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第4课时　正弦定理
一、 单项选择题
1．已知△ABC中，BC＝4，AC＝4，A＝30°，则B＝(　　)
A．30° B．30°或150°
C．60° D．60°或120°
2．在△ABC中，若A＝30°，a＝3，b＝2，则这个三角形有(　　)
A．一解 B．两解
C．无解 D．无法确定
3．在△ABC中，A＝120°，AC＝2，△ABC的面积为2，则BC边的长为(　　)
A．2 B．
C．2 D．
4．在△ABC中，若满足sin2A＝sin2B＋sin Bsin C＋sin2C，则A＝(　　)
A．30° B．60°
C．120° D．150°
二、 多项选择题
5．已知△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.以下关于正弦定理或其变形正确的有(　　)
A．a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C
B．若sin 2A＝sin 2B，则a＝b
C．a＝2Rsin A(R为△ABC外接圆半径)
D．＝
6．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.下列说法正确的有(　　)
A．若b＝1，c＝2，A＝，则a＝7
B．若b＝5，B＝，sin A＝，则a＝2
C．若A>B，则sin A>sin B
D．若A＝，a＝5，则△ABC外接圆的半径为10
三、 填空题
7．在△ABC中，若c＝3，C＝，则a＋b＝________．
8．设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知bsin A＋acos B＝0，则B＝________．
四、 解答题
9．(新高考Ⅱ卷)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin A＋cos A＝2.
(1) 求A；
(2) 若a＝2，bsin C＝csin 2B，求△ABC的周长.
10．(新高考Ⅰ卷)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin C＝cos B，a2＋b2－c2＝ab.
(1) 求B；
(2) 若△ABC的面积为3＋，求c.
11．(多选)对于△ABC，下列说法中正确的是(　　)
A．若sin AB．若sin A＝cos B，则△ABC是直角三角形
C．若acos A＝bcos B，则△ABC是等腰三角形
D．若tan A＋tan B＋tan C>0，则△ABC是锐角三角形
12．埃及有许多金字塔，经过几千年的风化蚀食，有不少已经损坏了.考古人员在研究中测得一座金字塔的三角形横截面如图所示(顶端已经坍塌了)，A＝50°，B＝55°，AB＝120 m，则此金字塔的高约为________m．
(精确到1 m，参考数据：sin 50°≈0.766，sin 55°≈0.819，≈2.449，≈1.414)
(第12题)
13．在△ABC中，已知＝，且cos(A－B)＋cos C＝1－cos 2C.
(1) 试确定△ABC的形状；
(2) 求的取值范围.
第4课时　正弦定理
基础打底·熟练掌握
1．D　【解析】 因为△ABC中，BC＝4，AC＝4，A＝30°，所以＝，则sin B＝＝＝，由AC>BC，可得B>A，即30°2．A　3．A
4．C　【解析】 在△ABC中，因为sin2A＝sin2B＋sin Bsin C＋sin2C，所以由正弦定理得a2＝b2＋bc＋c2，即b2＋c2－a2＝－bc，所以由余弦定理有cos A＝＝－，因为0°5．ACD　【解析】 对于B，由sin 2A＝sin 2B，可得A＝B或2A＋2B＝π，即A＝B或A＋B＝，所以a＝b或a2＋b2＝c2，故B错误.
6．BC　【解析】 对于A，因为b＝1，c＝2，A＝，由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos A＝7，解得a＝，故A错误.对于B，因为b＝5，B＝，sin A＝，由正弦定理得＝，解得a＝＝＝2，故B正确.对于C，因为A>B，0°b.由正弦定理得2Rsin A>2Rsin B(R为△ABC外接圆半径)，所以sin A>sin B，故C正确.对于D，因为A＝，a＝5，设R为△ABC外接圆半径，由正弦定理得2R＝＝＝10，所以R＝5，故D错误.
