移到小正方体N的正前方后，三视图发生变化的是（ ）
A．只有俯视图 B．只有左视图
C．主视图和俯视图 D．主视图、左视图和俯视图
【答案】A
【详解】解：把小正方体移到小正方体的正前方后，
原主视图：，现主视图：，没有变化；
原左视图：，现左视图：，没有变化；
原俯视图：，现俯视图：，发生变化；
故三视图发生变化的是只有俯视图，主视图和左视图不变，
故选：A．
5．小张同学要从长度分别为，，，的四根小木棒中选出三根摆成一个三角形，那么他选的三根木棒形成的三角形的周长为（ ）
A．34 B．42 C．51 D．50
【答案】C
【详解】解：从四根木棒中选三根，共有4种不同组合：
① 组合为，，，
∵，不满足三角形任意两边之和大于第三边，
∴ 该组合不能构成三角形.
② 组合为，，
∵，不满足三角形三边关系，
∴ 该组合不能构成三角形.
③ 组合为，，
∵，满足三角形任意两边之和大于第三边，
∴ 该组合可以构成三角形，周长为.
④ 组合为，，
∵，不满足三角形三边关系，
∴ 该组合不能构成三角形.
综上，只有组合③符合要求，故答案选C.
6．如表所示的是小颖作业中的一道题目，“”处都是0但发生破损，小颖查阅后发现本题答案为1，则破损处“0”的个数为（ ）
已知：，求的值．
A．5 B．4 C．3 D．2
【答案】B
【详解】解：∵本题答案为1，
∴，
又∵，
∴，
∵，
∴破损处“0”的个数为．
7．随着科技和环保意识的不断提高，电动汽车行业的发展前景越来越好．如图，，分别表示某款燃油汽车和某款电动汽车所需费用y（元）与行驶路程s（千米）的关系．已知燃油汽车每千米所需的费用比电动汽车每千米所需的费用的3倍多0.1元，设电动汽车每千米所需的费用为x元，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】解：∵电动汽车每千米所需的费用为元
∴燃油汽车每千米所需的费用为元
∵从图像中可以看出，当燃油汽车的费用为35元时，行驶的路程为；当电动汽车的费用为10元时，行驶的路程也为，
∴燃油汽车行驶的路程=电动汽车行驶的路程
∵路程=总费用÷每千米费用
∴ 燃油汽车行驶的路程为，电动汽车行驶的路程为
∴ 根据路程相等，可列出方程：
故选：D．
8．尺规作图：如图（1），在锐角三角形中，，，在边上求作一点P，使．如图（2）是一名同学的五种作法，其中正确的有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】A
【详解】解：①由作图可知，则，故①作法正确，符合题意；
②由作图得：，故②作法正确，符合题意；
③由作图知点在的垂直平分线上，
∴，
∴，故③作法正确，符合题意；
④由作图得：点在以为直径的圆上，
∴，
∴，故④作法正确，符合题意；
∴①②③④作法都正确，有个，
故选：A．
9．为助力“校园读书月”活动，某班20名同学积极分享自己的课外读物，他们分享的书籍数量（单位：本）如下表．根据表中的信息，下列结论正确的是（ ）
书籍数量/本 2 3 4 5 6
人数/名 3 4 5 6 2
A．分享的书籍数量的众数是6本
B．分享的书籍数量的平均数是3本
C．分享的书籍数量的中位数是4本
D．分享的书籍数量的方差是2.5
【答案】C
【详解】解：总人数为，总书籍数量为：，
众数：书籍数量为5本的人数最多，为6人，∴众数为5本，A错误；
平均数：本，∴平均数为4本，B错误；
中位数：20个数据从小到大排列，中位数为第10、第11个数据的平均数，前个数据不超过3本，接下来5个数据为4本，即第8~12个数据均为4本，∴第10、11个数据都是4，中位数为本，C正确；
方差：
，
∴方差为，D错误．
10．如图1，木质镂空花格常见于江南园林的门窗与屏风．图2是其示意图，正八边形的内部包含4个全等的正方形和1个正八边形（阴影部分），则正八边形与阴影部分的面积比是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：如图2，
∵正八边形，
∴，，，
∴四边形是矩形，
∴，
∵内部阴影是正八边形，
∴，
由4个全等的正方形可知：是等腰直角三角形，，
设，则，
∴，
∵阴影部分为正八边形，正八边形都相似，
所以正八边形与阴影部分的面积比为 ，
故选：B.
11．已知实数k，现有甲、乙、丙、丁四人对关于x的方程进行了讨论：甲说：这一定是关于x的一元二次方程；乙说：这有可能是关于x的一元一次方程；丙说：只有当且时，该方程有实数根；丁说：当时，该方程有实数根（ ）
