资源简介

(共16张PPT)
第六章
6.4　平面向量的应用
平面向量及其应用
第2课时　向量在物理中的应用
学习 目标 1．能用向量方法解决某些简单的力学等物理问题．
2．体会向量在解决数学和实际问题中的作用，培养运算能力、分析和解决实际问题的能力．
典例精讲·能力初成
探究
1
向量在力学中的应用
　　　(课本P40例3)在日常生活中，我们有这样的经验：两个人共提一个旅行包，两个拉力夹角越大越费力；在单杠上做引体向上运动，两臂的夹角越小越省力．你能从数学的角度解释这种现象吗？
1
【解答】
　　　　先来看共提旅行包的情况．如图，设作用在旅行包上的两个拉力分别为F1，F2，为方便起见，我们不妨设|F1|＝|F2|．另设F1，F2的夹角为θ，旅行包所受的重力为G．由向量的平行四边形法则、力的平衡以及直角三角形的知识，可以知道|F1|＝，这里|G|为定值．
当θ由0逐渐变大到π时，由0逐渐变大到，cos的值由大逐渐变小，此时|F1|由小逐渐变大；反之，当θ由π逐渐变小到0时，逐渐变小到0，cos的值由小逐渐变大，此时|F1|由大逐渐变小．这就是说，F1，F2之间的夹角越大越费力，夹角越小越省力．同理，在单杠上做引体向上运动，两臂的夹角越小越省力．
(1) 力学问题的向量处理方法
向量是既有大小又有方向的量，表示向量的有向线段可以有共同的起点，也可以没有共同的起点．力是既有大小，又有方向的量．用向量知识解决共点力的问题，往往需要把向量平移到同一作用点上．
(2) 功、动量问题的向量处理方法
物理上力做功的实质是力在物体前进方向上的分力与物体位移的乘积，它的实质是力F与位移s的数量积，即W＝F·s＝|F||s|cos θ(θ为F与s的夹角)．功是一个标量，它可正，也可负．动量mv实际上是数乘向量．
变式　如图，在重300 N的物体上拴两根绳子，这两根绳子在铅垂线的两侧，与铅垂线的夹角分别为30°，60°，求当整个系统处于平衡状态时，两根绳子拉力的大小．
【解答】
　　　　如图，作平行四边形OACB，使∠AOC＝30°，∠BOC＝60°．在△OAC中，∠ACO＝∠BOC＝60°，∠OAC＝90°，||＝||cos 30°＝300×＝150，||＝||sin 30°＝300×＝150．故与铅垂线成30°角的绳子的拉力是150 N，与铅垂线成60°角的绳子的拉力是150 N．
探究
2
向量在运动学中的应用
　　　(课本P41例4)如图，一条河两岸平行，河的宽度d＝500 m，一艘船从河岸边的A地出发，向河对岸航行．已知船的速度v1的大小为|v1|＝10 km/h，水流速度v2的大小为|v2|＝2 km/h，那么当航程最短时，这艘船行驶完全程需要多长时间(精确到0.1 min)？
2
【解答】
　　　　如图，设点B是河对岸一点，AB与河岸垂直，那么当这艘船实际沿着AB方向行驶时，船的航程最短．设v＝v1＋v2，则|v|＝＝(km/h)．此时船的航行时间t＝＝×60 ≈3.1(min)．所以当航程最短时，这艘船行驶完全程需要3.1 min．
速度、位移问题的向量处理方法
速度、加速度与位移的合成和分解，实质就是向量的加减运算，而运动的叠加也用到了向量的合成．
①向量在速度、加速度上的应用，实质是通过向量的线性运算解决物理问题，最后获得物理结果．
②用向量解决速度、加速度和位移等问题，用的知识主要是向量的加法、减法以及数乘，有时也可借助坐标来求解．
变式　一条宽为 km的河，水流速度为2km/h，在河两岸有两个码头A，B，已知AB＝ km，船在水中的最大航速为4km/h，问：该船怎样安排航行速度可使它从A码头最快到达彼岸B码头？用时多少？
【解答】
　　　　如图，设为水流速度，为航行速度，以AC和AD为邻边作□ACED，且当AE与AB重合时能最快到达彼岸B码头．根据题意知AC⊥AE，||＝||＝2，||＝4，∠AED＝90°，所以
||＝＝2．又AB＝，所以用时0.5 h，易知sin∠EAD＝，所以∠EAD＝30°．
答：该船航行速度为4 km/h，与水流方向成120°角时能最快到达B码头，用时0.5 h.