7．　【解析】 由C＝，S△ABC＝，代入面积公式可得＝absin，可得ab＝4.由余弦定理可得c2＝a2＋b2－2abcos C＝a2＋b2－2abcos＝32，则9＝a2＋b2－ab，即9＝(a＋b)2－3ab，把ab＝4代入可得(a＋b)2＝9＋12＝21.由于a，b为边长，可得a＋b＝.
8．　【解析】 由bsin A＋acos B＝0及正弦定理可得sin Bsin A＋sin Acos B＝0，由sin A≠0，得sin B＝－cos B.又因为sin2B＋cos2B＝1，解得sin B＝，cos B＝－，故B＝.
9．【解答】 (1)由sin A＋cos A＝2可得sin A＋cos A＝1，即sin＝1，由于A∈(0，π)，故A＋∈，所以A＋＝，解得A＝.
(2)由题设条件和正弦定理得sin Bsin C＝2sin C·sin Bcos B，又B，C∈(0，π)，则sin Bsin C≠0，进而cos B＝，所以B＝，于是sin C＝sin［π－(A＋B)］＝sin(A＋B)＝sin Acos B＋sin Bcos A＝.由正弦定理可得＝＝＝＝4，解得b＝2，c＝＋，故△ABC的周长为2＋＋3.
10．【解答】 (1)由余弦定理有a2＋b2－c2＝2abcos C，对比已知条件a2＋b2－c2＝ab，可得cos C＝.因为C∈，所以sin C>0，从而sin C＝＝＝.又因为sin C＝cos B，所以cos B＝，又B∈，所以B＝.
(2)由(1)可得B＝，cos C＝，C∈，从而C＝，A＝π－－＝，而sin A＝sin ＝sin＝×＋×＝，由正弦定理有＝＝，从而a＝·c＝c，b＝·c＝c.由三角形面积公式可知△ABC的面积S△ABC＝absin C＝·c·c·＝c2＝3＋，解得c＝2.
能力进阶·融会贯通
11．AD　【解析】 若sin A0，所以△ABC是锐角三角形，故D正确.
12．78　【解析】 先分别从A，B出发延长断边，确定交点C(图略)，则C＝180°－A－B＝75°，AC＝·sin B＝×sin 55°.设高为h，则h＝AC·sin A＝≈78(m).　
13．【解答】 (1) 在△ABC中，设其外接圆半径为R，根据正弦定理得，sin A＝，sin B＝，sin C＝，代入＝，得＝，所以b2－a2＝ab ①.因为cos(A－B)＋cos C＝1－cos 2C，所以cos(A－B)－cos(A＋B)＝2sin2C，所以sin Asin B＝sin2C.由正弦定理，得·＝，所以ab＝c2 ②.把②代入①得，b2－a2＝c2，即a2＋c2＝b2，所以△ABC是直角三角形.
(2) 由(1)知B＝，所以A＋C＝，所以C＝－A，所以sin C＝sin＝cos A.根据正弦定理，得＝＝sin A＋cos A＝sin.因为ac学习 目标 1．了解正弦定理的推导过程，掌握正弦定理及其变形的基本应用． 2．能利用正弦定理解三角形，判断三角形解的个数问题，判断三角形的形状．
新知初探基础落实
如图所示，若想知道河对岸的一点A与岸边一点B之间的距离，且已经测量出了BC的长度，也想办法得到了∠ABC与∠ACB的大小．你能借助这三个量，求出AB的长度吗？
如图，作BD⊥AC，垂足为D．根据三角形内角和定理计算∠BAC，易知BD＝AB·sin∠BAC＝BC·sin∠ACB，所以AB＝．
一、 生成概念
问题1：余弦定理及其推论分别给出了已知两边及其夹角或已知三边直接解三角形的公式．如果已知两角和一边，是否也有相应的直接解三角形的公式呢？在直角三角形中，能得到三边、三角之间的什么关系式？
如图，在Rt△ABC中，由锐角三角函数，再根据正弦函数的定义，可得sin A＝，sin B＝，所以＝＝c．又sin C＝1，所以＝＝．
问题2：对于一般的三角形，＝＝仍然成立吗？
分锐角三角形、钝角三角形证明．
(1) 如图(1)，在锐角三角形ABC中，过点A作单位向量j垂直于．由＋＝，两边同乘以单位向量j得j·(＋)＝j·，则j·＋j·＝j·，所以|j|||cos 90°＋|j|·||cos(90° C)＝|j|||cos(90° A)，整理得asin C＝csin A，所以＝．同理，过点C作与垂直的单位向量j，可得＝，所以＝＝．
