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微专题1　极化恒等式的应用
一、 单项选择题
1．已知在边长为1的菱形ABCD中，A＝60°，若E为线段CD的中点，则·＝(　　)
A． B．
C．－ D．－
2．如图，在四边形ABCD中，||＝4，·＝12，E为AC的中点，＝2·的值为(　　)
(第2题)
A．0 B．12
C．2 D．6
　　
3．如图，在边长为2的正方形ABCD中，其对称中心O平分线段MN，且MN＝2BC，E为DC的中点，则·＝(　　)
　
(第3题)
A．－3 B．－2
C．－ D．－
4．勒洛三角形是一种典型的定宽曲线，以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段圆弧，三段圆弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形.在如图所示的勒洛三角形中，已知AB＝4，P为弧AC(含端点)上的一点，则·()的范围为(　　)
(第4题)
A．［0，8］ B．［1，8］
C．［0，4］ D．［0，9］
二、 多项选择题
5．在△ABC中，BC＝8，BC边上的高为6，则·的取值可能是(　　)
A．30　 B．24　
C．13　 D．27
6．如图，在△ABC中，BC＝6，D，E是BC的三等分点，且·＝4，则(　　)
(第6题)
A．＝＋ B．＝＋
C．·＝－4 D．＋＝28
三、 填空题
7．如图，在 ABCD中，已知AB＝8，AD＝5，＝3 ·＝2，则·＝________．
(第7题)
8．在梯形ABCD中，已知AD∥BC，AD＝1，BC＝3，·＝2，则·＝________．
9．窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术.图(1)是一张由卷曲纹和回纹构成的正六边形剪纸窗花.图(2)中正六边形ABCDEF的边长为4，圆O的圆心为该正六边形的中心，圆O的半径为2，圆O的直径MN∥CD，点P在正六边形的边上运动，则·的最小值为________．
图(1)
图(2)
(第9题)
10．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，BC＝8，AB＝12，F为AB的中点，E为CF上一点.若CE＝3，则·＝＝(0≤λ≤1)，则·的最小值为________．
(第10题)
微专题1　极化恒等式的应用
1．C　【解析】 如图，取AB的中点F，连接EF，则EF＝1，根据极化恒等式得·＝－·＝－＝－＝－.
(第1题)
2．A　【解析】 因为||＝4，E为AC的中点，所以||＝||＝2.因为·＝||2－||2＝||2－4＝12，所以||＝4，所以||＝|＝2，所以·＝||2－||2＝4－4＝0.
3．A　【解析】 MN＝2BC＝4，OM＝2，OE＝1.由极化恒等式可得·＝－＝1－4＝－3.
4．A　【解析】 如图，取BC的中点O，连接PO，显然||∈［2，2］，所以·(－)＝·＝(＋)·(＋)＝(＋)·(－)＝－＝－4∈［0，8］.
(第4题)
5．ABD　【解析】 取BC的中点D，连接AD(图略)，则根据极化恒等式可得·＝－＝－16.因为BC边上的高为6，所以AD≥6，所以·≥20.
6．BCD　【解析】 对于A，＝＋＝＋＝＋－)＝＋，故A不正确；对于B，由题意得D为BE的中点，所以＝＋，故B正确；对于C，如图，取DE的中点G，连接AG，由BC＝6，D，E是BC的三等分点得G是BC的中点，且DE＝2，所以·＝·＝－＝4，所以＝5，·＝·＝－＝5－9＝－4，故C正确；对于D，由G是BC的中点得＋＝2，两边平方得＋2·＋＝4，所以＋＝20＋8＝28，故D正确.
(第6题)
(第7题)
7．22　【解析】 方法一：如图，取AB的中点M，延长AD，MP交于点F.由极化恒等式可得 ·＝－＝2 ＝18，·＝·＝－，又(2)2＋＝2(＋) ＝40，所以·＝22.
方法二：由＝3，得＝＝，＝＋＝＋，＝－＝＋－＝－.因为·＝2，所以·＝2，即－·－＝2.又＝25，＝64，所以·＝22.
