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第六章测试卷
一、 单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.
1．已知向量a＝(1，1)，b＝(－1，3)，c＝(2，1)，且(a－λb)∥c，则λ＝(　　)
A．3 B．－3
C．　 D．－
2．若△ABC的三条边a，b，c满足(a＋b)∶(b＋c)∶(c＋a)＝7∶9∶10，则△ABC(　　)
A．一定是锐角三角形 B．一定是直角三角形
C．一定是钝角三角形 D．可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形
3．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若c＝，A＝105°，B＝45°，则△ABC的外接圆的面积是(　　)
A．6π B．24π
C．2π D．4π
4．已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点，则· 的取值范围是(　　)
A．(－2，6) B．(－6，2)
C．(－2，4) D．(－4，6)
5．在等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝，AC＝BC＝2，P是斜边AB上一点，且BP＝2PA，则·＋·＝(　　)
A．－4 B．－2
C．2 D．4
6．已知△ABC的外接圆圆心为O，且2＝＋，||＝||，则向量在向量上的投影向量为(　　)
A． B．
C．－ D．－
7．如图，四边形ABCD为平行四边形，＝，＝，若＝λ＋μ，则λ－μ的值为(　　)
(第7题)
A． B．
C． D．1
8．如图，在△ABC中，∠BAC＝，＝2，P为CD上一点，且满足＝m＋，若△ABC的面积为2，则AP的最小值为(　　)
(第8题)
A．　 B．　
C．3　 D．
二、 多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9．已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝2，|a＋b|＝，则下列说法正确的是(　　)
A．a·b＝－1 B．(a＋b)⊥(a－b)
C．a与b的夹角为　 D．|a－b|＝
10．已知在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且a＝6，4sin B＝5sin C，则下列说法正确的是(　　)
A．△ABC的面积的最大值为40
B．满足条件的△ABC不可能是直角三角形
C．当A＝2C时，△ABC的周长为15
D．当A＝2C时，若O为△ABC的内心，则△AOB的面积为
11．如图，在长方形ABCD中，AB＝4，AD＝2，＝λ，且0<λ<1，则下列说法正确的是(　　)
(第11题)
A．当λ＝时，＝＋ B．当λ＝时，cos〈，〉＝
C．对任意λ∈(0，1)，不成立 D．若＝x＋y，则－2三、 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若S△ABC＝，则C＝________．
13．若平面向量a，b，c两两的夹角相等，且|a|＝1，|b|＝1，|c|＝3，则|a＋b－c|＝________．
14．黄金三角形被誉为“最美三角形”，是较短边与较长边之比为黄金比的等腰三角形.已知△ABC中，AB＝AC，∠ABC的平分线与边AC交于点M，线段AB的中垂线过点M，则＝________．
四、 解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．(13分)已知非零向量a，b满足|a|＝1，(a－b)·(a＋b)＝，且a·b＝.
(1) 求向量a，b的夹角；
(2) 求|a－b|.
16．(15分)在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，且(b－a)(sin B＋sin A)＝c(sin B－sin C).
(1) 求角A的大小；
(2) 在①a＝2，②B＝，③c＝b这三个条件中，选出两个使得△ABC唯一确定的条件补充在下面的问题中，并解答.
若________，________，求△ABC的面积．
17．(15分)如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝2，M是AB上靠近A的三等分点，N是BC的中点，Q是DN与MC的交点.
(1) 用向量，表示，；
(2) 求∠CQN的余弦值.
(第17题)
18．(17分)已知△OAB的两个顶点分别为原点O和A(4，3)，且∠AOB＝90°，OB＝OA.
(1) 求点B的坐标；
(2) 若点B在第二象限，＝(1，2)，P是直线OM上的一个动点，当·取最小值时，求的坐标及cos∠APB的值.
19．(17分)在路边安装路灯，灯柱AB与地面垂直(满足∠BAD＝90°)，灯杆BC与灯柱AB所在平面与道路垂直，且∠ABC＝120°，路灯C采用锥形灯罩，射出的光线如图中阴影部分所示，已知∠ACD＝60°，路宽AD＝12 m.设灯柱高AB＝h m，∠ACB＝θ(30°≤θ≤45°).
(1) 当θ＝30°时，求四边形ABCD的面积；
(2) 求灯柱的高h(用θ表示)；
(3) 若灯杆BC与灯柱AB所用材料相同，记用料长度和为S，求S关于θ的函数表达式，并求出S的最小值.