A．甲和丙说的对 B．甲和丁说的对
C．乙和丁说的对 D．乙和丙说的对
【答案】C
【详解】解：当时，为一元一次方程，故甲的说法错误，乙的说法正确；
①当时，方程为，此时方程的根为，即k可以取0；
②当时，方程为一元二次方程，当时，方程有实数根，即，
解得，
且，
综上所述：当时，方程有实数根，故丁的说法正确，丙的说法错误，
综上，乙和丁说的对．
12．如图，直角坐标系中长方形的四个顶点坐标分别为，，，，点从点出发，沿长方形的边顺时针运动，速度为每秒个长度单位，同时点从点出发，沿长方形的边逆时针运动，速度为每秒个长度单位，记，在长方形边上第次相遇时的点为，第二次相遇时的点为，第三次相遇时的点为，……，则点的坐标为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：如图可知，
∴长方形的周长为，
∴每一次相遇后，出发到再相遇，点和点所运动的路程和均为，
设点与点每次相遇所需时间为秒，则，解得，
即每秒相遇一次，则根据运动方式可求出，可以发现相遇点的坐标每次完成一循环，
又∵，
∴点的坐标与点的坐标相同，即点的坐标为．
第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分）
13．化简：______．
【答案】
【详解】解：
．
14．若为正整数，且满足，则___________．
【答案】5
【详解】解：，，
，
根据不等式的性质，不等式两边同乘，得，
不等式两边同时加，得，
，且为正整数，
．
15．如图，的顶点A，B分别在反比例函数和的图象上，C，D在x轴上，若，且，是关于x的一元二次方程的两个实数根，则m的值等于______．
【答案】
【详解】解：设，则，
∵，
∴，
∴，
∵，是关于x的一元二次方程的两个实数根，
∴，，
∵，
∴，
解得，
经检验，符合题意，
∴，
故答案为：．
16．我国古代主流钱币一般采用外圆内方的形式铸造，其中最具代表性的是从秦朝开始流通的方孔圆钱．如图，在方孔圆钱的示意图中，圆心和正方形的中心重合，分别延长，交于点E，F．若的半径为2，正方形的边长为1，则_____ ．
【详解】解：作于点Q，于点P，连接、，则，，
∵四边形是正方形，且圆心O和正方形的中心重合，
∴和是正方形的边心距，
∴，
在和中，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵的半径为2，
∴，
∴，
故答案为：．
三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（7分）有个填写数字的游戏：在“”中的每个□内，填入数字（可重复使用），然后计算结果．
(1)若三个□内从左到右依次填入9，，5，请你计算结果；
(2)若，请推算□内的数字；
(3)若的结果是最大的负整数，请推算□内的数字．
【详解】（1）解：把三个□内从左到右依次填入9，，5，
那么；（2分）
（2）解：因为
所以，即，则；（4分）
（3）解：设，由题意可得，
把代入，则，
那么，
所以．（7分）
18．（8分）一个数学活动小组编了一个创新题目：如图，在三张硬纸板的正面分别写了一个代数式，记为，，，然后在黑板上写了一个等式：（，为常数）．
(1)求，的值；
(2)当为任意正整数时，的结果都能被这个活动小组的人数整除，求这个活动小组有几个人（活动小组的人数大于1）．
【详解】（1）解：由题意得：
∵
∴
∴，解得：（4分）
（2）解：由（1）得：
∴，
∴
∵的结果都能被这个活动小组的人数整除，
∴这个活动小组有5个人（8分）
19．（8分）【问题背景】
“刻漏”是我国古代的一种利用水流计时的工具．综合实践小组准备用甲、乙两个透明的竖直放置的容器和一根带节流阀（控制水的流速大小）的软管制作简易计时装置．
【实验操作】
综合实践小组设计了如下的实验：先在甲容器里加满水，此时水面高度为30cm，开始放水后每隔10min观察一次甲容器中的水面高度，获得的数据如下表：
流水时间t/min 0 10 20 30 40
水面高度h/cm（观察值） 30 29 28.1 27 25.8
任务1 分别计算表中每隔10min水面高度观察值的变化量．
【建立模型】
小组讨论发现：“，”是初始状态下的准确数据，水面高度值的变化不均匀，但可以用一次函数近似地刻画水面高度h与流水时间t的关系．