8．1　【解析】 如图，过点A作AE∥DC，交BC于点E，取BE的中点F，连接AF，过点D作DH∥AC，交BC延长线于点H，则BH的中点为E，连接DE，则·＝·＝－＝－1＝2，即||＝·＝－·＝－＝4－.又FE＝BE－BF＝1，AD∥BC，所以四边形ADEF为平行四边形，AF＝DE＝，所以·＝1.
(第8题)
(第9题)
9．8　【解析】 如图，由正六边形的几何性质可知，△OAB，△OBC，△OCD，△ODE，△OEF，△OFA均为边长为4的等边三角形，当P位于正六边形ABCDEF的顶点时，||取最大值4，当P为正六边形各边的中点时，||取最小值，且||min＝4sin＝2，所以||∈［2，4］.所以·＝(＋)·(＋)＝(＋)·(－)＝－4∈［8，12］.则·的最小值为8.
10．13　－36　【解析】 因为∠ABC＝90°，BF＝AB＝6，BC＝8，则CF＝＝10.当CE＝3时，EF＝7，此时·＝－＝72－62＝13；当＝λ(0≤λ≤1)时，＝－＝(1－λ)，则·＝－＝(1－λ)2－36≥－36，当且仅当λ＝1时等号成立，故·的最小值为－36.微专题1　极化恒等式的应用
典例剖析素养初现
1．极化恒等式
a·b＝［(a＋b)2 (a b)2］
【证明】借助平行四边形是表示向量加法和减法的几何模型．
如图(1)，设＝a，＝b，则＝a＋b，＝a b，由向量的数量积运算，得||2＝＝(a＋b)2＝|a|2＋2a·b＋|b|2①，||2＝＝(a b)2＝|a|2 2a·b＋|b|2②．①②两式相减得a·b＝［(a＋b)2 (a b)2］．
图(1)
2．平行四边形模式
如图(2)，在平行四边形ABCD中，O是对角线交点，则·＝(||2 ||2)．
图(2)
【证明】借助平行四边形是表示向量加法和减法的几何模型．
设＝a，＝b，则＝a＋b，＝a b，由向量的数量积运算，得||2＝＝(a＋b)2＝|a|2＋2a·b＋|b|2①，||2＝＝(a b)2＝|a|2 2a·b＋|b|2②，①②两式相减得||2 ||2＝4a·b，即＝(||2 ||2)．
3．三角形模式
如图(3)，在△ABC中，设M为BC的中点，则·＝||2 ||2．
图(3)
【证明】因为BC＝2BM，即BC＝BM，所以 ·＝＝＝||2 ||2．
4．极化恒等式的作用和使用范围
极化恒等式的作用：建立了向量的数量积与几何长度(数量)之间的桥梁，实现了向量与几何、代数之间的互相转化．
极化恒等式的适用范围：(1) 共起点或共终点的两向量的数量积问题可直接进行转化；(2) 不共起点和不共终点的数量积问题可通过向量的平移，等价转化为共起点或共终点的两向量的数量积问题．
拓展1　平面向量数量积的定值问题
例1　(1) 如图，在△ABC中，AB＝8，AC＝6，D为BC的中点，则·＝__ 7__．
【解析】＝＋)，＝＝)，则＝)＝(||2 ||2)＝×(36 64)＝ 7．
(2) 如图，在△ABC中，已知AB＝4，AC＝6，∠BAC＝60°，点D，E分别在边AB，AC上，且＝2，＝3，若F为DE的中点，则·的值为__4__．
【解析】如图，取BD的中点N，连接NF，EB，则BE⊥AE，BE＝2．在△DEB中，FN＝BE＝，则＝2＝2＝2×(3 1)＝4．
变式　(1) 如图，在平面四边形ABCD中，O为BD的中点，且OA＝3，OC＝5．若·＝ 7，则·＝__9__．
【解析】因为＝||2 ||2＝ 7，又OA＝3，所以OB＝4，则＝||2 ||2＝25 16＝9．
(2) 如图，在△ABC中，D是BC的中点，E，F是AD上的两个三等分点，·＝4，·＝ 1，则·＝____．