随堂内化·及时评价
1．一物体在大小为10 N的力F的作用下产生的位移s的大小为50 m，且力F所做的功W＝250 N·m，则F与s的夹角为 (　　)
A．135°　 B．90°
C．60°　 D．45°
【解析】
　　　　设F与s的夹角为θ，由题意可知W＝|F||s|·cos θ，即250＝10×50cos θ，解得cos θ＝，所以θ＝45°．
D
2．一质点受到平面上的三个力F1，F2，F3(单位：N)的作用而处于平衡状态，已知F1，F2成90°角，且F1，F2的大小分别为2和4，则F3的大小为 (　　)
A．6　 B．2
C．2　 D．2
【解析】
　　　　易知F3＝ (F1＋F2)，所以|F3|2＝(F1＋F2)2＝＋＋2F1·F2＝4＋16＝20，则|F3|＝2．
C
3．已知人骑自行车的速度是v1，风速为v2，则逆风骑行的速度为 (　　)
A．v1 v2　 B．v1＋v2
C．|v1| |v2|　 D．
B
4．一艘船以5 km/h的速度沿垂直于对岸的方向行驶，船的实际航行方向与水流方向成30°角，则水流速度为_______km/h．
【解析】
　　　　如图，船速的大小为|v1|＝5，水流速度为v2，实际速度的大小为|v|＝10，所以|v2|＝|v|cos 30°＝5(km/h)．
5
5．一物体在力F1＝(3， 4)，F2＝(2， 5)，F3＝(3，1)的共同作用下从点A(1，1)移动到点B(0，5)，在这个过程中三个力的合力所做的功为_______J．
【解析】
　　　　因为F1＝(3， 4)，F2＝(2， 5)，F3＝(3，1)，所以合力F＝F1＋F2＋F3＝(8， 8)．又因为＝( 1，4)，所以W＝F·＝8×( 1)＋( 8)×4＝ 40，即三个力的合力所做的功为 40 J．
40第2课时　向量在物理中的应用
一、 单项选择题
1．已知三个力F1＝(－2，－1)，F2＝(－3，2)，F3＝(4，－3)同时作用于某物体上的一点，为使物体保持平衡，现加上一个力F4，则F4＝(　　)
A．(－1，－2) B．(1，－2)
C．(－1，2) D．(1，2)
2．河水的流速为2 m/s，一艘小船以垂直于河岸方向，大小为10 m/s的速度驶向对岸，则小船在静水中的速度大小为(　　)
A．10 m/s B．2 m/s
C．4 m/s D．12 m/s
3．当两人提起重量为G的旅行包时，两人用力方向的夹角为θ，用力大小都为F，若F＝G，则θ的值为(　　)
A．30° B．60°
C．90° D．120°
4．已知力F的大小为＝10，在F的作用下产生的位移s的大小为＝14，F与s的夹角为60°，则F做的功为(　　)
A．7 B．10
C．14 D．70
二、 多项选择题
5．如图，小船被绳索拉向岸边，船在水中运动时，设水的阻力大小不变，那么小船匀速靠岸过程中，下列说法正确的是(　　)
(第5题)
A．绳子的拉力不断增大 B．绳子的拉力不断变小
C．船的浮力不断变小 D．船的浮力保持不变
6．如图，一架飞机从A地按北偏东35°的方向飞行800 km到达B地接到受伤人员，然后又从B地按南偏东55°的方向飞行800 km送往C地医院，则下列说法正确的是(　　)
(第6题)
A．这架飞机飞行的路程是800 km
B．这架飞机飞行的路程是1 600 km　
C．两次飞行的位移和的大小为800 km
D．两次飞行的位移和的大小为1 600 km
三、 填空题
7．一艘船以4 km/h的速度沿着与水流方向成120°的方向航行，已知水流速度为2 km/h，则经过2 h，船的实际航程为________km．
(第8题)
8．如图，一个力F作用于小车G，使小车G发生了40 m的位移，F的大小为50 N，且与小车的位移方向的夹角为60°，e是与小车位移方向相同的单位向量，则F在小车位移上的投影向量为________，力F做的功为________．
四、 解答题
9．已知平面上三个力F1，F2，F3作用于一点且处于平衡状态，|F1|＝1 N，|F2|＝ N，F1与F2的夹角为45°，求：
(1) F3的大小；
(2) F1与F3夹角的大小.
