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第六章
6.3　平面向量基本定理及坐标表示
平面向量及其应用
第4课时　平面向量数量积的坐标运算
学习 目标 1．掌握平面向量数量积的坐标表示，会进行平面向量数量积的坐标运算．
2．能运用坐标表示两个向量的夹角和模，会利用坐标运算判断向量垂直．
新知初探·基础落实
问题：设a＝(1， 3)，b＝(5，5)，求a＋b及3a的坐标．
a＋b＝(6，2)，3a＝(3， 9)．
变题：设a＝(1， 3)，b＝(5，5)，求a·b．
根据向量数量积的知识a·b＝|a||b|cos θ，可以想到要求|a|，|b|和cos θ，那么这三个量又如何用向量的坐标来表示？这就是本节课要学习的内容．
一、 概念生成
在平面直角坐标系中，设i，j分别是与x轴和y轴方向相同的两个单位向量，你能计算出i·i，j·j，i·j的值吗？若非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，你能给出a·b的值吗？
i·i＝1，j·j＝1，i·j＝0．
因为a＝x1i＋y1j，b＝x2i＋y2j，所以a·b＝(x1i＋y1j)·(x2i＋y2j)＝x1x2i2＋x1y2i·j＋x2y1j·i＋y1y2j2．又i·i＝1，j·j＝1，i·j＝j·i＝0，所以a·b＝x1x2＋y1y2．
请同学阅读课本P34—P35，完成下列填空．
二、 概念表述
1．平面向量数量积的坐标表示
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝____________．
2．平面向量的模
若a＝(x，y)，则|a|＝．
x1x2＋y1y2
3．如果表示向量a的有向线段的起点和终点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，那么a＝(x2 x1，y2 y1)，|a|＝．
4．平面向量的夹角、垂直问题
设a，b都是非零向量，a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ是a与b的夹角．
(1) cos θ＝＝．
(2) a⊥b x1x2＋y1y2＝0．
三、 概念辨析(判断正误：正确的画“√”，错误的画“×”)
已知a＝(1，2)，b＝(3， 2)，c＝( 2，1)，则：
(1) a·a＝． (　　)
(2) a·b＝ 1． (　　)
(3) a·c＝0． (　　)
(4) b·c＝ 3． (　　)
×
√
√
×
典例精讲·能力初成
探究
1
平面向量数量积的坐标运算
　　　(课本P34例10)若点A(1，2)，B(2，3)，C( 2，5)，则△ABC是什么形状？证明你的猜想．
1
【解答】
　　　　如图，在平面直角坐标系中画出点A，B，C，我们发现△ABC是直角三角形．证明如下：因为＝(2 1，3 2)＝(1，1)，＝( 2 1，5 2)＝( 3，3)，所以＝1×( 3)＋1×3＝0．于是⊥，因此△ABC是直角三角形．
数量积运算的途径及注意点
(1) 进行向量的数量积运算，通常有两条途径：一是先将各向量用坐标表示，直接进行数量积运算；二是先利用数量积的运算律将原式展开，再依据已知计算．
(2) 对于以图形为背景的向量数量积运算的题目，只需把握图形的特征，并写出相应点的坐标即可求解．
变式　(1) 已知a与b同向，b＝(1，2)，a·b＝10．
①求向量a的坐标；
②若c＝(2， 1)，求a(b·c)及(a·b)c．
【解答】
　　　　①设a＝λb＝(λ，2λ)(λ＞0)，则有a·b＝λ＋4λ＝10，所以λ＝2，所以a＝(2，4)．
②因为b·c＝1×2 2×1＝0，a·b＝10，所以a(b·c)＝a·0＝0，(a·b)c＝10(2， 1)＝(20， 10)．
变式　(2) 如图，在矩形ABCD中，AB＝，BC＝2，E为BC的中点，点F在边CD上，若·＝，则·的值是______．
【解答】
　　　　如图，以A为坐标原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴建立平面直角坐标系，则B(，0)，D(0，2)，C(，2)，E(，1)．设F(x，2)，因为＝(，0)·(x，2)＝x＝，所以x＝1，所以＝(，1)·(1 ，2)＝．
探究
2
向量的模的问题
　　　设平面向量a＝(1，2)，b＝( 2，y)，若a∥b，则|2a b|＝_______．
2
【解析】
　　　　由a∥b得y＋4＝0，所以y＝ 4，b＝( 2， 4)，所以2a b＝(4，8)，可得|2a b|＝4．
4
