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章末复习　能力整合与素养提升
考法1　平面向量的线性运算及应用
例1　如图，在正方形ABCD中，点E是DC的中点，点F是BC(靠近点B)的一个三等分点，那么＝(　D　)
A．　 B．＋
C．＋　 D．
【解析】在△CEF中，＝＋．因为点E为DC的中点，所以＝．因为点F为BC的一个三等分点，所以＝，所以＝＋＝＋＝．
【类题固法】
1．已知向量a＝(5，2)，b＝( 4， 3)，c＝(x，y)，若3a 2b＋c＝0，则c＝(　A　)
A．( 23， 12)　 B．(23，12)
C．(7，0)　 D．( 7，0)
2．如图，已知＝a，＝b，＝3，则＝__ a＋b__．(用a，b表示)
【解析】＝＋＝＋＝＋)＝＋＝a＋b．
3．已知A，B，C三点共线，，不共线且点A在线段BC上(不含B，C端点)．若＝x＋y，则＋的最小值为(　C　)
A．　 B．4
C．　 D．
【解析】如图，设＝λ，0＜λ＜1，则＝＋＝＋λ＝＋λ()＝(1 λ)＋λ．又＝x＋y，所以x＝1 λ＞0，y＝λ＞0，x＋y＝1，则x＋(y＋1)＝2，因此＋＝［x＋(y＋1)］＝＝，当且仅当＝且x＋y＝1，即x＝，y＝时取等号．
4．(多选)2025年2月7日，第九届亚洲冬运会开幕式在哈尔滨举行．图(1)是第九届亚洲冬运会会徽，适当选择四个点作四边形ABCD，就可以覆盖会徽的主图案．如图(2)，在四边形ABCD中，E，F分别是BC，CD的中点，＝2，＝2，则下列等式一定成立的是(　BCD　)
图(1)
图(2)
A．＝＋
B．＋＝＋
C．＋＝
D．＝
【解析】对于A，因为四边形ABCD不一定是平行四边形，所以＝＋不一定成立，故A错误；对于B，＋＝，＋＝，所以＋＝＋，故B正确；对于C，＋＝，＝，所以＋＝，故C正确；对于D，如图，连接BD，因为E，F分别是BC，CD的中点，所以＝，又＝2，＝2，所以＝，所以＝，故D正确．
5．已知点P是△ABC内一点，满足＝λ＋μ，且2λ＋3μ＝1，延长AP交边BC于点D，BD＝2DC，则λ＋μ＝__ __．
【解析】因为BD＝2DC，所以＝k＝k＝＋，所以λ＝，μ＝．又因为2λ＋3μ＝1，所以k＝，所以λ＋μ＝．
考法2　向量的数量积
例2　(1) 已知向量a，b的夹角为，且a＝(3， 4)，|b|＝2，则|2a＋b|＝(　C　)
A．2　 B．2
C．2　 D．84
【解析】因为|2a＋b|2＝4a2＋4|a|·|b|cos＋b2＝4×(32＋42)＋4××2×＋22＝84，所以|2a＋b|＝2．
(2) 在 ABCD中，∠DAB＝60°，AB＝4，AD＝2．若P为CD边上一点，则·的最小值为__ 1__．
【解析】设＝λ，则＝(＋)·(＋)＝(＋λ)·［＋(λ 1)］＝＋λ(λ 1)＋(2λ 1)＝16λ(λ 1)＋4(2λ 1)＋4＝16 1，当λ＝时，()min＝ 1．
【类题固法】
1．若向量a＝(1， 1)，b＝( 1，2)，则(2a＋b)·a＝(　C　)
A． 1　 B．0
C．1　 D．2
【解析】因为a＝(1， 1)，b＝( 1，2)，所以2a＋b＝2(1， 1)＋( 1，2)＝(1，0)，则(2a＋b)·a＝(1，0)·(1， 1)＝1．
2．已知向量a，b的夹角为120°，|a|＝1，|b|＝5，则|3a b|＝(　A　)
A．7　 B．6
C．5　 D．4
【解析】|3a b|＝＝＝＝＝7．
3．如图，在 ABCD中，AB＝2，AD＝1，∠A＝60°，点M在AB边上，且AM＝AB，则·＝(　B　)
A． 1　 B．1
C． 　 D．
【解析】＝·()＝＋＝＋1＝1．
4．已知|a|＝1，|b|＝6，a·(b a)＝2，则向量a与向量b的夹角是(　C　)
