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(共22张PPT)
第六章
6.4　平面向量的应用
平面向量及其应用
第5课时　余弦定理、正弦定理应用举例
学习 目标 1．理解测量中的有关名词、术语的确切含义．
2．能够利用余弦定理和正弦定理等知识解决一些与测量和几何计算有关的问题．
新知初探·基础落实
请同学阅读课本P48—P51，完成下列填空．
一、 概念表述
1．方位角、方向角、仰角和俯角
方位角 方向角 仰角和俯角
从________方向顺时针转到目标方向线的角 (点B的方位角为α)． 相对于某一正北方向的角． (1)北偏东α：指从正北方向顺时针旋转α到达目标方向． (2)东北方向：指北偏东45°． 在视线和水平线所成的角中，视线在水平线________的角叫仰角，在水平线________的角叫俯角
正北
上方
下方
2．坡角与坡度
坡角：坡面与__________所成的角(称为二面角)的度数，叫做坡角．
坡度：坡面的铅直高度与水平宽度的比叫做坡度，即tan α＝．如图．
水平面
典例精讲·能力初成
探究
1
测量距离问题
　　　(课本P49例9补充)如图，隔河看到两个目标A，B，但不能到达，在岸边选取相距 km的C，D两点，并测得∠ACB＝75°，∠BCD＝45°，∠ADC＝30°，∠ADB＝45°(A，B，C，D在同一平面内)，求两个目标A，B之间的距离．
1
【解答】
　　　　在△ACD中，因为∠ADC＝30°，∠ACD＝120°，所以∠CAD＝30°，所以AC＝CD＝ km．在△BDC中，∠CBD＝180° (45°＋30°＋45°)＝60°，由正弦定理，得BC＝＝＝(km)．在△ABC中，由余弦定理，得AB2＝AC2＋BC2 2AC·BC·cos∠BCA＝()2＋ 2cos 75°＝5，所以AB＝ km．所以两个目标A，B之间的距离为 km．
(1) 选定或确定要创建的三角形，首先确定所求量所在的三角形，若其他量已知则直接求解；若有未知量，则把未知量放在另一确定三角形中求解．
(2) 确定用正弦定理还是余弦定理，如果都可用，就选择更便于计算的定理．
变式　如图，A，B两点之间隔着一座小山，现要测量A，B两点间的距离，选择在同一水平面上且均能直线到达的C点，经测量，AC＝50 m，BC＝40 m，B在C北偏东45°方向上，A在C北偏西75°方向上，求AB的长．
【解答】
　　　　依题意知∠ACB＝120°，AC＝50 m，BC＝40 m，由余弦定理得AB＝＝＝10(m)，故AB的长为10 m．
探究
2
测量高度问题
　　　(课本P50例10补充)如图，在山顶铁塔上B处测得地面上一点A的俯角为α，在塔底C处测得A处的俯角为β．已知铁塔BC的高为h，求山高CD．
2
【解答】
　　　　在△ABC中，∠BCA＝90°＋β，∠ABC＝90° α，∠BAC＝α β，∠CAD＝β．根据正弦定理，得＝，即＝，所以AC＝＝．在Rt△ACD中，CD＝ACsin∠CAD＝ACsin β＝．故山的高度为．
(1) 在处理有关高度问题时，理解仰角、俯角(它是在铅垂面上所成的角)、方向(位)角(它是在水平面上所成的角)是关键．
(2) 在实际问题中，可能会遇到空间与平面(地面)同时研究的问题，这时最好画两个图形，一个空间图形，一个平面图形，这样处理起来既清楚又不容易搞错．
(3) 山或塔垂直于地面或海平面的问题，可把空间问题转化为平面问题．
变式　某兴趣小组要测量电视塔AE的高度H(单位：m)．如图，竖直放置的标杆BC的高度h＝4 m，仰角∠ABE＝α，∠ADE＝β．该小组已测得一组α，β的值，算出了tan α＝1.24，tan β＝1.20，请据此算出H的值．
【解答】
　　　　由AB＝，BD＝，AD＝及AB＋BD＝AD，得＋＝，解得H＝＝＝124．因此电视塔的高度是124 m．
探究
3
测量角度问题
　　　(课本P50例11补充)甲船在A点发现乙船在北偏东60°的B处，乙船以每小时a海里的速度向北行驶，已知甲船的速度是每小时a海里，问甲船应沿着什么方向前进，才能最快与乙船相遇？
3
【解答】
