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6.4　平面向量的应用
第1课时　平面几何中的向量方法
一、 单项选择题
1．在△ABC中，若·＋＝0，则△ABC是(　　)
A．锐角三角形 B．钝角三角形
C．直角三角形 D．等腰直角三角形
2．已知A，B，C，D四点的坐标分别为(1，0)，(4，3)，(2，4)，(0，2)，则四边形ABCD为(　　)
A．梯形 B．菱形
C．矩形 D．正方形
3．在△ABC中，已知AB＝1，AC＝2，∠BAC＝60°，点D在BC边上且BD＝BC，则AD的长度为(　　)
A． B．
C． D．
4．已知平面向量a与a＋b的夹角为60°，若－t|b|≤0恒成立，则实数t的取值范围为(　　)
A． B．
C．［2，＋∞) D．
二、 多项选择题
5．下列结论正确的是(　　)
A．若∥，则直线AB与直线CD平行
B．若△ABC是直角三角形，则必有·＝0
C．在△ABC中，若·＋＝0，则△ABC为直角三角形
D．设A(xA，yA)，B(xB，yB)，则||＝　
6．如图，正方形ABCD的边长为2，E，F分别是边AB，BC的中点，则(　　)
(第6题)
A．cos〈＝
B．·＝4
C．＝2＋
D．⊥
三、 填空题
7．设O是△ABC内部一点，且＋＝－2，则△AOC与△ABC的面积之比为________．
(第8题)
8．如图，在 ABCD中，AB＝2，AD＝4，∠BAD＝60°，E是BC的中点，F是AE的中点，则向量的模长是________．
四、 解答题
9．在菱形ABCD中，O为菱形ABCD内一点.
(1) 用；
(2) 若AB＝2，∠DAB＝60°，求|＋|，||.　
10．如图，在平行四边形ABCD中，E，F依次是对角线AC上的两个三等分点，设＝a，＝b.
(1) 请用a与b表示；
(2) 用向量方法证明：四边形DFBE是平行四边形.
(第10题)
11．如图所示，点O在△ABC内部，D，E分别是AC，BC边的中点，且有＋2＋3＝0，则△AEC的面积与△AOC的面积的比为(　　)
(第11题)
A． B．
C． D．
12．(多选)点O在△ABC所在平面内，下列说法中，能保证点P轨迹过△ABC重心的是(　　)
A．＋＋＝0
B．动点P满足＝＋，λ∈［0，＋∞)
C．动点P满足＝＋λ(＋)，λ∈［0，＋∞)
D．动点P满足·＝·＝·
13．如图，在△ABC中，已知AB＝2，AC＝5，∠BAC＝60°，BC，AC边上的两条中线AM，BN相交于点P.
(1) 求PN的长；
(2) 求∠MPN的正弦值.
(第13题)
第1课时　平面几何中的向量方法
基础打底·熟练掌握
1．C　【解析】 由题意可知·(＋)＋＝－＋·＋＝0 ·＝0，所以BC⊥BA，即△ABC是直角三角形.
2．A　【解析】 因为＝(3，3)，＝(－2，－2)，所以＝－，所以与共线，且||≠||，所以四边形ABCD为梯形.
3．D　【解析】 ＝＋＝＋－)＝＋.又||＝1，||＝2，∠BAC＝60°，则||＝＝＝＝，即AD的长度为.
4．A　【解析】
(第4题)
如图，记＝a，＝b，则＝a＋b.由平面向量的三角形法则可知，点B可以在射线OB(除O点外)上移动，易知当∠ABO＝90°，即时，＝取最小值，此时＝，即≥.若－t≤0恒成立，则t≥.由≥可得≤＝，即t≥.故实数t的取值范围为.　
5．CD　【解析】 对于A，AB与CD可能为同一条直线，故A错误；对于B，直角不一定是∠C，故B错误；对于C，由条件可得·＋＝·＝0，所以∠BAC为直角，即△ABC为直角三角形，故C正确；对于D，由向量模的定义知D正确．
6．BCD　【解析】 如图建立平面直角坐标系，则A(－2，0)，B(0，0)，D(－2，2)，E(－1，0)，F(0，1)，所以＝(－2，－1)，＝(2，0)，所以cos〈，〉＝＝＝－，故A错误；·＝·(－)＝－·＝－(－4)＝4，故B正确；＝(1，0)，＝(0，2)，所以2＋＝2(1，0)＋(0，2)＝(2，1)＝－＝，故C正确；＝(1，－2)，所以·＝2×1＋1×(－2)＝0，所以，故D正确.
