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　三角函数的图象和性质
1．为了得到函数y＝sin 2x的图象，可将函数y＝sin 的图象(　　)
A．向左平移个单位长度
B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度
D．向右平移个单位长度
答案：C
2．若把函数f(x)＝sin x＋a cos x的图象向左平移个单位后得到的是一个偶函数，则a＝(　　)
A．　　　　　　 B．－
C． D．－
答案：C
3．已知函数f(x)＝sin2x－cos2x(x∈R)，f′(x)是f(x)的导数，则以下结论中正确的是(　　)
A．函数f是奇函数
B．函数f(x)与f′(x)的值域相同
C．函数f(x)的图象关于直线x＝对称
D．函数f(x)在区间上单调递增
答案：D
4．函数f(x)＝4sin在上的值域为(　　)
A．[－2，2] B．[－2，4]
C． D．
解析：B　因为x∈，所以5x－∈所以sin ∈，故f(x)＝4sin 在上的值域为[－2，4].
5．如图是函数y＝A sin (ωx＋φ)的部分图象，则该函数的解析式可以是(　　)
A．y＝2sin
B．y＝2sin
C．y＝2sin
D．y＝2sin
解析：C　由题图可得：A＝2，－＝，即T＝π＝，即ω＝±2，观察各选项可知，本题考虑ω＝2即可，则y＝2sin (2x＋φ)，把点代入y＝2sin (2x＋φ)中，可得：＝1，故＋2kπ，k∈Z，即φ＝＋2kπ，k∈Z，所以y＝2sin ＝2sin .
6．已知函数f(x)＝sin (ωx＋φ)(ω>0，0≤φ≤π)为偶函数，其图象上相邻两对称轴之间的距离为π，若sin α＋f(α)＝，则的值为(　　)
A．　　 B．－　　
C．　　 D．－
解析：D　∵f(x)为偶函数，∴φ＝＋kπ，k∈Z，又∵0≤φ≤π，∴φ＝，又∵函数f(x)图象上相邻对称轴之间的距离为π，∴T＝＝2π，则ω＝1，∴f(x)＝sin ＝cos x，则sin α＋f(α)＝sin α＋cos α＝，∴1＋2sin αcos α＝，即2sin αcos α＝∴
＝＝
＝2sin αcos α＝－.
7．筒车亦称“水转筒车”，是一种以水流作动力，取水灌田的工具，唐陈廷章《水轮赋》：“水能利物，轮乃曲成．升降满农夫之用，低徊随匠氏之程．始崩腾以电散，俄宛转以风生．虽破浪于川湄，善行无迹；既斡流于波面，终夜有声．”如图，一个半径为4 m的筒车按逆时针方向每分钟转一圈，筒车的轴心O距离水面的高度为2 m．在筒车转动的一圈内，盛水筒P距离水面的高度不低于4 m的时间为(　　)
A．9秒 B．12秒
C．15秒 D．20秒
解析：D　假设A，O，B所在直线垂直于水面，且AB＝4米，如示意图，
由已知可得OA＝OB＝2，OP＝OP2＝4，
所以cos ∠P2OB＝ ∠P2OB＝60°，处在劣弧时高度不低于4米，转动的角速度为＝6°每秒，所以盛水筒P距离水面的高度不低于4 m的时间为＝20秒，故选D.
8．已知函数f(x)＝2sin 在上单调递增，在 上单调递减，则实数a的取值范围为(　　)
A． B．
C． D．
解析：C　由2kπ－≤2kπ＋，k∈Z，解得，k∈Z，∴f(x)的单调递增区间为，k∈Z.
∵f(x)在上单调递增，∴0<，∴0由2kπ＋≤2kπ＋，k∈Z，解得，k∈Z，∴f(x)的单调递减区间为，k∈Z，又函数在上单调递减，∴a<，∴≤a<.
综上，，即实数a的取值范围为.