任务2 利用时，；时，这两组数据求水面高度h与流水时间t的函数解析式．
【详解】解：任务1：变化量分别为，；；
；；
任务2：设，
∵时，，时，；
∴
∴水面高度h与流水时间t的函数解析式为．（3分）
任务3：（1）当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，（6分）
∴
．（8分）
20．（8分）某校七年级准备开展以“火星冲日”为主题的项目化学习．为了了解学生对“火星冲日”天文景象的知晓情况，该校七年级备课组随机对七年级部分学生进行了问卷调查，调查结果共分成四个类别：A表示“非常了解”，B表示“比较了解”，C表示“不太了解”，D表示“从未听说过”．根据调查统计结果，绘制成两幅不完整的统计图．请结合统计图，回答下列问题．

(1)在此次调查中一共抽取了多少名学生？并将条形统计图补充完整．
(2)扇形统计图中B部分的圆心角是多少度？
(3)在A类学生中，有2名男生和2名女生，现需要从这4名学生中随机抽取2名，在课前进行“火星冲日”天文景象的介绍，请利用画树状图或列表的方式，求所抽取的2名学生中恰好是1名男生和1名女生的概率．
【详解】（1）解：（名）
答：此次调查一共抽取了50名学生．
（名）
补充条形统计图如图所示．
（3分）
（2）解：
答：扇形统计图中部分的圆心角是．（4分）
（3）解：画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中恰好是一名男生和一名女生的结果有8种，
所抽取的2名学生中恰好是一名男生和一名女生的概率是．（8分）
21．（9分）如图，为的切线，为切点，是上一点，过点作，垂足为，交于点．

(1)如图①，若，求的度数；
(2)如图②，连接并延长交于点，连接，，若，的半径为，求的长．
【详解】（1）解：连接，（1分）

与相切于点，
，
，
，（2分）
，
，
；（3分）
（2）解：连接，，（4分）

，
，
，
，
为的切线，为切点，
，
，
，
，
，（5分）
，
，
，（6分）
，
，
是等边三角形， （7分）
，
，
半径为5，
，（8分）
是的直径，
，
，
．（9分）
22．（9分）完成项目任务主题：设计遮阳篷素材1：北半球在一年中，冬至这一天的正午时刻，太阳光线与地平面的夹角最小；夏至这一天的正午时刻，太阳光线与地平面的夹角最大．
素材2：图1是北半球某市一家商店，大门朝南，设计了遮阳篷．图2是其示意图，设计了垂直于墙面AC的遮阳篷（横截面为直角 ）．表示大门高度．
若让遮阳篷满足在冬至正午刚好不遮住应该射进室内的阳光，此时太阳光与BD平行，太阳光与地面夹角最小为；若让遮阳篷在夏天满足阳光刚好不射入室内，此时太阳光与平行，太阳光与地面夹角最大为．
(1)任务1：该市冬至日正午太阳光与地平面的夹角是 ，夏至日正午太阳光与地平面的夹角是．素材2中的商店门高为3米，若要不遮住冬天温暖的阳光，还要夏天正午时刻，门前设计能有1米宽的阴影．图3是其示意图，求遮阳篷的长．（精确到米）参考数据：，，，，，．
(2)任务2：在任务1的基础上，考虑遮阳篷兼带遮雨功能，所以考虑遮阳篷往下倾斜 ，如图4，即把遮阳篷改造为横截面如 的样子，与水平面夹角为 那么遮阳篷的最小宽度约是 米（精确到米）参考数据：，，．
【详解】（1）解：由图2可知，，,
在中，,（1分）
设，则．（2分）
如下图，过点作于点，（3分）
在中,，（4分）
，
,
得：
解得：（5分）
遮阳篷的长为米．（6分）
（2）过点作于点，（7分）
则：．
在中，
，
故答案为：．（9分）
23．（11分）已知，如图，矩形中，，菱形的三个顶点E，G，H分别在矩形的边，，上，，连接．
(1)若，求证：四边形为正方形；
(2)当点G在边上运动时，点F到边的距离是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由；
(3)试说明当点G运动到何处时，的面积最小，并求出这个最小值．
【详解】（1）∵矩形，菱形，
∴，
又，
∵，
∴．
∴．
∵，
∴．
∴．
∴四边形为正方形．（3分）
（2）距离是定值2．理由如下：（4分）
过F作，交延长线于M，连接．（5分）
∵矩形，菱形，
∴，，
∴．
∴．
∴．
在和中，
∵，
∴．
∴，
即无论菱形如何变化，点F到直线的距离始终为定值2．（8分）
解法2距离是定值2．理由如下：
过F作，交延长线于M，过F作于点N．
∵矩形，菱形，
∴，，，
∴，，，
．
∴．
∴．∴．
在和中，
∵，
∴．∴，
即无论菱形如何变化，点F到直线的距离始终为定值2．
（3）设，
∵，
∴．
在中，，
∴．（9分）
在中，
∴．
∴．（10分）
∴的最小值为，此时．
∴当时，的面积最小为．（11分）
24．（12分）如图，直线与轴，轴分别交于点，抛物线经过点，交轴于另一点，点为线段上一动点，直线交抛物线于点．
(1)填空：______，_____；
(2)若，求点的坐标；
(3)在（2）的条件下，抛物线上有一动点，过点作轴的垂线分别交直线和直线于点，设，点的横坐标为
①求关于的函数关系式；
②求满足为整数的点的个数．
【详解】（1）解：根据直线可得：
，，将两点坐标代入可得
，，
故答案为：，．（2分）
（2）
解：
由（1）得，
当时，，解得或，
点，
过点作轴于，则，
，
，
，
点的横坐标为，把代入得，
点．（6分）
（3）解：①设直线的解析式为，并把点，点代入得
，
直线的解析式为，
当时，
，
即，
当时，，
关于的函数关系式为
，（10分）
②（i）当时，
，
当时，取最大值为，
当时，，当时，，
，其中的整数值有2，3，4三个，
对应的点有5个，
（ii）当时，，
，此时随增大而增大，
当时，，当时，，
，其中的整数值有4，5，6三个，对应的点有3个，
因此，满足为整数的点的个数为8个．（12分）

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