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九年级数学假期作业练习题
注意事项：满分120分，答题时间120分钟。答案写在答题卡上。
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1．的绝对值为（ ）
A． B． C． D．
2．近年来，我国大力开发新能源产业，下面是四张新能源图标，其文字上方的图案既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
3．下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
4．已知一个几何体如图所示，则该几何体的俯视图是（　　）
A． B． C． D．
5．2026年春节是中国“春节”申遗成功后的第二个农历新年，各地开展了丰富多彩的非遗主题活动．根据山西省文化和旅游厅数据统计，2026年春节放假期间全省共接待国内游客2837.97万人次，同比增长22.20%．数据“2837.97万”用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
6．已知点，，都在反比例函数的图象上，且，则，，的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
7．如图，在中，．按下列步骤作图：①以点为圆心，小于的长为半径画弧，交于点，交于点；②分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点；③作射线，交于点．则的度数为（ ）
（7题） （8题） （9题）
B． C． D．
如图，四边形为的内接四边形，点在的延长线上，若，则的度数为 （ ）
A． B． C． D．
9．《周髀算经》中记载了“偃矩以望高”的方法．“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（即图中的）．“偃矩以望高”的意思是把“矩”仰立放，可测量物体的高度．如图，点在同一水平线上，和均为直角，与相交于点．测得，则树高为（　　）
A． B．6m C． D．25.8m
10．如图，在扇形中，，点为的三等分点，连接，过点作交于点．连接．则阴影部分的面积为（　　）
(10题） （12题）
A． B． C． D．
第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）
11．因式分解： ．
12．蓄电池的电压为定值，使用此电源时，用电器的电流（单位：A）与电阻（单位：Ω）之间的函数关系如图所示．若以该蓄电池为电源的用电器限制电流不得超过A，则用电器的可变电阻至少为 Ω．
13．晋剧，作为山西的传统戏曲形式，承载着丰富的历史与文化底蕴．如图所示的两张图片正面印有晋剧经典剧目人物，它们除正面外完全相同，现将两张图片从中间剪断，再把得到的四张形状相同的小图片混合在一起，随机抽取两张小图片，则恰好合成一张完整图片的概率是 ．
14．如图，正五边形内接于 O，过点A的切线与的延长线相交于点，则 ．
15．如图，在 ABCD中，为对角线，于点E，点F是上一点，且，延长交于点．若，则的长为 ．
（13题） （14题） （15题）
三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16.（10分）（1）计算： ；
（2）解方程：．
17．（7分）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，且与反比例函数的图象交于点，过点作轴于点，且．
(1)求直线的函数表达式．
(2)设点是轴上的点，若的面积等于12，求出所有符合条件的点的坐标．
18．（8分）为大力弘扬中华优秀传统文化，引导学生从千年中华传统文化中汲取养分，推动文化自信自强．某校开展了“诵国家经典，承传统文化”朗诵比赛活动，七年级和八年级各有400名学生参加竞赛，学校为了解这两个年级的成绩情况，进行了抽样调查，过程如下：
收集数据
从七、八两个年级各随机抽取20名学生，在这次竞赛中他们的成绩如下：
七年级：70 70 80 90 80 80 90 60 100 80 80 80 90 90 70 90 70 70 100 60
八年级：60 70 80 70 70 90 60 90 90 90 70 90 100 70 70 60 90 90 90 100
整理数据
成绩
七年级
八年级
（说明：优秀成绩为，良好成绩为，合格成绩为）
分析数据
两组样本数据的平均分、中位数、众数、方差如下表所示：
平均分 中位数 众数 方差
七年级 80 80 130
八年级 80 90 170
请解答下列问题：
(1)______；______；
(2)估计八年级参加此次竞赛的学生中达到良好成绩以上的学生有多少名？