10．一条河的两岸平行，河的宽度为d＝500 m，一艘船从A处出发航行到河的正对岸B处，船的航行速度为|v1|＝10 km/h，水流速度为|v2|＝4 km/h.
(1) 试求v1与v2的夹角(精确到1°)及船垂直到达对岸所用的时间(精确到0.1 min)；
(2) 要使船到达对岸所用时间最少，v1与v2的夹角应为多少？
(第10题)
11．(多选)在日常生活中，我们会看到如图所示的情境，两个人共提一个行李包.假设行李包所受重力为G，作用在行李包上的两个拉力分别为F1，F2，且|F1|＝|F2|，F1与F2的夹角为θ.以下结论正确的是(　　)
(第11题)
A．θ越大越费力，θ越小越省力
B．θ的取值范围为［0，π］
C．当θ＝时，|F1|＝|G|
D．当θ＝时，|F1|＝|G|
12．(多选)一物体受到3个力的作用，其中重力G的大小为2 N，水平拉力F1的大小为1 N，力F2未知，则(　　)
A．当该物体处于平衡状态时，|F2|＝ N
B．当物体所受合力为F1时，|F2|＝ N
C．当|F2|＝1 N时，(－1) N≤|F1＋F2＋G|≤(＋2) N
D．当|F2|＝1 N时，必存在实数λ，使得G＝F2＋λF1　
第2课时　向量在物理中的应用
基础打底·熟练掌握
1．D
2．B　【解析】 如图，由题意知|v水|＝2 m/s，|v船|＝10 m/s，所以小船在静水中的速度大小为|v|＝＝2(m/s).
(第2题)
(第3题)
3．D　【解析】 如图，作＝F1，＝F2，＝－G，则＝＋.当|F1|＝|F2|＝|G|时，△OAC为正三角形，所以∠AOC＝60°，从而∠AOB＝120°.
4．D　
5．AC　【解析】 设水的阻力为f，绳的拉力为F，F与水平方向的夹角为θ，则|F|cos θ＝|f|，所以|F|＝.因为θ增大，cos θ减小，所以|F|增大.因为|F|sin θ增大，所以船的浮力减小.
6．BC　【解析】 设，分别表示飞机从A地按北偏东35°方向飞行800 km，从B地按南偏东55°方向飞行800 km，则飞机飞行的路程指的是||＋||，两次飞行的位移的和指的是＋＝.依题意，有||＋||＝800＋800＝1 600(km).又α＝35°，β＝55°，∠ABC＝35°＋55°＝90°，所以||＝＝＝800(km)，其中∠BAC＝45°，所以方向为北偏东35°＋45°＝80°.从而飞机飞行的路程是1 600 km，两次飞行的位移和的大小为800 km，方向为北偏东80°.
7．4　【解析】 设船的速度为a，水流速度为b，则船的实际航行速度为a＋b，于是有(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2＝|a|2＋2|a||b|cos 120°＋|b|2＝16＋2×4×2×＋4＝12，所以|a＋b|＝2，则经过2 h，船的实际航程为2×2＝4(km).
8．25e　1 000 J　【解析】 因为|F|＝50，且F与小车的位移方向的夹角为60°，所以F在小车位移上的投影向量为|F|cos 60°e＝25e.力F做的功W＝25×40＝1 000(J).
9．【解答】 (1) 因为三个力平衡，所以F1＋F2＋F3＝0，所以|F3|＝|F1＋F2|＝＝＝＝＋1.
(2) 由向量夹角公式可得，cos〈F1，F3〉＝＝－＝－，所以F1与F3的夹角为150°.
10．【解答】 (1) 依题意，要使船垂直到达对岸B，就要使v1与v2的合速度的方向正好垂直于对岸，所以|v|＝＝≈9.2(km/h)，v1与v的夹角α满足sin α＝0.4，此时α≈24°，故v1与v2的夹角θ＝114°，船垂直到达对岸所用的时间t＝＝×60≈3.3(min).