A．　 B．
C．　 D．
【解析】设向量a与b的夹角为α，由条件得a·b a2＝2，所以a·b＝2＋a2＝3＝|a|·|b|cosα＝1×6×cosα，所以cosα＝，α＝．
5．(多选)已知正八边形ABCDEFGH，O为正八边形的中心，其中OA＝2，则下列命题正确的是(　BCD　)
A．·＝
B．＋＝
C．在上的投影向量为
D．若P为正八边形边上的一个动点，则·的最大值为4
【解析】由题意知，正八边形的每条边所对的中心角均为45°，且中心到各个顶点的距离都是2．对于A，＝||||cos∠BOE＝2×2×cos 135°＝ 2，故A错误；对于B，如图，连接AC交OB于点N，则N为AC的中点，且OB＝ON，所以＋＝2＝＝ ，故B正确；对于C，向量在上的投影向量为＝＝，故C正确；对于D，设向量与的夹角为θ，则＝||||cos θ，其中||cos θ表示在方向上的投影，在正八边形中，可得DC⊥AB，如图，延长DC交AB于点M，当点P在线段DC上运动时，向量在方向上的投影取得最大值，又△OAC为等腰直角三角形，且∠OAB＝＝67.5°，在Rt△CAM中，AM＝ACcos∠CAM＝ACcos(67.5° 45°)＝ACcos 22.5°，而在等腰三角形OAB中，AB＝2OAsin 22.5°，则＝ACcos 22.5°·2OAsin 22.5°＝AC·OA·sin 45°＝2×2×＝4，故D正确．
考法3　利用余弦、正弦定理解三角形
例3　在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足2csin Bcos A＝b(sin Acos B＋cos Asin B)．
(1) 求角A的大小；
【解答】由2csin Bcos A＝b(sin Acos B＋cos Asin B)及正弦定理可得2sin Csin Bcos A＝sin Bsin(A＋B)＝sin Bsin C，又C∈(0，π)，B∈(0，π)，故sin C≠0，sin B≠0，所以cos A＝，又A∈(0，π)，故A＝．
(2) 若△ABC的面积为16，D为AC的中点，求BD长的最小值．
【解答】由S△ABC＝cbsin A＝16及A＝，得cb＝64．如图，在△BAD中，由余弦定理得BD2＝BA2＋AD2 2BA·AD·cos A＝c2＋ 2c··cos＝c2＋cb≥2cb＝cb＝32，当且仅当c＝＝4时取等号，所以BD长的最小值为4．
【类题固法】
1．设△ABC的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，其中a＝，b＝，B＝，那么满足条件的△ABC(　A　)
A．有一个解　 B．有两个解
C．不能确定　 D．无解
【解析】在△ABC中，a＝，b＝，B＝，由正弦定理得sinA＝＝，又因为a＜b，所以A∈，所以满足条件的△ABC只有一个解．
2．已知△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．若a＝c＝＋，且A＝75°，则b＝(　A　)
A．2　 B．4＋2
C．4 2　 D．
【解析】由题意知C＝A＝75°，故B＝30°，由余弦定理知b2＝a2＋c2 2accos30°＝2(＋)2 ＝(2 )(＋)2＝4(2＋)(2 )＝4，所以b＝2．
3．在△ABC中，已知AC＝，∠ABC＝60°，AB＜BC，且△ABC的面积为3，则AB边上的高等于(　A　)
A．2　 B．
C．　 D．2
【解析】如图，设BC＝a，AC＝b，AB＝c，AB边上的高为h，由面积公式得S＝acsinB＝ac×＝3，所以ac＝12，又cosB＝＝＝，所以a2＋c2＝25，又因为AB＜BC，即c＜a，所以a＝4，c＝3，所以h＝asinB＝4×＝2．
