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平面向量
1．已知平面向量a＝(1，2)，b＝(－1，λ)，若a⊥b，则实数λ＝(　　)
A．　　 B．－　　
C．－2　　 D．2
答案：A
2．若|a＋b|＝|a－b|，a＝(1，2)，b＝(m，3)，则实数m＝(　　)
A．6 B．－6
C．3 D．－3
答案：B
3．已知m＝(3，6)，n＝(－3，λ)，若〈m＋n，n〉＝120°，则λ＝(　　)
A．－ B．－2
C．－3 D．－
答案：A
4．已知单位向量e1，e2的夹角为120°，则(2e1－e2)·e2＝(　　)
A．－2 B．0
C．1 D．2
答案：A　因为单位向量e1，e2的夹角为120°，所以(2e1－e2)·e2＝2e1·e2－cos 120°－|e2|2＝＝－2，故选A.
5．在△ABC中，AB＝4，AC＝3, 且＝＝(　　)
A．16 B．－16
C．20 D．－20
解析：B　因为＝2＝2，即，
所以＝0，即⊥，
所以·＝＝0－42＝－16.
6．在△ABC中，点D是线段AC上一点，点P是线段BD上一点，且，则λ＝(　　)
A． B．
C． D．
解析：A　因为，所以，即，又所以，因为点P是线段BD上一点，即B，P，D三点共线，所以＋2λ＝1，解得λ＝.
7．已知△ABC所在平面内一点P，满足＝0，则＝(　　)
A． B．
C． D．
解析：B　因为＝0，即－＝0，即3，解得，故选B.
8．(多选)如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝4，E是BC的中点，F是DC上的一点，且DF＝2FC，则下列说法正确的是(　　)
A．
B．
C．＝28
D．＝32
9．(多选)如图，边长为2的正六边形ABCDEF，点P是△DEF内部(包括边界)的动点，，x，y∈R.(　　)
A.＝0
B．存在点P，使x＝y
C．若y＝，则点P的轨迹长度为2
D．的最小值为－2
10．已知e1，e2表示两个夹角为的单位向量，O为平面上的一个固定点，P为这个平面上任意一点，当＝xe1＋ye2时，定义(x，y)为点P的斜坐标．设点Q的斜坐标为(2，1)，则＝____________．
11．等边三角形ABC中，点D是AC的中点，点E是BC上靠近点C的三等分点，〉＝_______．
12．已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，则B＝______，点D在边AC上，且AD＝BD＝2DC，则＝______．
13．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量m＝(cos (A－B)，sin (A－B))，n＝(cos B，－sin B)，且m·n＝－.
(1)求sin A的值；
(2)若a＝4，b＝5，求△ABC的面积．
14．在梯形ABCD中，AB∥CD，AD＝，∠ACD＝60°，sin ∠ADC＝.
(1)求AC；
(2)若AC⊥BC，求的值．平面向量
1．已知平面向量a＝(1，2)，b＝(－1，λ)，若a⊥b，则实数λ＝(　　)
A．　　 B．－　　
C．－2　　 D．2
答案：A
2．若|a＋b|＝|a－b|，a＝(1，2)，b＝(m，3)，则实数m＝(　　)
A．6 B．－6
C．3 D．－3
答案：B
3．已知m＝(3，6)，n＝(－3，λ)，若〈m＋n，n〉＝120°，则λ＝(　　)
A．－ B．－2
C．－3 D．－
答案：A
4．已知单位向量e1，e2的夹角为120°，则(2e1－e2)·e2＝(　　)
A．－2 B．0
C．1 D．2
答案：A　因为单位向量e1，e2的夹角为120°，所以(2e1－e2)·e2＝2e1·e2－cos 120°－|e2|2＝＝－2，故选A.
5．在△ABC中，AB＝4，AC＝3, 且＝＝(　　)
A．16 B．－16
C．20 D．－20
解析：B　因为＝2＝2，即，
所以＝0，即⊥，
所以·＝＝0－42＝－16.
6．在△ABC中，点D是线段AC上一点，点P是线段BD上一点，且，则λ＝(　　)
A． B．
C． D．
解析：A　因为，所以，即，又所以，因为点P是线段BD上一点，即B，P，D三点共线，所以＋2λ＝1，解得λ＝.
