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新疆自治区2026年初中学业水平模拟考试数学卷
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共9个小题，每小题4分，共36分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1．下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．已知方程的解为，则m的值为（ ）
A． B．0 C．1 D．7
3．如图，将直尺与含角的三角尺摆放在一起，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
4．下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．估算的结果（ ）
A．在7和8之间 B．在8和9之间 C．在9和10之间 D．在10和11之间
6．如图，的直径弦于，若，，则的长为（ ）
A． B． C．5 D．6
7．某数学兴趣小组提出了这样一个问题：将一条长为的丝带剪成两段，并用剪下的每一段丝带围成一个正方形，要使围成的这两个正方形的面积之和等于，该怎么剪？若设剪下的其中一段丝带的长为，则根据题意，可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
8．如图，在菱形中，与相交于点O，，垂足为点M，交于点N，若，，则的长为（ ）
A． B．5 C． D．
9．如图，在中，是的高，，分别是和的平分线且交于点，与交于点，已知，，连接．下列结论错误的是（ ）
A． B．
C． D．
第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分）
10．因式分解：__________．
11．在一个不透明的口袋中，装有红球和黄球共20个，它们除颜色外没有任何区别．摇匀后从口袋中随机摸出一个球，记下颜色后再放回口袋中，通过大量重复摸球试验，发现摸到黄球的频率是0.4，则口袋中大约有红球_______个．
12．如图，四边形中，是由绕顶点逆时针旋转所得，顶点恰好转到上一点的位置，则________度．
13．按照如下程序，输入的值并计算．若规定从“输入一个值”到“判断结果是否”为一次程序操作，如果程序操作进行了两次才停止，那么的取值范围是__________．
14．若两个正整数，相加时，得到的数是一个两位数，且个位、十位数字相同；相乘时，得到的数是一个三位数，且个位、十位、百位数字相同，则______．
15．如图，点在双曲线上，过点作轴，垂足为点，分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于两点，作直线交轴于点，交轴于点，连接．若，则的值为___________．
三、解答题（本大题共8个小题，共90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16．（12分）计算及解方程：
(1)计算：．
(2)解方程：．
17．（12分）（1）解方程组：；
（2）如图，利用尺规，在的边上方作，在射线上截取，连接，并证明：．
（尺规作图要求保留作图痕迹，不写作法）
18．（12分）为响应“健康中国”战略，某校将课间延长至15分钟以鼓励学生参与体育活动．现从八年级随机抽取部分学生，统计其每日课间主动运动时间（单位：分钟），部分信息如下：
信息1：绘制如下表格：
等级 运动时间 频数 频率
低活跃 6 a
中等活跃 14
高活跃 b c
超高活跃 8
信息2：每日课间主动运动时间在中的具体数据为15，15，16，16，17，18，19，20．
根据以上信息，解答下列问题：
(1)计算： ______， ______， ______；
(2)求所抽取学生中每日课间主动运动时间达到“超高活跃”等级的平均数；
(3)若该校八年级共有600名学生，估计每日课间主动运动时间达到中等活跃及以上的学生人数．
19．（10分）一辆快车从甲地驶往乙地，一辆慢车从乙地驶往甲地，两车同时出发，匀速行驶．设行驶的时间为x（时），两车之间的距离为y（千米），图中的折线表示从两车出发至快车到达乙地过程中y与x之间的函数关系．
(1)根据图中信息，求线段AB所在直线的函数解析式和甲乙两地之间的距离．
(2)已知两车相遇时快车比慢车多行驶20千米，若快车从甲地到达乙地所需时间为t时，求t的值．
(3)若快车到达乙地后立刻返回甲地，慢车到达甲地后停止行驶，请你在图中画出快车从乙地返回到甲地过程中y关于x的函数的大致图象．
