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微专题2　抓住“爪形图”破解向量问题
一、 单项选择题
1．已知O为△ABC内一点，且＝＋)，＝t，若B，O，D三点共线，则t＝(　　)
A．　 B．　
C．　 D．
2．在△ABC中，＝2＝3，连接BF，CE，且BF与CE相交于点M，＝x＋y，则x－y＝(　　)
A．－ B．
C．－ D．
3．如图，在菱形ABCD中，AB＝4，∠ABC＝60°，E，F分别为AB，BC上的点，＝3＝3.若线段EF上存在一点M，使得＝＋x(x∈R)，则·＝(　　)
(第3题)
A．2 B．4
C．6 D．8
4．如图，△BCD与△ABC的面积比为2，点P是区域ABDC内的任一点(含边界)，且＝＋，则λ＋μ的取值范围是(　　)
(第4题)
A．［0，1］ B．［0，2］
C．［0，3］ D．［0，4］
二、 多项选择题
5．已知在△ABC中，D为边AC上的一点，且满足＝，若P为线段BD上的一点，且满足＝m＋n(m>0，n>0)，则下列结论正确的是(　　)
A．m＋2n＝1 B．mn的最大值为
C．m＋n＝1 D．m2＋9n2的最小值为
6．在△ABC中，D是线段BC上任意一点，M是线段AD的中点，若存在λ，μ∈R使＝＋，则λ，μ的取值可能是(　　)
A．λ＝－＝ B．λ＝1，μ＝－
C．λ＝－＝ D．λ＝－＝
三、 填空题
7．在△ABC中，D为边AC的中点，E为中线BD上一点且＝x＋y＋的最小值为 ________．
(第8题)
8．如图，在矩形OABC中，OA＝2，OC＝1，D在OA的延长线上，且AD＝1.若点P在△BCD中(包括边界)，且＝＋＋β的取值范围为________．
四、 解答题
9．如图，在△AOB中，∠AOB为直角，＝＝，AD与BC相交于点M，＝a，＝b.　
(1) 试用a，b表示向量；
(2) 在线段AC上取一点E，在线段BD上取一点F，使得直线EF过点M，设＝＝＋的值.
(第9题)
微专题2　抓住“爪形图”破解向量问题
1．B　【解析】 设E是BC边的中点，则＋)＝.由题意得＝，所以＝＝＋)＝＋.又因为B，O，D三点共线，所以＋＝1，解得t＝.
2． C　【解析】 因为＝2，所以＝，所以＝x＋y＝＋y.由B，M，F三点共线得x＋y＝1①.因为＝3，所以＝，所以＝x＋y＝x＋.由C，M，E三点共线得x＋y＝1②.联立①②解得所以x－y＝－＝－.
3．A　【解析】 如图，设DM与AC交于点N，则＝λ＋μ，λ＋μ＝1.因为AC∥EF，易得＝，所以根据等和(高)线定理可得＝(λ＋μ).又＝＋x，所以解得x＝，所以＝＋＝－－，从而·＝·(－)＝－－·＋＝－8－4cos 60°＋12＝2.
(第3题)
(第4题)
4．C　【解析】 如图，过点P作GH∥BC，交AC，AB的延长线于点G，H，则有＝x＋y，且x＋y＝1.当点P位于点D时，G，H分别位于C'，B'，因为△BCD与△ABC的面积之比为2，所以AC'＝3AC，AB'＝3AB，所以＝x＋y＝x·3＋y·3，因此λ＋μ＝3x＋3y＝3；当点P位于点A时，显然有λ＋μ＝0.故λ＋μ的取值范围是［0，3］.
5．BD　【解析】 由＝，得＝3，所以＝m＋n＝m＋3n.因为B，P，D三点共线，所以m＋3n＝1，故A，C错误；因为m>0，n>0，所以m＋3n＝1≥2，即mn≤，当且仅当m＝3n，即m＝，n＝时等号成立，故B正确；由基本不等式得m2＋9n2≥＝，当且仅当m＝，n＝时等号成立，故D正确.
6．AC　【解析】 令＝m且m∈［0，1］，则＝＋)＝＋m)，又＝＋，所以＝［＋m(＋)］＝－＋，又＝λ＋μ，所以则λ∈，μ∈，且λ＋μ＝－，故A，C满足，B，D不满足.