4．(多选)在△ABC中，若B＝，角B的平分线BD交AC边于点D，且BD＝BC＝2，则下列说法正确的是(　ACD　)
A．AB的值是＋1
B．△ABC外接圆的半径是2
C．△ABC的面积是
D．＝
【解析】因为BD为∠ABC的平分线，B＝，所以∠ABD＝∠CBD＝，又BD＝BC＝2，所以∠BCD＝∠BDC＝，则A＝．sin C＝sin＝sin＝sin＋cos＝＋＝，在△ABC中，由正弦定理得＝＝＝2，所以AB＝2×sin＝2＝＋1，S△ABC＝AB·BCsin∠ABC＝×(1＋)×2×＝，故A，C正确．由BD＝BC＝2，A＝及正弦定理可得△ABC外接圆的直径为2R＝＝＝2，所以△ABC外接圆的半径是，故B错误．由BD＝BC＝2及正弦定理得＝，＝，因为∠ADB与∠BDC互补，所以sin∠ADB＝sin(π ∠ADB)＝sin∠BDC，可得＝＝，故D正确．
5．已知正方形ABCD的边长为1，M为△ABC内一点，满足∠MDB＝∠MBC＝10°，则∠MAD＝__70°__．
【解析】如图，由∠MDB＝∠MBC＝10°得∠MBD＝35°，∠BMD＝135°，在△BMD中，＝，BD＝，所以MD＝2sin35°，又∠ADM＝55°，在△ADM中，AM2＝AD2＋DM2 2AD·DMcos55°＝1＋4sin235° 4sin35°cos55°＝1＋4sin235° 4sin35°sin35°＝1，即AM＝1＝AD，所以∠MAD＝180° 2×55°＝70°．(共30张PPT)
第六章
章复习　能力整合与素养提升
平面向量及其应用
要点回顾·连点成面
考法聚焦·核心突破
考法
1
平面向量的线性运算及应用
　　　如图，在正方形ABCD中，点E是DC的中点，点F是BC(靠近点B)的一个三等分点，那么＝ (　　)
A．　 B．＋
C．＋　 D．
1
【解析】
　　　　在△CEF中，＝＋．因为点E为DC的中点，所以＝．因为点F为BC的一个三等分点，所以＝，所以＝＋＝＋＝．
D
【类题固法】
1．已知向量a＝(5，2)，b＝( 4， 3)，c＝(x，y)，若3a 2b＋c＝0，则c＝(　　)
A．( 23， 12)　 B．(23，12)
C．(7，0)　 D．( 7，0)
A
2．如图，已知＝a，＝b，＝3，则＝__________．(用a，b表示)
【解析】
　　　　＝＋＝＋＝＋)＝＋＝a＋b．
a＋b
3．已知A，B，C三点共线，，不共线且点A在线段BC上(不含B，C端点)．若＝x＋y，则＋的最小值为 (　　)
A．　 B．4 C．　 D．
【解析】
　　　　如图，设＝λ，0＜λ＜1，则＝＋＝＋λ＝＋λ()＝(1 λ)＋λ．又＝x＋y，所以x＝1 λ＞0，y＝λ＞0，x＋y＝1，则x＋(y＋1)＝2，因此＋
＝［x＋(y＋1)］＝＝，当且仅当＝且x＋y＝1，即x＝，y＝时取等号．
C
4．(多选)2025年2月7日，第九届亚洲冬运会开幕式在哈尔滨举行．图(1)是第九届亚洲冬运会会徽，适当选择四个点作四边形ABCD，就可以覆盖会徽的主图案．如图(2)，在四边形ABCD中，E，F分别是BC，CD的中点，＝2，＝2，则下列等式一定成立的是 (　　　)
A．＝＋
B．＋＝＋
C．＋＝
D．＝
图(1)
图(2)
【解析】
　　　　对于A，因为四边形ABCD不一定是平行四边形，所以＝＋不一定成立，故A错误；对于B，＋＝，＋＝，所以＋＝＋，故B正确；对于C，＋＝，＝，所以＋＝，故C正确；对于D，如图，连接BD，因为E，F分别是BC，CD的中点，所以＝，又＝2，＝2，所以＝，所以＝，故D正确．
【答案】BCD
5．已知点P是△ABC内一点，满足＝λ＋μ，且2λ＋3μ＝1，延长AP交边BC
于点D，BD＝2DC，则λ＋μ＝____．
【解析】