9．(多选)已知函数f(x)＝sin ＋则(　　)
A．f(x)的最大值为2
B．f(x)在上单调递增
C．f(x)在[0，π]上有2个零点
D．把f(x)的图象向左平移个单位长度，得到的图象关于原点对称
解析：AC　函数f(x)＝sin ＋＝sin ＋cos ＝sin ＋sin ＝2sin .选项A：f(x)＝2sin ，x∈R，故f(x)最大值为2，A正确；选项B：x∈，f(x)＝单调递增，故B错误；选项C：x∈[0，π]时，，可知当2x＋＝π以及2x＋＝2π时，即x＝以及x＝时，f(x)＝0在[0，π]上有2个零点，故C正确；选项D：f(x)的图象向左平移个单位长度，得到g(x)＝2sin ＝2cos 2x，不关于原点对称，故D错误．
10．(多选)已知函数f(x)＝A sin (ωx＋φ)部分图象如图所示，则下列结论正确的是(　　)
A．f(x)在[0，π]上有两个极值点
B．f＝1
C．函数y＝f的图象关于y轴对称
D．若|f(x1)－f(x2)|＝4，则|x1－x2|的最小值为π
解析：AC　由题图知A＝2，－＝ T＝π，∴ω＝＝2，所以f(x)＝2sin (2x＋φ)，由图象可知f(x)在x＝时取得极大值，则在x＝时取得极小值，所以[0，π]上有两个极值点，A正确；
又f＝2sin ＝2，所以＋φ＝2kπ＋，k∈Z，所以φ＝2kπ－，k∈Z.
因为，所以令k＝0，即φ＝－.
所以f(x)＝2sin .所以f＝2sin ＝，B错误；因为函数f(x)的周期为π，将y＝f(x)图象上的所有点沿x轴向右平移个单位长度后得到y＝＝2sin ＝－2cos 2x的图象，为偶函数，所以函数y＝f＝4，则，D错误．
11．(多选)设函数f(x)＝2sin 2x－3sin |x|＋1，则(　　)
A．f(x)是偶函数
B．f(x)在[－2π，2π]上有6个零点
C．f(x)的最小值为－
D．f(x)在上单调递减
解析：ABC　选项A：函数f(x)定义域为R，由f(－x)＝2sin2(－x)－3sin|－x|＋1＝2sin2x－3sin|x|＋1＝f(x)，可得f(x)是偶函数．判断正确；选项B：当x≥0时，f(x)＝2sin2x－3sinx＋1，由2sin2x－3sinx＋1＝0，可得sin x＝，或sin x＝1，则当x∈[0，2π]时，x＝或x＝或x＝，又f(x)是偶函数，则当x∈[－2π，0]时，x＝－或x＝－或x＝则f(x)在[－2π，2π]上有6个零点．判断正确；选项C：当x≥0时，f(x)＝2sin2x－3sinx＋1＝22－，则当sin x＝时f(x)取得最小值－，又f(x)是偶函数，则f(x)的最小值为－.判断正确；选项D：f＝3sin＋1＝＋1<1，f(0)＝2sin20－3sin|0|＋1＝1，则f12．写出一个ω(ω>0)，使得函数f(x)＝ 的图象关于点(1，0)对称，则ω可以为__________．
解析：因为f(x)＝sin 的图象关于点(1，0)对称，所以sin ＝0，则2ω＋＝kπ(k∈Z)，故ω＝(k∈Z)，又ω>0，所以ω＝，….
答案：(答案不唯一)
13．已知函数f(x)＝2sin (0<ω<6)的图象向左平移个单位后关于y轴对称，若f(x)在上的最小值为－1，则t的最大值是______．
解析：函数f(x)＝2sin (0<ω<6)的图象向左平移个单位长度后，图象所对应解析式为：y＝2sin [＋]＝因为y＝2sin 图象关于y轴对称，所以＝kπ＋，k∈Z，可得ω＝12k＋2，k∈Z，又
0<ω<6，所以ω＝2，即f(x)＝要使f(x)在上的最小值为－1，则y＝在上的最小值为－，当x∈时，2x＋∈，又sin ＝＝－，所以－，解得－，即t的最大值是.