　　　　如图所示，设经过t小时两船在C点相遇，则在△ABC中，BC＝at(海里)，AC＝at(海里)，B＝180° 60°＝120°．由＝，得sin∠CAB＝＝＝＝．因为0°＜∠CAB＜60°，所以∠CAB＝30°，所以∠DAC＝60° 30°＝30°，所以甲船应沿着北偏东30°的方向前进，才能最快与乙船相遇．
测量角度问题的关键是在弄清题意的基础上，画出表示实际问题的图形，并在图形中标出有关的角和距离，再用正弦定理或余弦定理解三角形，最后将解得的结果转化为实际问题的解．
变式　如图，甲船在A处，乙船在A处的南偏东45°方向距A有9 n mile的B处，并以20 n mile/h的速度沿南偏西15°的方向行驶，若甲船沿南偏东θ的方向，并以28 n mile/h的速度行驶，恰能在C处追上乙船．问：甲船用多久追上乙船？并求sin θ的值．(结果保留根号)
【解答】
　　　　设甲船用t h追上乙船，且在C处相遇．在△ABC中，AC＝28t，BC＝20t，AB＝9，∠ABC＝180° 15° 45°＝120°，由余弦定理得(28t)2＝81＋(20t)2 2×9×20t×，即128t2 60t 27＝0，解得t＝或t＝ (舍去)，所以AC＝21，BC＝15．根据正弦定理，得sin∠BAC＝＝，则cos∠BAC＝＝．又∠ABC＝120°，∠BAC为锐角，所以θ＝45° ∠BAC，sin θ＝sin(45° ∠BAC)＝sin 45°cos∠BAC cos 45°·sin∠BAC＝．
随堂内化·及时评价
1．若P在Q的北偏东44°50'方向上，则Q在P的 (　　)
A．东偏北45°10'方向上 B．东偏北44°50'方向上
C．南偏西44°50'方向上 D．西偏南44°50'方向上
C
2．从A处望B处的仰角为α，从B处望A处的俯角为β，则α，β的关系为 (　　)
A．α＞β　 B．α＝β
C．α＋β＝90°　 D．α＋β＝180°
B
3．如图，位于某海域A处的甲船获悉，在其北偏东60°方向的C处有一艘渔船遇险后抛锚等待营救．甲船立即将救援消息告知位于甲船北偏东15°，且与甲船相距 n mile的B处的乙船，已知遇险渔船在乙船的正东方向，那么乙船前往营救遇险渔船时需要航行的距离为 (　　)
【解析】
　　　　由题意知，AB＝，∠BAC＝45°，∠BCA＝30°．在△ABC中，由正弦定理得＝，所以BC＝＝＝2，故乙船前往营救遇险渔船时需要航行的距离为2 n mile．
A． n mile　　　B．2 n mile　　　　C．2 n mile　　　D．3 n mile
B
4．如图，在地面上共线的三点A，B，C处测得一个建筑物的仰角分别为30°，45°，60°，且AB＝BC＝60 m，则建筑物的高度为 (　　)
A．15 m　　B．20 m　　C．25 m　　D．30 m
【解析】
　　　　设PO＝h，则PA＝h，PB＝h，PC＝h．在△PBA和△PBC中，由余弦定理的推论得cos∠PBA＝①，cos∠PBC＝②．因为∠PBA＋∠PBC＝180°，所以cos∠PBA＋cos∠PBC＝0③，由①②③解得h＝30或h＝ 30(舍去)，即建筑物的高度为30 m．
D第5课时　余弦定理、正弦定理应用举例
一、 单项选择题
1．某位居民站在离地20 m高的阳台上观测到对面小高层房顶的仰角为60°，小高层底部的俯角为45°，那么这栋小高层的高度为(　　)
A．20 m B．20(1＋) m
C．10(＋) m D．20(＋) m
2．位于某海域A处的甲船获悉：在其正东方向相距40海里的B处有一艘渔船遇险后抛锚等待营救.甲船立即前往救援，同时把消息告知位于甲船北偏东30°且与甲船相距30海里的C处的乙船，让乙船也前往救援，则乙船至少需要航行的海里数为(　　)
A．10 B．5
C．10 D．5
3．如图，某班同学为测量河两岸输电塔架底部A，B间的距离，在与A塔架同岸选取一点C，测得AC＝300 m，∠BAC＝75°，∠BCA＝45°，则两塔架底部之间的距离AB为(　　)
　(第3题)
A．150 m B．100 m
C．150 m D．100 m