图(1)
(2) 在钝角三角形ABC中，不妨设A为钝角，如图(2)，过点A作与垂直的单位向量j，同理可得＝＝．
图(2)
请同学阅读课本P45—P48，完成下列填空．
二、 概念表述
1．正弦定理
文字语言 在一个三角形中，各边和它所对角的__正弦__的比相等
符号语言 ＝____＝____
2．正弦定理的变形
(1) asin B＝bsin A，bsin C＝csin B，asin C＝csin A．
(2) sin A∶sin B∶sin C＝a∶b∶c．
(3) a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C(R为△ABC外接圆的半径)．
(4) ＝(x，y，z不全为0，且分母不为0)．
3．三角形的面积公式
S＝absin C＝__bcsin A__＝__casin B__．
三、 概念辨析(判断正误：正确的画“√”，错误的画“×”)
在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c．
(1) ＝．(　×　)
(2) ＝．(　×　)
(3) asin B＝bsin A．(　√　)
(4) 在△ABC中，若B＝30°，b＝2，则＝4．(　√　)
典例精讲能力初成
探究1　利用正弦定理解三角形
视角1　已知两角与一边解三角形
例1 1　(课本P47例7)在△ABC中，已知A＝15°，B＝45°，c＝3＋，解这个三角形．
【解答】由三角形内角和定理，得C＝180° (A＋B)＝180° (15°＋45°)＝120°．由正弦定理，得a＝＝＝＝＝＝，b＝＝＝＝＋．
(1) 正弦定理实际上是三个等式：＝＝，＝，每个等式涉及四个元素，所以只要知道其中的三个就可以求另外一个．
(2) 因为三角形的内角和为180°，所以已知两角一定可以求出第三个角．
变式　在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a＝10，A＝30°，C＝45°，求B，b，c．
【解答】因为A＝30°，C＝45°，所以B＝180° (A＋C)＝105°．由正弦定理得c＝＝10，b＝＝＝20sin(60°＋45°)＝5(＋)，所以B＝105°，b＝5(＋)，c＝10．
视角2　已知两边及一边的对角解三角形
例1 2　(课本P47例8)在△ABC中，已知B＝30°，b＝，c＝2，解这个三角形．
【解答】由正弦定理，得sin C＝＝＝．因为c＞b，B＝30°，所以30°＜C＜180°，于是C＝45°或C＝135°．①当C＝45°时，A＝105°，此时a＝＝＝＝＝＝＋1；②当C＝135°时，A＝15°，此时a＝＝＝＝＝＝ 1．
(1) 用正弦定理求出另一边所对角的正弦值；
(2) 用三角形内角和定理求出第三个角；
(3) 根据正弦定理求出第三条边．
其中进行(1)时要注意讨论该角是否可能有两个值．
变式　已知△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，根据下列条件判断三角形是否有解，有解的解三角形．
(1) a＝10，b＝20，A＝60°；
【解答】因为＝，所以sin B＝＝＝＞1，所以三角形无解．
(2) a＝2，c＝，C＝．
【解答】因为＝，所以sin A＝＝．因为c＞a，所以C＞A，所以A＝，所以B＝，b＝＝＝＋1．
视角3　利用正弦定理判断三角形的解的个数
例1 3　(1) 在△ABC中，已知a＝2，b＝，A＝45°，则满足条件的三角形(　A　)
A．有2个　 B．有1个
C．不存在　 D．无法确定
【解析】由正弦定理可得＝，又a＝2，b＝，A＝45°，所以＝，所以sin B＝，因为a＜b，所以B＞A，又B∈(0，π)，所以B＝或B＝，所以满足条件的三角形有2个．
(2) 在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知b＝30，c＝15，C＝60°，则此三角形的解的情况是(　C　)
