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甘肃省兰州市2026年初中学业水平模拟考试数学卷
一、选择题（本大题共11个小题，每小题3分，共33分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1．下列四个数中，是负数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据绝对值、有理数乘方、二次根式的化简计算，逐项判断即可．
【详解】对选项A：，，故A不是负数；
对选项B：，故B不是负数；
对选项C：∵2015是奇数，负数的奇次幂为负数，
∴，故C是负数；
对选项D：，故D不是负数．
2．下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】解：∵与不是同类项，不能合并，
∴A错误；
∵根据同底数幂的除法法则，同底数幂相除，底数不变，指数相减，得，
∴B错误；
∵根据幂的乘方法则，幂的乘方，底数不变，指数相乘，得，等式成立，
∴C正确；
∵根据完全平方公式，得，
∴D错误.
3．如图，两个平面镜平行放置，入射光线经过两个平面镜反射后，与其反射光线平行，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据平角的定义求出，再根据平行线的性质即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴．
4．如果单项式与单项式的和仍是一个单项式，则在平面直角坐标系中点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】B
【分析】两个单项式的和仍为单项式，说明二者是同类项，根据同类项定义求出的值，即可判断点所在象限．
【详解】解：∵单项式与的和仍是单项式，
∴单项式与是同类项，
∴，，
解得，，
∴点为，在第二象限．
5．2026年春晚吉祥物形象为“骐骐”“骥骥”“驰驰”“骋骋”四匹骏马．正面印有吉祥物形象的四张卡片如图所示，它们除正面外完全相同．把这四张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取两张，则恰巧抽到“骐骐”和“骥骥”的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先画出树状图得到所有等可能性的结果数， 再找到符合题意的结果数，最后依据概率计算公式求解即可．
【详解】解：将“骐骐”“骥骥”“驰驰”“骋骋”四张卡片分别记为A，B，C，D，
画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中恰巧抽到“骐骐”和“骥骥”的结果有2种，
∴恰巧抽到“骐骐”和“骥骥”的概率为．
6．如图，在中，，将绕顶点顺时针旋转，得到，连接，若，则的长为（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】B
【分析】先利用含角的直角三角形的性质求出、的长度，再根据旋转的性质得到的长度和的度数，进而得出的度数，最后在中用勾股定理求出的长度．
【详解】解：∵在中，，，，
∴，．
∵绕点顺时针旋转得到，
∴，，
∴．
∴在中，．
7．古代粮仓用大、小两种量器称米．已知：每个大量器可装米5斗；每个小量器可装米4斗．管理员进行了两次称量，记录如下：第一次用3个大量器和2个小量器装米，称得米的重量为230斤；第二次用2个大量器和3个小量器装米，称得米的重量为220斤．设每个大量器可装米x斤，每个小量器可装米y斤，则可列出方程组（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题中“每个大量器可装米5斗；每个小量器可装米4斗”是干扰信息，根据两次称量的总重量找等量关系列二元一次方程组即可．
【详解】解：∵每个大量器可装米斤，每个小量器可装米斤，
第一次称量，3个大量器和2个小量器，总重量为230斤，
∴可得方程 ，
∵第二次称量，2个大量器和3个小量器，总重量为220斤，
∴可得方程 ，
∴列方程组为，
∴选C．
8．如果关于的分式方程的解是正数，那么实数的取值范围是（）
A．且 B．
C．且 D．且
【答案】C
【分析】先解分式方程得到x关于m的表达式，再根据解为正数且分母不为零列不等式求解即可．
【详解】解：方程为，
变形得，
去分母得，，
解得：，
∵分式方程的分母不能为0，
∴，即，解得，
∵方程的解是正数，
∴，即，解得，