　　　　因为BD＝2DC，所以＝k＝k＝＋，所以λ＝，μ＝．又因为2λ＋3μ＝1，所以k＝，所以λ＋μ＝．
考法
2
向量的数量积
　　　(1) 已知向量a，b的夹角为，且a＝(3， 4)，|b|＝2，则|2a＋b|＝ (　　)
A．2　 B．2
C．2　 D．84
2
【解析】
　　　　因为|2a＋b|2＝4a2＋4|a|·|b|cos＋b2＝4×(32＋42)＋4×× 2×＋22＝84，所以|2a＋b|＝2．
C
　　　(2) 在□ABCD中，∠DAB＝60°，AB＝4，AD＝2．若P为CD边上一点，则·的最小值为______．
【解析】
　　　设＝λ，则＝(＋)·(＋)＝(＋λ)·［＋(λ 1)］＝＋λ(λ 1)＋(2λ 1)＝16λ(λ 1)＋4(2λ 1)＋4＝16 1，当λ＝时，()min＝ 1．
2
1
【类题固法】
1．若向量a＝(1， 1)，b＝( 1，2)，则(2a＋b)·a＝ (　　)
A． 1　 B．0
C．1　 D．2
【解析】
　　　　因为a＝(1， 1)，b＝( 1，2)，所以2a＋b＝2(1， 1)＋( 1，2)＝(1，0)，则(2a＋b)·a＝(1，0)·(1， 1)＝1．
C
2．已知向量a，b的夹角为120°，|a|＝1，|b|＝5，则|3a b|＝ (　　)
A．7　 B．6
C．5　 D．4
【解析】
　　　　|3a b|＝＝＝＝＝7．
A
3．如图，在□ABCD中，AB＝2，AD＝1，∠A＝60°，点M在AB边上，且AM＝AB，则·＝ (　　)
A． 1　 B．1
C． 　 D．
【解析】
　　　　＝·()＝＋＝＋1＝1．
B
4．已知|a|＝1，|b|＝6，a·(b a)＝2，则向量a与向量b的夹角是 (　　)
A．　 B．
C．　 D．
【解析】
　　　　设向量a与b的夹角为α，由条件得a·b a2＝2，所以a·b＝2＋a2＝3＝|a|·|b|cosα＝1×6×cosα，所以cosα＝，α＝．
C
5．(多选)已知正八边形ABCDEFGH，O为正八边形的中心，其中OA＝2，则下列命题正确的是 (　　　)
A．·＝
B．＋＝
C．上的投影向量为
D．若P为正八边形边上的一个动点，则·的最大值为4
【解析】
　由题意知，正八边形的每条边所对的中心角均为45°，且中心到各个顶点的距离都是2．对于A，＝|| ||cos∠BOE＝2×2×cos 135°＝ 2，故A错误；对于B，如图，连接AC交OB于点N，则N为AC的中点，且OB＝ON，所以＋＝2＝＝ ，故B正确；对于C，向量上的投影向量为＝＝，故C正确；
对于D，设向量的夹角为θ，则＝||||cos θ，其中||cos θ表示方向上的投影，在正八边形中，可得DC⊥AB，如图，延长DC交AB于点M，当点P在线段DC上运动时，向量方向上的投影取得最大值，又△OAC为等腰直角三角形，且∠OAB＝＝67.5°，在Rt△CAM中，AM＝
ACcos∠CAM ＝ACcos(67.5° 45°)＝ACcos 22.5°，而在等腰三角形OAB中，AB＝2OAsin 22.5°，则＝ACcos 22.5°·2OAsin 22.5°＝AC·OA·sin 45°＝2×2×＝4，故D正确．
【答案】BCD
考法
3
利用余弦、正弦定理解三角形
　　　在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足2csin Bcos A＝b(sin Acos B＋cos Asin B)．
(1) 求角A的大小；
3
【解答】
　　　　由2csin Bcos A＝b(sin Acos B＋cos Asin B)及正弦定理可得2sin Csin Bcos A＝sin Bsin(A＋B)＝sin Bsin C，又C∈(0，π)，B∈(0，π)，故sin C≠0，sin B≠0，所以cos A＝，又A∈(0，π)，故A＝．