4．台风中心从A地以20 km/h的速度向东北方向移动，离台风中心30 km内的地区为危险区，城市B在A地正东40 km处，B城市处于危险区内的持续时间为(　　)
A．0.5 h B．1 h
C．1.5 h D．2 h
二、 多项选择题
5．某人向正东走了x km后向右转了150°，然后沿新方向走3 km，结果离出发点恰好 km，那么x的值可能是(　　)
A． B．2
C．3 D．6
6．如图，为了测量某一隧道两侧A，B两地间的距离，某同学首先选定了不在直线AB上的一点C(△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c)，然后确定测量方案并测出相关数据，进行计算.现给出如下四种测量方案，其中一定能确定A，B间距离的方案有(　　)
　(第6题)
A．测量A，C，b B．测量A，B，C
C．测量a，b，C D．测量A，B，a
三、 填空题
7．如图，A，B，C是相隔不远的三座山峰的峰顶，地理测绘员要在A，B，C三点进行测量，在C点测得B点的仰角为30°，B与C的海拔高度相差180 m；在B点测得A点的仰角为45°.设A，B，C在同一水平面上的投影分别为A'，B'，C'且∠A'C'B'＝∠A'B'C'＝30°，则A与C两点的海拔高度差为________m．
(第7题)
8．海上某货轮在A处看灯塔B在货轮北偏东75°方向，距离为12 n mile；在A处看灯塔C在货轮的北偏西30°方向，距离为8 n mile.货轮向正北由A处航行到D处时看灯塔B在北偏东120°方向，则A处与D处之间的距离为________n mile，灯塔C与D处之间的距离为________n mile．
四、 解答题
9．如图所示，有一艘缉毒船正在A处巡逻，发现在北偏东75°方向、距离为60海里的B处有毒贩正驾驶小船以每小时15(－1)海里的速度往北偏东15°的方向逃跑，缉毒船立即驾船以每小时15海里的速度前往缉捕.
(1) 求缉毒船经过多长时间恰好能将毒贩抓捕；
(2) 试确定缉毒船的行驶方向.
(第9题)
10．某航模兴趣小组的同学为了测定在湖面上航模航行的速度，采用如下方法：在岸边设置两个观察点A，B，且AB＝80 m，当航模在C处时，测得∠ABC＝105°，∠BAC＝30°，经过20 s后，航模直线航行到D处，测得∠BAD＝90°，∠ABD＝45°.请你根据以上条件求出航模的速度.(答案保留根号)
(第10题)
11．雷峰塔，位于浙江省杭州市西湖区，地处西湖风景区南岸夕照山之上，重建于2002年，是“西湖十景”之一，中国九大名塔之一，中国首座彩色铜雕宝塔.某同学为测量雷峰塔的高度AB(塔底视为点B，塔顶视为点A)，在山脚下选取了两点C，D(其中A，B，C，D四点共面)，在点C处测得点A，B的仰角分别为60°，30°，在点D处测得点A的仰角为30°，且测得CD＝72 m，则按此法测得的雷峰塔塔高为(　　)
(第11题)
A．68 m B．70 m
C．72 m D．74 m
12．南昌双子塔，坐落于红谷滩区赣江北岸，是南昌标志性建筑之一.如图，某人准备测量双子塔中其中一座的高度(两座双子塔的高度相同)，在地面上选择了一座高为t m的大楼CD，在大楼顶部D处测得双子塔顶部B的仰角为α，底部A的俯角为β，则双子塔的高度为(　　)
(第12题)
A． m B． m
C． m D． m
13．如图，有一段河流，河的一侧是以O为圆心，半径为10 m的扇形区域OCD，河的另一侧是一段笔直的河岸l，岸边有一烟囱AB(不计B离河岸的距离)，且OB的连线恰好与河岸l垂直，设OB与的交点为E.经测量，扇形区域和河岸处于同一水平面，在点C、点O和点E处测得烟囱AB的仰角分别为45°，30°和60°，则烟囱AB的高度为________m；如果要在CE间修一条直路，则CE的长为________m．
(第13题)
第5课时　余弦定理、正弦定理应用举例
基础打底·熟练掌握
1．B　【解析】 如图，由题知AB＝20 m，∠DAE＝60°，∠EAC＝45°，在等腰直角三角形ACE中，AE＝EC＝AB＝20 m.在Rt△DAE中，∠DAE＝60°，所以DE＝AE·tan60°＝20(m)，所以小高层的高度为CD＝20＋20＝20(1＋)(m).