求向量的模的两种基本策略
(1) 字母表示下的运算：利用|a|2＝a2，将向量模的运算转化为向量与向量的数量积的问题．
(2) 坐标表示下的运算：若a＝(x，y)，则a·a＝a2＝|a|2＝x2＋y2，于是有|a|＝．
探究
3
向量的夹角与垂直问题
　　　(课本P35例12)用向量方法证明两角差的余弦公式cos(α β)＝cos αcos β＋ sin αsin β．
3
【解答】
　　　　如图，在平面直角坐标系Oxy内作单位圆O，以x轴的非负半轴为始边作角α，β，它们的终边与单位圆O的交点分别为A，B，则＝(cos α，sin α)，＝(cos β，sin β)．
图(1)
图(2)
由向量数量积的坐标表示，有＝cos αcos β＋sin αsin β，设的夹角为θ，则＝||||cos θ＝cos θ，所以cos θ＝cos αcos β＋sin αsin β．另一方面，由图(1)可知，α＝2kπ＋β＋θ，由图(2)可知，α＝2kπ＋β θ，于是α β＝2kπ±θ，k∈Z，所以cos(α β)＝cos θ，于是cos(α β)＝cos αcos β＋sin αsin β．
图(1)
图(2)
1．利用数量积的坐标表示求两向量夹角的步骤：求向量的数量积→求模→求夹角余弦值→求角．
2．涉及非零向量a，b垂直的问题，一般借助a⊥b a·b＝x1x2＋y1y2＝0来解决．
变式　已知a＝(4，3)，b＝( 1，2)．
(1) 求a与b的夹角的余弦值；
【解答】
　　　　设向量a，b的夹角为θ，因为a·b＝4×( 1)＋3×2＝2，|a|＝＝5，|b|＝＝，所以cos θ＝＝＝．
(2) 若(a λb)⊥(2a＋b)，求实数λ的值．
【解答】
　　　　因为a λb＝(4＋λ，3 2λ)，2a＋b＝(7，8)，(a λb)⊥(2a＋b)，所以(a λb)·(2a＋b)＝7(4＋λ)＋8(3 2λ)＝0，解得λ＝．
探究
4
投影向量的坐标运算
　　　已知向量a，b满足a·b＝10，且b＝( 3，4)，则a在b上的投影向量为 (　　)
A．( 6，8)　 B．(6， 8)
C．　 D．
4
【解析】
　　　　因为a·b＝10，且b＝( 3，4)，所以a在b上的投影向量为|a|cos〈a，b〉＝(a·b)＝10×＝．
C
随堂内化·及时评价
1．已知a＝，b＝，则a·b＝ (　　)
A．0　 B． 2
C．2　 D． 4
C
2．(新高考Ⅰ卷)已知向量a＝(0，1)，b＝(2，x)，若b⊥(b 4a)，则x＝ (　　)
A． 2　　 B． 1　
C．1　　 D．2
D
3．已知a＝(2，0)，b＝，则|a＋2b|＝ (　　)
A．　 B．
C．2　 D．5
B
4．已知a＝(1，)，b＝(2，0)，则a b在b上的投影向量为 (　　)
A．(1，0)　 B．
C．( 1，0)　 D．
【解析】
　　　　因为a＝(1，)，b＝(2，0)，所以a b＝( 1，)，所以(a b)·b＝ 2，所以a b在b上的投影向量为·b＝·b＝ b＝( 1，0)．
C第4课时　平面向量数量积的坐标运算
一、 单项选择题
1．已知向量a＝(0，1)，b＝(2，x)，若b⊥(b－4a)，则a·b＝(　　)
A．2 B．1
C．－1 D．－2
2．(全国甲卷理)已知向量a＝(x＋1，x)，b＝(x，2)，则(　　)
A．“x＝－3”是“a⊥b”的必要条件
B．“x＝－3”是“a∥b”的必要条件
C．“x＝0”是“a⊥b”的充分条件
D．“x＝－1＋”是“a∥b”的充分条件
3．在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝2，点P满足＝＋)，则·＝(　　)
A．1 B．－1
C．2 D．－2
4．向量a＝在向量b＝(1，3)上的投影向量的坐标为(　　)
A． B．
C． D．
二、 多项选择题
5．已知向量＝(1，1)，＝(2，3)，则下列向量中与垂直的是(　　)
A．a＝(3，6) B．b＝(8，－4)
C．c＝(6，8) D．d＝(－6，3)
6．已知向量a＝(2，－1)，b＝(－4，－2)，则下列说法正确的是(　　)
A．a与b夹角的余弦值为－
B．∥
C．若⊥a，则λ＝
D．a在b上的投影向量为－b
三、 填空题
7．(新高考Ⅱ卷)已知平面向量a＝(x，1)，b＝(x－1，2x)，若a⊥(a－b)，则|a|＝________．
8．已知a＝(x，1)，b＝(2，2x＋3)，若a，b的夹角为钝角，则x的取值范围为________．
四、 解答题
9．已知A(2，1)，B(3，2)，D(－1，4)．
(1) 求证：AB⊥AD；
(2) 要使四边形ABCD为矩形，求点C的坐标及矩形ABCD的对角线的长度.
