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　解三角形
1．在△ABC中，BC＝3，AC＝5，C＝，则AB＝(　　)
A．　　 B．　　
C．　　 D．7
2．记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设向量m＝(a，sin A)，n＝，若m∥n，则B＝(　　)
A． B．
C． D．
3．已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，且a cos C＋a sin C＝b，则A＝(　　)
A． B．
C． D．
4．△ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若b＝2a sin B，bc＝4，则△ABC的面积为(　　)
A．1 B．
C．2 D．2
5．已知△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足2a＋b＝2c cos B，且sin A＋sin B＝1，则△ABC的形状为(　　)
A．等边三角形
B．顶角为120°的等腰三角形
C．顶角为150°的等腰三角形
D．等腰直角三角形
6．如图，在平面四边形ABCD中，AB＝AD＝2，∠B＝2∠D＝120°，记△ABC与△ACD的面积分别为S1，S2，则S2－S1的值为(　　)
A．2 B．
C．1 D．
7．早期天文学家常采用“三角法”测量行星的轨道半径．假设一种理想状态：地球E和某小行星M绕太阳S在同一平面上的运动轨道均为圆，三个星体的位置如图所示．地球在E0位置时，测出∠SE0M＝；行星M绕太阳运动一周回到原来位置，地球运动到了E1位置，测出∠SE1M＝，∠E1SE0＝.若地球的轨道半径为R，则下列选项中与行星M的轨道半径最接近的是(参考数据：≈1.73)(　　)
A.2.1R B．2.2R
C．2.3R D．2.4R
8．(多选)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a＝3，b＝4，锐角C满足sin C＝，则(　　)
A．△ABC的面积为3
B．cos C＝
C．c＝
D．cos B＝
9．(多选)某学校开展测量旗杆高度的数学建模活动，学生需通过建立模型、实地测量，迭代优化完成此次活动．在以下不同小组设计的初步方案中，可计算出旗杆高度的方案有(　　)
A．在水平地面上任意寻找两点A，B，分别测量旗杆顶端的仰角α，β，再测量A，B两点间距离
B．在旗杆对面找到某建筑物(低于旗杆)，测得建筑物的高度为h，在该建筑物底部和顶部分别测得旗杆顶端的仰角α和β
C．在地面上任意寻找一点A，测量旗杆顶端的仰角α，再测量A到旗杆底部的距离
D．在旗杆的正前方A处测得旗杆顶端的仰角α，正对旗杆前行5 m到达B处，再次测量旗杆顶端的仰角β
10．在△ABC中，a＝2，b＝2.若A＝，则c＝______；若满足条件的三角形有两个，则A的一个值可以是________．
11．财富汇大厦坐落在广东省湛江市经济技术开发区，是湛江经济技术开发区的标志性建筑，同时也是已建成的粤西第一高楼．为测量财富汇大厦的高度，小张选取了大厦的一个最高点A，点A在大厦底部的射影为点O，两个测量基点B、C与O在同一水平面上，他测得BC＝∠BOC＝120°，在点B处测得点A的仰角为θ(tan θ＝2)，在点C处测得点A的仰角为45°，则财富汇大厦的高度OA＝______米.
12．在△ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a＝，b＝4，c cos B＋a＝0，则边c＝______，点D在线段AB上，且∠CDA＝，则CD＝______．
13．在三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知b＝8，3a＝7c，b>a，cos C＝.
(1)求角A的大小；
(2)求sin (A＋2C)的值；
(3)求边c的值．
14．记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b cos A＝a sin B．
(1)求sin A；
(2)若a＝，再从条件①，条件②，条件③中选择一个条件作为已知，使其能够确定唯一的三角形，并求△ABC的面积．
条件①：b＝c；条件②：b＝；
条件③：sin C＝.　解三角形
1．在△ABC中，BC＝3，AC＝5，C＝，则AB＝(　　)
A．　　 B．　　
C．　　 D．7
答案：D
2．记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设向量m＝(a，sin A)，n＝，若m∥n，则B＝(　　)
A． B．
C． D．
答案：C
3．已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，且a cos C＋a sin C＝b，则A＝(　　)
A． B．
C． D．
答案：A
4．△ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若b＝2a sin B，bc＝4，则△ABC的面积为(　　)
A．1 B．
C．2 D．2
解析：A　根据正弦定理得sin B＝2sin A sin B，因为B∈(0，π)，则sin B≠0，所以1＝2sin A，解得sin A＝，所以S△ABC＝bc sin A＝＝1.