【解析】方法一(极化恒等式法)：设BD＝DC＝m，AE＝EF＝FD＝n，则AD＝3n．根据向量的极化恒等式，有＝＝9n2 m2＝4，＝＝n2 m2＝ 1，联立解得n2＝，m2＝．因此＝＝4n2 m2＝，即＝．
方法二(坐标法)：以直线BC为x轴，过点D且垂直于BC的直线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系xDy，设A(3a，3b)，B( c，0)，C(c，0)，则有E(2a，2b)，F(a，b)，＝(3a＋c，3b)·(3a c，3b)＝9a2 c2＋9b2＝4，＝(a＋c，b)·(a c，b)＝a2 c2＋b2＝ 1，则a2＋b2＝，c2＝，所以＝(2a＋c，2b)·(2a c，2b)＝4a2 c2＋4b2＝．
方法三(基向量法)：＝()·()＝＝＝4，＝()·()＝＝ 1，因此＝，＝，＝()·()＝＝＝．
拓展2　平面向量数量积的最值或范围问题
例2　(1) 已知△ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则·(＋)的最小值是(　B　)
A． 2　 B．
C． 　 D． 1
【解析】方法一(极化恒等式法)：如图(1)，设BC的中点为D，AD的中点为M，连接DP，PM，所以·(＋)＝2＝2||2 |2＝2||2 ≥ ，当且仅当M与P重合时取等号．
图(1)
方法二(坐标系法)：以BC的中点O为坐标原点，以BC所在直线为x轴，BC的中垂线OA为y轴，建立如图(2)所示的平面直角坐标系，则A(0，)，B( 1，0)，C(1，0)．设P点的坐标为(x，y)，则＝( x， y)，＝( 1 x， y)，＝(1 x， y)，所以·(＋)＝( x， y)·( 2x， 2y)＝2(x2＋y2 y)＝2≥2×＝ ，当且仅当x＝0，y＝时，·(＋)取得最小值，最小值为 ．
图(2)
(2) 如图，在直角梯形ABCD中，EF是CD边上长为6 的可移动的线段，AD＝4，AB＝8，BC＝12，则·的最小值为__99__，最大值为__148__．
【解析】如图，在BC上取一点G，使得BG＝4，取EF的中点P，连接DG，BP，则DG＝8，GC＝8，CD＝＝16，tan∠BCD＝＝，即∠BCD＝60°．＝［(＋)2 ()2］＝［(2)2 ］＝ 9．当BP⊥CD时，||取得最小值，此时||＝12×sin 60°＝6，所以()min＝(6)2 9＝99．当F与D重合时，CP＝13，BC＝12，则||2＝122＋132 2×12×13×＝157，当E与C重合时，CP＝3，BC＝12，则||2＝122＋32 2×12×3×＝117，所以()max＝157 9＝148．
应用极化恒等式的一般步骤
第一步：取第三边的中点，连接向量的起点与此中点；第二步：利用极化恒等式公式，将数量积转化为中线长与第三边长的一半的平方差；第三步：利用平面几何方法或用正、余弦定理求中线及第三边的长度，从而求出数量积，如需进一步求数量积范围，可以用点到直线的距离最小或用三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边或用基本不等式等求得中线长的最值(范围)．
变式　(1) 已知四边形ABCD为菱形，∠BAC＝30°，AB＝6，P是菱形ABCD所在平面内任意一点，则·的最小值为__ 27__．
【解析】由题设知AC＝6，取AC的中点O，连接PA，PC，OP，如图，则＝＋，＝＋＝，所以＝(＋)·()＝＝ 27≥ 27，当且仅当P与O重合时取等号．
(2) “易有太极，是生两仪，两仪生四象，四象生八卦．”太极和八卦组合成了太极八卦图如图(1)所示．某太极八卦图的平面图如图(2)所示，其中正八边形的中心与圆心重合，O是正八边形的中心，MN是圆O的一条直径，且正八边形ABCDEFGH的内切圆半径为2＋2，AB＝MN＝4．若点P是正八边形ABCDEFGH边上的一点，则·的取值范围是(　D　)
