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第六章
6.4　平面向量的应用
平面向量及其应用
第3课时　余弦定理
学习 目标 1．理解余弦定理的推导过程，掌握余弦定理及其推论．
2．掌握余弦定理的综合应用，能应用余弦定理判断三角形的形状．
新知初探·基础落实
现有三个岛屿A，B，C，岛屿A与B之间的距离因A，B之间有另一个小岛而无法直接测量，但可测得AC，BC的距离分别为6 km和4 km，且AC，BC的夹角为120°．如何计算岛屿A，B之间的距离？
可利用向量计算||．因为＝＋，所以||＝＝2(km)．
一、 概念生成
余弦定理
推导过程：因为＝，两边同时平方，得＝，在△ABC中，设AB＝c，AC＝b，BC＝a，所以a2＝b2＋c2 2bccos A．
定理理解：①在任意三角形中都成立；②从上式可推出cos A＝；③需要知道3个条件才可以求解三角形的其他边或角，当已知条件是“SAS”或“SSS”时，优先选用余弦定理求解．
请同学阅读课本P42—P44，完成下列填空．
二、 概念表述
1．余弦定理：在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c．
余 弦 定 理 语言叙述 三角形中任何一边的平方，等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍
公式表达 a2＝____________________，
b2＝____________________，
c2＝____________________
推论
b2＋c2 2bccos A
a2＋c2 2accos B
a2＋b2 2abcos C
2．解三角形
一般地，三角形的三个角A，B，C和它们的对边a，b，c叫做三角形的元素．已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形．
三、 概念辨析(判断正误：正确的画“√”，错误的画“×”)
(1) 在三角形中，已知两边及其一边的对角，不能用余弦定理求解三角形．(　　)
(2) 余弦定理揭示了任意三角形边角之间的关系，因此它适用于任何三角形． (　　)
(3) 利用余弦定理可以解决已知三角形三边求角的问题． (　　)
(4) 在三角形中，勾股定理是余弦定理的特例． (　　)
×
√
√
√
典例精讲·能力初成
探究
1
利用余弦定理解三角形
视角1　已知两边与一角解三角形
　　　　　(1) (课本P43例5补充)在△ABC中，a＝2，c＝＋，B＝45°，解这个三角形．
【解答】
　　　　根据余弦定理得b2＝a2＋c2 2ac·cos B＝(2)2＋(＋)2 2×2×(＋)×cos 45°＝8，所以b＝2．因为cos A＝＝＝，所以A＝60°，C＝180° (A＋B)＝75°．
1－1
　　　　　(2) 已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a＝，c＝2，cos A＝，则b＝_____．
【解析】
　　　　由余弦定理得a2＝b2＋c2 2bccos A，即3b2 8b 3＝0，解得b＝3．
3
1－1
已知三角形的两边及一角解三角形，必须先判断该角是给出两边中一边的对角，还是给出两边的夹角．若是给出两边的夹角，可以由余弦定理求第三边；若是给出两边中一边的对角，可以利用余弦定理建立一元二次方程，解方程求出第三边．然后利用余弦定理和三角形内角和定理求出另外两个角．
变式　(1) 在△ABC中，已知b＝3，c＝3，B＝30°，解这个三角形．
【解答】
　　　　由余弦定理b2＝a2＋c2 2accos B，得32＝a2＋(3)2 2a×3×cos 30°，即a2 9a＋18＝0，解得a＝3或a＝6．当a＝3时，A＝30°，C＝120°；当a＝6时，由余弦定理得cos A＝＝0，A＝90°，C＝60°．
变式　(2) (课本P44例6)在△ABC中，a＝7，b＝8，锐角C满足sin C＝，求B(精确到1°)．
【解答】
　　　　因为sin C＝，且C为锐角，所以cos C＝＝＝．由余弦定理，得c2＝a2＋b2 2abcos C＝49＋64 2×7×8×＝9，所以c＝3，进而cos B＝＝＝ ．利用计算器，可得B≈98°．
视角2　已知三边(三边关系)解三角形
　　　　　在△ABC中，已知a＝2，b＝6＋2，c＝4，求A，B，C的大小．
1－2
【解答】
　　　　根据余弦定理，得cos A＝＝＝．因为A∈(0，π)，所以A＝．cos C＝＝＝，因为C∈(0，π)，所以C＝，所以B＝π A C＝π ＝，所以A＝，B＝，C＝．
已知三边(三边关系)解三角形，利用余弦定理求出两个角的余弦值，根据三角形内角的范围求出对应的两个角，然后利用三角形内角和定理求出另外一个角．
变式　在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a∶b∶c＝2∶∶(＋1)，求△ABC中各角的度数．
【解答】
　　　　由题意，令a＝2k，b＝k，c＝(＋1)k(k＞0)，由余弦定理的推论，得cos A＝＝＝，因为0°＜A＜180°，所以A＝45°．cos B＝＝＝，因为0°＜B＜180°，所以B＝60°．所以C＝180° A B＝180° 45° 60°＝75°．
探究
2
判断三角形的形状