5．已知△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足2a＋b＝2c cos B，且sin A＋sin B＝1，则△ABC的形状为(　　)
A．等边三角形
B．顶角为120°的等腰三角形
C．顶角为150°的等腰三角形
D．等腰直角三角形
解析：B　由正弦定理可得2sin A＋sin B＝2sin C cos B，
因为A＋B＋C＝π，所以B＋C＝π－A，
所以2sin (B＋C)＋sin B＝2sin C cos B，即2sin Bcos C＋2cos B sin C＋sin B＝2sin C cos B，即2sin B cos C＋sin B＝0，因为B∈(0，π)，所以sin B≠0，
所以cos C＝－，因为C∈(0，π)，所以C＝，所以B＋A＝，因为sin A＋sin B＝1，所以sin A＋sin ＝1，所以sin A＋cos A－＝1，即cos A＋sin A＝1，即＝1，
因为A∈，所以A＋，所以A＝，因为B＋A＝.所以A＝B＝，所以△ABC的形状为顶角为120°的等腰三角形．
6．如图，在平面四边形ABCD中，AB＝AD＝2，∠B＝2∠D＝120°，记△ABC与△ACD的面积分别为S1，S2，则S2－S1的值为(　　)
A．2 B．
C．1 D．
解析：B　在△ABC中，由余弦定理得cos B＝，
即－，化简得BC2－AC2＝
－2BC－4，　①
在△ACD中，由余弦定理得
cos D＝，
即，得CD2－AC2＝2CD－4，　②
又S1＝AB·BC sin 120°＝AD·CD sin 60°＝CD，
所以S2－S1＝(CD－BC)，　③
由②－①，得CD2－BC2＝2(CD＋BC)，由CD＋BC>0，
得CD－BC＝2，代入③得S2－S1＝.
7．早期天文学家常采用“三角法”测量行星的轨道半径．假设一种理想状态：地球E和某小行星M绕太阳S在同一平面上的运动轨道均为圆，三个星体的位置如图所示．地球在E0位置时，测出∠SE0M＝；行星M绕太阳运动一周回到原来位置，地球运动到了E1位置，测出∠SE1M＝，∠E1SE0＝.若地球的轨道半径为R，则下列选项中与行星M的轨道半径最接近的是(参考数据：≈1.73)(　　)
A.2.1R B．2.2R
C．2.3R D．2.4R
解析：A　连接E0E1，在△SE0E1中，SE0＝SE1＝R，又∠E1SE0＝，则△SE0E1是正三角形，E0E1＝R，由∠SE0M＝，∠SE1M＝，得∠E1E0M＝，∠E0E1M＝，在△ME0E1中，∠E0ME1＝，由正弦定理得，则E1M＝ R，在△SME1中，由余弦定理得
SM＝
＝R≈2.1R.
8．(多选)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a＝3，b＝4，锐角C满足sin C＝，则(　　)
A．△ABC的面积为3
B．cos C＝
C．c＝
D．cos B＝
解析：BC　在△ABC中，因为a＝3，b＝4，且sin C＝，
由三角形的面积公式，可得S△ABC＝ab sin C＝，所以A错误；由C为锐角，且sin C＝，可得cos C＝，所以B正确；由余弦定理得c2＝a2＋b2－2ab cos C＝9＋16－2×3×4×＝19，可得c＝，所以C正确；由余弦定理得cos B＝，所以D错误．
9．(多选)某学校开展测量旗杆高度的数学建模活动，学生需通过建立模型、实地测量，迭代优化完成此次活动．在以下不同小组设计的初步方案中，可计算出旗杆高度的方案有(　　)
A．在水平地面上任意寻找两点A，B，分别测量旗杆顶端的仰角α，β，再测量A，B两点间距离
B．在旗杆对面找到某建筑物(低于旗杆)，测得建筑物的高度为h，在该建筑物底部和顶部分别测得旗杆顶端的仰角α和β
C．在地面上任意寻找一点A，测量旗杆顶端的仰角α，再测量A到旗杆底部的距离
D．在旗杆的正前方A处测得旗杆顶端的仰角α，正对旗杆前行5 m到达B处，再次测量旗杆顶端的仰角β
解析：BCD　对于A：如果A，B两点与旗杆底部不在一条直线上时，就不能测量出旗杆的高度，故A不正确；对于B：如图1，△ABD中由正弦定理求AD，则旗杆的高CD＝h＋AD sin β，故B正确；对于C：如图2，在直角三角形△ADC直接利用三角函数求出旗杆的高DC＝AC tan α，故C正确；
　
对于D：如图3，△ABD中由正弦定理求AD，则旗杆的高CD＝AD sin α，故D正确．
10．在△ABC中，a＝2，b＝2.若A＝，则c＝______；若满足条件的三角形有两个，则A的一个值可以是________．
解析：由正弦定理，代入条件得：，
解得：sin B＝1，所以B＝，所以若A＝时，△ABC为等腰直角三角形，所以c＝a＝2.
