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利用导数研究函数的性质
1．已知函数f(x)＝2x，则函数f(x)的图象在点(0，f(0))处的切线方程为(　　)
A．x－y－1＝0　　 B．x－y＋1＝0
C．x·ln 2－y－1＝0 D．x·ln 2－y＋1＝0
2．若曲线y＝aex-2＋x在点(2，2＋a)处的切线方程为y＝4x＋b，则a＋b＝(　　)
A．3　　 B．－3
C．0　　 D．1
3．已知函数f(x)＝xex，则下列说法正确的是(　　)
A．f(x)的导函数为f′(x)＝(x－1)ex
B．f(x)在(－1，＋∞)上单调递减
C．f(x)的最小值为－
D．f(x)的图象在x＝0处的切线方程为y＝2x
4．已知函数f(x)＝3x－2x－1，则不等式f(x)<0的解集是(　　)
A．(0，1) B．(0，＋∞)
C．(－∞，0) D．(－∞，0)∪(1，＋∞)
5．已知函数f(x)＝cos x＋x2，若x＝0是函数f(x)的唯一极小值点，则a的取值范围为(　　)
A．[1，＋∞) B．(－1，1)
C．[－1，＋∞) D．(－∞，1]
6．已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且f(x)＝－f′(3)ln x－f(1)x2－4x，则f(x)的极值点为(　　)
A．或 B．
C．－或 D．
7．已知a>0，若点P为曲线C1：y＝＋ax－m与曲线C2：y＝2a2ln x的交点，且两条曲线在点P处的切线重合，则实数m的取值范围是(　　)
A． B．
C． D．
8．(多选)已知函数f(x)＝x3－3x＋1，则(　　)
A．直线y＝－x是曲线y＝f(x)的切线
B．f(x)有两个极值点
C．f(x)有三个零点
D．存在等差数列{an}，满足
9．(多选)已知函数f(x)＝ln x＋2，g(x)＝3－(x>0)，则(　　)
A．函数h(x)＝f(x)－g(x)没有零点
B．直线y＝x＋1是函数f(x)与g(x)图象的公共切线
C．当x≠1时，函数g(x)的图象在函数f(x)图象的下方
D．当f(x)
10．若函数f(x)＝x3－ax2＋6x在区间(1，3)上单调递增，则a的取值范围为________．
11．已知函数f(x)＝3x－sin x，若f(a)＋0，则实数a的取值范围为______．
12．已知函数f(x)＝(x－1)ex＋ax2的最小值为－1，则实数a的取值范围为________．
13．已知函数f(x)＝.
(1)若x＝1是函数y＝f(x)的极值点，求a的值；
(2)求函数y＝f(x)的单调区间．
14．已知函数f(x)＝ax＋x2－x ln a－b(a，b∈R，a>1)，e是自然对数的底数．
(1)当a＝e，b＝4时，求整数k的值，使得函数f(x)在区间(k，k＋1)上存在零点；
(2)若x∈[－1，1]，且b＝0，求f(x)＝ax＋x2－x ln a－b(a，b∈R，a>1)的最小值和最大值．利用导数研究函数的性质
1．已知函数f(x)＝2x，则函数f(x)的图象在点(0，f(0))处的切线方程为(　　)
A．x－y－1＝0　　 B．x－y＋1＝0
C．x·ln 2－y－1＝0 D．x·ln 2－y＋1＝0
答案：D
2．若曲线y＝aex-2＋x在点(2，2＋a)处的切线方程为y＝4x＋b，则a＋b＝(　　)
A．3　　 B．－3
C．0　　 D．1
答案：C
3．已知函数f(x)＝xex，则下列说法正确的是(　　)
A．f(x)的导函数为f′(x)＝(x－1)ex
B．f(x)在(－1，＋∞)上单调递减
C．f(x)的最小值为－
D．f(x)的图象在x＝0处的切线方程为y＝2x
答案：C
4．已知函数f(x)＝3x－2x－1，则不等式f(x)<0的解集是(　　)
A．(0，1) B．(0，＋∞)
C．(－∞，0) D．(－∞，0)∪(1，＋∞)
解析：A　因为f′(x)＝3x ln 3－2单调递增，且f′(0)＝ln 3－2<0，f′(1)＝3ln 3－2>0，
所以存在唯一x0∈(0，1)，使得f′(x0)＝0，
所以当xx0时，f′(x)>0，
所以函数f(x)在(－∞，x0)上单调递减，在(x0，＋∞)上单调递增，
又f(0)＝f(1)＝0，且0所以由f(x)<0可得05．已知函数f(x)＝cos x＋x2，若x＝0是函数f(x)的唯一极小值点，则a的取值范围为(　　)
A．[1，＋∞) B．(－1，1)
C．[－1，＋∞) D．(－∞，1]
解析：A　f′(x)＝－sin x＋ax，令g(x)＝f′(x)＝－sin x＋ax，则g′(x)＝－cos x＋a，
当a≥1时，g′(x)＝－cos x＋a≥0，故g(x)单调递增，
又g(0)＝－sin 0＋0＝0，故当x>0时，g(x)>0，当x<0时，g(x)<0，
故f(x)在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，
故x＝0是函数f(x)的唯一极小值点，符合题意，
当a<1时，g′(0)＝－cos 0＋a＝－1＋a<0，
故一定存在m>0，使g(x)在(0，m)上单调递减，
此时x＝0不是函数f(x)的极小值点，故a<1时不符合题意，
综上所述，a的取值范围为[1，＋∞)．
6．已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且f(x)＝－f′(3)ln x－f(1)x2－4x，则f(x)的极值点为(　　)
A．或 B．
C．－或 D．
解析：D　对f(x)＝－f′(3)ln x－f(1)x2－4x进行求导，可得f′(x)＝－f′(3)·－2f(1)x－4，
将x＝3代入整理得，4f′(3)＋21f(1)＋14＝0，　①
将x＝1代入f(x)＝－f′(3)ln x－f(1)x2－4x可得f(1)＝－f(1)－4，即f(1)＝－2，
将其代入①，解得f′(3)＝7，故f(x)＝－3ln x＋2x2－4x.