　　　在△ABC中，若acos B＋acos C＝b＋c，试判断该三角形的形状．
2
【解答】
　　　　由acos B＋acos C＝b＋c，结合余弦定理，得a·＋a·＝b＋c，即＋＝b＋c，整理得(b＋c)(a2 b2 c2)＝0．因为b＋c≠0，所以a2＝b2＋c2，故△ABC是直角三角形．
(1) 利用三角形的边角关系判断三角形的形状时，需要从“统一”入手，即使用转化思想解决问题，一般有两条思考路线：①先化边为角，再进行三角恒等变换，求出三角之间的数量关系；②先化角为边，再进行代数恒等变换，求出三边之间的数量关系．
(2) 判断三角形的形状时，经常用到以下结论：
①△ABC为直角三角形 a2＝b2＋c2或c2＝a2＋b2或b2＝a2＋c2．
②△ABC为锐角三角形 a2＋b2＞c2且b2＋c2＞a2且c2＋a2＞b2．
③△ABC为钝角三角形 a2＋b2＜c2或b2＋c2＜a2或c2＋a2＜b2．
④若sin 2A＝sin 2B，则A＝B或A＋B＝．
变式　(1) 已知△ABC的三条边长分别为a，b，c，且(a＋b)∶(b＋c)∶(a＋c)＝12∶13∶15，则此三角形的最大角与最小角之和为 (　　)
A．　 B． C．　 D．
【解析】
　　　　根据题意不妨设k＞0，解得a＝7k，b＝5k，c＝8k，所以可
得此三角形的最大角与最小角分别为C和B．由余弦定理可得cos A＝＝＝，又A∈(0，π)，可得A＝．所以C＋B＝π A＝．
B
变式　(2) 若锐角三角形三边长分别为2，3，x，则x的取值范围是 (　　)
A．()　 B．(1，5)
C．(1，)　 D．(，5)
【解析】
　　　　因为三角形是锐角三角形，所以三角形的三个内角都是锐角．设边长为3的边所对的锐角为角α，根据余弦定理得cos α＝＞0，解得x＞．设边长为x的边所对的锐角为角β，根据余弦定理得cos β＝＞0，解得0＜x＜．设边长为2的边所对的锐角为角γ，根据余弦定理得cos γ＝＞0恒成立． 综上，实数x的取值范围是(，)．
A
随堂内化·及时评价
1．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且b＝，c＝1，cos A＝ ，则a＝ (　　)
A．　 B．
C．6　 D．10
B
2．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，A＝60°，a2＝bc，则△ABC一定是 (　　)
A．锐角三角形　 B．钝角三角形
C．直角三角形　 D．等边三角形
【解析】
　　　　在△ABC中，因为A＝60°，a2＝bc，所以由余弦定理可得a2＝b2＋c2 2bccos A＝b2＋c2 bc，所以bc＝b2＋c2 bc，即(b c)2＝0，所以b＝c，结合A＝60°，可得△ABC一定是等边三角形．
D
3．在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，若C＝60°，a＝5，b＝8，则△ABC的周长为 (　　)
A．20　 B．30
C．40　 D．25
【解析】
　　　　在△ABC中，因为C＝60°，a＝5，b＝8，根据余弦定理，得c2＝a2＋b2 2abcos C＝52＋82 5×8＝49，所以c＝7，所以a＋b＋c＝5＋8＋7＝20，即△ABC的周长为20．
A
4．在△ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边．已知2acos C＝2b＋c，则A＝ (　　)
A．　 B．
C．　 D．
【解析】
　　　　由2b＋c＝2acos C＝2a×，得b2＋c2 a2＝ bc，所以cos A＝＝ ，又A∈(0，π)，所以A＝．
D第3课时　余弦定理
一、 单项选择题
1．已知△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a＝1，b＝2，C＝120°，则c＝(　　)
A．1 B．2
C． D．
2．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝2，b＝3，C＝60°，则△ABC一定是(　　)
A．锐角三角形 B．钝角三角形
C．直角三角形 D．等边三角形
3．在△ABC中，已知b2＝ac且c＝2a，则cos B＝(　　)
A． B．
C． D．
4．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a＝c－1，b＝c＋1，若△ABC为钝角三角形，则c的取值范围为(　　)
A．(2，4) B．(1，3)
C．(0，3) D．(3，4)
二、 多项选择题
5．已知锐角三角形的三边长分别为2，3，x，则x的取值可以是(　　)
A．1 B．2
C．3 D．2
6．在△ABC中，若a＝2，b＋c＝7，cos B＝－，则(　　)
A．b＝4 B．b＝5
C．cos A＝ D．cos C＝
三、 填空题
7．在△ABC中，AB＝3，BC＝，AC＝4，则A＝________，AC边上的高为________．
8．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a＝2，A＝，则△ABC周长的最大值为 ________．
四、 解答题
9．已知△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc.