图(1)
图(2)
A．［2，4］
B．［2，2］
C．［12＋8，16＋8］
D．［8＋8，12＋8］
【解析】如图，连接PO．因为＝＋，＝＋＝，所以＝(＋)·()＝．因为正八边形ABCDEFGH的内切圆半径为2＋2，||＝4，所以2＋2≤||≤．因为MN＝4，所以||＝2，所以8＋8≤12＋8，即的取值范围是［8＋8，12＋8］．
随堂内化及时评价
1．设向量a，b满足|a＋b|＝，|a b|＝，则a·b＝(　A　)
A．1　 B．2
C．3　 D．5
【解析】由极化恒等式可得a·b＝＝＝1．
2．已知正方形ABCD的边长为4，E，F分别为AD，BC的中点，如果对于常数λ，在正方形ABCD的四条边上，有且只有8个不同的点P，使得·＝λ，那么λ的取值范围是(　D　)
A．(0，2］　 B．(0，2)
C．(0，4］　 D．(0，4)
【解析】如图，设EF的中点为O，则两式平方相减得4＝4，所以＝ 4＝λ(可由极化恒等式直接得出)，即＝λ＋4，所以||＝，由对称性可知每个边上存在两个点P，所以点P在边的中点和顶点之间，故2＜＜2，解得0＜λ＜4．
3．在如图所示的四边形ABCD中，BD＝8，·＝48，E为BD的中点．若2＝，则·的值为__240__．
【解析】因为＝48，BD＝8，E为BD的中点，在△ABD中，由极化恒等式得＝||2 ||2＝||2 16＝48，所以||＝8．又2＝，所以||＝2||＝16，在△CBD中，由极化恒等式得＝||2 ||2＝256 16＝240．
4．已知△ABC是边长为2的等边三角形，P是平面ABC内一点，则·(2＋)的最小值为__ __．
【解析】设2＋＝3，则＝＋，点D在BC上，所以·(2＋)＝3．如图，取AD中点为E，由极化恒等式得＝||2 |2．在△ABD中，由余弦定理得AD2＝AB2＋BD2 2AB·BD·cos∠ABD＝4＋ 2×2×＝，所以当||＝0，即P为AD中点时，()min＝ ．所以·(2＋)的最小值为 ，此时P为AD的中点．(共25张PPT)
第六章
微专题1　极化恒等式的应用
平面向量及其应用
典例剖析·素养初现
1．极化恒等式
a·b＝［(a＋b)2 (a b)2］
【证明】借助平行四边形是表示向量加法和减法的几何模型．
如图(1)，设＝a，＝b，则＝a＋b，＝a b，由向量的数量积运算，得||2＝＝(a＋b)2＝|a|2＋2a·b＋|b|2①，||2＝＝(a b)2＝|a|2 2a·b＋|b|2②．①②两式相减得a·b＝［(a＋b)2 (a b)2］．
图(1)
2．平行四边形模式
如图(2)，在平行四边形ABCD中，O是对角线交点，则·＝(||2 ||2)．
【证明】借助平行四边形是表示向量加法和减法的几何模型．
设＝a，＝b，则＝a＋b，＝a b，由向量的数量积运算，得||2＝＝(a＋b)2＝|a|2＋2a·b＋|b|2①，||2＝＝(a b)2＝|a|2 2a·b＋|b|2②，①②两式相减得||2 ||2＝4a·b，即＝(||2 ||2)．
图(2)
3．三角形模式
如图(3)，在△ABC中，设M为BC的中点，则·＝||2 ||2．
图(3)
【证明】因为BC＝2BM，即BC＝BM，所以 ·＝＝＝||2 ||2．
4．极化恒等式的作用和使用范围
极化恒等式的作用：建立了向量的数量积与几何长度(数量)之间的桥梁，实现了向量与几何、代数之间的互相转化．
极化恒等式的适用范围：(1) 共起点或共终点的两向量的数量积问题可直接进行转化；(2) 不共起点和不共终点的数量积问题可通过向量的平移，等价转化为共起点或共终点的两向量的数量积问题．
