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微专题3　解三角形中的最值与范围问题
一、 单项选择题
1．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，a＝2，c＝1，则角C的取值范围是(　　)
A． B．
C．　 D．
2．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若sin2A－sin2C＋sin2B＝sin Asin B，且△ABC的外接圆的半径为，则△ABC面积的最大值为(　　)
A． B．
C． D．2
3．△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，∠ABC＝120°，BD⊥BC交AC于点D，且BD＝1，则2a＋c的最小值为(　　)
A． B．
C．8 D．8
4．设△ABC内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若b＝2，a2sin C＝6sin A，则△ABC面积的最大值为(　　)
A． B．
C． D．3
二、 多项选择题
5．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列说法正确的是(　　)
A．若sin AB．若b＝3，且B＝，则S△ABC的最大值为
C．若a＝10，b＝8，A＝60°，则符合条件的△ABC有两个
D．若tan A＋tan B＋tan C>0，则△ABC是锐角三角形
6．设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a＝2，A＝，下列结论正确的是(　　)
A．若b＝，则满足条件的三角形只有1个
B．△ABC面积的最大值为3
C．△ABC周长的最大值为6
D．若△ABC为锐角三角形，则
三、 填空题
7．已知△ABC的三个内角分别为A，B，C，若sin2C＝2sin2A－3sin2B，则tan B的最大值为________．
8．在△ABC中，A，B，C三个内角所对的边依次为a，b，c，且a2＋c2＝b2＋ac，若b＝4，则△ABC的面积的最大值为________．
四、 解答题
9．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且sin＋cos A＝1，acsin A＋4sin C＝4csin A.
(1) 求边长a和角A；
(2) 求△ABC的周长的取值范围.
10．若锐角三角形ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，其外接圆的半径为，且acos(B－C)＋acos A＝2csin Bcos A.
(1) 求角A的大小；
(2) 求的取值范围.
微专题3　解三角形中的最值与范围问题
1．D　【解析】 在△ABC中，a＝2，c＝1，由正弦定理＝，得＝，所以sin C＝sin A.因为A∈(0，π)，所以0c，所以角C是锐角，所以C∈.
2．B　【解析】 在△ABC中，因为sin2A－sin2C＋sin2B＝sin Asin B，所以由正弦定理得a2＋b2－c2＝ab，由余弦定理得cos C＝＝.因为C为△ABC的内角，所以03．B　【解析】 由题意可知∠ABD＝30°，因为S△ABC＝S△ABD＋S△CBD，即ac×＝×1×c×＋×1×a，整理得＋＝，则2a＋c＝(2a＋c)＝≥＝，当且仅当c＝2a＝时等号成立，所以2a＋c的最小值为.
4．B　【解析】 因为a2sin C＝6sin A，所以由正弦定理可得a2c＝6a，得ac＝6.由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accos B，即4＝a2＋c2－12cos B，所以4＋12cos B＝a2＋c2≥2ac＝12，当且仅当a＝c时取等号，所以cos B≥，所以sin B＝≤＝，所以S△ABC＝acsin B≤×6×＝，当且仅当a＝c时取等号，所以△ABC面积的最大值为.
5．ABD　【解析】 对于A，由sin A0，c>0，所以9＝a2＋c2＋ac≥3ac，所以ac≤3，当且仅当a＝c＝时等号成立，所以S△ABC＝acsin B＝ac≤，所以S△ABC的最大值为，故B正确.对于C，由正弦定理得sin B＝＝＝<1，又b0.因为A，B，C最多有一个钝角，所以tan A>0，tan B>0，tan C>0，即A，B，C都是锐角，所以△ABC一定为锐角三角形，故D正确.
6．BCD　【解析】 对于A，因为bsin A＝，，所以<2，故D正确.
7．　【解析】 设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.因为sin2C＝2sin2A－3sin2B，所以由正弦定理得c2＝2a2－3b2，可得b2＝a2－c2.由余弦定理得cos B＝＝＝＝·≥·＝，当且仅当a＝2c时等号成立，从而B为锐角，所以≤cos B<1，得≤cos2B<1，则1<≤，所以tan2B＝＝＝－1∈，所以tan B的最大值为.
8．4　【解析】 由余弦定理得cos B＝＝＝，因为B∈(0，π)，所以B＝.由余弦定理及基本不等式得b2＝a2＋c2－2accos B＝a2＋c2－ac≥2ac－ac＝ac，所以ac≤b2＝16，当且仅当a＝c＝4时取等号，所以△ABC的面积S＝acsin B＝ac≤4.
