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不等式恒成立或有解问题
1．已知函数f(x)＝x ln x－ax＋1，其中a∈R.
(1)当a＝2时，求曲线f(x)在x＝1处的切线方程；
(2)记f′(x)为f(x)的导函数，若 x∈[1，3]，都有f(x)＋≤f′(x)，求a的取值范围．
解：(1)由题知，f′(x)＝ln x＋1－a，当a＝2时，f′(1)＝－1，f(1)＝－1，
所以曲线f(x)在x＝1处的切线方程为y＝－x.
(2)由题意，原不等式等价于x ln x－ax＋1＋≤ln x＋1－a，
即(x－1)≤a(x－1)，
当x＝1时，对任意a∈R，不等式恒成立，
当x∈(1，3]时，原不等式等价于ln x＋≤a，
设g(x)＝ln x＋，则g′(x)＝，
设h(x)＝x2－3x＋1，因为h(1)<0，h(3)>0，h<0，
所以存在唯一x0∈，使得h(x0)＝0，即g′(x0)＝0，
当x∈(1，x0)时，g′(x)<0，g(x)单调递减，
当x∈(x0，3)时，g′(x)>0，g(x)单调递增，
故g(x)max＝max{g(1)，g(3)}＝g(1)＝，即a≥.
综上所述，a的取值范围为.
2．已知函数f(x)＝ln x－，g(x)＝(1－k)x＋k.
(1)求函数f(x)的单调递减区间；
(2)若存在x0>1，当x∈(1，x0)时，f(x)＋g(x)>，求实数k的取值范围．
解：(1)函数f(x)＝ln x－的定义域为(0，＋∞)，
令f′(x)＝<0，解得x>1.
所以函数f(x)的单调递减区间为(1，＋∞)．
(2)由(1)可知，当x>1时，f(x)所以当k＝1时，f(x)＋g(x)<－.即不存在x0>1满足题意；
当k>1时，由f(x)＋g(x)>，得f(x)>(k－1)x－k＋，
对于x>1，有(k－1)x－k＋＝(k－1)(x－1)－>－，所以不存在x0>1满足题意；
当k<1时，令F(x)＝f(x)＋g(x)＝ln x－＋(1－k)x＋k(x>1)
则F′(x)＝，
令F′(x)＝0，得x1＝<0，x2＝>1
当x∈(1，x2)时，F′(x)>0，所以F(x)在(1，x2)内单调递增，
此时F(x)>F(1)＝，即f(x)＋g(x)>，
所以存在x0>1满足题意
综上，实数k的取值范围是(－∞，1)．
3．已知函数f(x)＝(ln x)2＋2x－aex-1(a∈R)．
(1)证明：曲线y＝f(x)在x＝1处的切线经过坐标原点；
(2)记f(x)的导函数为f′(x)，设g(x)＝xf′(x)，求使g(x)≤0恒成立的a的取值范围．
解：(1)证明：由已知得f′(x)＝＋2－aex-1，
所以f′(1)＝2－a，又f(1)＝2－a，
所以f(x)在x＝1处的切线方程为y－(2－a)＝(2－a)(x－1)，
即y＝(2－a)x，恒过坐标原点．
(2)g(x)＝xf′(x)＝2ln x＋2x－axex-1，定义域为(0，＋∞)，
g′(x)＝＋2－a(x＋1)ex-1
＝.
当a≤0时，g′(x)>0，g(x)在(0，＋∞)上单调递增，且g(1)＝2－a>0，故g(x)≤0不恒成立．
当a>0时，设h(x)＝2－axex-1，则h′(x)＝－a(x＋1)ex-1，
则当x∈(0，＋∞)时，h′(x)<0，h(x)在(0，＋∞)上单调递减，
又h(0)＝2>0，h＝，
因为>1，所以>2，即
由函数零点存在定理知h(x)在内存在唯一零点x0，
即h(x0)＝2－ax0ex0－1＝0，即ax0ex0－1＝.