于是f′(x)＝－＋4x－4，由f′(x)＝0可得x＝－或x＝，因为x>0，
故当0时，f′(x)>0 ，
即x＝是函数f(x)的极小值点，函数没有极大值点．
7．已知a>0，若点P为曲线C1：y＝＋ax－m与曲线C2：y＝2a2ln x的交点，且两条曲线在点P处的切线重合，则实数m的取值范围是(　　)
A． B．
C． D．
解析：C　设点P的横坐标为n(n>0)，则由y＝＋ax－m可得y′＝x＋a，又y＝2a2ln x可得y′＝， 且两条曲线在点P处的切线重合，所以切线的斜率k＝n＋a＝(a>0)，解得n＝a或n＝－2a(舍去)，
即点P的横坐标为a(a>0)，
由点P为曲线C1：y＝＋ax－m与曲线C2：y＝2a2ln x的交点，
所以＋a2－m＝2a2ln a，
即m＝－2a2ln a＋a2，
令f(a)＝－2a2ln a＋a2(a>0)，
则f′(a)＝－4a ln a＋a＝a(1－4ln a)，
令f′(a)＝0可得a＝，
由a>0知，当时，f′(a)>0，当时，f′(a)<0，
所以f(a)在上单调递增，在上单调递减，
所以f(a)max＝＝，当a→＋∞，f(a)→－∞，
则实数m的取值范围为.
8．(多选)已知函数f(x)＝x3－3x＋1，则(　　)
A．直线y＝－x是曲线y＝f(x)的切线
B．f(x)有两个极值点
C．f(x)有三个零点
D．存在等差数列{an}，满足
解析：BCD　f′(x)＝3x2－3＝3(x＋1)(x－1)，
对于A：令f′(x)＝－＝3x2－3 x＝±，而f＝
由点斜式可知此时切线方程为－＝y－；
f＝＋1，由点斜式可知此时切线方程为－＝y－；
所以直线y＝－x不是曲线y＝f(x)的切线，故A错误；
对于B：令f′(x)＝0，解得x＝±1，所以函数在(－∞，－1)，(1，＋∞)上单调递增，在(－1，1)上单调递减，故x＝－1时取得极大值，x＝1取得极小值，故B正确；
对于C：因为f(－1)＝3>0，f(1)＝－1<0，所以由单调性可知函数有三个零点，故C正确；
对于D：取an＝n－3，则＝5，故D正确；故选B、C、D.
9．(多选)已知函数f(x)＝ln x＋2，g(x)＝3－(x>0)，则(　　)
A．函数h(x)＝f(x)－g(x)没有零点
B．直线y＝x＋1是函数f(x)与g(x)图象的公共切线
C．当x≠1时，函数g(x)的图象在函数f(x)图象的下方
D．当f(x)
解析：BC　因为h(1)＝f(1)－g(1)＝ln 1＋2－＝0，
所以x＝1是函数h(x)＝f(x)－g(x)的零点，故A错误；
f′(x)＝，f′(1)＝1，f(1)＝2，g′(x)＝，g′(1)＝1，g(1)＝2，
所以函数f(x)与g(x)在(1，2)处的切线方程为y－2＝x－1，即y＝x＋1，
所以直线y＝x＋1是函数f(x)与g(x)图象的公共切线，故B正确；
令m(x)＝f(x)－g(x)＝ln x＋2－3＋＝ln x－1＋，
m′(x)＝(x>0)，
令m′(x)>0，解得x>1；令m′(x)<0，解得0所以m(x)在(1，＋∞)上单调递增；在(0，1)上单调递减，
由于m(1)＝0，所以m(x)＝f(x)－g(x)≥m(1)＝0恒成立，
即f(x)≥g(x)恒成立，且当x≠1时，f(x)>g(x)，
所以当x≠1时，函数g(x)的图象在函数f(x)图象的下方，故C正确；
由(ln 2＋2)，
而(ln 2＋2)－2＝<0，
所以10．若函数f(x)＝x3－ax2＋6x在区间(1，3)上单调递增，则a的取值范围为________．
解析：因为f(x)＝x3－ax2＋6x，所以f′(x)＝3x2－ax＋6，
因为函数f(x)＝x3－ax2＋6x在区间(1，3)上单调递增，
所以f′(x)＝3x2－ax＋6≥0在(1，3)上恒成立，
即x∈(1，3)时，a≤3x＋恒成立，
因为3x＋，当且仅当x＝时等号成立，
即min＝6，所以a≤6.