9．【解答】 (1) 由acsin A＋4sin C＝4csin A，结合正弦定理得a2c＋4c＝4ac，因为c≠0，所以a2＋4＝4a，即(a－2)2＝0，可得a＝2.因为A∈(0，π)，所以sin>0，由sin＋cos A＝1，得＝1－cos A，得2cos2A－3cos A＋1＝0，解得cos A＝或cos A＝1(舍去)，故A＝.
(2) 由(1)知a＝2，A＝，由余弦定理得b2＋c2－2bccos A＝a2，即b2＋c2－bc＝4，所以(b＋c)2＝4＋3bc，又bc≤，所以≤，解得b＋c≤4.根据三角形三边关系得到b＋c>a＝2，故410．【解答】 (1) 因为acos(B－C)＋acos A＝2csin Bcos A，所以acos Bcos C＋asin Bsin C－a(cos Bcos C－sin B·sin C)＝2csin Bcos A，即asin Bsin C＝csin Bcos A.由正弦定理得sin Asin Bsin C＝sin Csin Bcos A，显然sin C>0，sin B>0，所以sin A＝cos A，所以tan A＝.因为A∈，所以A＝.
(2) 因为△ABC外接圆的半径为，所以＝＝2，所以a＝3，b＝2sin B，所以＝b＋＝2sin B＋＝2.因为△ABC为锐角三角形，所以解得典例剖析素养初现
拓展1　利用三角函数有界性求解
例1　在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，设△ABC的面积为S，且满足S＝(a2＋b2 c2)．
(1) 求角C的大小；
【解答】由余弦定理及题意可知S＝absin C＝×2abcos C，所以tan C＝．因为0＜C＜π，所以C＝．
(2) 求sin Asin B的最大值．
【解答】sin Asin B＝sin Asin(π C A)＝sin Asin＝sin A＝sin 2A cos 2A＋＝＋．因为0＜A＜，所以 ＜2A ，所以当2A ＝，即A＝时，sin Asin B取得最大值．故sin Asin B的最大值是．
变式　在△ABC中，已知sin2A sin2B sin2C＝sin Bsin C．
(1) 求角A的大小；
【解答】由正弦定理和已知条件得BC2 AC2 AB2＝AC·AB ①．由余弦定理得BC2＝AC2＋AB2 2AC·ABcos A ②．由①②得cos A＝ ．因为0＜A＜π，所以A＝．
(2) 若BC＝3，求△ABC周长的最大值．
【解答】由正弦定理及(1)得＝＝＝2，从而AC＝2sin B，AB＝2sin(π A B)＝3cos B sin B．故BC＋AC＋AB＝3＋sin B＋3cos B＝3＋2．又0＜B＜，所以当B＝时，△ABC周长取得最大值3＋2．
拓展2　利用基本不等式求解
例2　在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a2＋b2＝c2＋ab，若△ABC的外接圆半径为，求△ABC面积的最大值．
【解答】因为a2＋b2＝c2＋ab，由余弦定理得cos C＝＝，从而sin C＝，故S△ABC＝absin C＝ab．由外接圆半径R＝及sin C＝可得c＝2Rsin C＝4，所以a2＋b2＝16＋ab，而a2＋b2≥2ab，所以有16＋ab≥2ab ab≤12，所以S△ABC≤×12＝4，故△ABC面积的最大值为4．
变式　(1) 已知△ABC的三个内角A，B，C满足＋＝2(tan B＋tan C)，则A的最大值是____．
【解析】因为＋＝2(tan B＋tan C)，所以＋＝，所以＋＝，所以sin B＋sin C＝2sin A，由正弦定理得b＋c＝2a，即a＝．由余弦定理得cos A＝＝＝＝(当且仅当b＝c，即△ABC为正三角形时取“＝”)，因为0＜A＜π，所以A的最大值为．
(2) 在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且ac＝16，acos C＋3ccos A＝0，则△ABC面积的最大值为__4__．
【解析】因为acos C＋3ccos A＝0，由余弦定理可得a×＋3c×＝0，则2b2＋c2 a2＝0，则cos B＝＝＝．又sin2B＋cos2B＝1，所以sin B≤，则△ABC的面积S＝acsin B≤4，当且仅当a＝c，即a＝4，c＝4时等号成立，所以△ABC面积的最大值为4．
拓展3　利用二次函数求解
例3　已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a＝btan A，且B为钝角．
(1) 求证：B A＝；
【解答】由a＝btan A及正弦定理得＝＝，所以sin B＝cos A，即sin B＝sin．又B为钝角，因此＋A∈，故B＝＋A，即B A＝．
(2) 求sin A＋sin C的取值范围．