(第6题)
(第7题)
7．1∶2　【解析】 如图，取AC的中点D，所以＋＝2，所以＝，所以O为BD的中点，所以＝＝.
8．　【解析】 因为＝＋＝＋＝－，所以||＝＝＝＝＝.
9．【解答】 (1) 因为四边形ABCD为菱形，所以＝，则－＝－，所以＝－＋.
(2) 因为AB＝2，∠DAB＝60°，所以·＝||·||cos∠DAB＝2×2×＝2，则|＋|＝＝＝＝2，|－|＝＝＝＝2.
10．【解答】 (1) 因为E，F依次是对角线AC上的两个三等分点，所以＝，于是有＝＋＝－＋＝－＋＋)＝－＋＝－b＋a，即＝a－b.
(2) 因为E，F依次是对角线AC上的两个三等分点，所以＝，于是有＝＋＝－＋＝－＋＋)＝－＝b－a，即＝－a＋b，因此＝a－b，显然有＝，DF，EB不共线，因此DF∥EB且DF＝EB，所以四边形DFBE是平行四边形.
能力进阶·融会贯通
11．A　【解析】 由＋2＋3＝0可得＋＝－2(＋)，又因为D，E分别是AC，BC边的中点，所以＋＝2，＋＝2，所以2＝－4，即＝－2，所以O，D，E三点共线，且＝，所以E到AC的距离与O到AC的距离之比也为.又△AEC的面积与△AOC的面积都以AC为底，所以△AEC的面积与△AOC的面积的比为.
12．AC　【解析】 对于A，如图(1)所示，设BC的中点为D，由＋＋＝0，得＝－(＋)＝－2，故点P为△ABC的重心，A正确；对于B，由＝＋λ，λ∈［0，＋∞)，得＝λ，又为方向的单位向量，为方向的单位向量，故＝λ(＋)，如图(2)所示，＋＝，且射线AE为∠BAC的角平分线，故点P在∠BAC的角平分线上，B错误；对于C，如图(3)所示，D为BC的中点，由＝＋λ(＋)，λ∈［0，＋∞)，得＝λ(＋)＝2λ，故与共线，则点P在射线AD上，故点P的轨迹一定过△ABC的重心，C正确；对于D，由·＝·，得·(－)＝0，即·＝0，即PB⊥AC，同理PA⊥BC，PC⊥AB，故点P为△ABC的垂心，D错误.
图(1)
图(2)
图(3)
(第12题)
13．【解答】 (1) 因为BN是AC上的中线，所以＝＋＝＋.设BP∶PN＝λ∶1，则＝＝＝＋.又A，P，M三点共线，所以＋＝1，解得λ＝2，所以BP∶PN＝2∶1.因为BN是AC边上的中线，所以＝－＝－，所以＝＋－·＝4＋×25－2×5×＝，所以||＝，故PN＝＝.