A．有一解 B．有两解
C．无解 D．有解但解的个数不确定
【解析】由正弦定理，有＝，即＝，所以sin B＝＞1，则此三角形无解．
(3) 在△ABC中，若b＝3，c＝，B＝45°，则此三角形的解的情况为(　C　)
A．无解　 B．两解
C．一解　 D．解的个数不能确定
【解析】由正弦定理得＝，即sin C＝＝＝＝sin B．因为c＜b，所以C＜B，C＝，故满足条件的△ABC只有一个．
已知两边和其中一边的对角，求其他的边和角，此时可能出现一解、两解或无解的情况，三角形不能被唯一确定．具体做法如下：
A为锐角 A为钝角或直角
图形
关系式 a＝bsin A bsin A＜a＜b a≥b a＜bsin A a＞b a≤b
解的个数 一解 两解 一解 无解 一解 无解
探究2　三角形的面积公式
例2　在△ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边，若a＝2，C＝，cos＝，求△ABC的面积S．
【解答】因为cos B＝2cos2 1＝，故B为锐角，sin B＝，所以sin A＝sin(π B C)＝sin＝．由正弦定理得c＝＝，所以S＝acsin B＝×2×＝．
(1) 若三角形中已知一个角(角的大小或该角的正、余弦值)及与该角相邻的两边，代入公式求面积．
(2) 若已知三角形的三边，可先求其一个角的余弦值，再求其正弦值，代入公式求面积．
结合图形恰当选择面积公式是解题的关键．
探究3　三角形形状的判断
例3　在△ABC中，已知(a＋b＋c)(a＋b c)＝3ab，且2cos Asin B＝sin C，试确定△ABC的形状．
【解析】方法一(利用边的关系来判断)：由正弦定理得＝，由2cos Asin B＝sin C，得cos A＝＝．又cos A＝，所以＝，即c2＝b2＋c2 a2，所以a＝b．又(a＋b＋c)(a＋b c)＝3ab，所以(a＋b)2 c2＝3ab，所以4b2 c2＝3b2，所以b＝c．综上，a＝b＝c，所以△ABC为等边三角形．
方法二(利用角的关系来判断)：由2cos Asin B＝sin C，得2cos Asin B＝sin Acos B＋cos Asin B，所以sin(A B)＝0．又A与B均为△ABC的内角，所以A＝B，由(a＋b＋c)(a＋b c)＝3ab，得(a＋b)2 c2＝3ab，所以a2＋b2 c2＝ab．根据余弦定理，得cos C＝＝，C＝60°，所以△ABC为等边三角形．
判断三角形形状的两种途径
变式　已知△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若2cos Csin B＝sin A，则该三角形的形状是(　B　)
A．等边三角形
B．等腰三角形
C．等腰三角形或直角三角形
D．直角三角形
【解析】因为2cos Csin B＝sin A，所以由正弦定理可得2bcos C＝a．又cos C＝，所以＝a，整理可得b＝c，故△ABC是等腰三角形．
随堂内化及时评价
1．已知a，b，c分别是△ABC的三个内角A，B，C所对的边，若A＝45°，B＝60°，b＝，则a＝(　A　)
A．　 B．
C．　 D．1
【解析】由正弦定理得＝，解得a＝．
2．已知△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若a＝，b＝，A＝60°，则B＝(　A　)
A．45°　 B．60°
C．45°或135°　 D．135°
【解析】根据正弦定理＝，得sin B＝＝＝＝，因为0°＜B＜180°，所以B＝45°或135°．又因为b＜a，所以B＜A，所以B＝45°．
3．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若A＝60°，b＝2，c＝1，则△ABC的面积为(　B　)
A．　 B．
C．1　 D．
4．在△ABC中，若acos C＋ccos A＝bsin B，则此三角形为(　C　)