【解答】由(1)知，C＝π (A＋B)＝π ＝ 2A＞0，所以A∈．于是sin A＋sin C＝sin A＋sin＝sin A＋cos 2A＝ 2sin2A＋sin A＋1＝ 2＋．因为0＜A＜，所以0＜sin A＜，因此＜ 2＋．故sin A＋sin C的取值范围是．
变式　在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足cos C＋cos Acos B＝2sin Acos B．
(1) 求cos B的值；
【解答】因为cos C＋cos Acos B＝2sin Acos B，所以 cos(A＋B)＋cos Acos B＝2sin Acos B，即sin Asin B＝2sin Acos B．因为sin A≠0，所以sin B＝2cos B＞0．又因为sin2B＋cos2B＝1，解得cos B＝．
(2) 若a＋c＝2，求b的取值范围．
【解答】由a＋c＝2，可得c＝2 a，由余弦定理，得b2＝a2＋c2 2accos B＝a2＋c2 ac＝a2＋(2 a)2 a(2 a)＝(a 1)2＋，因为0＜a＜2，所以≤b2＜4，所以≤b＜2，所以b的取值范围为．
(1) 三角形的面积(周长)的取值范围或最值的解法
①三角函数法：通过正、余弦定理将边转化为角，再根据三角恒等变换及三角形内角和定理转化为“一角一函数”的形式，最后结合角的范围利用三角函数的单调性和值域求解．
②基本不等式法：利用正、余弦定理、面积(周长)公式建立a＋b，ab，a2＋b2之间的等量关系，然后利用基本不等式求解．
(2) 求解三角形中最值范围问题时，要注意三角形内角和为π这一限制条件．例如，若△ABC是锐角三角形，则0＜A＜，A＋B＞，sin A＞cos B，sin B＞cos C．
(3) 求解三角形中最值范围问题时要关注三角形中的不等关系．
①任意两边之和大于第三边：在判定是否构成三角形时，只需验证较小的两边之和是否比第三边大即可．由于不存在等号成立的条件，在求最值时使用较少．
②在三角形中，边角以及角的三角函数值存在等价关系：a＞b A＞B sin A＞sin B cos A＜cos B．
随堂内化及时评价
1．已知在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a2＝b2＋c2 bc，a＝3，则△ABC的周长的最大值为(　C　)
A．7　　 B．8
C．9　　 D．10
【解析】因为a2＝b2＋c2 bc，所以bc＝b2＋c2 a2，所以cos A＝＝，因为A∈(0，π)，所以A＝．因为a＝3，所以由正弦定理得＝＝＝＝2，所以b＝2sin B，c＝2sin C，则a＋b＋c＝3＋2sin B＋2sin C＝3＋2sin B＋2＝3＋3sin B＋3cos B＝3＋6sin．因为B∈，所以当B＝时，周长取得最大值9．
2．已知△ABC的三个内角分别为A，B，C．若sin2C＝2sin2A 3sin2B，则tan B的最大值为(　B　)
A．　 B．
C．　 D．
【解析】由题意及正弦定理得c2＝2a2 3b2，即b2＝a2 c2，所以cos B＝＝＝＝＝，当且仅当a＝2c时等号成立，则B为锐角，≤cos B＜1，≤cos2B＜1，1＜，tan2B＝＝＝ 1∈，所以tan B的最大值为．
3．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2ccos B＝2a＋b，则C＝____；若△ABC的面积S＝c，则ab的最小值为__12__．
【解析】由2ccos B＝2a＋b及余弦定理，得2c·＝2a＋b，得a2＋c2 b2＝2a2＋ab，即a2＋b2 c2＝ ab，所以cos C＝＝＝ ，又0＜C＜π，所以C＝．因为S＝absin C＝c，所以c＝ab．又c2＝a2＋b2 2abcos C＝a2＋b2＋ab，所以＝a2＋b2＋ab≥3ab，ab≥12，当且仅当a＝b时取等号．故ab的最小值为12．
4．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，△ABC的面积为S，已知c＝2，且a2＋b2＝4S＋4．
(1) 求C；
【解答】因为S＝absin C，a2＋b2＝4S＋4，所以a2＋b2＝2absin C＋4．在△ABC中，由余弦定理得a2＋b2 c2＝2abcos C，因为c＝2，所以a2＋b2＝4＋2abcos C，所以cos C＝sin C，所以tan C＝，因为C∈(0，π)，所以C＝．
(2) 求b a的取值范围．
【解答】在△ABC中，由正弦定理得＝＝＝4，所以b a＝4sin B 4sin A＝4 4sin A＝2cos A＋2sin A＝4sin．因为A∈，所以A＋，所以sin，所以b a∈( 2，4］，即b a的取值范围为( 2，4］．(共21张PPT)
第六章