7．9　【解析】 如图所示，因为＝x＋y，D为边AC的中点，所以＝x＋2y.又B，E，D三点共线，所以x＋2y＝1(x>0，y>0)，则＋＝(x＋2y)＝1＋＋＋4≥5＋2＝9，当且仅当＝，且x＋2y＝1，即x＝y＝时等号成立，因此＋的最小值为9.
(第7题)
8．　【解析】 方法一：以OD，OC所在直线分别为x轴、y轴建立如图所示的平面直角坐标系，则O(0，0)，A(2，0)，B(2，1)，C(0，1)，D(3，0)，则＝(0，1)，＝(2，0).设P(x，y)，则＝(x，y)，因为＝α＋β，所以(x，y)＝α(0，1)＋β(2，0)＝(β，α)，所以x＝β，y＝α，从而α＋β＝x＋y.令z＝x＋y，因为点P在△BCD中(包括边界)，由图可知，z＝x＋y在点D处取得最大值，在点C处取得最小值1.所以α＋β的取值范围为.
方法二：如图，在OA上截取OE，使得OE＝OA，连接CE，则＝α＋β＝α＋β.过点P作CE的平行线l，因为点O和直线l在直线CE的异侧，所以系数和为正数，且l离CE越远，α＋β越大.当点P运动到点C时，α＋β＝1，此时为最小值；当点P运动到点D时，α＋β＝＝＝，此时为最大值.所以α＋β的取值范围为.
(第8题)
9．【解答】 (1) 因为C，M，B三点共线，所以＝x＋(1－x)＝x＋(1－x)①.又因为D，M，A三点共线，所以＝y＋(1－y)＝＋(1－y)②.由①②可得解得所以＝＋＝a＋b.
(2) 因为E，M，F三点共线，所以＝m＋(1－m)＝λm＋μ(1－m)，所以整理得＋＝8.微专题2　抓住“爪形图”破解向量问题
典例剖析素养初现
【引例】 (课本P26例1)如图，，不共线，且＝t(t∈R)，用，表示．
【解答】因为＝t，所以＝＋＝＋t＝＋t()＝＋t t＝(1 t)＋t．
1．向量共线定理
如图(1)，，不共线，设＝λ＋μ，则A，P，B三点共线的充要条件为λ＋μ＝1．
图(1)
图(2)
2．“爪形图”模型
如图(2)，在△ABC中，点D在直线BC上，若∶＝m∶n(注意向量的方向及m，n的正负)，则有＝＋．
“爪形图”模型的系数具有以下性质：
(1) ＋＝1(参照三点共线的充要条件)；
(2) 当点D在线段BC内部时，系数，都是正数；
(3) 当点D在线段BC外部时，系数，一正一负(离哪个点远，则对应向量的系数为负)；
(4) 当点D在线段BC端点时，系数，一个为0，一个为1．
3．平面向量等和线定义
平面内一组基底及任一向量，＝λ＋μ(λ，μ∈R)，若点P在直线AB上或者在平行于AB的直线上，则λ＋μ＝k(定值)，反之也成立．则我们把直线AB以及与直线AB平行的直线称为等和线．
图(3)
(1) 当等和线恰为直线AB时，k＝1；
(2) 当等和线在点O和直线AB之间时，k∈(0，1)；
(3) 当直线AB在点O与等和线之间时，k∈(1，＋∞)；
(4) 当等和线过点O时，k＝0；
(5) 若两等和线关于O点对称，则定值k互为相反数；
(6) 定值k的变化与等和线到点O的距离成正比．
拓展1　向量共线定理及其应用
例1 1　已知O，A，B是不共线的三点，且＝m＋n (m，n∈R)．
(1) 若m＋n＝1，求证：A，P，B三点共线；
【解答】若m＋n＝1，则＝m＋(1 m)＝＋m()，所以＝m()，即＝m，所以与共线．又因为与有公共点B，所以A，P，B三点共线．
(2) 若A，P，B三点共线，求证：m＋n＝1．
【解答】若A，P，B三点共线，则存在实数λ，使＝λ，所以＝λ()．又＝m＋n，故有m＋(n 1)＝λ λ，即(m λ)＋(n＋λ 1)＝0．因为O，A，B不共线，所以，不共线，所以所以m＋n＝1．
例1 2　在△ABC中，＝c，＝b，若点D满足＝2，以｛b，c｝作为基底，则＝(　A　)
A．b＋c　 B．b c
C．b c　 D．b＋c
【解析】如图，因为＝2，所以＝2()，即 c＝2(b )，解得＝b＋c．