(3)小明认为七，八年级竞赛成绩的平均数相等，因此两个年级的成绩一样好，你认为小明的说法正确吗？请你用所学的统计知识说明理由.（写出一条即可）
19．（6分）2026年春节电影档掀起观影热潮，特别是《哪吒之魔童闹海》，截止到2月23日全球票房超135亿，登顶动画电影票房排行榜．某影城为进一步吸引观众观影，提升票房，购进了玩偶杯150个、哪吒手办盲盒250个，已知每个玩偶杯和每个盲盒的进价分别为30元和50元．要使每个盲盒的售价比每个玩偶杯售价多30元，且保证全部售完后利润不低于4900元．求每个玩偶杯的售价至少为多少元？
20.（8分）太原市晋阳湖之眼摩天轮计划于年月正式试灯营业，该摩天轮位于晋阳湖北岸，采用双侧通透立柱和全拉索轮盘设计，配备台球形吊舱，兼具安全性与科技感．图是太原市晋阳湖之眼摩天轮，图2是测量晋阳湖之眼摩天轮高度示意图．才思数学兴趣小组利用所学知识开展“测量晋阳湖之眼摩天轮高度”的综合实践活动，并写出如下报告，请完成任务．
课题 测量晋阳湖之眼摩天轮高度
测量工具 无人机、测角仪、秒表等
测量示意图
测量过程 如图，测量小组使用无人机在点处竖直上升至点处，在点处测得摩天轮顶部的仰角为，然后以的速度沿水平方向向左飞行至点处，在点处测得摩天轮顶部的仰角为，底部的俯角为．
说明 点均在同一竖直平面内，且点在同一水平线上．（参考数据：，，，）
任务 求晋阳湖之眼摩天轮的高度．（结果精确到）
21．（10分）阅读与思考
下面是欣欣同学的数学课堂学习笔记，请仔细阅读并完成相应的任务．
利用尺规在平行四边形内作菱形今天的数学课上，老师给出了如下的一个问题： 如图1，已知四边形是平行四边形，，请利用尺规在平行四边形内作一个菱形，使得菱形的四个顶点均在平行四边形边上． 同学们以小组为单位展开了讨论． 勤学小组的作法：如图2， ①分别以点A，点为圆心，的长为半径画弧，分别交，于点和点， ②连接．结论：四边形是菱形． 勤学小组的证明：四边形是平行四边形， ．即． 由作图痕迹可知：． 四边形是平行四边形． ， 平行四边形是菱形．（依据1） 善思小组的作法：如图3， ①连接，分别以点，点为圆心，大于的长为半径画弧，交点分别为，． ②作直线分别交于点，点和点． ③连接． 结论：四边形是菱形． 善思小组的证明：由作图可知：直线垂直平分． ．（依据2） ……
任务一：请补充上面证明过程中的“依据1”，“依据2”．
（1）依据1：___________；依据2：___________；
任务二：
（2）请将善思小组的证明过程补充完整；
任务三：
（3）在图4中用不同于材料的方法作一个满足要求的菱形．（尺规作图，标明字母，保留作图痕迹，不写作法）
22．（13分）综合与实践
弧形遮阳棚是一种非常实用的停车设施，既能够增加车棚整体的稳定性，承受更大的外力，又能使空气流通，减少车棚内部的气压，使得车棚内部环境更加舒适．图1是某弧形遮阳棚横截面的示意图，其中棚顶的横截面可以看作是抛物线的一部分，棚顶的端点为该抛物线的最高点，点A到地面的距离为3米，棚顶与立柱的交点到地面的距离为米，且点A和点的水平距离为8米．
数学建模
(1)在图1中，以地面为轴，以过点垂直于地面的直线为轴，建立平面直角坐标系．设遮阳棚顶某处离立柱的水平距离为，该处离地面的高度为，求与之间的函数关系式；
问题解决
(2)现有一辆箱式货车需在遮阳棚下躲避暴晒，如图2是货车的截面图，已知货车的车身长约6米，车厢最高点与遮阳棚接触点离地面高约米，请通过计算说明这辆货车是否可以完全停进遮阳棚内；
(3)为了让弧形遮阳棚更加稳固和美观，计划在遮阳棚两端侧面安装钢架．如图3所示，钢架分两段，其中一段连接点与点，然后在棚顶上某处取点，在钢架和棚顶之间竖直安装第二段钢架．当第二段钢架长度为米时，请通过计算说明应将钢架安装在水平方向距离立柱多远的位置．
23．（13分）综合与探究
问题情境：数学课上，同学们以等腰直角三角形为背景，探索图形运动变化中元素之间的不变关系．如图1，已知中，．点是射线上的一个动点，连接，将线段绕点逆时针旋转，得到线段（点分别是的对应点）．
特例分析：（1）创思小组先研究了点与点重合时的情形，如图2．连接．请判断此时线段与的数量关系和位置关系，并证明你的结论；
深入探究：（2）博闻小组沿着上述思路继续探究，他们改变点的位置，提出了如下问题，请你解答：
①如图3，当点在线段上，连接，猜想线段与的数量关系和位置关系，说明理由；
②在点沿射线方向运动过程中，是否存在某一时刻使是以为腰的等腰三角形？若存在，请直接写出相应的两点间的距离；若不存在，说明理由．
九年级数学九年级数学假期作业练习题答案
选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．）
C . 2.B. 3.C 4.B 5.B 6.A 7.B 8.D 9.B 10.A
填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）
11. 12. 13. 14. 15.