A．等边三角形 B．等腰且非等边三角形
C．直角三角形 D．等腰直角三角形
【解析】在△ABC中，由acos C＋ccos A＝bsin B以及正弦定理可得sin Acos C＋sin Ccos A＝sin2B，即sin(A＋C)＝sin B＝sin2B．因为0＜B＜π，所以sin B≠0，所以sin B＝1，B＝，所以△ABC为直角三角形．
5．(全国甲卷理)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若B＝，b2＝ac，则sin A＋sin C＝(　C　)
A．　　 B．　
C．　　 D．
【解析】因为B＝，b2＝ac，则由正弦定理得sin Asin C＝sin 2B＝．由余弦定理可得b2＝a2＋c2 ac＝ac，即a2＋c2＝ac，根据正弦定理得sin 2A＋sin 2C＝sin Asin C＝，所以(sin A＋sin C)2＝sin 2A＋sin 2C＋2sin Asin C＝．因为A，C为三角形内角，则sin A＋sin C＞0，所以sin A＋sin C＝．(共33张PPT)
第六章
6.4　平面向量的应用
平面向量及其应用
第4课时　正弦定理
学习 目标 1．了解正弦定理的推导过程，掌握正弦定理及其变形的基本应用．
2．能利用正弦定理解三角形，判断三角形解的个数问题，判断三角形的形状．
新知初探·基础落实
如图所示，若想知道河对岸的一点A与岸边一点B之间的距离，且已经测量出了BC的长度，也想办法得到了∠ABC与∠ACB的大小．你能借助这三个量，求出AB的长度吗？
如图，作BD⊥AC，垂足为D．根据三角形内角和定理计算∠BAC，易知BD＝AB·sin∠BAC＝BC·sin∠ACB，所以AB＝．
一、 生成概念
问题1：余弦定理及其推论分别给出了已知两边及其夹角或已知三边直接解三角形的公式．如果已知两角和一边，是否也有相应的直接解三角形的公式呢？在直角三角形中，能得到三边、三角之间的什么关系式？
如图，在Rt△ABC中，由锐角三角函数，再根据正弦函数的定义，可得sin A＝，sin B＝，所以＝＝c．又sin C＝1，所以＝＝．
问题2：对于一般的三角形，＝＝仍然成立吗？
分锐角三角形、钝角三角形证明．
(1) 如图(1)，在锐角三角形ABC中，过点A作单位向量j垂直于．由＋＝，两边同乘以单位向量j得j·(＋)＝j·，则j·＋j·＝j·，所以|j|||cos 90°＋|j|·||cos(90° C)＝|j|||cos(90° A)，整理得asin C＝csin A，所以＝．同理，过点C作与垂直的单位向量j，可得＝，所以＝＝．
图(1)
(2) 在钝角三角形ABC中，不妨设A为钝角，如图(2)，过点A作与垂直的单位向量j，同理可得＝＝．
图(2)
请同学阅读课本P45—P48，完成下列填空．
二、 概念表述
1．正弦定理
文字语言 在一个三角形中，各边和它所对角的________的比相等
符号语言
正弦
2．正弦定理的变形
(1) asin B＝bsin A，bsin C＝csin B，asin C＝csin A．
(2) sin A∶sin B∶sin C＝a∶b∶c．
(3) a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C(R为△ABC外接圆的半径)．
(4) ＝(x，y，z不全为0，且分母不为0)．
3．三角形的面积公式
S＝absin C＝___________＝___________．
bcsin A
casin B
三、 概念辨析(判断正误：正确的画“√”，错误的画“×”)
在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c．
(1) ＝． (　　)
(2) ＝． (　　)
(3) asin B＝bsin A． (　　)
(4) 在△ABC中，若B＝30°，b＝2，则＝4． (　　)
×
×
√
√
典例精讲·能力初成
探究
1
利用正弦定理解三角形
视角1　已知两角与一边解三角形