微专题3　解三角形中的最值与范围问题
平面向量及其应用
典例剖析·素养初现
拓展
1
利用三角函数有界性求解
　　　在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，设△ABC的面积为S，且满足S＝(a2＋b2 c2)．
(1) 求角C的大小；
1
【解答】
　　　　由余弦定理及题意可知S＝absin C＝×2abcos C，所以tan C＝．因为0＜C＜π，所以C＝．
　　　在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，设△ABC的面积为S，且满足S＝(a2＋b2 c2)．
(2) 求sin Asin B的最大值．
1
【解答】
　　　　sin Asin B＝sin Asin(π C A)＝sin Asin＝sin A＝sin 2A cos 2A＋＝sin＋．因为0＜A＜，所以 ＜2A ，所以当2A ＝，即A＝时，sin Asin B取得最大值．故sin Asin B的最大值是．
变式　在△ABC中，已知sin2A sin2B sin2C＝sin Bsin C．
(1) 求角A的大小；
【解答】
　　　　由正弦定理和已知条件得BC2 AC2 AB2＝AC·AB ①．由余弦定理得BC2＝AC2＋AB2 2AC·ABcos A ②．由①②得cos A＝ ．因为0＜A＜π，所以A＝．
变式　在△ABC中，已知sin2A sin2B sin2C＝sin Bsin C．
(2) 若BC＝3，求△ABC周长的最大值．
【解答】
　　　　由正弦定理及(1)得＝＝＝2，从而AC＝2sin B，AB＝2sin(π A B)＝3cos B sin B．故BC＋AC＋AB＝3＋sin B＋3cos B＝3＋2sin．又0＜B＜，所以当B＝时，△ABC周长取得最大值3＋2．
拓展
2
利用基本不等式求解
　　　在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a2＋b2＝c2＋ab，若△ABC的外接圆半径为，求△ABC面积的最大值．
2
【解答】
　　　　因为a2＋b2＝c2＋ab，由余弦定理得cos C＝＝，从而sin C＝，故S△ABC＝absin C＝ab．由外接圆半径R＝及sin C＝可得c＝2Rsin C＝4，所以a2＋b2＝16＋ab，而a2＋b2≥2ab，所以有16＋ab≥2ab ab≤12，所以S△ABC≤×12＝4，故△ABC面积的最大值为4．
变式　(1) 已知△ABC的三个内角A，B，C满足＋＝2(tan B＋tan C)，则A
的最大值是______．
【解析】
　　　　因为＋＝2(tan B＋tan C)，所以＋＝，所以＋＝，所以sin B＋sin C＝2sin A，由正弦定理得b＋c＝2a，即a＝．由余弦定理得cos A＝＝＝＝(当且仅当b＝c，即△ABC为正三角形时取“＝”)，因为0＜A＜π，所以A的最大值为．
变式　(2) 在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且ac＝16，acos C＋3ccos A＝0，则△ABC面积的最大值为_______．
【解析】
　　　　因为acos C＋3ccos A＝0，由余弦定理可得a×＋3c×＝0，则2b2＋c2 a2＝0，则cos B＝＝＝．又sin2B＋cos2B＝1，所以sin B≤，则△ABC的面积S＝acsin B≤4，当且仅当a＝c，即a＝4，c＝4时等号成立，所以△ABC面积的最大值为4．
4
拓展
3
利用二次函数求解
　　　已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a＝btan A，且B为钝角．
(1) 求证：B A＝；
3
【解答】
　　　　由a＝btan A及正弦定理得＝＝，所以sin B＝cos A，即sin B＝sin．又B为钝角，因此＋A∈，故B＝＋A，即B A＝．
　　　已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a＝btan A，且B为钝角．
(2) 求sin A＋sin C的取值范围．
3
【解答】
　　　　由(1)知，C＝π (A＋B)＝π ＝ 2A＞0，所以A∈．于是 sin A＋sin C＝sin A＋sin＝sin A＋cos 2A＝ 2sin2A＋sin A＋1＝ 2＋．因为0＜A＜，所以0＜sin A＜，因此＜ 2＋．故sin A＋sin C的取值范围是．
变式　在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足cos C＋cos Acos B＝2sin Acos B．
(1) 求cos B的值；
【解答】