当00，于是g′(x)>0，g(x)在(0，x0)上单调递增，
当x>x0时，h(x)<0，于是g′(x)<0，g(x)在(x0，＋∞)上单调递减，
所以g(x)在x＝x0处取得极大值也是最大值g(x0)，要使g(x)≤0恒成立，只需g(x0)≤0.
因为g(x0)＝2ln x0＋2x0－ax0ex0－1＝＝2ln －2，
由2ln －2≤0，解得a≥2，
故所求的a的取值范围是[2，＋∞)．
4．已知函数f(x)＝x ln x＋，g(x)＝2xex－ln x－x－ln 2.
(1)若直线y＝x是曲线y＝f(x)的一条切线，求a的值；
(2)若对于任意的x1∈(0，＋∞)，都存在x2∈(0，＋∞)，使f(x1)≥g(x2)成立，求a的取值范围．
解：(1)由f(x)＝x ln x＋得f′(x)＝ln x＋1－，x>0，
设直线y＝x 与曲线y＝f(x)的切点为(x0，y0)，
则 解得
因此a的值为.
(2)由g(x)＝2xex－ln x－x－ln 2得g′(x)＝2ex＋2xex－－1＝(x＋1)
设h(x)＝2ex－，则 h′(x)＝2ex＋，
因为当x>0时，h′(x)＝2ex＋>0，所以h(x)在(0，＋∞)上单调递增，
又因为h＝－4<0，h(1)＝2e－1>0，
所以存在x0∈，使 h(x0)＝0，
且当x∈(0，x0)时， h(x)<0；当x∈(x0，＋∞)时， h(x)>0；
从而g′(x0)＝0 ，且当 x∈(0，x0)时， g′(x)<0；
当x∈(x0，＋∞)时， g′(x)>0，所以函数g(x)在(0，x0]上单调递减，在[x0，＋∞)上单调递增，
因此g(x)min＝g(x0)＝－ln x0－x0－ln 2，
由h(x0)＝0，得h(x0)＝，从而x0＋ln x0＝－ln 2 ，
所以g(x)min＝1＋ln 2－ln 2＝1
由对于任意的x1∈(0，＋∞)，都存在x2∈(0，＋∞)，使 f(x1)≥g(x2)成立，
得对于任意的x∈(0，＋∞)，都有f(x)≥g(x)min＝1 ，
即不等式x ln x＋≥1在x∈(0，＋∞)上恒成立，
即不等式a≥x－x2ln x 在x∈(0，＋∞)上恒成立．
设φ(x)＝x－x2ln x ，则 φ′(x)＝1－x－2x ln x
因为φ′(1)＝0，当 x∈(0，1)时，1－x>0，2x ln x<0，φ′(x)>0；
当x∈(1，＋∞)时，1－x<0，2x ln x>0，φ′(x)<0；
所以函数φ(x)＝x－x2ln x在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，
所以φ(x)max＝φ(1)＝1，因此 a≥1，
故a 的取值范围为[1，＋∞)．不等式恒成立或有解问题
1．已知函数f(x)＝x ln x－ax＋1，其中a∈R.
(1)当a＝2时，求曲线f(x)在x＝1处的切线方程；
(2)记f′(x)为f(x)的导函数，若 x∈[1，3]，都有f(x)＋≤f′(x)，求a的取值范围．
2．已知函数f(x)＝ln x－，g(x)＝(1－k)x＋k.
(1)求函数f(x)的单调递减区间；
(2)若存在x0>1，当x∈(1，x0)时，f(x)＋g(x)>，求实数k的取值范围．
3．已知函数f(x)＝(ln x)2＋2x－aex-1(a∈R)．
(1)证明：曲线y＝f(x)在x＝1处的切线经过坐标原点；
(2)记f(x)的导函数为f′(x)，设g(x)＝xf′(x)，求使g(x)≤0恒成立的a的取值范围．
4．已知函数f(x)＝x ln x＋，g(x)＝2xex－ln x－x－ln 2.
(1)若直线y＝x是曲线y＝f(x)的一条切线，求a的值；
(2)若对于任意的x1∈(0，＋∞)，都存在x2∈(0，＋∞)，使f(x1)≥g(x2)成立，求a的取值范围．

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