拓展
1
平面向量数量积的定值问题
　　　(1) 如图，在△ABC中，AB＝8，AC＝6，D为BC的中点，则·＝_______．
1
【解析】
　　　　＝＋)，＝＝)，则＝)＝(||2 ||2)＝×(36 64)＝ 7．
7
　　　(2) 如图，在△ABC中，已知AB＝4，AC＝6，∠BAC＝60°，点D，E分别在边AB，AC上，且＝2，＝3，若F为DE的中点，则·的值为_____．
1
【解析】
　　　　如图，取BD的中点N，连接NF，EB，则BE⊥AE，BE＝2．在△DEB中，FN＝BE＝，则＝2＝2＝2×(3 1)＝4．
4
变式　(1) 如图，在平面四边形ABCD中，O为BD的中点，且OA＝3，OC＝5．若·＝ 7，则·＝_____．
【解析】
　　　　因为＝||2 ||2＝ 7，又OA＝3，所以OB＝4，则＝||2 ||2＝25 16＝9．
9
变式　(2) 如图，在△ABC中，D是BC的中点，E，F是AD上的两
个三等分点，·＝4，·＝ 1，则·＝_____．
【解析】
　　　　方法一(极化恒等式法)：设BD＝DC＝m，AE＝EF＝FD＝n，则AD＝3n．根据向量的极化恒等式，有＝＝9n2 m2＝4，＝＝n2 m2＝ 1，联立解得n2＝，m2＝．因此＝＝4n2 m2＝，即＝．
方法二(坐标法)：以直线BC为x轴，过点D且垂直于BC的直线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系xDy，设A(3a，3b)，B( c，0)，C(c，0)，则有E(2a，2b)，F(a，b)，＝(3a＋c，3b)·(3a c，3b)＝9a2 c2＋9b2＝4，＝(a＋c，b)·(a c，b)＝a2 c2＋b2＝ 1，则a2＋b2＝，c2＝，所以＝(2a＋c，2b)·(2a c，2b)＝4a2 c2＋4b2＝．
方法三(基向量法)：＝()·()＝＝＝4，＝()·()＝＝ 1，因此＝，＝，＝()·()＝＝＝．
拓展
2
平面向量数量积的最值或范围问题
　　　(1) 已知△ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则·(＋)的最小值是 (　　)
A． 2　 B．
C． 　 D． 1
2
【解析】
　　　　方法一(极化恒等式法)：如图(1)，设BC的中点为D，AD的中点为M，连接DP，PM，所以·(＋)＝2＝2||2 |2＝2||2 ≥ ，当且仅当M与P重合时取等号．
图(1)
B
方法二(坐标系法)：以BC的中点O为坐标原点，以BC所在直线为x轴，BC的中垂线OA为y轴，建立如图(2)所示的平面直角坐标系，则A(0，)，B( 1，0)，C(1，0)．设P点的坐标为(x，y)，则＝( x， y)，＝( 1 x， y)，＝(1 x， y)，所以·(＋)＝( x， y)·( 2x， 2y) ＝2(x2＋y2 y)＝
图(2)
2≥2×＝ ，当且仅当x＝0，y＝时，·(＋)取得最小值，最小值为 ．
　　　(2) 如图，在直角梯形ABCD中，EF是CD边上长为6 的可移动的线段，AD＝4，AB＝8，BC＝12，则·的最小值为______，最大值为_______．
【解析】
　　　　如图，在BC上取一点G，使得BG＝4，取EF的中点P，连接DG，BP，则DG＝8，GC＝8，CD＝＝16，tan∠BCD＝＝，即∠BCD＝60°．＝［(＋)2 ()2］＝［(2)2 ］＝ 9．
2
当BP⊥CD时，||取得最小值，此时||＝12×sin 60°＝6，所以()min＝(6)2 9＝99．当F与D重合时，CP＝13，BC＝12，则||2＝122＋132 2×12×13×＝157，当E与C重合时，CP＝3，BC＝12，则||2＝122＋32 2×12×3×＝117，所以()max＝157 9＝148．