(1) 求A的大小；
(2) 若b＋c＝2a＝2，试判断△ABC的形状.
10．已知△ABC同时满足下列四个条件中的三个：
①A＝；②cos B＝－；③a＝7；④b＝3.
(1) 请指出这三个条件，并说明理由；
(2) 求c.
11．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且b2＝ac，若m＝sin B＋cos B，则实数m的取值范围为(　　)
A．(，2］ B．
C．［，2］ D．
12．为了开凿隧道，要测量隧道上D，E间的距离，为此在山的一侧选取适当点C，如图，测得CA＝400 m，CB＝600 m，∠ACB＝60°，又测得A，B两点到隧道口的距离AD＝80 m，BE＝40 m(A，D，E，B在一条直线上)，则隧道DE的长为________m．
(第12题)
13．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知cos C＋(cos A－sin A)cos B＝0.
(1) 求B的大小；
(2) 若a＋c＝1，求b的取值范围.
第3课时　余弦定理
基础打底·熟练掌握
1．D　【解析】 由余弦定理，得c2＝a2＋b2－2abcos C＝1＋4－2×1×2×cos 120°＝7，所以c＝.
2．A　【解析】 由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcos C＝4＋9－2×2×3×＝7，又c>0，所以c＝.因为2<<3，故B是最大角.因为cos B＝＝＝>0，所以B为锐角，故△ABC为锐角三角形.
3．B　
4．A　【解析】 由a＝c－1，b＝c＋1，则b>c>a，由a＋c>b，即c＋c－1>c＋1，得c>2.又△ABC为钝角三角形，所以cos B<0，即<0，得c2－4c<0，则05．CD　【解析】 由题设知10，解得30，解得6．ACD　【解析】 在△ABC中，由b2＝a2＋c2－2accos B及b＋c＝7知，b2＝4＋(7－b)2－2×2×(7－b)×，整理得15b－60＝0，所以b＝4，c＝3.由余弦定理得cos A＝，cos C＝.
7．　
8．6　【解析】 因为a＝2，A＝，由余弦定理得，a2＝b2＋c2－2bccos A，即4＝b2＋c2－bc，即b2＋c2＝4＋bc≥2bc，所以bc≤4，当且仅当b＝c＝2时取“＝”，所以(b＋c)2＝b2＋c2＋2bc＝4＋3bc≤16，所以b＋c≤4，当且仅当b＝c＝2时取“＝”，所以△ABC周长的最大值为6.
9．【解答】 (1) 因为(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc，所以a2＝b2＋c2－bc，而a2＝b2＋c2－2bccos A，所以2cos A＝1，所以cos A＝.因为A∈(0，π)，所以A＝.
(2) 由(1)知a2＝b2＋c2－bc，又a＝，所以()2＝b2＋c2－bc，即(b＋c)2－3bc＝3 ①.又因为b＋c＝2，与①联立，解得bc＝3，所以所以b＝c＝，所以△ABC为等边三角形.
10．【解答】 (1) △ABC同时满足①③④.理由如下：若△ABC同时满足①②.因为cos B＝－<－，且B∈(0，π)，所以B>，所以A＋B>π，矛盾，所以△ABC只能同时满足③④.因为a>b，所以A>B，故△ABC不满足②.故△ABC满足①③④.
(2) 因为a2＝b2＋c2－2bccos A，所以72＝32＋c2－2×3×c×，解得c＝8或c＝－5(舍)，所以c＝8.