10．已知平面直角坐标系中，O为原点，A(－3，－4)，B(5，－12).
(1) 求的坐标及||的值；
(2) 求的夹角θ的余弦值.
11．已知e为单位向量，向量a满足e·a＝3，|λe－a|＝1，则|a|的最大值为(　　)
A．9 B．2
C． D．8
12．定义：a，b两个向量的叉乘a×b的模为|a×b|＝|a|·|b|·sin〈a，b〉，〈a，b〉表示向量a与b的夹角.若点A(1，0)，B(1，－)，O为坐标原点，则||＝________．
13．折扇又名“纸扇”，是一种用竹木或象牙做扇骨，韧纸或者绫绢做扇面的能折叠的扇子，如图(1).其平面图是如图(2)所示的扇形AOB，其中∠AOB＝，OA＝2OC＝2OD＝2，点F在弧AB上，且∠BOF＝，点E在弧CD上运动，则·＝ ________；·的最小值是________．
图(1)　　　　　　　　图(2)
(第13题)
14．已知△ABC是边长为6的等边三角形，M是△ABC的内切圆上一动点，则·的最小值为________．
第4课时　平面向量数量积的坐标运算
基础打底·熟练掌握
1．A　【解析】 因为a＝(0，1)，b＝(2，x)，所以b－4a＝(2，x－4)，因为b⊥(b－4a)，所以b·(b－4a)＝0，即4＋x(x－4)＝0，解得x＝2，所以b＝(2，2)，所以a·b＝2.
2．C　【解析】 对于A，当a⊥b时，a·b＝0，所以x(x＋1)＋2x＝0，解得x＝0或x＝－3，即必要性不成立，故A错误；对于C，当x＝0时，a＝(1，0)，b＝(0，2)，故a·b＝0，所以a⊥b，即充分性成立，故C正确；对于B，当a∥b时，2(x＋1)＝x2，解得x＝1±，即必要性不成立，故B错误；对于D，当x＝－1＋时，不满足2(x＋1)＝x2，所以a∥b不成立，即充分性不成立，故D错误.
3．B
4．B　【解析】 因为a＝，b＝(1，3)，则a·b＝2－＝，所以a在b上的投影向量为＝·b＝×(1，3)＝.
5．BD　6．ABD
7．　【解析】 a－b＝(1，1－2x)，因为a⊥(a－b)，所以a·(a－b)＝x＋1－2x＝0，解得x＝1，则a＝(1，1)，|a|＝.
8．(－∞，－2)∪　【解析】 因为a，b的夹角为钝角，所以cos〈a，b〉＝<0且a，b不共线，即a·b＝4x＋3<0且x(2x＋3)≠2，解得x<－且x≠－2，所以x的取值范围为(－∞，－2)∪.
9． 【解答】 (1) 因为A(2，1)，B(3，2)，D(－1，4)，所以＝(1，1)，＝(－3，3)，则·＝1×(－3)＋1×3＝0，所以，即AB⊥AD.
(2) 因为，四边形ABCD为矩形，所以＝.设C(x，y)，则＝(x＋1，y－4)，从而即所以点C的坐标为(0，5).又＝(－4，2)，||＝2，所以矩形ABCD的对角线的长度为2.
10．【解答】 (1) 因为A(－3，－4)，B(5，－12)，则＝(8，－8)，||＝＝8.
(2) 因为＝(－3，－4)，＝(8，－8)，所以cos θ＝＝＝.
能力进阶·融会贯通
11．C　【解析】 依题意设e＝(1，0)，a＝(x，y)，由e·a＝3，得x＝3，则a＝(3，y).又λe－a＝(λ，0)－(3，y)＝(λ－3，－y)，且|λe－a|＝1，所以＝1，即y2＝1－(λ－3)2，所以|a|＝＝≤，当且仅当λ＝3时取等号，即|a|的最大值为.