(也可以直接利用“爪形图”模型，因为 =2∶1，所以)
三点共线
(1) 三点共线定理：已知为平面内两个不共线的向量且＝x＋y(x，y∈R)，x＋y＝1是A，B，C三点共线的充要条件．
(2) 已知＝x＋y(x，y∈R)，若A，B，C三点共线且点C在线段AB 上，则＝(系数交叉对应)．
(3) 特别地：当C为AB的中点时，＝＋．
变式　如图，在△ABC中，∠BAC＝，＝2，P为CD上一点，且＝m＋，若||＝3，||＝4，则·的值为(　D　)
A． 　 B．
C． 　 D．
【解析】因为＝2，所以＝，所以＝＋＝＋＝＋＝＋．因为＝m＋，所以＝m＋＝m＋．因为P，C，D三点共线，所以m＋＝1，解得m＝，所以＝＋．又＝＋＝) ＝，所以＝＝＝ 2 ＝．
拓展2　等和线的应用(λ＋μ＝k)
例2 1　给定两个长度为1的平面向量和，它们的夹角为，如图，点C在以O为圆心的上运动，若＝x＋y(x，y∈R)，则x＋y的最大值是__2__．
【解析】方法一：以O为坐标原点，所在的直线为x轴建立平面直角坐标系，如图(1)，则A(1，0)，B，设∠AOC＝α，则C(cos α，sin α)．由＝x＋y，得所以x＝cos α＋sin α，y＝sin α，所以x＋y＝cos α＋sin α＝2sin．又α∈，所以当α＝时，x＋y取得最大值2．
图(1)　　　　　　　　　　　　图(2)
方法二(等和线法)：令x＋y＝k，所有与直线AB平行的直线中，切线离圆心最远，如图(2)，即此时k取得最大值，结合角度，不难得到k＝＝2．
例2 2　如图所示，OM∥AB，点P在由射线OM、射线段OB及AB的延长线围成的阴影区域内(不含边界)运动，且＝x＋y，则x的取值范围是__( ∞，0)__；当x＝ 时，y的取值范围是____．
【解析】由题意得＝a＋b，a＞0且0＜b＜1，又＝λ＝λ()(λ＞0)，所以＝aλ()＋b＝ aλ＋(aλ＋b)，则x＝ aλ＜0，故x的取值范围是( ∞，0)．由＝x＋y，得0＜x＋y＜1，当x＝ 时，有＜y＜，即y的取值范围为．
平面向量等和线性质
(1) 当等和线恰为直线AB时，k＝1；
(2) 当等和线在点P和直线AB之间时，k∈(0，1)；
(3) 当直线AB在点P和等和线之间时，k∈(1，＋∞)；
(4) 当等和线过点P时，k＝0；
(5) 若两等和线关于点P对称，则定值k互为相反数．
变式　如图，扇形的半径为1，且·＝0，点C在上运动，若＝x＋y，则2x＋y的最小值是(　C　)
A． 　 B．
C．1　 D．2
【解析】方法一(坐标法)：令∠AOC＝α，则x＝cos α，y＝sin α，α∈，则2x＋y＝2cos α＋sin α＝sin(α＋θ)，其中sin θ＝，cos θ＝，θ∈．因为θ≤α＋θ≤＋θ，sin θ＝，sin＝cos θ＝，所以≤sin(α＋θ)≤1，所以1≤sin(α＋θ)≤，即2x＋y的最小值为1．
方法二(等和线法)：设＝2＝x＋y＝2x＋y，所以当点C与点B重合时，2x＋y取得最小值为1．
随堂内化及时评价
1．如图，已知点 C 为△OAB边AB上一点，且AC＝2CB，若存在实数m，n，使得＝m＋n，则m n的值为(　A　)
A． 　 B．0
C．　 D．
【解析】＝＋＝＋＝＋＋＝＋，所以m n＝ ．
2．如图，在△ABC中，AD＝DB，AE＝EC，CD与BE交于点F．设＝a，＝b，＝xa＋yb，则(x，y)为(　C　)
A．　 B．
C．　 D．
【解析】依题意可知F是△ABC的重心，＝＋＝＋＝＋)＝＋＝＋＝＋，所以x＝y＝．
3．(多选)如图，点P在由线段AB，AC的延长线及线段BC围成的阴影区域内(不含边界)，则下列说法正确的是(　AD　)
A．存在点P，使得＝＋2
B．存在点P，使得＝ ＋2
C．存在点P，使得＝ 2
D．存在点P，使得＝＋