能力进阶·融会贯通
11．C　【解析】 由余弦定理得cos B＝＝＝≥＝，当且仅当a＝c时取等号，因为012．200－120　【解析】 由余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos∠ACB＝4002＋6002－2×400×600×＝280 000，所以AB＝200(m)，所以DE＝AB－AD－BE＝(200－120)m.
13．【解答】 (1) 由已知得－cos(A＋B)＋cos Acos B－sin Acos B＝0，即sin Asin B－sin Acos B＝0，因为sin A≠0，所以sin B－cos B＝0.又cos B≠0，所以tan B＝.又0(2) 由余弦定理，得b2＝a2＋c2－2accos B，因为a＋c＝1，cos B＝，所以b2＝3＋.又0学习 目标 1．理解余弦定理的推导过程，掌握余弦定理及其推论． 2．掌握余弦定理的综合应用，能应用余弦定理判断三角形的形状．
新知初探基础落实
现有三个岛屿A，B，C，岛屿A与B之间的距离因A，B之间有另一个小岛而无法直接测量，但可测得AC，BC的距离分别为6 km和4 km，且AC，BC的夹角为120°．如何计算岛屿A，B之间的距离？
可利用向量计算||．因为＝＋，所以||＝＝2(km)．
一、 概念生成
余弦定理
推导过程：因为＝，两边同时平方，得＝，在△ABC中，设AB＝c，AC＝b，BC＝a，所以a2＝b2＋c2 2bccos A．
定理理解：①在任意三角形中都成立；②从上式可推出cos A＝；③需要知道3个条件才可以求解三角形的其他边或角，当已知条件是“SAS”或“SSS”时，优先选用余弦定理求解．
请同学阅读课本P42—P44，完成下列填空．
二、 概念表述
1．余弦定理：在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c．
余 弦 定 理 语言 叙述 三角形中任何一边的平方，等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍
公式 表达 a2＝__b2＋c2 2bccos A__， b2＝__a2＋c2 2accos B__， c2＝__a2＋b2 2abcos C__
推论 cos A＝，cos B＝，cos C＝
2．解三角形
一般地，三角形的三个角A，B，C和它们的对边a，b，c叫做三角形的元素．已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形．
三、 概念辨析(判断正误：正确的画“√”，错误的画“×”)
(1) 在三角形中，已知两边及其一边的对角，不能用余弦定理求解三角形．(　×　)
(2) 余弦定理揭示了任意三角形边角之间的关系，因此它适用于任何三角形．(　√　)
(3) 利用余弦定理可以解决已知三角形三边求角的问题．(　√　)
(4) 在三角形中，勾股定理是余弦定理的特例．(　√　)
典例精讲能力初成
探究1　利用余弦定理解三角形
视角1　已知两边与一角解三角形
例1 1　(1) (课本P43例5补充)在△ABC中，a＝2，c＝＋，B＝45°，解这个三角形．
【解答】根据余弦定理得b2＝a2＋c2 2ac·cos B＝(2)2＋(＋)2 2×2×(＋)×cos 45°＝8，所以b＝2．因为cos A＝＝＝，所以A＝60°，C＝180° (A＋B)＝75°．
(2) 已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a＝，c＝2，cos A＝，则b＝__3__．
【解析】由余弦定理得a2＝b2＋c2 2bccos A，即3b2 8b 3＝0，解得b＝3．
已知三角形的两边及一角解三角形，必须先判断该角是给出两边中一边的对角，还是给出两边的夹角．若是给出两边的夹角，可以由余弦定理求第三边；若是给出两边中一边的对角，可以利用余弦定理建立一元二次方程，解方程求出第三边．然后利用余弦定理和三角形内角和定理求出另外两个角．
变式　(1) 在△ABC中，已知b＝3，c＝3，B＝30°，解这个三角形．
【解答】由余弦定理b2＝a2＋c2 2accos B，得32＝a2＋(3)2 2a×3×cos 30°，即a2 9a＋18＝0，解得a＝3或a＝6．当a＝3时，A＝30°，C＝120°；当a＝6时，由余弦定理得cos A＝＝0，A＝90°，C＝60°．
(2) (课本P44例6)在△ABC中，a＝7，b＝8，锐角C满足sin C＝，求B(精确到1°)．
【解答】因为sin C＝，且C为锐角，所以cos C＝＝＝．由余弦定理，得c2＝a2＋b2 2abcos C＝49＋64 2×7×8×＝9，所以c＝3，进而cos B＝＝＝ ．利用计算器，可得B≈98°．