　　　在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足2csin Bcos A＝b(sin Acos B＋cos Asin B)．
(2) 若△ABC的面积为16，D为AC的中点，求BD长的最小值．
3
【解答】
　　　　由S△ABC＝cbsin A＝16及A＝，得cb＝64．如图，在△BAD中，由余弦定理得BD2＝BA2＋AD2 2BA·AD·cos A＝c2＋ 2c··cos＝c2＋ cb≥2cb＝cb＝32，当且
仅当c＝＝4时取等号，所以BD长的最小值为4．
【类题固法】
1．设△ABC的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，其中a＝，b＝，B＝，那么满足条件的△ABC (　　)
A．有一个解　 B．有两个解
C．不能确定　 D．无解
【解析】
　　　　在△ABC中，a＝，b＝，B＝，由正弦定理得sinA＝＝，又因为a＜b，所以A∈，所以满足条件的△ABC只有一个解．
A
2．已知△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．若a＝c＝＋，且A＝75°，则b＝ (　　)
A．2　 B．4＋2
C．4 2　 D．
【解析】
　　　　由题意知C＝A＝75°，故B＝30°，由余弦定理知b2＝a2＋c2 2accos30°＝2(＋)2 ＝(2 )(＋)2＝4(2＋)(2 )＝4，所以b＝2．
A
3．在△ABC中，已知AC＝，∠ABC＝60°，AB＜BC，且△ABC的面积为3，则AB边上的高等于 (　　)
A．2　 B．
C．　 D．2
【解析】
　　　　如图，设BC＝a，AC＝b，AB＝c，AB边上的高为h，由面积公式得S＝acsinB＝ac×＝3，所以ac＝12，又cosB＝＝＝，所以a2＋c2＝25，又因为AB＜BC，即c＜a，所以a＝4，c＝3，所以h＝asinB＝4×＝2．
A
4．(多选)在△ABC中，若B＝，角B的平分线BD交AC边于点D，且BD＝BC＝2，则下列说法正确的是 (　　　)
A．AB的值是＋1
B．△ABC外接圆的半径是2
C．△ABC的面积是
D．＝
【解析】
　　　　因为BD为∠ABC的平分线，B＝，所以∠ABD＝∠CBD＝，又BD＝BC＝2，所以∠BCD＝∠BDC＝，则A＝．sin C＝sin＝sin＝sin＋cossin＝＋＝，在△ABC中，由正弦定理得＝＝＝2，所以AB＝2×sin＝2＝＋1，S△ABC＝AB·BCsin∠ABC＝×(1＋)×2×＝，故A，C正确．
【解析】
由BD＝BC＝2，A＝及正弦定理可得△ABC外接圆的直径为2R＝＝＝2，所以△ABC外接圆的半径是，故B错误．由BD＝BC＝2及正弦定理得＝，＝，因为∠ADB与∠BDC互补，所以sin∠ADB＝sin(π ∠ADB)＝sin∠BDC，可得＝＝，故D正确．
【答案】ACD
5．已知正方形ABCD的边长为1，M为△ABC内一点，满足∠MDB＝∠MBC＝10°，则∠MAD＝______．
【解析】
　　　　如图，由∠MDB＝∠MBC＝10°得∠MBD＝35°，∠BMD＝135°，在△BMD中，＝，BD＝，所以MD＝2sin35°，又∠ADM＝55°，在△ADM中，AM2＝AD2＋DM2 2AD·DMcos55°＝1＋4sin235° 4sin35°cos55°＝1＋4sin235° 4sin35°sin35°＝1，即AM＝1＝AD，所以∠MAD＝180° 2×55°＝70°．
70°

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