【解析】设＝λ＋μ(λ，μ∈R)，由图可知λ＞0，μ＞0，且λ＋μ＞1，所以A，D正确．
4．如图，在△ABC中，＝，点E在线段AD上移动(不含端点)，若＝λ＋μ，则＝__2__，λ2 μ的最小值为__ __．
【解析】因为在△ABC中，＝，所以＝＋＝＋＝＋)＝＋，即＝＋．因为点E在线段AD上移动(不含端点)，设＝x(0＜x＜1)，所以＝＋，对比＝λ＋μ可得λ＝，μ＝，可得＝2，λ2 μ＝(0＜x＜1)，根据二次函数性质知当x＝ ＝时，(λ2 μ)min＝＝ ．(共24张PPT)
第六章
微专题2　抓住“爪形图”破解向量问题
平面向量及其应用
典例剖析·素养初现
【引例】 (课本P26例1)如图，，不共线，且＝t (t∈R)，用，表示．
【解答】
　　　　因为＝t，所以＝＋＝＋t＝＋t()＝＋t t＝(1 t)＋t．
1．向量共线定理
如图(1)，，不共线，设＝λ＋μ，则A，P，B三点共线的充要条件为λ＋μ＝1．
图(1)
2．“爪形图”模型
如图(2)，在△ABC中，点D在直线BC上，若∶＝m∶n(注意向量的方向及m，n的正负)，则有＝＋．
“爪形图”模型的系数具有以下性质：
(1) ＋＝1(参照三点共线的充要条件)；
(2) 当点D在线段BC内部时，系数，都是正数；
(3) 当点D在线段BC外部时，系数，一正一负(离哪个点远，则对应向量的系数为负)；
(4) 当点D在线段BC端点时，系数，一个为0，一个为1．
图(2)
3．平面向量等和线定义
平面内一组基底及任一向量，＝λ＋μ(λ，μ∈R)，若点P在直线AB上或者在平行于AB的直线上，则λ＋μ＝k(定值)，反之也成立．则我们把直线AB以及与直线AB平行的直线称为等和线．
(1) 当等和线恰为直线AB时，k＝1；
(2) 当等和线在点O和直线AB之间时，k∈(0，1)；
(3) 当直线AB在点O与等和线之间时，k∈(1，＋∞)；
(4) 当等和线过点O时，k＝0；
(5) 若两等和线关于O点对称，则定值k互为相反数；
(6) 定值k的变化与等和线到点O的距离成正比．
图(3)
拓展
1
向量共线定理及其应用
　　　　　已知O，A，B是不共线的三点，且＝m＋n (m，n∈R)．
(1) 若m＋n＝1，求证：A，P，B三点共线；
【解答】
　　　　若m＋n＝1，则＝m＋(1 m)＝＋m()，所以＝m()，即＝m，所以共线．又因为有公共点B，所以A，P，B三点共线．
1－1
　　　　　已知O，A，B是不共线的三点，且＝m＋n (m，n∈R)．
(2) 若A，P，B三点共线，求证：m＋n＝1．
1－1
【解答】
　　　　若A，P，B三点共线，则存在实数λ，使＝λ，所以＝λ()．又＝m＋n，故有m＋(n 1)＝λ λ，即(m λ)＋(n＋λ 1)＝0．因为O，A，B不共线，所以，不共线，所以所以m＋n＝1．
　　　　　在△ABC中，＝c，＝b，若点D满足＝2，以{b，c}作为基底，则＝ (　　)
A．b＋c　 B．b c C．b c　 D．b＋c
1－2
【解析】
　　　　如图，因为＝2，所以＝2()，即 c＝2(b )，解得＝b＋c．
(也可以直接利用“爪形图”模型，因为 =2∶1，所以)
A
三点共线
(1) 三点共线定理：已知为平面内两个不共线的向量且＝x＋y(x，y∈R)，x＋y＝1是A，B，C三点共线的充要条件．
(2) 已知＝x＋y(x，y∈R)，若A，B，C三点共线且点C在线段AB 上，则＝(系数交叉对应)．
(3) 特别地：当C为AB的中点时，＝＋．
变式　如图，在△ABC中，∠BAC＝，＝2，P为CD上一点，且＝m＋，若||＝3，||＝4，则·的值为 (　　)
A． 　 B．
C． 　 D．
【解析】
　　　　因为＝2，所以＝，所以＝＋＝＋＝＋＝＋．因为＝m＋，所以＝m＋＝m＋．因为P，C，D三点共线，所以m＋＝1，解得m＝，所以＝＋．又＝＋＝) ＝，所以＝＝＝ 2 ＝．
【答案】D
拓展
2