12．　【解析】 因为A(1，0)，B(1，－)，所以＝(1，0)，＝(1，－)，所以||＝＝1，||＝＝2，所以cos〈，〉＝＝＝，因为〈，〉∈［0，π］，所以〈，〉＝，所以|×|＝||·||·sin〈，〉＝1×2×sin＝.
13．－－1　－3　【解析】 以O为坐标原点，OB为x轴建立如图所示的平面直角坐标系.因为∠AOB＝，OA＝2OC＝2OD＝2，∠BOF＝，所以F(－1，)，B(2，0)，D(1，0)，A(－，1)，C，则·＝(1，0)·(－－1，1)＝－－1.设E(cos θ，sin θ)，0≤θ≤，则·＝(－1－cos θ，－sin θ)·(2－cos θ，－sin θ)＝－2－cos θ＋cos2θ－sin θ＋sin2θ＝－1－2sin.因为0≤θ≤，所以≤θ＋≤π，0≤sin≤1，当θ＝时，sin＝1，此时·取最小值－3.
(第13题)
(第14题)
14．18－6　【解析】 如图，以BC的中点D为坐标原点，BC所在直线为x轴，BC的中垂线AD所在直线为y轴，建立平面直角坐标系.因为等边三角形ABC的边长为6，所以△ABC的内切圆圆心O在AD上，半径r＝＝，则B(－3，0)，C(3，0)，A(0，3)，O(0，)，M(cos α，＋sin α)，所以＝(－3，－3)，＝(cos α，sin α－2)，所以·＝－3cos α－9sin α＋18＝－6sin＋18，所以当sin＝1时，·取得最小值18－6.第4课时　平面向量数量积的坐标运算
学习 目标 1．掌握平面向量数量积的坐标表示，会进行平面向量数量积的坐标运算． 2．能运用坐标表示两个向量的夹角和模，会利用坐标运算判断向量垂直．
新知初探基础落实
问题：设a＝(1， 3)，b＝(5，5)，求a＋b及3a的坐标．
a＋b＝(6，2)，3a＝(3， 9)．
变题：设a＝(1， 3)，b＝(5，5)，求a·b．
根据向量数量积的知识a·b＝|a||b|cos θ，可以想到要求|a|，|b|和cos θ，那么这三个量又如何用向量的坐标来表示？这就是本节课要学习的内容．
一、 概念生成
在平面直角坐标系中，设i，j分别是与x轴和y轴方向相同的两个单位向量，你能计算出i·i，j·j，i·j的值吗？若非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，你能给出a·b的值吗？
i·i＝1，j·j＝1，i·j＝0．
因为a＝x1i＋y1j，b＝x2i＋y2j，所以a·b＝(x1i＋y1j)·(x2i＋y2j)＝x1x2i2＋x1y2i·j＋x2y1j·i＋y1y2j2．又i·i＝1，j·j＝1，i·j＝j·i＝0，所以a·b＝x1x2＋y1y2．
请同学阅读课本P34—P35，完成下列填空．
二、 概念表述
1．平面向量数量积的坐标表示
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝__x1x2＋y1y2__．
2．平面向量的模
若a＝(x，y)，则|a|＝．
3．如果表示向量a的有向线段的起点和终点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，那么a＝(x2 x1，y2 y1)，|a|＝．
4．平面向量的夹角、垂直问题
设a，b都是非零向量，a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ是a与b的夹角．
(1) cos θ＝＝．
(2) a⊥b x1x2＋y1y2＝0．
三、 概念辨析(判断正误：正确的画“√”，错误的画“×”)
已知a＝(1，2)，b＝(3， 2)，c＝( 2，1)，则：
(1) a·a＝．(　×　)
(2) a·b＝ 1．(　√　)
(3) a·c＝0．(　√　)
(4) b·c＝ 3．(　×　)
典例精讲能力初成
探究1　平面向量数量积的坐标运算
例1　(课本P34例10)若点A(1，2)，B(2，3)，C( 2，5)，则△ABC是什么形状？证明你的猜想．
【解答】如图，在平面直角坐标系中画出点A，B，C，我们发现△ABC是直角三角形．证明如下：因为＝(2 1，3 2)＝(1，1)，＝( 2 1，5 2)＝( 3，3)，所以＝1×( 3)＋1×3＝0．于是⊥，因此△ABC是直角三角形．
数量积运算的途径及注意点
(1) 进行向量的数量积运算，通常有两条途径：一是先将各向量用坐标表示，直接进行数量积运算；二是先利用数量积的运算律将原式展开，再依据已知计算．