由正弦定理，代入条件化简得：sin B＝sin A，
因为0答案：2　(答案不唯一)
11．财富汇大厦坐落在广东省湛江市经济技术开发区，是湛江经济技术开发区的标志性建筑，同时也是已建成的粤西第一高楼．为测量财富汇大厦的高度，小张选取了大厦的一个最高点A，点A在大厦底部的射影为点O，两个测量基点B、C与O在同一水平面上，他测得BC＝∠BOC＝120°，在点B处测得点A的仰角为θ(tan θ＝2)，在点C处测得点A的仰角为45°，则财富汇大厦的高度OA＝______米.
解析：设OA＝h米，因为在点B处测得点A的仰角为θ，所以＝2，所以OB＝.
因为在点C处测得点A的仰角为45°，所以OC＝h米．
由余弦定理，可得BC2＝OB2＋OC2－2OB·OC·cos ∠BOC，
即1022×7＝h2，解得h＝204.
答案：204
12．在△ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a＝，b＝4，c cos B＋a＝0，则边c＝______，点D在线段AB上，且∠CDA＝，则CD＝______．
解析：由余弦定理得：c·＋a＝0，即3a2＋c2－b2＝0，
∴c2＝b2－3a2＝16－6＝10，
解得：c＝－(舍)或c＝；
在△ABC中，由余弦定理得：
cos A＝，
∴sin A＝，
在△ADC中，由正弦定理得：
CD＝·sin A＝.
答案：
13．在三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知b＝8，3a＝7c，b>a，cos C＝.
(1)求角A的大小；
(2)求sin (A＋2C)的值；
(3)求边c的值．
解：(1)因为cos C＝，sin2C＋cos2C＝1，C∈(0，π)，
解得sinC＝，
由已知3sin A＝7sin C，所以sin A＝，
又b>a，故B>A，
故A∈，解得∠A＝60°.
(2)sin 2C＝2sin C cos C＝，cos 2C＝cos2C－sin2C＝，sin (A＋2C)＝sin A cos 2C＋cos A sin 2C＝.
(3)由cos A＝c得cos A＝，整理为5c2＋9c－72＝0，解得c＝3或c＝－(舍)．
14．记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b cos A＝a sin B．
(1)求sin A；
(2)若a＝，再从条件①，条件②，条件③中选择一个条件作为已知，使其能够确定唯一的三角形，并求△ABC的面积．
条件①：b＝c；条件②：b＝；
条件③：sin C＝.
解：(1)由b cos A＝a sin B得：sin B cos A＝sin A sin B，而sin B≠0，则cos A＝sin A>0，A为锐角，又sin2A＋cos2A＝1，解得sinA＝，所以sin A＝且A为锐角．
(2)若选条件①，由sin A＝，A为锐角，得cos A＝，由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bc cos A，又b＝c，则3＝6c2＋c2－4c2，解得c＝1，b＝，△ABC唯一确定，所以S△ABC＝bc sin A＝.
若选条件②，由正弦定理得，则sin B＝<1，由b＝>a＝，
得B>A，因此角B有两解，分别对应两个三角形，不符合题意．
若选条件③，由sin A＝，A为锐角，得cos A＝，又sin A＝>sin C＝，得a>c，A>C，则cos C＝，因此sin B＝sin (A＋C)＝sin A cos C＋cos A sin C＝，△ABC唯一确定，由正弦定理得，则c＝＝1，所以S△ABC＝ac sin B＝.

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