7．已知△ABC所在平面内一点P，满足＝0，则＝(　　)
A． B．
C． D．
解析：B　因为＝0，即－＝0，即3，解得，故选B.
8．(多选)如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝4，E是BC的中点，F是DC上的一点，且DF＝2FC，则下列说法正确的是(　　)
A．
B．
C．＝28
D．＝32
解析：AD　，故A正确，B错误；因为，所以＝·
＝＝8＋24＋0＝32，故C错误，D正确．
9．(多选)如图，边长为2的正六边形ABCDEF，点P是△DEF内部(包括边界)的动点，，x，y∈R.(　　)
A.＝0
B．存在点P，使x＝y
C．若y＝，则点P的轨迹长度为2
D．的最小值为－2
解析：AD　设O为正六边形的中心，根据正六边形的性质可得，且四边形OAFE，OCDE，OABC均为菱形，＝－＋＝－＝＝0，故A正确．假设存在点P，使x＝y，则＝x＝其中点M为以AB，AD为邻边作平行四边形的顶点，所以P在直线AM上，这与点P是△DEF内部(包括边界)的动点矛盾，故B错误．当y＝时，，取，则，所以点P的轨迹为线段HK，其中H，K分别为过点N作NH∥AB与EF，FD的交点，由于N为OD的中点，所以HK∥ED，HK＝ED＝1，故点P的轨迹长度为1，C错误．由于DB⊥AB，∴＝·＝4x＋4y，过F作FT⊥BA于T，则AT＝AF＝1，所以此时x＝－，y＝0，
由于x，y分别为上的分量，且点P是△DEF内部(包括边界)的动点，所以－≤x≤0，0≤y≤1，当P位于F时，此时x，y同时最小，故的最小值为－2，故选AD.
10．已知e1，e2表示两个夹角为的单位向量，O为平面上的一个固定点，P为这个平面上任意一点，当＝xe1＋ye2时，定义(x，y)为点P的斜坐标．设点Q的斜坐标为(2，1)，则＝____________．
解析：由题知＝2e1＋e2，又e1，e2表示两个夹角为的单位向量，
所以＝＝ .
答案：
11．等边三角形ABC中，点D是AC的中点，点E是BC上靠近点C的三等分点，〉＝_______．
解析：以BC边所在的直线为x轴，过点B且与BC垂直的直线为y轴，
设等边三角形的边长为a，则B(0，0)，E，A，D，即＝＝，
∴〉＝＝
.
答案：－
12．已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，则B＝______，点D在边AC上，且AD＝BD＝2DC，则＝______．
解析：在△ABC中，由及正弦定理，得，整理得a2＋c2－b2＝ac，由余弦定理可得cos B＝，而B∈(0，π)，所以B＝；
由AD＝BD＝2DC，得BD＝AD＝b，
则＝，则2＝cos B＋4a2，整理得b2＝ca＋a2，又a2＋c2－b2＝ac，因此a2＋c2－ac＝ca＋a2，所以.
答案：
13．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量m＝(cos (A－B)，sin (A－B))，n＝(cos B，－sin B)，且m·n＝－.
(1)求sin A的值；
(2)若a＝4，b＝5，求△ABC的面积．
解：(1)因为m＝(cos (A－B)，sin (A－B))，n＝(cos B，－sin B)，且m·n＝－，
∴cos (A－B)cos B－sin (A－B)sin B＝∴cos [(A－B)＋B]＝cos A＝－，又A为△ABC内角，∴sin A＝.
(2)由余弦定理a2＝b2＋c2－2bc cos A，得32＝25＋c2－2×5×c×，解得c＝1或c＝－7(舍去)，
故c＝1，所以S△ABC＝bc sin A＝＝2.
14．在梯形ABCD中，AB∥CD，AD＝，∠ACD＝60°，sin ∠ADC＝.
(1)求AC；
(2)若AC⊥BC，求的值．
解：(1)在△ACD中，由正弦定理，即，得，解得AC＝3.
(2)由AB∥CD，得∠BAC＝∠ACD＝60°，因为AC⊥BC，
所以BC＝AC tan ∠BAC＝3.
在△ACD中，由余弦定理cos ∠ACD＝，得CD2－3CD＋2＝(CD－2)(CD－1)＝0，即CD＝1或2，经检验，均满足要求，因为∠BCD＝60°＋90°＝150°，所以＝或9.

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