(2) 对于以图形为背景的向量数量积运算的题目，只需把握图形的特征，并写出相应点的坐标即可求解．
变式　(1) 已知a与b同向，b＝(1，2)，a·b＝10．
①求向量a的坐标；
②若c＝(2， 1)，求a(b·c)及(a·b)c．
【解答】①设a＝λb＝(λ，2λ)(λ＞0)，则有a·b＝λ＋4λ＝10，所以λ＝2，所以a＝(2，4)．
②因为b·c＝1×2 2×1＝0，a·b＝10，所以a(b·c)＝a·0＝0，(a·b)c＝10(2， 1)＝(20， 10)．
(2) 如图，在矩形ABCD中，AB＝，BC＝2，E为BC的中点，点F在边CD上，若·＝，则·的值是____．
(变式2(2))
【解析】如图，以A为坐标原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴建立平面直角坐标系，则B(，0)，D(0，2)，C(，2)，E(，1)．设F(x，2)，因为＝(，0)·(x，2)＝x＝，所以x＝1，所以＝(，1)·(1 ，2)＝．
探究2　向量的模的问题
例2　设平面向量a＝(1，2)，b＝( 2，y)，若a∥b，则|2a b|＝__4__．
【解析】由a∥b得y＋4＝0，所以y＝ 4，b＝( 2， 4)，所以2a b＝(4，8)，可得|2a b|＝4．
求向量的模的两种基本策略
(1) 字母表示下的运算：利用|a|2＝a2，将向量模的运算转化为向量与向量的数量积的问题．
(2) 坐标表示下的运算：若a＝(x，y)，则a·a＝a2＝|a|2＝x2＋y2，于是有|a|＝．
探究3　向量的夹角与垂直问题
例3　(课本P35例12)用向量方法证明两角差的余弦公式cos(α β)＝cos αcos β＋sin αsin β．
【解答】如图，在平面直角坐标系Oxy内作单位圆O，以x轴的非负半轴为始边作角α，β，它们的终边与单位圆O的交点分别为A，B，则＝(cos α，sin α)，＝(cos β，sin β)．由向量数量积的坐标表示，有＝cos αcos β＋sin αsin β，设与的夹角为θ，则＝||||cos θ＝cos θ，所以cos θ＝cos αcos β＋sin αsin β．另一方面，由图(1)可知，α＝2kπ＋β＋θ，由图(2)可知，α＝2kπ＋β θ，于是α β＝2kπ±θ，k∈Z，所以cos(α β)＝cos θ，于是cos(α β)＝cos αcos β＋sin αsin β．
图(1)
图(2)
1．利用数量积的坐标表示求两向量夹角的步骤：求向量的数量积→求模→求夹角余弦值→求角．
2．涉及非零向量a，b垂直的问题，一般借助a⊥b a·b＝x1x2＋y1y2＝0来解决．
变式　已知a＝(4，3)，b＝( 1，2)．
(1) 求a与b的夹角的余弦值；
【解答】设向量a，b的夹角为θ，因为a·b＝4×( 1)＋3×2＝2，|a|＝＝5，|b|＝＝，所以cos θ＝＝＝．
(2) 若(a λb)⊥(2a＋b)，求实数λ的值．
【解答】因为a λb＝(4＋λ，3 2λ)，2a＋b＝(7，8)，(a λb)⊥(2a＋b)，所以(a λb)·(2a＋b)＝7(4＋λ)＋8(3 2λ)＝0，解得λ＝．
探究4　投影向量的坐标运算
例4　已知向量a，b满足a·b＝10，且b＝( 3，4)，则a在b上的投影向量为(　C　)
A．( 6，8)　 B．(6， 8)
C．　 D．
【解析】因为a·b＝10，且b＝( 3，4)，所以a在b上的投影向量为|a|cos〈a，b〉＝(a·b)＝10×＝．
随堂内化及时评价
1．已知a＝，b＝，则a·b＝(　C　)
A．0　 B． 2
C．2　 D． 4
2．(新高考Ⅰ卷)已知向量a＝(0，1)，b＝(2，x)，若b⊥(b 4a)，则x＝(　D　)
A． 2　　 B． 1　
C．1　　 D．2
3．已知a＝(2，0)，b＝，则|a＋2b|＝(　B　)
A．　 B．
C．2　 D．5
4．已知a＝(1，)，b＝(2，0)，则a b在b上的投影向量为(　C　)
A．(1，0)　 B．
C．( 1，0)　 D．
【解析】因为a＝(1，)，b＝(2，0)，所以a b＝( 1，)，所以(a b)·b＝ 2，所以a b在b上的投影向量为·b＝·b＝ b＝( 1，0)．

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