20．（10分）已知关于的方程．
(1)求证：无论为任何实数，此方程总有两个实数根；
(2)若，，点与点在抛物线上，求的值．
21．（10分）小晨所在数学兴趣小组开展实践活动，记录如下：
项目 测量建筑物的高度
工具 卷尺，测角仪等
测量示意图
测量数据 ，
说明 水平地面上方有一水平的平台，，所有点均在同一竖直平面内
问题 求出建筑物的高度．（结果保留两位小数；参考数据：）
22．（11分）如图，是的直径，点C在上，过点C作于点E，点F是线段上一点，连接并延长交于点D，若点C是弧的中点．
(1)求证：是等腰三角形；
(2)若，求的半径．
23．（13分）在边长为的正方形中，是边的中点，点是边上的一个动点，连接并延长交射线于点．
(1)如图，连接，当时，求证：；
(2)过点作的垂线交射线于点，连接，．
（）如图，求证：；
（）如图，当时，求的值．中小学教育资源及组卷应用平台
新疆自治区2026年初中学业水平模拟考试数学卷
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共9个小题，每小题4分，共36分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1．下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
1.【答案】C
【解析】解：选项A、既是中心对称图形，也是轴对称图形，不符合题意；
选项B、既是中心对称图形，也是轴对称图形，不符合题意；
选项C、是中心对称图形，不是轴对称图形，符合题意；
选项D、既是中心对称图形，也是轴对称图形，不符合题意；故选：C．
2．已知方程的解为，则m的值为（ ）
A． B．0 C．1 D．7
2.【答案】C
【解析】解：∵的解为，
∴将代入原方程得，
整理得，
解得．
3．如图，将直尺与含角的三角尺摆放在一起，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
3.【答案】D
【解析】解：如图：由题意可得：，，
∴，
∵将直尺与含角的三角尺摆放在一起，
∴．
4．下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据幂的运算性质与二次根式的性质逐一判断各选项即可．
【详解】解∶A．，故A错误；
B．，当时，结果为，不等于，故B错误；
C．，原计算正确，故C正确；
D．，故D错误．
5．估算的结果（ ）
A．在7和8之间 B．在8和9之间 C．在9和10之间 D．在10和11之间
5.【答案】D
【解析】解：
，
∵，
∴，
∴，
∴的结果在和之间．
故选：D．
6．如图，的直径弦于，若，，则的长为（ ）
A． B． C．5 D．6
6.【答案】C
【解析】解：如图所示，连接，
设，
，，
，，
，
，
，
，
解得，
，
7．某数学兴趣小组提出了这样一个问题：将一条长为的丝带剪成两段，并用剪下的每一段丝带围成一个正方形，要使围成的这两个正方形的面积之和等于，该怎么剪？若设剪下的其中一段丝带的长为，则根据题意，可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
7.【答案】A
【解析】解：∵一段丝带长为，围成正方形，
∴边长为，面积为，
∵另一段为，
∴围成正方形，边长为，面积为，
∵面积之和为,
∴，
故选：．
8．如图，在菱形中，与相交于点O，，垂足为点M，交于点N，若，，则的长为（ ）
A． B．5 C． D．
8.【答案】C
【解析】解：∵四边形是菱形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，即，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴在中，．
9．如图，在中，是的高，，分别是和的平分线且交于点，与交于点，已知，，连接．下列结论错误的是（ ）
A． B．
C． D．
9.【答案】D
【解析】解：，，，
，
，
又，
，
平分，即，
，
，故A正确；
，，
是的垂直平分线，
，故B正确；
是等腰直角三角形，，分别是和的平分线，
，
又，
，
，
，
，即，故C正确；
，，，
，
，
又，
，
，故D错误；
故选：D．
第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分）
10．因式分解：__________．
10.【答案】
【解析】解：
．