(第10题)
(2) 设v1与v2的夹角为θ(如图)，v1与v2在竖直方向上的分速度的和为|v1|sin θ，而船到达对岸时，在竖直方向上行驶的路程为d＝0.5 km，从而所用的时间t＝，显然，当θ＝90°时，t最小，即船头始终向着对岸时，所用的时间最少，所以要使船到达对岸所用时间最少，v1与v2的夹角为90°.
能力进阶·融会贯通
11．AD　【解析】 对于A，由|G|＝|F1＋F2|为定值，得|G|2＝|F1|2＋|F2|2＋2|F1||F2|cos θ＝2|F1|2(1＋cos θ)，解得|F1|2＝.由题意知θ∈［0，π)时，y＝2(1＋cos θ)单调递减，所以|F1|2单调递增，即θ越大越费力，θ越小越省力，A正确；对于B，由题意知，θ的取值范围是［0，π)，故B错误；对于C，当θ＝时，|F1|2＝，所以|F1|＝|G|，故C错误；对于D，当θ＝时，|F1|2＝|G|2，所以|F1|＝|G|，故D正确.
12．AD　【解析】 对于A，当该物体处于平衡状态时，如图(1)，此时F1，F2的合力大小为2 N，方向与重力方向相反，故|F2|＝ N，A正确；对于B，当物体所受合力为F1时，力F2与重力G大小相等、方向相反，如图(2)，|F2|＝2 N，B错误；对于C，当|F2|＝1 N时，设重力G与水平拉力F1的合力为F，大小为|F|＝ N，如图(3)，当F2与F方向相同时，|F1＋F2＋G|取得最大值(＋1) N，当F2与F方向相反时，|F1＋F2＋G|取得最小值(－1) N，故(－1) N≤|F1＋F2＋G|≤(＋1) N，C错误；对于D，当|F2|＝1 N时，若存在实数λ，使得G＝F2＋λF1，则λ2＝(G－F2)2＝4＋1－2×2×1×cos θ＝5－4cos θ∈［1，9］，其中θ为力G，F2的夹角，所以存在实数λ，使得G＝F2＋λF1，D正确.
图(1)
图(2)
图(3)
(第12题)第2课时　向量在物理中的应用
学习 目标 1．能用向量方法解决某些简单的力学等物理问题． 2．体会向量在解决数学和实际问题中的作用，培养运算能力、分析和解决实际问题的能力．
典例精讲能力初成
探究1　向量在力学中的应用
例1　(课本P40例3)在日常生活中，我们有这样的经验：两个人共提一个旅行包，两个拉力夹角越大越费力；在单杠上做引体向上运动，两臂的夹角越小越省力．你能从数学的角度解释这种现象吗？
【解答】先来看共提旅行包的情况．如图，设作用在旅行包上的两个拉力分别为F1，F2，为方便起见，我们不妨设|F1|＝|F2|．另设F1，F2的夹角为θ，旅行包所受的重力为G．由向量的平行四边形法则、力的平衡以及直角三角形的知识，可以知道|F1|＝，这里|G|为定值．当θ由0逐渐变大到π时，由0逐渐变大到，cos的值由大逐渐变小，此时|F1|由小逐渐变大；反之，当θ由π逐渐变小到0时，由逐渐变小到0，cos的值由小逐渐变大，此时|F1|由大逐渐变小．这就是说，F1，F2之间的夹角越大越费力，夹角越小越省力．同理，在单杠上做引体向上运动，两臂的夹角越小越省力．
(1) 力学问题的向量处理方法
向量是既有大小又有方向的量，表示向量的有向线段可以有共同的起点，也可以没有共同的起点．力是既有大小，又有方向的量．用向量知识解决共点力的问题，往往需要把向量平移到同一作用点上．
(2) 功、动量问题的向量处理方法
物理上力做功的实质是力在物体前进方向上的分力与物体位移的乘积，它的实质是力F与位移s的数量积，即W＝F·s＝|F||s|cos θ(θ为F与s的夹角)．功是一个标量，它可正，也可负．动量mv实际上是数乘向量．
变式　如图，在重300 N的物体上拴两根绳子，这两根绳子在铅垂线的两侧，与铅垂线的夹角分别为30°，60°，求当整个系统处于平衡状态时，两根绳子拉力的大小．