(第1题)
(第2题)
2．A　【解析】 如图，由题可知∠BAC＝90°－30°＝60°.在△ABC中，由余弦定理可得BC＝＝＝10海里，所以乙船至少需要航行的海里数为10.
3．B　
4．B　【解析】 设t h时，B城市恰好处于危险区内，则由余弦定理得(20t)2＋402－2×20t×40cos 45°＝302，化简得4t2－8t＋7＝0，所以t1＋t2＝2，t1t2＝，从而持续时间为|t1－t2|＝＝1(h).
5．AB　
6．ACD　【解析】 对于A，由A，C可算出B，再根据正弦定理＝可计算出AB＝c；对于B，已知三角，没有已知边，无论用正弦定理还是余弦定理都算不出AB＝c；对于C，已知两边与夹角，用余弦定理可计算出AB＝c；对于D，已知两角，可计算出第三角，再用正弦定理可解得AB＝c.
7．360　【解析】 如图，作CD⊥BB'，由题知∠BCD＝30°，BD＝180 m，则C'B'＝CD＝＝180 m.在△A'B'C'中，因为∠A'C'B'＝∠A'B'C'＝30°，所以∠C'A'B'＝120°，由正弦定理得＝，解得A'B'＝＝＝180 m.作BE⊥AA'，CF⊥AA'，则∠ABE＝45°，所以AE＝BE＝A'B'＝180 m，所以A与C两点的海拔高度差AF＝BD＋AE＝360(m).
(第7题)
(第8题)
8．24　8　【解析】 如图，在△ABD中，由题知∠ADB＝60°，B＝45°，AB＝12，由正弦定理得AD＝·sin 45°＝24.在△ADC中，由余弦定理得CD2＝AD2＋AC2－2AD·ACcos 30°＝242＋(8)2－2×24×8×＝(8)2，所以CD＝8.故A处与D处之间的距离为24 n mile，C，D之间的距离为8 n mile.
9．【解答】 (1) 设缉毒船经过t小时恰好能将毒贩抓捕.由题意可知∠ABC＝180°－75°＋15°＝120°，AB＝60，AC＝15t，BC＝15(－1)t，由余弦定理可得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcos∠ABC，即(15t)2＝602＋［15(－1)t］2－2×60×15(－1)t×，整理可得(t－2)［(＋1)t＋4］＝0，解得t＝2，所以缉毒船经过2小时恰好能将毒贩抓捕.
(2) 由(1)可知∠ABC＝120°，AB＝60，AC＝30，BC＝30(－1)，由正弦定理＝可得sin∠ACB＝＝＝，且∠ACB为锐角，则∠ACB＝45°，可得∠BAC＝180°－120°－45°＝15°，所以缉毒船的行驶方向为北偏东75°－15°＝60°.
10．【解答】 在△ABD中，因为∠BAD＝90°，∠ABD＝45°，所以∠ADB＝45°，所以AD＝AB＝80，BD＝80.在△ABC中，由正弦定理得＝，所以BC＝＝＝40.在△DBC中，由余弦定理得DC2＝BD2＋BC2－2BD·BCcos 60°＝(80)2＋(40)2－2×80×40×＝9 600，所以DC＝40，故航模的速度v＝＝2(m/s).
能力进阶·融会贯通
11．C　【解析】 如图，在△ACD中，延长DC与AB的延长线交于点E.由已知得∠ADE＝∠BCE＝30°，∠ACE＝60°，则∠BAC＝∠BCA＝∠CAD＝30°，则AC＝CD，AB＝BC.设AB＝x，则BC＝x，又∠ABC＝120°，则在△ABC中，由余弦定理得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcos∠ABC，即AC2＝x2＋x2－2x·x·，解得AC＝x，所以CD＝x，又因为CD＝72，所以x＝72(m).