(2) ∠MPN为与的夹角，且cos∠MPN＝.因为AM是BC边上的中线，所以＝＋)，所以＝＋＋2×·＝×4＋×25＋2××2×5×＝，所以||＝.又·＝＋)·＝＝×＝3，所以cos∠MPN＝＝＝，所以sin∠MPN＝＝.6.4　平面向量的应用
第1课时　平面几何中的向量方法
学习 目标 1．经历用向量方法解决某些简单的平面几何问题的过程． 2．体会向量是一种处理几何问题的有力工具，培养运算能力、分析和解决实际问题的能力．
新知初探基础落实
一、 概念表述
平面几何问题与平面向量之间的对应关系：
几何元素及其表示 向量及其运算
平行 __直线a∥b__ __a∥b，a＝λb__
垂直 __直线a⊥b__ __a⊥b，a·b＝0__
长度 __AB的长度__ __||，||2＝__
夹角 __∠AOB__ __cos∠AOB＝__
二、 概念辨析(判断正误：正确的画“√”，错误的画“×”)
(1) 若B是线段AC的中点，则＋＝2．(　√　)
(2) 若∥，则直线AB∥CD．(　×　)
(3) 若∥，则A，B，C三点共线．(　√　)
(4) 若△ABC是直角三角形，则有·＝0．(　×　)
典例精讲能力初成
探究1　利用向量证明平面几何问题
例1　(课本P38例1)如图，DE是△ABC的中位线，用向量方法证明：DE∥BC，DE＝BC．
【解答】如图，因为DE是△ABC的中位线，所以＝，＝，从而＝＝＝)．又＝，所以＝，于是DE∥BC，DE＝BC．
用向量证明平面几何问题的两种基本思路
(1) 向量的线性运算法的四个步骤：
①选取基底；
②用基底表示相关向量；
③利用向量的线性运算或数量积找到相应关系；
④把计算所得结果转化为几何问题．
(2) 向量的坐标运算法的四个步骤：
①建立适当的平面直角坐标系；
②把相关向量坐标化；
③利用向量的坐标运算找到相应关系；
④利用向量关系回答几何问题．
变式　如图，在平行四边形ABCD中，BC＝2BA，∠ABC＝60°，作AE⊥BD交BC于点E，求证：BE∶EC＝2∶3．
【解答】方法一：设＝a，＝b，|a|＝1，|b|＝2，则a·b＝|a||b|cos 60°＝1，＝a＋b．设＝λ＝λb，则＝＝λb a．由AE⊥BD，得＝0，即(λb a)·(a＋b)＝0，解得λ＝，所以BE∶EC＝∶＝2∶3．
方法二：如图，以B为坐标原点，BC所在直线为x轴建立平面直角坐标系，设B(0，0)，C(2，0)，则A，D．设E(m，0)，则＝，＝．由AE⊥BD，得＝0，即＝0，解得m＝，所以BE∶EC＝∶＝2∶3．
探究2　利用平面向量求几何中的长度问题
例2　(课本P39例2)如图，已知平行四边形ABCD，你能发现对角线AC和BD的长度与两条邻边AB和AD的长度之间的关系吗？
【解答】取｛｝为基底，设＝a，＝b，则＝a＋b，＝a b，从而＝(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2，＝(a b)2＝a2 2a·b＋b2．上面两式相加，得＋＝2(a2＋b2)．所以AC2＋BD2＝2(AB2＋AD2)．
用向量法求长度的策略
(1) 根据图形特点选择基底，利用向量的数量积转化，用公式|a|2＝a2求解．
(2) 建立坐标系，确定相应向量的坐标，代入公式：若a＝(x，y)，则|a|＝．
变式　在平行四边形ABCD中，AD＝1，AB＝2，对角线BD＝2，求对角线AC的长．
【解答】设＝a，＝b，则|a|＝1，|b|＝2，＝a b，＝a＋b，而||＝|a b|＝＝＝＝2，所以5 2a·b＝4，所以a·b＝．又||2＝|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＝1＋4＋2a·b＝6，所以||＝，即AC＝．
探究3　用向量求几何角度问题
例3　如图，矩形ABCD的顶点A与坐标原点重合，B，D分别在x轴、y轴正半轴上，AB＝4，AD＝2，E为AB上一点．
(1) 若DE⊥AC，求AE的长；
【解答】由题可得A(0，0)，B(4，0)，D(0，2)，C(4，2)，则＝(4，2)．设E(x，0)(0≤x≤4)，则＝(x， 2)．因为DE⊥AC，所以＝4x 4＝0，解得x＝1，所以E(1，0)，故AE的长为1．
(2) 若E为AB的中点，AC与DE的交点为M，求cos∠CME．