【解答】如图，作平行四边形OACB，使∠AOC＝30°，∠BOC＝60°．在△OAC中，∠ACO＝∠BOC＝60°，∠OAC＝90°，||＝||cos 30°＝300×＝150，||＝||sin 30°＝300×＝150．故与铅垂线成30°角的绳子的拉力是150 N，与铅垂线成60°角的绳子的拉力是150 N．
探究2　向量在运动学中的应用
例2　(课本P41例4)如图，一条河两岸平行，河的宽度d＝500 m，一艘船从河岸边的A地出发，向河对岸航行．已知船的速度v1的大小为|v1|＝10 km/h，水流速度v2的大小为|v2|＝2 km/h，那么当航程最短时，这艘船行驶完全程需要多长时间(精确到0.1 min)？
【解答】如图，设点B是河对岸一点，AB与河岸垂直，那么当这艘船实际沿着AB方向行驶时，船的航程最短．设v＝v1＋v2，则|v|＝＝(km/h)．此时船的航行时间t＝＝×60≈3.1(min)．所以当航程最短时，这艘船行驶完全程需要3.1 min．
速度、位移问题的向量处理方法
速度、加速度与位移的合成和分解，实质就是向量的加减运算，而运动的叠加也用到了向量的合成．
①向量在速度、加速度上的应用，实质是通过向量的线性运算解决物理问题，最后获得物理结果．
②用向量解决速度、加速度和位移等问题，用的知识主要是向量的加法、减法以及数乘，有时也可借助坐标来求解．
变式　一条宽为 km的河，水流速度为2km/h，在河两岸有两个码头A，B，已知AB＝ km，船在水中的最大航速为4km/h，问：该船怎样安排航行速度可使它从A码头最快到达彼岸B码头？用时多少？
【解答】如图，设为水流速度，为航行速度，以AC和AD为邻边作 ACED，且当AE与AB重合时能最快到达彼岸B码头．根据题意知AC⊥AE，||＝||＝2，||＝4，∠AED＝90°，所以||＝＝2．又AB＝，所以用时0.5 h，易知sin∠EAD＝，所以∠EAD＝30°．
答：该船航行速度为4 km/h，与水流方向成120°角时能最快到达B码头，用时0.5 h．
随堂内化及时评价
1．一物体在大小为10 N的力F的作用下产生的位移s的大小为50 m，且力F所做的功W＝250 N·m，则F与s的夹角为(　D　)
A．135°　 B．90°
C．60°　 D．45°
【解析】设F与s的夹角为θ，由题意可知W＝|F||s|·cos θ，即250＝10×50cos θ，解得cos θ＝，所以θ＝45°．
2．一质点受到平面上的三个力F1，F2，F3(单位：N)的作用而处于平衡状态，已知F1，F2成90°角，且F1，F2的大小分别为2和4，则F3的大小为(　C　)
A．6　 B．2
C．2　 D．2
【解析】易知F3＝ (F1＋F2)，所以|F3|2＝(F1＋F2)2＝＋＋2F1·F2＝4＋16＝20，则|F3|＝2．
3．已知人骑自行车的速度是v1，风速为v2，则逆风骑行的速度为(　B　)
A．v1 v2　 B．v1＋v2
C．|v1| |v2|　 D．
4．一艘船以5 km/h的速度沿垂直于对岸的方向行驶，船的实际航行方向与水流方向成30°角，则水流速度为__5__km/h．
【解析】如图，船速的大小为|v1|＝5，水流速度为v2，实际速度的大小为|v|＝10，所以|v2|＝|v|cos 30°＝5(km/h)．
5．一物体在力F1＝(3， 4)，F2＝(2， 5)，F3＝(3，1)的共同作用下从点A(1，1)移动到点B(0，5)，在这个过程中三个力的合力所做的功为__ 40__J．
【解析】因为F1＝(3， 4)，F2＝(2， 5)，F3＝(3，1)，所以合力F＝F1＋F2＋F3＝(8， 8)．又因为＝( 1，4)，所以W＝F·＝8×( 1)＋( 8)×4＝ 40，即三个力的合力所做的功为 40 J．

展开更多......

收起↑