(第11题)
12．D　【解析】 由题意可得CD＝t m，∠DAC＝β，∠BDA＝α＋β，则在△ADC中，＝，即AD＝ m，在△ABD中，∠ABD＝－α，由正弦定理得＝，即＝，所以AB＝＝ m.
13．15　10　【解析】 设AB＝h.在△CAB中，因为∠ACB＝45°，所以CB＝h.在△OAB中，因为∠AOB＝30°，∠AEB＝60°，所以OB＝h，同理EB＝h.由题意得h－h＝10，解得h＝15.在△OBC中，cos∠COB＝＝＝，所以在△OCE中，CE2＝OC2＋OE2－2OC·OEcos∠COE＝300＋300－600×＝100，所以CE＝10 m.第5课时　余弦定理、正弦定理应用举例
学习 目标 1．理解测量中的有关名词、术语的确切含义． 2．能够利用余弦定理和正弦定理等知识解决一些与测量和几何计算有关的问题．
新知初探基础落实
请同学阅读课本P48—P51，完成下列填空．
一、 概念表述
1．方位角、方向角、仰角和俯角
方位角 方向角 仰角和俯角
从__正北__方向顺时针转到目标方向线的角(点B的方位角为α)． 相对于某一正北方向的角． (1)北偏东α：指从正北方向顺时针旋转α到达目标方向． (2)东北方向：指北偏东45°． 在视线和水平线所成的角中，视线在水平线__上方__的角叫仰角，在水平线__下方__的角叫俯角
2．坡角与坡度
坡角：坡面与__水平面__所成的角(称为二面角)的度数，叫做坡角．
坡度：坡面的铅直高度与水平宽度的比叫做坡度，即tan α＝．如图．
典例精讲能力初成
探究1　测量距离问题
例1　(课本P49例9补充)如图，隔河看到两个目标A，B，但不能到达，在岸边选取相距 km的C，D两点，并测得∠ACB＝75°，∠BCD＝45°，∠ADC＝30°，∠ADB＝45°(A，B，C，D在同一平面内)，求两个目标A，B之间的距离．
【解答】在△ACD中，因为∠ADC＝30°，∠ACD＝120°，所以∠CAD＝30°，所以AC＝CD＝ km．在△BDC中，∠CBD＝180° (45°＋30°＋45°)＝60°，由正弦定理，得BC＝＝＝(km)．在△ABC中，由余弦定理，得AB2＝AC2＋BC2 2AC·BC·cos∠BCA＝()2＋ 2cos 75°＝5，所以AB＝ km．所以两个目标A，B之间的距离为 km．
(1) 选定或确定要创建的三角形，首先确定所求量所在的三角形，若其他量已知则直接求解；若有未知量，则把未知量放在另一确定三角形中求解．
(2) 确定用正弦定理还是余弦定理，如果都可用，就选择更便于计算的定理．
变式　如图，A，B两点之间隔着一座小山，现要测量A，B两点间的距离，选择在同一水平面上且均能直线到达的C点，经测量，AC＝50 m，BC＝40 m，B在C北偏东45°方向上，A在C北偏西75°方向上，求AB的长．
【解答】依题意知∠ACB＝120°，AC＝50 m，BC＝40 m，由余弦定理得AB＝＝＝10(m)，故AB的长为10 m．
探究2　测量高度问题
例2　(课本P50例10补充)如图，在山顶铁塔上B处测得地面上一点A的俯角为α，在塔底C处测得A处的俯角为β．已知铁塔BC的高为h，求山高CD．
【解答】在△ABC中，∠BCA＝90°＋β，∠ABC＝90° α，∠BAC＝α β，∠CAD＝β．根据正弦定理，得＝，即＝，所以AC＝＝．在Rt△ACD中，CD＝ACsin∠CAD＝ACsin β＝．故山的高度为．
(1) 在处理有关高度问题时，理解仰角、俯角(它是在铅垂面上所成的角)、方向(位)角(它是在水平面上所成的角)是关键．
(2) 在实际问题中，可能会遇到空间与平面(地面)同时研究的问题，这时最好画两个图形，一个空间图形，一个平面图形，这样处理起来既清楚又不容易搞错．
(3) 山或塔垂直于地面或海平面的问题，可把空间问题转化为平面问题．