11．在一个不透明的口袋中，装有红球和黄球共20个，它们除颜色外没有任何区别．摇匀后从口袋中随机摸出一个球，记下颜色后再放回口袋中，通过大量重复摸球试验，发现摸到黄球的频率是0.4，则口袋中大约有红球_______个．
11.【答案】12
【解析】解：∵通过大量重复摸球试验发现，摸到黄球的频率是0.4，
∴摸到黄球的概率是0.4，
∴黄球的个数为（个），
∴口袋中大约有红球（个），
故答案为：12．
12．如图，四边形中，是由绕顶点逆时针旋转所得，顶点恰好转到上一点的位置，则________度．
12.【答案】
【解析】解：如图，
∵是由绕顶点逆时针旋转所得，
∴，，，，
∵，，
∴，
∵，，，
∴，
∴，故答案为：．
13．按照如下程序，输入的值并计算．若规定从“输入一个值”到“判断结果是否”为一次程序操作，如果程序操作进行了两次才停止，那么的取值范围是__________．
13.【答案】
【解析】解：由题意，得：，
解得：；
故答案为：．
14．若两个正整数，相加时，得到的数是一个两位数，且个位、十位数字相同；相乘时，得到的数是一个三位数，且个位、十位、百位数字相同，则______．
14.【答案】或
【解析】设，
，
设，则为的倍数．
若，则，
．
由知．
由知为的倍数，
，这时，．
若，则，
．
，
，
，，显然．
综上，或．
15．如图，点在双曲线上，过点作轴，垂足为点，分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于两点，作直线交轴于点，交轴于点，连接．若，则的值为___________．
15.【答案】
【解析】解：如图，设交于．
由作图可知，垂直平分线段，
∴，，
在中，，
在中，，
∴，
∵，
∴，
∴，可得，
∴，
∴，，
∴，
∴．故答案为：．
三、解答题（本大题共8个小题，共90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16．（12分）计算及解方程：
(1)计算：．
(2)解方程：．
16.【答案】(1)；(2)
【解析】（1）解：原式（3分）
；（6分）
（2）解：两边同乘以得，（8分）
，
，
，（10分）
当时，，（11分）
∴是原分式方程的解. （12分）
17．（12分）（1）解方程组：；
（2）如图，利用尺规，在的边上方作，在射线上截取，连接，并证明：．
（尺规作图要求保留作图痕迹，不写作法）
17.【答案】（1）；（2）见解析
【解析】解：（1）
得，；
解得：，（3分）
将代入①得，
解得：；
∴；（6分）
（2）如图，，为所做（9分）
因为
所以
因为
所以四边形为平行四边形
所以．（12分）
18．（12分）为响应“健康中国”战略，某校将课间延长至15分钟以鼓励学生参与体育活动．现从八年级随机抽取部分学生，统计其每日课间主动运动时间（单位：分钟），部分信息如下：
信息1：绘制如下表格：
等级 运动时间 频数 频率
低活跃 6 a
中等活跃 14
高活跃 b c
超高活跃 8
信息2：每日课间主动运动时间在中的具体数据为15，15，16，16，17，18，19，20．
根据以上信息，解答下列问题：
(1)计算： ______， ______， ______；
(2)求所抽取学生中每日课间主动运动时间达到“超高活跃”等级的平均数；
(3)若该校八年级共有600名学生，估计每日课间主动运动时间达到中等活跃及以上的学生人数．
18.【答案】(1)；12；；(2)17分钟；(3)510人
【解析】（1）解：抽取学生总人数为（人），
则，（2分）
，（4分）
；（6分）
（2）解：（分钟），（8分）
答：所抽取学生中每日课间主动运动时间达到“超高活跃”等级的平均数为17分钟．
（3）解：（人），（10分）
答：估计每日课间主动运动时间达到中等活跃及以上的学生人数有510人．
19．（10分）一辆快车从甲地驶往乙地，一辆慢车从乙地驶往甲地，两车同时出发，匀速行驶．设行驶的时间为x（时），两车之间的距离为y（千米），图中的折线表示从两车出发至快车到达乙地过程中y与x之间的函数关系．
(1)根据图中信息，求线段AB所在直线的函数解析式和甲乙两地之间的距离．
(2)已知两车相遇时快车比慢车多行驶20千米，若快车从甲地到达乙地所需时间为t时，求t的值．
(3)若快车到达乙地后立刻返回甲地，慢车到达甲地后停止行驶，请你在图中画出快车从乙地返回到甲地过程中y关于x的函数的大致图象．
19.【答案】(1)直线AB的解析式为，甲乙两地之间的距离为200千米
(2)
(3)见解析
【解析】（1）由题意得直线AB经过点（1.5，50），(2，0)，
设直线AB的解析式为y=kx+b，
则解得
∴ 直线AB的解析式为
∵ 当x=0时，y=200.