答案：
11．已知函数f(x)＝3x－sin x，若f(a)＋0，则实数a的取值范围为______．
解析：函数f(x)＝3x－sin x的定义域为R，且f(－x)＝－3x＋sin x＝－f(x)，
所以f(x)＝3x－sin x为奇函数，
又f′(x)＝3－cos x>0，所以f(x)＝3x－sin x在R上单调递增，
不等式f(a)＋f(a2－2)>0，即f(a2－2)>－f(a)＝f(－a)，
等价于a2－2>－a，解得a>1或a<－2，所以实数a的取值范围为(－∞，－2)∪(1，＋∞)．
答案：(－∞，－2)∪(1，＋∞)
12．已知函数f(x)＝(x－1)ex＋ax2的最小值为－1，则实数a的取值范围为________．
解析：因为f(x)＝(x－1)ex＋ax2，所以f′(x)＝xex＋2ax＝x(ex＋2a)，
若a≥0，则x∈(－∞，0)时，f′(x)<0，故f(x)在(－∞，0)上单调递减，
x∈(0，＋∞)时，f′(x)>0，故f(x)在(0，＋∞)上单调递增，
所以当x＝0时，f(x)有最小值f(0)＝－1，满足题意；
若a<0，则当x无限趋近于负无穷大时，f(x)无限趋向于负无穷大，f(x)没有最小值，不符合题意；
综上，a≥0，所以实数a的取值范围为[0，＋∞)．
答案：[0，＋∞)
13．已知函数f(x)＝.
(1)若x＝1是函数y＝f(x)的极值点，求a的值；
(2)求函数y＝f(x)的单调区间．
解：(1)函数定义域为(0，＋∞)，
f′(x)＝，
因为x＝1是函数y＝f(x)的极值点，
所以f′(1)＝1＋a－2a2＝0，解得a＝－或a＝1，
因为a≥0，所以a＝1.
此时f′(x)＝，
令f′(x)>0得x>1，令f′(x)<0得0∴f(x)在(0，1)单调递减，在(1，＋∞)单调递增，所以x＝1是函数的极小值点．
所以a＝1.
(2)f′(x)＝.
因为a≥0，所以2ax≥0，令f′(x)>0得x>a；令f′(x)<0得0所以a＝0时，函数的单调递增区间为(0，＋∞)，
a>0时函数的单调递减区间为(0，a)，单调递增区间为(a，＋∞)．
14．已知函数f(x)＝ax＋x2－x ln a－b(a，b∈R，a>1)，e是自然对数的底数．
(1)当a＝e，b＝4时，求整数k的值，使得函数f(x)在区间(k，k＋1)上存在零点；
(2)若x∈[－1，1]，且b＝0，求f(x)＝ax＋x2－x ln a－b(a，b∈R，a>1)的最小值和最大值．
解：(1)当a＝e，b＝4时，f(x)＝ex＋x2－x－4，
∴f′(x)＝ex＋2x－1，∴f′(0)＝0，
当x>0时，ex>1，∴f′(x)>0，故f(x)是(0，＋∞)上的增函数，
同理f(x)是(－∞，0)上的减函数，
f(－2)＝e-2＋2>0，f(－1)＝e-1－2<0，f(0)＝－3<0，f(1)＝e－4<0，f(2)＝e2－2>0，
故当x>2时，f(x)>0，当x<－2时，f(x)>0，
故当x>0时，函数f(x)的零点在(1，2)内，∴k＝1满足条件．
同理，当x<0时，函数f(x)的零点在(－2，－1)内，∴k＝－2满足条件，
综上k＝1或－2.
(2)由已知f′(x)＝ax ln a＋2x－ln a＝2x＋(ax－1)ln a，
①当x>0时，由a>1，可知ax－1>0，ln a>0，∴f′(x)>0；
②当x<0时，由a>1，可知ax－1<0，ln a>0，∴f′(x)<0；
③当x＝0时，f′(x)＝0，∴f(x)在[－1，0]上单调递减，[0，1]上单调递增，
∴当x∈[－1，1]时，f(x)min＝f(0)＝1，
f(x)max＝max{f(－1)，f(1)}，
而f(1)－f(－1)＝a－－2ln a，设g(t)＝t－－2ln t(t>0)，
∵g′(t)＝1＋＝2≥0(仅当t＝1时取等号)，
∴g(t)在(0，＋∞)上单调递增，而g(1)＝0，
∴当t>1时，g(t)>0，即a>1时，a－－2ln a>0，
∴f(1)>f(－1)，
即f(x)max＝f(1)＝a＋1－ln a.

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