　　　　　(课本P47例7)在△ABC中，已知A＝15°，B＝45°，c＝3＋，解这个三角形．
【解答】
　　　　由三角形内角和定理，得C＝180° (A＋B)＝180° (15°＋45°)＝120°.由正弦定理，得a＝＝＝＝＝＝，b＝＝＝＝＋．
1－1
(1) 正弦定理实际上是三个等式：＝＝，＝，每个等式涉及四个元素，所以只要知道其中的三个就可以求另外一个．
(2) 因为三角形的内角和为180°，所以已知两角一定可以求出第三个角．
变式　在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a＝10，A＝30°，C＝45°，求B，b，c．
【解答】
　　　　因为A＝30°，C＝45°，所以B＝180° (A＋C)＝105°．由正弦定理得c＝＝10，b＝＝＝20sin(60°＋45°)＝5(＋)，所以B＝105°，b＝5(＋)，c＝10．
视角2　已知两边及一边的对角解三角形
　　　　　(课本P47例8)在△ABC中，已知B＝30°，b＝，c＝2，解这个三角形.
1－2
【解答】
　　　　由正弦定理，得sin C＝＝＝．因为c＞b，B＝30°，所以30°＜C＜180°，于是C＝45°或C＝135°．①当C＝45°时，A＝105°，此时a＝＝＝＝＝＝＋1；②当C＝135°时，A＝15°，此时a＝＝＝＝＝＝ 1．
(1) 用正弦定理求出另一边所对角的正弦值；
(2) 用三角形内角和定理求出第三个角；
(3) 根据正弦定理求出第三条边．
其中进行(1)时要注意讨论该角是否可能有两个值．
变式　已知△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，根据下列条件判断三角形是否有解，有解的解三角形．
(1) a＝10，b＝20，A＝60°；
【解答】
　　　　因为＝，所以sin B＝＝＝＞1，所以三角形无解．
(2) a＝2，c＝，C＝．
【解答】
　　　　因为＝，所以sin A＝＝．因为c＞a，所以C＞A，所以A＝，所以B＝，b＝＝＝＋1．
视角3　利用正弦定理判断三角形的解的个数
　　　　　(1) 在△ABC中，已知a＝2，b＝，A＝45°，则满足条件的三角形 (　　)
A．有2个　 B．有1个
C．不存在　 D．无法确定
1－3
【解析】
　　　　由正弦定理可得＝，又a＝2，b＝，A＝45°，所以＝，所以sin B＝，因为a＜b，所以B＞A，又B∈(0，π)，所以B＝或B＝，所以满足条件的三角形有2个．
A
　　　　　(2) 在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知b＝30，c＝15，C＝60°，则此三角形的解的情况是 (　　)
A．有一解 B．有两解
C．无解 D．有解但解的个数不确定
1－3
【解析】
　　　　由正弦定理，有＝，即＝，所以sin B＝＞1，则此三角形无解．
C
　　　　　(3) 在△ABC中，若b＝3，c＝，B＝45°，则此三角形的解的情况为 (　　)
A．无解　 B．两解
C．一解　 D．解的个数不能确定
1－3
【解析】
　　　　由正弦定理得＝，即sin C＝＝＝＝sin B．因为c＜b，所以C＜B，C＝，故满足条件的△ABC只有一个．
C
已知两边和其中一边的对角，求其他的边和角，此时可能出现一解、两解或无解的情况，三角形不能被唯一确定．具体做法如下：
A为锐角 A为钝角或直角 图形 关系式 a＝bsin A bsin A＜a＜b a≥b a＜bsin A a＞b a≤b
解的个数 一解 两解 一解 无解 一解 无解
探究
2
三角形的面积公式
　　在△ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边，若a＝2，C＝，cos＝，求△ABC的面积S．
2
【解答】
　　　　因为cos B＝2cos2 1＝，故B为锐角，sin B＝，所以sin A＝sin(π B C)＝sin＝．由正弦定理得c＝＝，所以S＝acsin B＝×2×＝．
(1) 若三角形中已知一个角(角的大小或该角的正、余弦值)及与该角相邻的两边，代入公式求面积．