综上，实数m的取值范围是且．
9．在用焦距为f的凸透镜探究凸透镜成像规律时，多次实验，记录凸透镜成实像时的物距u、像距v，算出物、像间距L（即），绘出如图所示的图象（以f为1个单位长度）．结合图象，下列说法错误的是（ ）
A．随着物距的增大，物、像间距先减小再增大
B．当物距为时，像距为
C．物距从增大到，像距减小
D．当物、像间距大于时，物距大于
【答案】D
【分析】先根据图象分析物距u与物像间距L的变化关系，再结合及凸透镜成像规律进行判断即可．
【详解】解：A项：由图象可知，随着物距u的增大，纵坐标L先减小后增大，故A说法正确；
B项：由图象可知，当时，，
∵，
∴，故B说法正确；
C项：当时，，则，
当时，，
∴物距从增大到，像距减小，故C说法正确；
D项：由图象可知，当时，对应的物距u的范围是或，故D说法错误，
∴说法错误的是D．
10．小明和小丽家在同一幢楼，小明住8楼，小丽住9楼．小明在家里看对面一幢楼的顶部处的仰角为，看底部处的俯角为；而小丽在家里看对面这幢楼的顶部处的仰角为，看底部处的俯角为，那么下列结论中，正确的是（ ）
A．且 B．且
C．且 D．且
【答案】B
【分析】本题考查了解直角三角形的知识，通过比较仰角和俯角的正切值来比较角度大小，由于小丽所在楼层比小明高，因此仰角较小而俯角较大．
【详解】解：设两楼水平距离为，每层楼高为，对面楼高为．
∵小明住8楼，高度为，
∴，．
∵小丽住9楼，高度为，
∴，．
∵，
∴，即，
且，即．
∴且，
故选：B．
11．如图，在中，，，，点D是边上一动点（不与A、B重合），沿着运动，过点D作交于点E，作交于点F，设，的长为x，能反映y与x之间函数关系的图象是（ ）
A．B． C． D．
【答案】A
【分析】连接，过点作于点，根据勾股定理逆定理得到是直角三角形，根据等面积法求出，根据勾股定理求出，设，则，，根据勾股定理得到，证明四边形是矩形，得到，可知．
【详解】解：如图，连接，过点作于点，
在中，，，，
，
是直角三角形，，
，
，
，
，
，，
，
，，
∴四边形是平行四边形，
∵，
四边形是矩形，
，
．
二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分）
12．分解因式： ______．
【答案】
【分析】先提取多项式的公因式，再利用完全平方公式进行二次分解，即可得到结果．
【详解】解：．
13．若关于的一元二次方程 有两个相等的实数根，则的值为______．
【答案】
【详解】解：方程整理为一般式得，
∵方程有两个相等的实数根，
∴，
解得．
14．如图，在正八边形中，、是两条对角线，则___________．
【答案】
【分析】构造正八边形的外接圆，求出所对的圆心角，再利用圆周角定理求解即可．
【详解】如图，取中点O，以点O为圆心作正八边形的外接圆，
则正八边形的各顶点都在圆O上，
连接、、，
∵正八边形的中心角为，
∴，
∴，
∴．
15．如图，在矩形中，，M，N分别是边，上的点，连接，，过点D作的垂线交的延长线于点E，若平分矩形的面积，且，则的长为_____．
【答案】
【分析】如图，过点M作于点H．先根据矩形的性质和勾股定理求出，，再证明，然后利用相似三角形的性质求解即可．
【详解】如图，过点M作于点H．
∵，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
∵平分矩形的面积，
∴，，
∵，，
∴四边形是矩形，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
三、解答题（本大题共11个小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16．（5分）计算：．
【答案】
【分析】先化简，再进行加减运算即可．
【详解】解：原式．
17．（5分）解分式方程：．
【答案】原方程无解
【分析】方程两边都乘以，把分式方程转化为整式方程，求出整式方程的解，最后进行检验即可．
【详解】解：，
两边都乘以，得，
解得，
检验：当时，，
∴是原方程的增根，
∴原方程无解．
18．（5分）解不等式组
【答案】
【分析】首先解出不等式组的各个不等式x的取值范围，然后求出x的公共部分，该公共部分就是不等式的解．
【详解】解：，
解不等式①，去括号，得，
移项，得，
合并同类项，得，
化系数为1，解得；
解不等式②，去分母，得，即，
解得；
所以，原不等式组的解集为．
19．（7分）如图，一次函数与反比例函数的图象交于点，与y轴交于点B，轴，的面积是面积的3倍．
(1)求一次函数和反比例函数的解析式．