∴ 甲乙两地之间的距离为200千米；（2分）
（2）设快车的速度为m千米/时，慢车的速度为n千米/时，
由题意可得解得
∴快车的速度为55千米/时
∴
（6分）
（3）∵快车的速度为55千米/时．慢车的速度为45千米/时．
∴当快车到达乙地，所用时间为：小时，
∵快车与慢车相遇时的时间为2小时，
∴y=（-2）×（55+45）=，
∴C点坐标为：，
此时慢车还没有到达甲地，若要到达甲地，这个过程慢车所用时间为：200÷45小时，
当慢车到达甲地，此时快车已经驶往甲地时间为：小时，
∴此时距甲地：千米，
∴D点坐标为：
再一直行驶到甲地用时小时．
∴E点坐标为：
故图象如图所示：（10分）
20．（10分）已知关于的方程．
(1)求证：无论为任何实数，此方程总有两个实数根；
(2)若，，点与点在抛物线上，求的值．
【答案】(1)证明见解析；(2)
【解析】（1）证明：这个方程根的判别式为
，
所以无论为任何实数，此方程总有两个实数根．（5分）
（2）解：将代入得：，
∴这个二次函数的对称轴为直线，
∵点与点在抛物线上，且，
∴，
∴，
∴．（10分）
21．（10分）小晨所在数学兴趣小组开展实践活动，记录如下：
项目 测量建筑物的高度
工具 卷尺，测角仪等
测量示意图
测量数据 ，
说明 水平地面上方有一水平的平台，，所有点均在同一竖直平面内
问题 求出建筑物的高度．（结果保留两位小数；参考数据：）
21.【答案】建筑物的高度约是
【解析】解：如图，延长交于点，（1分）
由题意得：，，设，则．（3分）
在中，，
∴．
在中，，
∴．
∵，
∴，解得：，（8分）
∴，
故建筑物的高度约是．（10分）
22．（11分）如图，是的直径，点C在上，过点C作于点E，点F是线段上一点，连接并延长交于点D，若点C是弧的中点．
(1)求证：是等腰三角形；
(2)若，求的半径．
22.【答案】(1)见解析；(2)12.5
【解析】（1）证明：是的直径，
，
，
，
，
点是的中点，
，
，
，
，
是等腰三角形；（6分）
（2）解：在中，
，
，
连接，
设的半径为，
在中，，
由勾股定理得，
解得，
的半径为12.5．（11分）
23．（13分）在边长为的正方形中，是边的中点，点是边上的一个动点，连接并延长交射线于点．
(1)如图，连接，当时，求证：；
(2)过点作的垂线交射线于点，连接，．
（）如图，求证：；
（）如图，当时，求的值．
23.【答案】(1)证明见解析；(2)（）证明见解析；（）．
【解析】（1）证：连接，
是边的中点，
，
四边形为正方形，
，，
在和中，
，
，
，，
为的中点，，，
中，，
，
点一定在线段的垂直平分线上，
故；（4分）
（2）（）证明：如图，过点作，交的延长线于点，
四边形为正方形，是边的中点，
，，，
，
四边形是矩形，
，
，
，
在中，，
，
，
，
，
即；（8分）
（）解：由（1）可知，
，，
又，
，
，
，
，，
设，则，
，
又，
则有，
解得，
即，
．（13分）

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