视角2　已知三边(三边关系)解三角形
例1 2　在△ABC中，已知a＝2，b＝6＋2，c＝4，求A，B，C的大小．
【解答】根据余弦定理，得cos A＝＝＝．因为A∈(0，π)，所以A＝．cos C＝＝＝，因为C∈(0，π)，所以C＝，所以B＝π A C＝π ＝，所以A＝，B＝，C＝．
已知三边(三边关系)解三角形，利用余弦定理求出两个角的余弦值，根据三角形内角的范围求出对应的两个角，然后利用三角形内角和定理求出另外一个角．
变式　在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a∶b∶c＝2∶∶(＋1)，求△ABC中各角的度数．
【解答】由题意，令a＝2k，b＝k，c＝(＋1)k(k＞0)，由余弦定理的推论，得cos A＝＝＝，因为0°＜A＜180°，所以A＝45°．cos B＝＝＝，因为0°＜B＜180°，所以B＝60°．所以C＝180° A B＝180° 45° 60°＝75°．
探究2　判断三角形的形状
例2　在△ABC中，若acos B＋acos C＝b＋c，试判断该三角形的形状．
【解答】由acos B＋acos C＝b＋c，结合余弦定理，得a·＋a·＝b＋c，即＋＝b＋c，整理得(b＋c)(a2 b2 c2)＝0．因为b＋c≠0，所以a2＝b2＋c2，故△ABC是直角三角形．
(1) 利用三角形的边角关系判断三角形的形状时，需要从“统一”入手，即使用转化思想解决问题，一般有两条思考路线：①先化边为角，再进行三角恒等变换，求出三角之间的数量关系；②先化角为边，再进行代数恒等变换，求出三边之间的数量关系．
(2) 判断三角形的形状时，经常用到以下结论：
①△ABC为直角三角形 a2＝b2＋c2或c2＝a2＋b2或b2＝a2＋c2．
②△ABC为锐角三角形 a2＋b2＞c2且b2＋c2＞a2且c2＋a2＞b2．
③△ABC为钝角三角形 a2＋b2＜c2或b2＋c2＜a2或c2＋a2＜b2．
④若sin 2A＝sin 2B，则A＝B或A＋B＝．
变式　(1) 已知△ABC的三条边长分别为a，b，c，且(a＋b)∶(b＋c)∶(a＋c)＝12∶13∶15，则此三角形的最大角与最小角之和为(　B　)
A．　 B．
C．　 D．
【解析】根据题意不妨设k＞0，解得a＝7k，b＝5k，c＝8k，所以可得此三角形的最大角与最小角分别为C和B．由余弦定理可得cos A＝＝＝，又A∈(0，π)，可得A＝．所以C＋B＝π A＝．
(2) 若锐角三角形三边长分别为2，3，x，则x的取值范围是(　A　)
A．()　 B．(1，5)
C．(1，)　 D．(，5)
【解析】因为三角形是锐角三角形，所以三角形的三个内角都是锐角．设边长为3的边所对的锐角为角α，根据余弦定理得cos α＝＞0，解得x＞．设边长为x的边所对的锐角为角β，根据余弦定理得cos β＝＞0，解得0＜x＜．设边长为2的边所对的锐角为角γ，根据余弦定理得cos γ＝＞0恒成立．综上，实数x的取值范围是(，)．
随堂内化及时评价
1．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且b＝，c＝1，cos A＝ ，则a＝(　B　)
A．　 B．
C．6　 D．10
2．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，A＝60°，a2＝bc，则△ABC一定是(　D　)
A．锐角三角形　 B．钝角三角形
C．直角三角形　 D．等边三角形
【解析】在△ABC中，因为A＝60°，a2＝bc，所以由余弦定理可得a2＝b2＋c2 2bccos A＝b2＋c2 bc，所以bc＝b2＋c2 bc，即(b c)2＝0，所以b＝c，结合A＝60°，可得△ABC一定是等边三角形．
3．在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，若C＝60°，a＝5，b＝8，则△ABC的周长为(　A　)
A．20　 B．30
C．40　 D．25
【解析】在△ABC中，因为C＝60°，a＝5，b＝8，根据余弦定理，得c2＝a2＋b2 2abcos C＝52＋82 5×8＝49，所以c＝7，所以a＋b＋c＝5＋8＋7＝20，即△ABC的周长为20．
4．在△ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边．已知2acos C＝2b＋c，则A＝(　D　)
A．　 B．
C．　 D．
【解析】由2b＋c＝2acos C＝2a×，得b2＋c2 a2＝ bc，所以cos A＝＝ ，又A∈(0，π)，所以A＝．

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