(2)若点A关于原点的对称点是点，请判断点是否在反比例函数图象上．若将一次函数图象向上平移，使其经过点，求平移的距离．
【答案】(1)一次函数的解析式为：，反比例函数的解析式为：．
(2)平移的距离为．
【分析】（1）先求解，结合三角形的面积可得，再进一步求解函数解析式即可．
（2）先求解，进一步代入解析式判断，设平移后的解析式为，进一步求解即可．
【详解】（1）解：∵一次函数，
当，则，
∴，
∵轴，的面积是面积的3倍．
∴，
∴，，
把代入，得：
∴，，
解得：，
一次函数的解析式为：，反比例函数的解析式为：．
（2）解：∵点关于原点的对称点是点，
∴，
∵反比例函数的解析式为：．
当时，，
∴在反比例函数的图象上．
设平移后的解析式为，
∴，
解得：，
∴平移的距离为．
20．（7分）如图，因地形原因，湖泊两端A，B的距离不易测量，某数学兴趣小组采用无人机进行测量，他们将无人机上升并飞行至距湖面上的点C处，从C点测得A点的俯角为，测得B点的俯角为（A，B，C三点在同一竖直平面内），并测得点C到点A的距离为150米，求湖泊两端A，B的距离．（结果精确到1米）．（参考数据：，，
【答案】湖泊两端的距离约为173米
【分析】过点作于点，根据题意可得，后得到，继而得到，最后得到本题答案．
【详解】解：过点作于点，
在中，
，
（米），
∵，
（米），
在中，
∵
（米），
（米），
答：湖泊两端的距离约为173米．
21．（7分）随着人工智能的快速发展，同学们上网自主学习及交流已成为一种趋势．现有某教学网站策划了、两种自主上网学习的月收费方式：
收费方式 月使用费 包时上网时间 超时费/（元）
7 25 0.5
0.6
设每月上网学习时间为小时，方案、的收费金额分别为，．
(1)如图是与之间函数关系的图象，请根据图象填空：__________；__________；
(2)求出与之间的函数关系式．
(3)已知某同学每月平均上网时间为60小时，选择哪种方式上网学习合算？请说明理由．
【答案】(1)10，50
(2)
(3)选择B方式上网学习合算，理由见解析
【分析】（1）观察函数图象，即可作答；
（2）根据表格的信息分情况列式，即可作答；
（3）分别算出当每月上网时间60小时的时候，方案A，B的收费金额，再进行比较，即可作答．
【详解】（1）解：由函数图象可知，，；
（2）解：由表格可得，当时，；当时，；
∴与之间的函数关系式为；
（3）解：如果每月上网时间为60小时，选择B方式上网学习合算，理由如下：
由图象可得，
依题意，当时，（元），
（元），
∵，
∴如果每月上网时间60小时，选择B方式上网学习合算．
22．（7分）【模型探究】
如图，已知、分别是边、上的点，是的平分线上一点，满足．求证：．
【模型应用】
（1）已知、分别是边、上的点，是的平分线上一点，如果，，那么的度数为_____________；
（2）如图，已知，是边上一点，请在边上选择一个合适的点，并在内部求作一个点，满足且．
（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
【答案】证明见解析；（1）；（2）见解析
【分析】本题主要考查了角平分线的性质，相似三角形的判定和性质，尺规作图－作角平分线，作线段，灵活运用所学知识是解题的关键．
【模型探究】由平分，可得，又由，可得，从而，即可得结论；
（1）由，可得，从而可证，则，再由，，可得，即可求解；
（2）先作的平分线，则有，在截取，再在截取，则，从而，则，即，同时，则，则点、即为所求．
【详解】【模型探究】证明：∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
解：（1）∵平分，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴故答案为：．
（2）如图，点、即为所求．
23．（7分）百度推出了“文心一言”聊天机器人（以下简称甲款），抖音推出了“豆包”聊天机器人（以下简称乙款）．有关人员开展了对甲，乙两款聊天机器人的使用满意度评分测验，并分别随机抽取份评分数据，对数据进行整理、描述和分析（评分分数用表示，分为四个等级：
：，：，：，：，
下面给出了部分信息：
甲款评分数据中“满意”的数据：64，70，75，76，78，78，85，85，85，85，86，89，90，90，94，95，98，98，99，100．
乙款评分数据中组包含的所有数据：84，86，87，87，87，88，90，90．甲、乙款评分统计表：
根据以上信息，解答下列问题：
(1)上述图表中_______， _______， _______．