变式　某兴趣小组要测量电视塔AE的高度H(单位：m)．如图，竖直放置的标杆BC的高度h＝4 m，仰角∠ABE＝α，∠ADE＝β．该小组已测得一组α，β的值，算出了tan α＝1.24，tan β＝1.20，请据此算出H的值．
【解答】由AB＝，BD＝，AD＝及AB＋BD＝AD，得＋＝，解得H＝＝＝124．因此电视塔的高度是124 m．
探究3　测量角度问题
例3　(课本P50例11补充)甲船在A点发现乙船在北偏东60°的B处，乙船以每小时a海里的速度向北行驶，已知甲船的速度是每小时a海里，问甲船应沿着什么方向前进，才能最快与乙船相遇？
【解答】如图所示，设经过t小时两船在C点相遇，则在△ABC中，BC＝at(海里)，AC＝at(海里)，B＝180° 60°＝120°．由＝，得sin∠CAB＝＝＝＝．因为0°＜∠CAB＜60°，所以∠CAB＝30°，所以∠DAC＝60° 30°＝30°，所以甲船应沿着北偏东30°的方向前进，才能最快与乙船相遇．
测量角度问题的关键是在弄清题意的基础上，画出表示实际问题的图形，并在图形中标出有关的角和距离，再用正弦定理或余弦定理解三角形，最后将解得的结果转化为实际问题的解．
变式　如图，甲船在A处，乙船在A处的南偏东45°方向距A有9 n mile的B处，并以20 n mile/h的速度沿南偏西15°的方向行驶，若甲船沿南偏东θ的方向，并以28 n mile/h的速度行驶，恰能在C处追上乙船．问：甲船用多久追上乙船？并求sin θ的值．(结果保留根号)
【解答】设甲船用t h追上乙船，且在C处相遇．在△ABC中，AC＝28t，BC＝20t，AB＝9，∠ABC＝180° 15° 45°＝120°，由余弦定理得(28t)2＝81＋(20t)2 2×9×20t×，即128t2 60t 27＝0，解得t＝或t＝ (舍去)，所以AC＝21，BC＝15．根据正弦定理，得sin∠BAC＝＝，则cos∠BAC＝＝．又∠ABC＝120°，∠BAC为锐角，所以θ＝45° ∠BAC，sin θ＝sin(45° ∠BAC)＝sin 45°cos∠BAC cos 45°·sin∠BAC＝．
随堂内化及时评价
1．若P在Q的北偏东44°50'方向上，则Q在P的(　C　)
A．东偏北45°10'方向上 B．东偏北44°50'方向上
C．南偏西44°50'方向上 D．西偏南44°50'方向上
2．从A处望B处的仰角为α，从B处望A处的俯角为β，则α，β的关系为(　B　)
A．α＞β　 B．α＝β
C．α＋β＝90°　 D．α＋β＝180°
3．如图，位于某海域A处的甲船获悉，在其北偏东60°方向的C处有一艘渔船遇险后抛锚等待营救．甲船立即将救援消息告知位于甲船北偏东15°，且与甲船相距 n mile的B处的乙船，已知遇险渔船在乙船的正东方向，那么乙船前往营救遇险渔船时需要航行的距离为(　B　)
A． n mile　 B．2 n mile
C．2 n mile　 D．3 n mile
【解析】由题意知，AB＝，∠BAC＝45°，∠BCA＝30°．在△ABC中，由正弦定理得＝，所以BC＝＝＝2，故乙船前往营救遇险渔船时需要航行的距离为2 n mile．
4．如图，在地面上共线的三点A，B，C处测得一个建筑物的仰角分别为30°，45°，60°，且AB＝BC＝60 m，则建筑物的高度为(　D　)
A．15 m　 B．20 m
C．25 m　 D．30 m
【解析】设PO＝h，则PA＝h，PB＝h，PC＝h．在△PBA和△PBC中，由余弦定理的推论得cos∠PBA＝①，cos∠PBC＝②．因为∠PBA＋∠PBC＝180°，所以cos∠PBA＋cos∠PBC＝0③，由①②③解得h＝30或h＝ 30(舍去)，即建筑物的高度为30 m．

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