【解答】若E为AB的中点，则E(2，0)，＝(2， 2)．又＝(4，2)，由题图可知cos∠CME＝cos〈，〉＝＝＝．
用向量法求角度的策略
(1) 将要求的角转化为两向量的夹角，再使用基底法或坐标法求出该夹角的余弦值，然后求出该夹角，再转化为实际问题中的角即可．
(2) 要注意两向量的夹角和要求角的关系．
随堂内化及时评价
1．在△ABC中，已知A(4，1)，B(7，5)，C( 4，7)，则BC边上的中线AD的长是(　B　)
A．2　 B．
C．3 　 D．
【解析】因为BC的中点为D，所以＝，故||＝．
2．已知A(1，2)，B(2，3)，C( 2，5)，则△ABC的面积是(　A　)
A．3　 B．5
C．6　 D．4
【解析】因为A(1，2)，B(2，3)，C( 2，5)，所以＝( 3，3)，＝(1，1)，＝( 4，2)，所以||＝3，||＝，||＝2．因为||2＋||2＝||2，所以△ABC是直角三角形，所以S△ABC＝|||＝×3＝3．
3．在△ABC中，若|＋|＝||，则△ABC的形状是(　B　)
A．等腰三角形　 B．直角三角形
C．等边三角形　 D．等腰直角三角形
【解析】因为|＋|＝||，所以|＋|2＝||2，则＋2＋＝ 2＋，所以＝0，所以AB⊥AC，则△ABC为直角三角形．
4．在△ABC中，＝＋，则＝(　B　)
A．　 B．
C．　 D．2
【解析】易知D在线段BC上，如图，设＝k，则＝k k，所以＝(1 k)＋k，又＝＋，所以k＝，所以＝．
5．在直角梯形ABCD中，AB⊥AD，AB＝2，DC＝1，AB∥DC，则当AC⊥BC时，AD＝(　A　)
A．1　 B．2
C．3　 D．4
【解析】建立平面直角坐标系如图所示．设AD＝t(t＞0)，则A(0，0)，C(1，t)，B(2，0)，所以＝(1，t)，＝( 1，t)．由AC⊥BC知＝ 1＋t2＝0，解得t＝1，故AD＝1．(共23张PPT)
第六章
6.4　平面向量的应用
平面向量及其应用
第1课时　平面几何中的向量方法
学习 目标 1．经历用向量方法解决某些简单的平面几何问题的过程．
2．体会向量是一种处理几何问题的有力工具，培养运算能力、分析和解决实际问题的能力．
新知初探·基础落实
一、 概念表述
平面几何问题与平面向量之间的对应关系：
几何元素及其表示 向量及其运算
平行 ______________ ____________________
垂直 ______________ _____________________
长度 ______________ _______________________
夹角 ____________ ______________________
直线a∥b
a∥b，a＝λb
直线a⊥b
a⊥b，a·b＝0
AB的长度
||，||2＝
∠AOB
cos∠AOB＝
二、 概念辨析(判断正误：正确的画“√”，错误的画“×”)
(1) 若B是线段AC的中点，则＋＝2． (　　)
(2) 若∥，则直线AB∥CD． (　　)
(3) 若∥，则A，B，C三点共线． (　　)
(4) 若△ABC是直角三角形，则有·＝0． (　　)
√
×
√
×
典例精讲·能力初成
探究
1
利用向量证明平面几何问题
　　　(课本P38例1)如图，DE是△ABC的中位线，用向量方法证明：DE∥BC，DE＝BC．
1
【解答】
　　　　如图，因为DE是△ABC的中位线，所以＝，＝，从而＝＝＝)．又＝，所以＝，于是DE∥BC，DE＝BC．
用向量证明平面几何问题的两种基本思路
(1) 向量的线性运算法的四个步骤：
①选取基底；
②用基底表示相关向量；
③利用向量的线性运算或数量积找到相应关系；
④把计算所得结果转化为几何问题．
(2) 向量的坐标运算法的四个步骤：
①建立适当的平面直角坐标系；
②把相关向量坐标化；
③利用向量的坐标运算找到相应关系；
④利用向量关系回答几何问题．
变式　如图，在平行四边形ABCD中，BC＝2BA，∠ABC＝60°，作AE⊥BD交BC于点E，求证：BE∶EC＝2∶3．
【解答】
　　　　方法一：设＝a，＝b，|a|＝1，|b|＝2，则a·b＝|a||b|cos 60°＝1，＝a＋b．设＝λ＝λb，则＝＝λb a．由AE⊥BD，得＝0，即(λb a)·(a＋b)＝0，解得λ＝，所以BE∶EC＝∶＝2∶3．