(2)在此次测验中，有人对甲款进行评分、人对乙款进行评分．请通过计算，估计其中对甲、乙两款聊天机器人非常满意的用户总人数．
(3)（简称丙款）推出后引发广泛讨论．现有甲、乙、丙三款聊天机器人，小明和小红各自随机选择其中一款进行体验测评．请用列表法或树状图法，求两人都选择同款聊天机器人的概率．
【答案】(1)，，
(2)估计其中对甲、乙两款聊天机器人非常满意的用户总人数为人
(3)图见解析，
【分析】本题考查了扇形统计图、中位数、众数以及样本估计总体，列表法或树状图法求概率等知识，正确理解中位数、众数的意义，熟练掌握中位数、众数的计算方法是解题的关键．
（1）根据中位数的定义可得的值，根据众数的定义可得的值，用分别减去其他三个等级所占百分比可得的值，即可得出的值；
（2）由甲、乙两款的非常满意的人数之和即可得出答案；
（3）用树状图法求解即可．
【详解】（1）解：甲款评分数据中“满意”的数据中出现的次数最多，
众数．
乙款评分数据中、两组共有个数据，
乙款评分数据的中位数为第个和第个数据的平均数，而这两个数据分别为、，中位数．
乙款评分数据在组人数所占百分比为，
即．
故答案为：，，．
（2）解：甲款评分数据中“非常满意”的人数占比，
对甲、乙两款聊天机器人非常满意的用户总人数为：
（人）．
答：估计其中对甲、乙两款聊天机器人非常满意的用户总人数为人．
（3）解：画树状图为：
由树状图可知，共有种等可能的结果数，其中两人都选择同款聊天机器人的结果为种，所以两人都选择同款聊天机器人的概率为．
24．（7分）如图，在中，为边上的中线，且满足，点在边上，以为直径的与相切于点，与分别交于点，连接．
(1)求证：为的直径．
(2)若的半径为3，，求的长．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）由为边上的中线，且满足可得，即，即可证明结论；
（2）连接，在中计算出的长，再证明即可求解．
【详解】（1）证明：∵为边上的中线，且满足，
∴，
∴，，
∴，
∵，即，
∴，即，
∵都在上，
∴为的直径．
（2）解：∵的半径为3，为的直径，
∴，
∵与相切于点，
∴，
∴，
在中，，
如图，连接，
∵为的直径，
∴，
∴，，
由（1）可知，，
∴，
∴，
∴，
∴，即，
∴．
25．（9分）阅读下面材料：
小明遇到这样一个问题：如图1，在正方形中，点、分别为、边上的点，，连接，求证：．小明是这样思考的：要想解决这个问题，首先应想办法将这些分散的线段集中到同一条线段上．他先后尝试了平移、翻折、旋转的方法，发现通过旋转可以解决此问题．他的方法是将绕点顺时针旋转得到（如图），此时即是．
（1）在图2中，的度数是 （直接写答案）．
参考小明得到的结论和思考问题的方法，解决下列问题：
（2）如图3，在直角梯形中，（），，，是上一点，若，，求的长度．
（3）如图4，中，，，以为边作正方形，连接．当 时，线段有最大值，并求出的最大值．
【答案】（1）；
（2）；
（3）当时，线段有最大值，最大值为．
【分析】本题考查正方形的性质、勾股定理、三角形三边之间的关系、旋转的性质属于综合题．
将绕点顺时针旋转得到，根据正方形的性质可知，因为，可得：；
过点作，交延长线于，将绕点顺时针旋转得到，可证，根据全等三角形的性质可得，可以求出，根据勾股定理可得：，即可求出；
将绕点逆时针旋转得线段，连接、，利用勾股定理可以求出，利用可证，根据全等三角形的性质可证，当、、三点共线时，有最大值，最大值为．
【详解】解：将绕点顺时针旋转得到，
，，
四边形是正方形，
，
，
，
，
；
故答案为：；
解：如下图所示，过点作，交延长线于，将绕点顺时针旋转得到，
，，，，
直角梯形中，（），，，
，
四边形是正方形，，，
点与重合，、、三点共线，
，
由可知，
在和中，，
（），
，
，
，
，，
，
在中，，
，
解得：；
当时，线段有最大值，
如下图所示，将绕点逆时针旋转得线段，连接、，
是等腰直角三角形，，
，
，
四边形是正方形，
，，
，即，
在和中，，
，
，
当有最大值时，有最大值，
，，
当、、三点共线时，有最大值，
最大值为，
，
此时，
当时，线段有最大值，最大值为．
26．（9分）【概念学习】
对于平面直角坐标系中的图形和图形，给出如下定义：，分别为图形和图形上任意一点，将，两点间距离的最小值称为图形和图形之间的“关联距离”，记作．例如，如图①，点与轴之间的“关联距离”．
(1)如图②，已知点在边长为3的正方形内，则_________．
【深入探索】
(2)如图③，在等边中，点的坐标是，点，在轴上，点是轴上一点，若，求点的坐标．
【拓展延伸】