　　　　因为cos C＋cos Acos B＝2sin Acos B，所以 cos(A＋B)＋cos Acos B＝2sin Acos B，即sin Asin B＝2sin Acos B．因为sin A≠0，所以sin B＝2cos B＞0．又因为sin2B＋cos2B＝1，解得cos B＝．
变式　在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足cos C＋cos Acos B＝2sin Acos B．
(2) 若a＋c＝2，求b的取值范围．
【解答】
　　　　由a＋c＝2，可得c＝2 a，由余弦定理，得b2＝a2＋c2 2accos B＝a2＋c2 ac＝a2＋(2 a)2 a(2 a)＝(a 1)2＋，因为0＜a＜2，所以≤b2＜4，所以≤b＜2，所以b的取值范围为．
(1) 三角形的面积(周长)的取值范围或最值的解法
①三角函数法：通过正、余弦定理将边转化为角，再根据三角恒等变换及三角形内角和定理转化为“一角一函数”的形式，最后结合角的范围利用三角函数的单调性和值域求解．
②基本不等式法：利用正、余弦定理、面积(周长)公式建立a＋b，ab，a2＋b2之间的等量关系，然后利用基本不等式求解．
(2) 求解三角形中最值范围问题时，要注意三角形内角和为π这一限制条件．例如，若△ABC是锐角三角形，则0＜A＜，A＋B＞，sin A＞cos B，sin B＞cos C．
(3) 求解三角形中最值范围问题时要关注三角形中的不等关系．
①任意两边之和大于第三边：在判定是否构成三角形时，只需验证较小的两边之和是否比第三边大即可．由于不存在等号成立的条件，在求最值时使用较少．
②在三角形中，边角以及角的三角函数值存在等价关系：a＞b A＞B sin A＞sin B cos A＜cos B．
随堂内化·及时评价
1．已知在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a2＝b2＋c2 bc，a＝3，则△ABC的周长的最大值为 (　　)
A．7　　 B．8 C．9　　 D．10
【解析】
　　　　因为a2＝b2＋c2 bc，所以bc＝b2＋c2 a2，所以cos A＝＝，因为A∈(0，π)，所以A＝．因为a＝3，所以由正弦定理得＝＝＝＝2，所以b＝2sin B，c＝2sin C，则a＋b＋c＝3＋2sin B＋2sin C＝3＋2sin B＋2sin＝3＋3sin B＋3cos B＝3＋6sin．因为B∈，所以当B＝时，周长取得最大值9．
C
2．已知△ABC的三个内角分别为A，B，C．若sin2C＝2sin2A 3sin2B，则tan B的最大值为 (　　)
A．　 B． C．　 D．
【解析】
　　　　由题意及正弦定理得c2＝2a2 3b2，即b2＝a2 c2，所以cos B＝＝＝＝＝，当且仅当a＝2c时等号成立，则B为锐角，≤cos B＜1，≤cos2B＜1，1＜，tan2B＝＝＝ 1∈，所以tan B的最大值为．
B
3．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2ccos B＝2a＋b，则C＝______；若△ABC的面积S＝c，则ab的最小值为______．
【解析】
　　　　由2ccos B＝2a＋b及余弦定理，得2c·＝2a＋b，得a2＋c2 b2＝2a2＋ab，即a2＋b2 c2＝ ab，所以cos C＝＝＝ ，又0＜C＜π，所以C＝．因为S＝absin C＝c，所以c＝ab．又c2＝a2＋b2 2abcos C＝a2＋b2＋ab，所以＝a2＋b2＋ab≥3ab，ab≥12，当且仅当a＝b时取等号．故ab的最小值为12．
12
4．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，△ABC的面积为S，已知c＝2，且a2＋b2＝4S＋4．
(1) 求C；
【解答】
　　　　因为S＝absin C，a2＋b2＝4S＋4，所以a2＋b2＝2absin C＋4．在△ABC中，由余弦定理得a2＋b2 c2＝2abcos C，因为c＝2，所以a2＋b2＝4＋ 2abcos C，所以cos C＝sin C，所以tan C＝，因为C∈(0，π)，所以C＝．
4．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，△ABC的面积为S，已知c＝2，且a2＋b2＝4S＋4．
(2) 求b a的取值范围．
【解答】
　　　　在△ABC中，由正弦定理得＝＝＝4，
所以b a＝ 4sin B 4sin A＝4sin 4sin A＝2cos A＋2sin A＝
4sin．因为A∈，所以A＋∈，所以sin∈，所以b a∈( 2，4］，即b a的取值范围为( 2，4］．

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