(2) 若已知三角形的三边，可先求其一个角的余弦值，再求其正弦值，代入公式求面积．
结合图形恰当选择面积公式是解题的关键．
探究
3
三角形形状的判断
　　　在△ABC中，已知(a＋b＋c)(a＋b c)＝3ab，且2cos Asin B＝sin C，试确定△ABC的形状．
3
【解答】
　　　　方法一(利用边的关系来判断)：由正弦定理得＝，由2cos Asin B＝ sin C，得cos A＝＝．又cos A＝，所以＝，即c2＝b2＋c2 a2，所以a＝b．又(a＋b＋c)(a＋b c)＝3ab，所以(a＋b)2 c2＝3ab，所以4b2 c2＝3b2，所以b＝c．综上，a＝b＝c，所以△ABC为等边三角形．
方法二(利用角的关系来判断)：由2cos Asin B＝sin C，得2cos Asin B＝sin Acos B＋cos Asin B，所以sin(A B)＝0．又A与B均为△ABC的内角，所以A＝B，由(a＋b＋c)(a＋b c)＝3ab，得(a＋b)2 c2＝3ab，所以a2＋b2 c2＝ab．根据余弦定理，得cos C＝＝，C＝60°，所以△ABC为等边三角形．
判断三角形形状的两种途径
变式　已知△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若2cos Csin B＝sin A，则该三角形的形状是 (　　)
A．等边三角形 B．等腰三角形
C．等腰三角形或直角三角形 D．直角三角形
【解析】
　　　　因为2cos Csin B＝sin A，所以由正弦定理可得2bcos C＝a．又cos C＝，所以＝a，整理可得b＝c，故△ABC是等腰三角形．
B
随堂内化·及时评价
1．已知a，b，c分别是△ABC的三个内角A，B，C所对的边，若A＝45°，B＝60°，b＝，则a＝ (　　)
A．　 B．
C．　 D．1
【解析】
　　　　由正弦定理得＝，解得a＝．
A
2．已知△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若a＝，b＝，A＝60°，则B＝ (　　)
A．45°　 B．60°
C．45°或135°　 D．135°
【解析】
　　　　根据正弦定理＝，得sin B＝＝＝＝，因为0°＜B＜180°，所以B＝45°或135°．又因为b＜a，所以B＜A，所以B＝45°．
A
3．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若A＝60°，b＝2，c＝1，则△ABC的面积为 (　　)
A．　 B．
C．1　 D．
B
4．在△ABC中，若acos C＋ccos A＝bsin B，则此三角形为 (　　)
A．等边三角形 B．等腰且非等边三角形
C．直角三角形 D．等腰直角三角形
【解析】
　　　　在△ABC中，由acos C＋ccos A＝bsin B以及正弦定理可得sin Acos C＋ sin Ccos A＝sin2B，即sin(A＋C)＝sin B＝sin2B．因为0＜B＜π，所以sin B≠0，所以 sin B＝1，B＝，所以△ABC为直角三角形．
C
5．(全国甲卷理)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若B＝，b2＝ac，则sin A＋sin C＝ (　　)
A．　　 B．　 C．　　 D．
【解析】
　　　　因为B＝，b2＝ac，则由正弦定理得sin Asin C＝sin 2B＝．
由余弦定理可得b2＝a2＋c2 ac＝ac，即a2＋c2＝ac，根据正弦定理得sin 2A＋ sin 2C＝sin Asin C＝，所以(sin A＋sin C)2＝sin 2A＋sin 2C＋2sin Asin C＝．
因为A，C为三角形内角，则sin A＋sin C＞0，所以sin A＋sin C＝．
C

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