(3)已知，，当时，对于每一个，若线段和一次函数（是常数，）的图象之间的“关联距离”，则的取值范围是________．
【答案】(1)1
(2)的坐标为或或
(3)且
【分析】（1）根据“关联距离”的定义得：；
（2）分三种情况画出图形：当在上方时，的坐标是；当在线段上时，过作于，可得，；当在下方时，；
（3）求出直线过定点，根据线段和一次函数（是常数，）的图象之间的“关联距离”，可得线与平行四边形无公共点，分别求出当、时，点、和、的坐标，结合图形，把、的坐标代入解出的值，即可求出的取值范围．
【详解】（1）解：与边长为3的正方形的边上的点的最小距离为1，
∴根据“关联距离”的定义得：，
故答案为：1；
（2）当在上方时，如图：
，
，
点的坐标是，
点的坐标是；
当在线段上时，过作于，如图：
，
，
是等边三角形，，
，
，，
点的坐标是，
，
∴；
当在下方时，如图：
，
，
；
综上所述，的坐标为或或；
（3）如图：
当时，，
直线过定点，
当时，，，
当时，，，
把代入得，
解得，
把代入得，
解得，
线段和一次函数（是常数，）的图象之间的“关联距离”，
直线与平行四边形无公共点，
由图可知，此时且．
故答案为：且．
【点睛】本题主要考查了“关联距离”的定义、等边三角形的性质和待定系数法求一次函数的解析式，理解“关联距离”的定义并结合图形分析是解题的关键．中小学教育资源及组卷应用平台
甘肃省兰州市2026年初中学业水平模拟考试数学卷
（考试时间：120分钟 试卷满分：120分）
一、选择题（本大题共11个小题，每小题3分，共33分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1．下列四个数中，是负数的是（ ）
A． B． C． D．
2．下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．如图，两个平面镜平行放置，入射光线经过两个平面镜反射后，与其反射光线平行，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
4．如果单项式与单项式的和仍是一个单项式，则在平面直角坐标系中点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
5．2026年春晚吉祥物形象为“骐骐”“骥骥”“驰驰”“骋骋”四匹骏马．正面印有吉祥物形象的四张卡片如图所示，它们除正面外完全相同．把这四张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取两张，则恰巧抽到“骐骐”和“骥骥”的概率为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，在中，，将绕顶点顺时针旋转，得到，连接，若，则的长为（ ）
A．2 B． C． D．
7．古代粮仓用大、小两种量器称米．已知：每个大量器可装米5斗；每个小量器可装米4斗．管理员进行了两次称量，记录如下：第一次用3个大量器和2个小量器装米，称得米的重量为230斤；第二次用2个大量器和3个小量器装米，称得米的重量为220斤．设每个大量器可装米x斤，每个小量器可装米y斤，则可列出方程组（ ）
A． B．
C． D．
8．如果关于的分式方程的解是正数，那么实数的取值范围是（）
A．且 B．
C．且 D．且
9．在用焦距为f的凸透镜探究凸透镜成像规律时，多次实验，记录凸透镜成实像时的物距u、像距v，算出物、像间距L（即），绘出如图所示的图象（以f为1个单位长度）．结合图象，下列说法错误的是（ ）
A．随着物距的增大，物、像间距先减小再增大
B．当物距为时，像距为
C．物距从增大到，像距减小
D．当物、像间距大于时，物距大于
10．小明和小丽家在同一幢楼，小明住8楼，小丽住9楼．小明在家里看对面一幢楼的顶部处的仰角为，看底部处的俯角为；而小丽在家里看对面这幢楼的顶部处的仰角为，看底部处的俯角为，那么下列结论中，正确的是（ ）
A．且 B．且
C．且 D．且
11．如图，在中，，，，点D是边上一动点（不与A、B重合），沿着运动，过点D作交于点E，作交于点F，设，的长为x，能反映y与x之间函数关系的图象是（ ）
A．B． C． D．
二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分）
12．分解因式： ______．
13．若关于的一元二次方程 有两个相等的实数根，则的值为______．
14．如图，在正八边形中，、是两条对角线，则___________．
15．如图，在矩形中，，M，N分别是边，上的点，连接，，过点D作的垂线交的延长线于点E，若平分矩形的面积，且，则的长为_____．