等和线的应用(λ＋μ＝k)
　　　　　给定两个长度为1的平面向量，它们的夹角为，如图，点C在以O为圆心的上运动，若＝x＋y(x，y∈R)，则x＋y的最大值是_____．
2－1
【解析】
　　　　方法一：以O为坐标原点，所在的直线为x轴建立平面直角坐标系，如图(1)，则A(1，0)，B，设∠AOC＝α，则C(cos α，sin α)．由＝x＋y，得
所以x＝cos α＋sin α，y＝sin α，所以x＋
图(1)
y ＝cos α＋sin α＝2sin．又α∈，所以当α＝时，x＋y取得最大值2．
方法二(等和线法)：令x＋y＝k，所有与直线AB平行的直线中，切线离圆心最远，如图(2)，即此时k取得最大值，结合角度，不难得到k＝＝2．
图(2)
【答案】2
　　　　　如图所示，OM∥AB，点P在由射线OM、射线段OB及AB的延长线围成的阴影区域内(不含边界)运动，且＝x＋y，则x的取值范围是_____________；当x＝ 时，y的取值
范围是__________．
【解析】
　　　　由题意得＝a＋b，a＞0且0＜b＜1，又＝λ＝λ()(λ＞0)，所以＝aλ()＋b＝ aλ＋(aλ＋b)，则x＝ aλ＜0，故x的取值范围是( ∞，0)．由＝x＋y，得0＜x＋y＜1，当x＝ 时，有＜y＜，即y的取值范围为．
2－2
( ∞，0)
平面向量等和线性质
(1) 当等和线恰为直线AB时，k＝1；
(2) 当等和线在点P和直线AB之间时，k∈(0，1)；
(3) 当直线AB在点P和等和线之间时，k∈(1，＋∞)；
(4) 当等和线过点P时，k＝0；
(5) 若两等和线关于点P对称，则定值k互为相反数．
变式　如图，扇形的半径为1，且·＝0，点C在上运动，若＝x＋y，则2x＋y的最小值是 (　　)
A． 　 B．
C．1　 D．2
【解析】
　　　　方法一(坐标法)：令∠AOC＝α，则x＝cos α，y＝sin α，α∈，则2x＋y＝2cos α＋sin α＝sin(α＋θ)，其中sin θ＝，cos θ＝，θ∈．因为θ≤α＋θ≤＋θ，sin θ＝，sin＝cos θ＝，所以≤sin(α＋θ)≤1，所以1≤sin(α＋θ)≤，即2x＋y的最小值为1．
方法二(等和线法)：设＝2＝x＋y＝2x＋y，所以当点C与点B重合时，2x＋y取得最小值为1．
【答案】C
随堂内化·及时评价
1．如图，已知点 C 为△OAB边AB上一点，且AC＝2CB，若存在实数m，n，使得＝m＋n，则m n的值为 (　　)
A． 　 B．0 C．　 D．
【解析】
　　　　＝＋＝＋＝＋＋＝＋， 所以m n＝ ．
A
2．如图，在△ABC中，AD＝DB，AE＝EC，CD与BE交于点F．设＝a，＝b，＝xa＋yb，则(x，y)为 (　　)
A．　 B．
C．　 D．
【解析】
　　　　依题意可知F是△ABC的重心，＝＋＝＋＝＋)＝＋＝＋＝＋，所以x＝y＝．
C
3．(多选)如图，点P在由线段AB，AC的延长线及线段BC围成的阴影区域内(不含边界)，则下列说法正确的是 (　 　)
A．存在点P，使得＝＋2
B．存在点P，使得＝ ＋2
C．存在点P，使得＝ 2
D．存在点P，使得＝＋
【解析】
　　　　设＝λ＋μ(λ，μ∈R)，由图可知λ＞0，μ＞0，且λ＋μ＞1，所以A，D正确．
AD
4．如图，在△ABC中，＝，点E在线段AD上移动(不含端点)，若＝λ＋μ，则＝____，λ2 μ的最小值为_______．
【解析】
　　　　因为在△ABC中，＝，所以＝＋＝＋＝＋)＝＋，即＝＋．因为点E在线段AD上移动(不含端点)，设＝x(0＜x＜1)，所以＝＋，对比＝λ＋μ可得λ＝，μ＝，可得＝2，λ2 μ＝(0＜x＜1)，根据二次函数性质知当x＝ ＝时，(λ2 μ)min＝＝ ．
2

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