答案：
14．若函数f(x)＝sin ωx＋cos ωx－1在[0，2π]上恰有5个零点，且在上单调递增，则正实数ω的取值范围为__________．
解析：依题意，函数f(x)＝2sin－1，由f(x)＝0，得sin ＝，则ωx＋＝2kπ＋或ωx＋＝2kπ＋，k∈Z，由x∈[0，2π]，得ωx＋∈[，2πω＋]，由f(x)在[0，2π]上恰有5个零点，得≤2πω＋<，解得≤ω<，由－，得－，即函数f(x)在单调递增，因此 即－，且，解得0<ω≤，
所以正实数ω的取值范围为.
答案：　三角函数的图象和性质
1．为了得到函数y＝sin 2x的图象，可将函数y＝sin 的图象(　　)
A．向左平移个单位长度
B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度
D．向右平移个单位长度
2．若把函数f(x)＝sin x＋a cos x的图象向左平移个单位后得到的是一个偶函数，则a＝(　　)
A．　　　　　　 B．－
C． D．－
3．已知函数f(x)＝sin2x－cos2x(x∈R)，f′(x)是f(x)的导数，则以下结论中正确的是(　　)
A．函数f是奇函数
B．函数f(x)与f′(x)的值域相同
C．函数f(x)的图象关于直线x＝对称
D．函数f(x)在区间上单调递增
4．函数f(x)＝4sin在上的值域为(　　)
A．[－2，2] B．[－2，4]
C． D．
5．如图是函数y＝A sin (ωx＋φ)的部分图象，则该函数的解析式可以是(　　)
A．y＝2sin
B．y＝2sin
C．y＝2sin
D．y＝2sin
6．已知函数f(x)＝sin (ωx＋φ)(ω>0，0≤φ≤π)为偶函数，其图象上相邻两对称轴之间的距离为π，若sin α＋f(α)＝，则的值为(　　)
A．　　 B．－　　
C．　　 D．－
7．筒车亦称“水转筒车”，是一种以水流作动力，取水灌田的工具，唐陈廷章《水轮赋》：“水能利物，轮乃曲成．升降满农夫之用，低徊随匠氏之程．始崩腾以电散，俄宛转以风生．虽破浪于川湄，善行无迹；既斡流于波面，终夜有声．”如图，一个半径为4 m的筒车按逆时针方向每分钟转一圈，筒车的轴心O距离水面的高度为2 m．在筒车转动的一圈内，盛水筒P距离水面的高度不低于4 m的时间为(　　)
A．9秒 B．12秒
C．15秒 D．20秒
8．已知函数f(x)＝2sin 在上单调递增，在 上单调递减，则实数a的取值范围为(　　)
A． B．
C． D．
9．(多选)已知函数f(x)＝sin ＋则(　　)
A．f(x)的最大值为2
B．f(x)在上单调递增
C．f(x)在[0，π]上有2个零点
D．把f(x)的图象向左平移个单位长度，得到的图象关于原点对称
10．(多选)已知函数f(x)＝A sin (ωx＋φ)部分图象如图所示，则下列结论正确的是(　　)
A．f(x)在[0，π]上有两个极值点
B．f＝1
C．函数y＝f的图象关于y轴对称
D．若|f(x1)－f(x2)|＝4，则|x1－x2|的最小值为π
11．(多选)设函数f(x)＝2sin 2x－3sin |x|＋1，则(　　)
A．f(x)是偶函数
B．f(x)在[－2π，2π]上有6个零点
C．f(x)的最小值为－
D．f(x)在上单调递减
12．写出一个ω(ω>0)，使得函数f(x)＝ 的图象关于点(1，0)对称，则ω可以为__________．
13．已知函数f(x)＝2sin (0<ω<6)的图象向左平移个单位后关于y轴对称，若f(x)在上的最小值为－1，则t的最大值是______．
14．若函数f(x)＝sin ωx＋cos ωx－1在[0，2π]上恰有5个零点，且在上单调递增，则正实数ω的取值范围为__________．

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