三、解答题（本大题共11个小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16．（5分）计算：．
17．（5分）解分式方程：．
18．（5分）解不等式组
19．（7分）如图，一次函数与反比例函数的图象交于点，与y轴交于点B，轴，的面积是面积的3倍．
(1)求一次函数和反比例函数的解析式．
(2)若点A关于原点的对称点是点，请判断点是否在反比例函数图象上．若将一次函数图象向上平移，使其经过点，求平移的距离．
20．（7分）如图，因地形原因，湖泊两端A，B的距离不易测量，某数学兴趣小组采用无人机进行测量，他们将无人机上升并飞行至距湖面上的点C处，从C点测得A点的俯角为，测得B点的俯角为（A，B，C三点在同一竖直平面内），并测得点C到点A的距离为150米，求湖泊两端A，B的距离．（结果精确到1米）．（参考数据：，，
21．（7分）随着人工智能的快速发展，同学们上网自主学习及交流已成为一种趋势．现有某教学网站策划了、两种自主上网学习的月收费方式：
收费方式 月使用费 包时上网时间 超时费/（元）
7 25 0.5
0.6
设每月上网学习时间为小时，方案、的收费金额分别为，．
(1)如图是与之间函数关系的图象，请根据图象填空：__________；__________；
(2)求出与之间的函数关系式．
(3)已知某同学每月平均上网时间为60小时，选择哪种方式上网学习合算？请说明理由．
22．（7分）【模型探究】
如图，已知、分别是边、上的点，是的平分线上一点，满足．求证：．
【模型应用】
（1）已知、分别是边、上的点，是的平分线上一点，如果，，那么的度数为_____________；
（2）如图，已知，是边上一点，请在边上选择一个合适的点，并在内部求作一个点，满足且．
（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
23．（7分）百度推出了“文心一言”聊天机器人（以下简称甲款），抖音推出了“豆包”聊天机器人（以下简称乙款）．有关人员开展了对甲，乙两款聊天机器人的使用满意度评分测验，并分别随机抽取份评分数据，对数据进行整理、描述和分析（评分分数用表示，分为四个等级：
：，：，：，：，
下面给出了部分信息：
甲款评分数据中“满意”的数据：64，70，75，76，78，78，85，85，85，85，86，89，90，90，94，95，98，98，99，100．
乙款评分数据中组包含的所有数据：84，86，87，87，87，88，90，90．甲、乙款评分统计表：
根据以上信息，解答下列问题：
(1)上述图表中_______， _______， _______．
(2)在此次测验中，有人对甲款进行评分、人对乙款进行评分．请通过计算，估计其中对甲、乙两款聊天机器人非常满意的用户总人数．
(3)（简称丙款）推出后引发广泛讨论．现有甲、乙、丙三款聊天机器人，小明和小红各自随机选择其中一款进行体验测评．请用列表法或树状图法，求两人都选择同款聊天机器人的概率．
24．（7分）如图，在中，为边上的中线，且满足，点在边上，以为直径的与相切于点，与分别交于点，连接．
(1)求证：为的直径．
(2)若的半径为3，，求的长．
25．（9分）阅读下面材料：
小明遇到这样一个问题：如图1，在正方形中，点、分别为、边上的点，，连接，求证：．小明是这样思考的：要想解决这个问题，首先应想办法将这些分散的线段集中到同一条线段上．他先后尝试了平移、翻折、旋转的方法，发现通过旋转可以解决此问题．他的方法是将绕点顺时针旋转得到（如图），此时即是．
（1）在图2中，的度数是 （直接写答案）．
参考小明得到的结论和思考问题的方法，解决下列问题：
（2）如图3，在直角梯形中，（），，，是上一点，若，，求的长度．
（3）如图4，中，，，以为边作正方形，连接．当 时，线段有最大值，并求出的最大值．
26．（9分）【概念学习】
对于平面直角坐标系中的图形和图形，给出如下定义：，分别为图形和图形上任意一点，将，两点间距离的最小值称为图形和图形之间的“关联距离”，记作．例如，如图①，点与轴之间的“关联距离”．
(1)如图②，已知点在边长为3的正方形内，则_________．
【深入探索】
(2)如图③，在等边中，点的坐标是，点，在轴上，点是轴上一点，若，求点的坐标．
【拓展延伸】
(3)已知，，当时，对于每一个，若线段和一次函数（是常数，）的图象之间的“关联距离”，则的取值范围是________．

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