【答案】99
148
应用极化恒等式的一般步骤
第一步：取第三边的中点，连接向量的起点与此中点；第二步：利用极化恒等式公式，将数量积转化为中线长与第三边长的一半的平方差；第三步：利用平面几何方法或用正、余弦定理求中线及第三边的长度，从而求出数量积，如需进一步求数量积范围，可以用点到直线的距离最小或用三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边或用基本不等式等求得中线长的最值(范围)．
变式　(1) 已知四边形ABCD为菱形，∠BAC＝30°，AB＝6，P是菱形ABCD所在平面内任意一点，则·的最小值为________．
【解析】
　　　　由题设知AC＝6，取AC的中点O，连接PA，PC，OP，如图，则＝＋，＝＋＝，所以＝(＋)·()＝＝ 27≥ 27，当且仅当P与O重合时取等号．
27
变式　(2) “易有太极，是生两仪，两仪生四象，四象生八卦．”太极和八卦组合成了太极八卦图如图(1)所示．某太极八卦图的平面图如图(2)所示，其中正八边形的中心与圆心重合，O是正八边形的中心，MN是圆O的一条直径，且正八边形ABCDEFGH的内切圆半径为2＋2，AB＝MN＝4．若点P是正八边形ABCDEFGH边上的一点，则·的取值范围是(　　)
A．［2，4］
B．［2，2］
C．［12＋8，16＋8］
D．［8＋8，12＋8］
图(1)
图(2)
【解析】
　　　　如图，连接PO．因为＝＋，＝＋＝，所以＝(＋)·()＝．因为正八边形ABCDEFGH的内切圆半径为2＋2，||＝4，所以2＋2≤||≤．因为MN＝4，所以||＝2，所以8＋8≤12＋8，即的取值范围是［8＋8，12＋8］．
【答案】D
随堂内化·及时评价
1．设向量a，b满足|a＋b|＝，|a b|＝，则a·b＝ (　　)
A．1　 B．2
C．3　 D．5
【解析】
　　　　由极化恒等式可得a·b＝＝＝1．
A
2．已知正方形ABCD的边长为4，E，F分别为AD，BC的中点，如果对于常数λ，在正方形ABCD的四条边上，有且只有8个不同的点P，使得·＝λ，那么λ的取值范围是 (　　)
A．(0，2］　 B．(0，2) C．(0，4］　 D．(0，4)
【解析】
　　　　如图，设EF的中点为O，则两式平方相
减得4＝4，所以＝ 4＝λ(可由极化恒等式直接得出)，即＝λ＋4，所以||＝，由对称性可知
每个边上存在两个点P，所以点P在边的中点和顶点之间，故2＜＜2，解得0＜λ＜4．
D
3．在如图所示的四边形ABCD中，BD＝8，·＝48，E为BD的中点．若2＝，则·的值为_______．
【解析】
　　　　因为＝48，BD＝8，E为BD的中点，在△ABD中，由极化恒等式得＝||2 ||2＝||2 16＝48，所以||＝8．又2＝，所以||＝2||＝16，在△CBD中，由极化恒等式得＝||2 ||2＝256 16＝240．
240
4．已知△ABC是边长为2的等边三角形，P是平面ABC内一点，则·(2＋)的
最小值为______．
【解析】
　　　　设2＋＝3，则＝＋，点D在BC上，所以·(2＋)＝3．如图，取AD中点为E，由极化恒等式得＝||2 |2．在△ABD中，由余弦定理得AD2＝
AB2＋BD2 2AB·BD·cos∠ABD ＝4＋ 2×2×＝，所以当||＝0，即P为AD中点时，()min＝ ．所以·(2＋)的最小值为 ，此时P为AD的中点．

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