(第19题)
第六章测试卷
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案 C C A A D A D B AD ACD ABD
1．C
2．C　【解析】 因为(a＋b)∶(b＋c)∶(c＋a)＝7∶9∶10，不妨设a＋b＝7k，则b＋c＝9k，c＋a＝10k(k>0)，则a＝4k，b＝3k，c＝6k.由余弦定理可得cos C＝＝－<0.因为03．A　【解析】 在△ABC中，A＝105°，B＝45°，所以C＝30°.设△ABC的外接圆的半径为r，由正弦定理得＝2r，所以r＝×＝×＝，所以△ABC的外接圆的面积是πr2＝6π.
4．A　【解析】 如图，以A为坐标原点，AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系，由题意，|AB|＝2，则A(0，0)，B(2，0).设P(x，y)，由题知x∈(－1，3)，故·＝2x∈(－2，6).
(第4题)
5．D　【解析】 由题意得·＝0，＝＋＝＋＝＋＋)＝＋，故·＋·＝＋＝＋＝4.
(第6题)
6．A　【解析】 如图，因为2＝＋，所以△ABC的外接圆圆心O是BC的中点，且BC边为圆O的直径，所以△ABC是直角三角形，则||＝||，又||＝||，所以△ABO为正三角形，则有||＝|，向量在向量上的投影向量为||cos 60°×＝.
7．D　【解析】 因为＝＋＝＋，又＝λ＋μ＝λ(＋)＋μ＝＋(λ－μ)，所以λ－μ＝1.
8．B　【解析】 设||＝3a，||＝b，则△ABC的面积为absin ＝2，所以ab＝.由＝m＋＝m＋，且C，P，D三点共线，可知m＋＝1，即m＝，故＝＋.以A为坐标原点，AB所在直线为x轴，过A作AB的垂线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则A(0，0)，D(2a，0)，B(3a，0)，C，则＝，＝(2a，0)，＝，则||2＝＋＝b2＋a2＋ab＋b2＝b2＋a2＋1≥2＋1＝ab＋1＝3，当且仅当b2＝a2，即b＝6a时取“＝”，故AP的最小值为.
(第8题)
9．AD　【解析】 设向量a，b的夹角为θ.
方法一：因为|a|＝1，|b|＝2，|a＋b|＝，所以(a＋b)·(a－b)＝a2－b2＝1－4＝－3≠0，|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＝1＋2a·b＋4＝3，所以a·b＝－1.又a·b＝1×2×cos θ，所以cos θ＝－，故θ＝.|a－b|2＝a2－2a·b＋b2＝1＋2＋4＝7，所以|a－b|＝.故A，D正确；B，C错误.
方法二：因为|a|＝1，|b|＝2，|a＋b|＝，所以(a＋b)·(a－b)＝a2－b2＝1－4＝－3，以a，b为邻边的平行四边形的一条对角线与a垂直，且θ＝，所以a·b＝1×2×cos θ＝－1，故|a－b|＝＝＝.故A，D正确；B，C错误.
10．ACD　【解析】 对于A，由a＝6，4b＝5c，设b＝5k，c＝4k，则11．ABD　【解析】 以A为原点，AB，AD所在直线分别为x轴、y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则A(0，0)，B(4，0)，C(4，2)，D(0，2).因为＝λ，所以＝＋＝＋λ＝(0，2)＋λ(4，0)＝(4λ，2)，即E(4λ，2).对于A，当λ＝时，E(2，2)，则＝(2，2)，＝(0，2)，＝(－2，2)，所以＋＝(0，2)＝，故A正确；对于B，当λ＝时，E，则＝，＝，所以cos〈，〉＝＝＝，故B正确；对于C，＝(4λ，2)，＝(4λ－4，2)，由·＝4λ(4λ－4)＋4＝0，得λ＝，所以当λ＝时，，故C错误；对于D，因为＝x＋y，则(4，2)＝x(4λ，2)＋y(4λ－4，2)，所以解得所以xy＝(2－λ)(λ－1)＝－λ2＋3λ－2，λ∈(0，1)，因为f(t)＝－t2＋3t－2在(0，1)上单调递增，所以f(0)(第11题)
12．45°　【解析】 因为S△ABC＝absin C＝，所以sin C＝＝cos C，所以tan C＝1，所以C＝45°．
13．1或4　【解析】 平面向量a，b，c两两的夹角相等包括两种情况，一是两两夹角为0°，二是两两夹角为120°.当两两夹角为0°时，|a＋b－c|＝1；当两两夹角为120°时，|a＋b－c|＝＝4.