三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16.（10分）
解：（1）原式
---------------------------------------------------------------4
； ---------------------------------------------------------------5
（2），
，
，
， ------------------------------------------------------------7
∴ --------------------------------------------------------------------8
．-------------------------------------------------------------------10
17.（7分）（1）解：∵轴，，且点在第一象限.
∴点的横坐标为3，
在中，当时，，
∴；--------------------------------------------------------------------------------------1
设直线的函数表达式为，则，---------------------2
∴，--------------------------------------------------------------------------------------3
∴直线的函数表达式为；------------------------------------------------4
（2）解：在中，当时，，
∴，-------------------------------------------------------------------------------------5
∵点是轴上的点，的面积等于12，
∴，
∴，-----------------------------------------------------------------------------------------6
∴点的坐标为或．--------------------------------------------------------------7
18.（8分）（1）解：八年级的名同学的成绩按照从小到大的顺序排列，第个和第个数据是和，
中位数；------------------------------------------------------------------------2
七年级的名同学的成绩中分出现次数最多，
众数为分，即；---------------------------------------------------------------------3
（2）解：（名）--------------------------------------------------------------4
答：估计八年级参加此次竞赛的学生中达到良好成绩以上的学生有220名；---5
（3）解：小明的说法是错误的，理由如下：-----------------------------------------------6
虽然八年级和七年级的平均分相同，都是80分，但是从中位数看，八年级的中位数为85，大于七年级的中位数80，说明八年级80分以上的人数更多，
八年级学生的竞赛成绩较好；
或从众数看，八年级竞赛成绩的众数是90，大于七年级竞赛成绩的众数80，
八年级学生的竞赛成绩较好；
或从方差看，八年级竞赛成绩的方差大于七年级竞赛成绩的方差，
七年级竞赛成绩比较稳定．--------------------------------------------------------------------------8
19.（6分）解：设每个玩偶杯的售价为元，则每个盲盒的售价为元，-----1
根据题意可得：
，---------------------------------------------------------------3
解得：，----------------------------------------------------------------------------------------------5
故的最小值为36，
答：每个玩偶杯的售价至少为36元．---------------------------------------------------------------6
20.（8分）解：如图，延长交于点，设，------------------------------1
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
依题意得，，---------------------------------------------------------------------------2
在中，，，则，-----------3
在中，，，则，------4
在中，，，则，----------5
∵，
∴，
解得，，--------------------------------------------------------------------------------------6
∴（米），--------------------------------------7
答：太原晋阳湖之眼摩天轮的高度约为米．-------------------------------------8
（10分）
解：（1）依据1：有一组邻边相等的平行四边形是菱形．-------------------2
依据2：线段垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等-------------4
（2）证明过程补充如下：
，，
，
∵，，
∴，
∴，
四边形是平行四边形，
．
．
．
又，
四边形是平行四边形
，
平行四边形是菱形--------------------------------------------------------------------8
（3）如图：作的角平分线交于E，再以E为圆心，以为半径画弧交于F，再连接，得到四边形是菱形．
----------------------------------------------10
（13分）
（1）解：由题可得：抛物线的顶点A的坐标为，
设与的函数关系式为，
抛物线的函数关系式为，
点的坐标为，
将点代入函数关系式中，得：，解得：．
与的函数关系式为．--------------------------------------------4
（2）解：根据题意：设点的坐标为，
将代入中，得：，
解得：（舍去），．
，这辆货车可以完全停进遮阳棚内．----------------------------8
（3）解：设线段的函数关系式为，
将点代入中得：，
的函数关系式为．
抛物线的一般式为，
且点是抛物线上的点，
∴设点的坐标为，
轴，点的横坐标为，点在上，
点的坐标为．
．
将代入得：．
解得：（不符合题意，舍去）．
答：钢架安装在水平方向到立柱的距离2米远的位置．-----------------------13
23.（13分）解：（1），．--------------------------------------------------------------------1
证明：线段绕点逆时针旋转得到线段，
．，
．，
，
，，
四边形是平行四边形，
，．------------------------------------------------------------------------------------4
（2）解：①，．-------------------------------------------------------------------5
理由：连接，并延长交于点
，
．
线段绕点逆时针旋转得到线段，
，
．，
，，，．
，四边形是平行四边形．
，，-------------------------------------------------------------------------------8
②存在；--------------------------------------------------------------------------------------------------9
两点之间的距离为或．---------------------------------------------13

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