方法二：如图，以B为坐标原点，BC所在直线为x轴建立平面直角坐标系，设B(0，0)，C(2，0)，则A，D．设E(m，0)，则＝，＝．由AE⊥BD，得＝0，即＝0，解得m＝，所以BE∶EC＝∶＝2∶3．
探究
2
利用平面向量求几何中的长度问题
　　　(课本P39例2)如图，已知平行四边形ABCD，你能发现对角线AC和BD的长度与两条邻边AB和AD的长度之间的关系吗？
2
【解答】
　　　　取{}为基底，设＝a，＝b，则＝a＋b，＝a b，从而＝(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2，＝(a b)2＝a2 2a·b＋b2．上面两式相加，得＋＝2(a2＋b2)．所以AC2＋BD2＝2(AB2＋AD2)．
用向量法求长度的策略
(1) 根据图形特点选择基底，利用向量的数量积转化，用公式|a|2＝a2求解．
(2) 建立坐标系，确定相应向量的坐标，代入公式：若a＝(x，y)，则|a|＝．
变式　在平行四边形ABCD中，AD＝1，AB＝2，对角线BD＝2，求对角线AC的长．
【解答】
　　　　设＝a，＝b，则|a|＝1，|b|＝2，＝a b，＝a＋b，而||＝|a b|＝＝＝＝2，所以5 2a·b＝4，所以a·b＝．又||2＝|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＝1＋4＋2a·b＝6，所以||＝，即AC＝．
探究
3
用向量求几何角度问题
　　　如图，矩形ABCD的顶点A与坐标原点重合，B，D分别在x轴、y轴正半轴上，AB＝4，AD＝2，E为AB上一点．
(1) 若DE⊥AC，求AE的长；
3
【解答】
　　　　由题可得A(0，0)，B(4，0)，D(0，2)，C(4，2)，则＝(4，2)．设E(x，0) (0≤x≤4)，则＝(x， 2)．因为DE⊥AC，所以＝4x 4＝0，解得x＝1，所以E(1，0)，故AE的长为1．
　　　如图，矩形ABCD的顶点A与坐标原点重合，B，D分别在x轴、y轴正半轴上，AB＝4，AD＝2，E为AB上一点．
(2) 若E为AB的中点，AC与DE的交点为M，求cos∠CME．
3
【解答】
　　　　若E为AB的中点，则E(2，0)，＝(2， 2)．又＝(4，2)，由题图可知cos∠CME＝cos〈，〉＝＝＝．
用向量法求角度的策略
(1) 将要求的角转化为两向量的夹角，再使用基底法或坐标法求出该夹角的余弦值，然后求出该夹角，再转化为实际问题中的角即可．
(2) 要注意两向量的夹角和要求角的关系．
随堂内化·及时评价
1．在△ABC中，已知A(4，1)，B(7，5)，C( 4，7)，则BC边上的中线AD的长是 (　　)
A．2　 B．
C．3 　 D．
【解析】
　　　　因为BC的中点为D，所以＝，故||＝．
B
2．已知A(1，2)，B(2，3)，C( 2，5)，则△ABC的面积是 (　　)
A．3　 B．5
C．6　 D．4
【解析】
　　　　因为A(1，2)，B(2，3)，C( 2，5)，所以＝( 3，3)，＝(1，1)，＝( 4，2)，所以||＝3，||＝，||＝2．因为||2＋||2＝||2，所以△ABC是直角三角形，所以S△ABC＝|||＝×3＝3．
A
3．在△ABC中，若|＋|＝||，则△ABC的形状是 (　　)
A．等腰三角形　 B．直角三角形
C．等边三角形　 D．等腰直角三角形
【解析】
　　　　因为|＋|＝||，所以|＋|2＝||2，则＋2＋＝ 2＋，所以＝0，所以AB⊥AC，则△ABC为直角三角形．
B
4．在△ABC中，＝＋，则＝ (　　)
A．　 B．
C．　 D．2
【解析】
　　　　易知D在线段BC上，如图，设＝k，则＝k k，所以＝(1 k)＋k，又＝＋，所以k＝，所以＝．
B
5．在直角梯形ABCD中，AB⊥AD，AB＝2，DC＝1，AB∥DC，则当AC⊥BC时，AD＝ (　　)
A．1　 B．2
C．3　 D．4
【解析】
　　　　建立平面直角坐标系如图所示．设AD＝t(t＞0)，则A(0，0)，C(1，t)，B(2，0)，所以＝(1，t)，＝( 1，t)．由AC⊥BC知＝ 1＋t2＝0，解得t＝1，故AD＝1．
A

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