14．　【解析】 如图，设∠MBC＝θ，因为BM为∠ABC的平分线，所以∠ABM＝θ.因为AB＝AC，所以C＝2θ.又因为EM为线段AB的中垂线，所以AM＝BM，所以A＝θ，所以∠BMC＝2θ，所以BC＝BM.由题意，设AB＝AC＝1，BC＝BM＝AM＝x，则CM＝1－x.显然△ABC∽△BCM，所以＝，解得x＝或x＝(舍去).在△ABM中，由正弦定理得＝＝＝＝.
(第14题)
15．【解答】 (1) 设向量a，b的夹角为θ.因为(a－b)·(a＋b)＝，所以a2－b2＝，即|a|2－|b|2＝.又|a|＝1，所以|b|＝.因为a·b＝，所以|a||b|cos θ＝，所以cos θ＝，所以θ＝45°.
(2) 因为|a－b|2＝(a－b)2＝|a|2－2a·b＋|b|2＝，所以|a－b|＝．
16．【解答】 (1) 因为(b－a)(sin B＋sin A)＝c(sin B－sin C)，所以由正弦定理得(b－a)(b＋a)＝c(b－c)，即b2＋c2－a2＝bc，所以cos A＝＝＝.因为0(2) 若选①和②，由正弦定理＝，得b＝＝2.由余弦定理b2＝a2＋c2－2accos B，得(2)2＝22＋c2－2×2ccos ，解得c＝＋.所以△ABC的面积S＝acsin B＝×2×(＋)×＝＋1.
若选①和③，由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos A，得4＝b2＋3b2－3b2，则b2＝4，所以b＝2，所以c＝2.所以△ABC的面积S＝bcsin A＝×2×2×＝.
若选②和③，因为c＝b，B＝，所以由正弦定理可得sin C＝＝>1，所以不存在满足题意的△ABC.
17．【解答】 (1) 由题意可得＝＝－＝－，＝，所以＝＋＝－，＝＋＝＋.
(2) 由图可知∠CQN＝〈，〉，由(1)得·＝·＝＋·－＝4，且||＝＝＝，||＝＝＝＝2，所以cos∠CQN＝＝＝.
18．【解答】 (1) 设点B的坐标为(x，y)，则＝(4，3)，＝(x，y).因为∠AOB＝90°，所以·＝4x＋3y＝0①，又OB＝OA，所以x2＋y2＝25②.联立①②解得或所以点B的坐标为(3，－4)或(－3，4).
(2) 因为点B在第二象限，所以B(－3，4).因为点P是直线OM上的一个动点，所以∥.设＝t，则P(t，2t)，所以＝(4－t，3－2t)，＝(－3－t，4－2t)，则·＝(4－t)(－3－t)＋(3－2t)(4－2t)＝5t2－15t＝5－.当t＝时，·取得最小值－，此时P，所以＝，＝，＝，所以cos∠APB＝＝＝－.
19．【解答】 (1) 当θ＝30°时，∠BAC＝180°－120°－30°＝30°，所以AB＝BC.又∠CAD＝90°－∠BAC＝60°，所以△ACD是等边三角形，所以AC＝AD＝12 m.在△ABC中，由正弦定理得＝＝＝，则AB＝BC＝4 m，所以S四边形ABCD＝S△ABC＋S△ACD＝×4×4×sin 120°＋×12×12×sin 60°＝48(m2).
(2) ∠BAC＝180°－120°－θ＝60°－θ，∠CAD＝90°－∠BAC＝θ＋30°，∠ADC＝180°－60°－(θ＋30°)＝90°－θ.在△ACD中，由正弦定理得＝，即＝，所以AC＝8cos θ.在△ABC中，由正弦定理得＝，即＝，所以h＝8sin 2θ(30°≤θ≤45°).
(3) 在△ABC中，由正弦定理得＝，即＝，所以BC＝16cos θsin(60°－θ)＝16cos θ(sin 60°cos θ－cos 60°sin θ)＝8cos2θ－8sin θ·cos θ＝8·－4sin 2θ＝4＋4cos 2θ－4sin 2θ.所以S＝AB＋BC＝8sin 2θ＋(4＋4cos 2θ－4sin 2θ)＝4＋4cos 2θ＋4sin 2θ＝4＋8＝8sin(2θ＋60°)＋4.因为30°≤θ≤45°，所以120°≤2θ＋60°≤150°，所以当2θ＋60°＝150°，即θ＝45°时，S取最小值4＋4.故S关于θ的函数表达式为S＝8sin(2θ＋60°)＋4(30°≤θ≤45°)，S的最小值为(4＋4) m.

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