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第七章
7.1　复数的概念
复　数
第1课时　数系的扩充和复数的概念
学习 目标 1．了解引进虚数单位i的必要性，了解数系的扩充过程．
2．理解复数的概念、表示法及相关概念；掌握复数的分类及复数相等的充要条件．
新知初探·基础落实
1．回顾一元二次方程的解，明确实数的概念与分类：
(1) 方程x2 2x 3＝0的正整数解是_____，有理数解是__________，实数解是__________．
(2) 方程x2 2x 1＝0的无理数解是_________，实数解是_________．
2．方程x2＝ 1在实数集中是否有解？
因为实数的平方都是非负数，所以方程x2＝ 1在实数集中无解．
3
3， 1
3， 1
1±
1±
一、 概念生成
【数学史介绍】
(1) 在1777年，欧拉在《微分公式》一文中首创了用“imaginary”(想象的、假想的)的首字母i作为虚数的单位，本意是这个数是虚幻的，规定了i2＝ 1．
(2) 莱昂哈德·欧拉是18世纪最伟大的数学家之一，有一个以他名字命名的公式被誉为“上帝创造的公式”，那就是欧拉恒等式：eiπ＋1＝0．
《物理世界》发起的一项调查表明，人们把欧拉恒等式与麦克斯韦方程组一起并称为“史上最伟大的公式”．物理大师费曼也盛赞这个公式为“数学最非凡的公式”．
依照这种思想，为了解决x2＋1＝0这样的方程在实数集中无解的问题，我们设想引入一个新数i，使得方程x2＋1＝0有解，即使得i2＝ 1．
请同学阅读课本P68—P70，完成下列填空．
二、 概念表述
1．复数的概念与表示
(1) 复数的定义：形如___________________的数叫做复数，其中i叫做虚数单位，规定i2＝ 1．全体复数构成的集合C＝__________________叫做复数集．
(2) 复数的表示：复数通常用字母z表示，即z＝a＋bi(a，b∈R)，其中的a与b分别叫做复数z的________与________．
a＋bi(a，b∈R)
{a＋bi|a，b∈R}
实部
虚部
2．复数相等
(1) 复数相等：设a，b，c，d都是实数，a＋bi＝c＋di当且仅当______________．
(2) 复数的分类：对于复数z＝a＋bi(a，b∈R)，当且仅当_________时，z为实数；当且仅当____________时，z为实数0；当_______时，z叫做虚数；当_____________时，z叫做纯虚数．
3．实数集与复数集之间的关系为_________，用Venn图表示实数集、虚数集、复数集之间的关系，如下图．
a＝c且b＝d
b＝0
a＝b＝0
b≠0
a＝0且b≠0
R C
三、 概念辨析(判断正误：正确的画“√”，错误的画“×”)
(1) 若z∈C，则z2≥0． (　　)
(2) 2i 1的虚部是2i． (　　)
(3) 2i的实部是0． (　　)
(4) i2 026＝ 1． (　　)
×
×
√
×
典例精讲·能力初成
探究
1
复数的概念
　　　已知复数(x＋y)＋(2 x)i的实部和虚部分别为3和4，则实数x和y的值分别是 (　　)
A．2， 4　 B．2，5
C． 2，4　 D． 2，5
1
【解析】
　　　　因为x，y∈R，复数 (x＋y)＋(2 x)i 的实部和虚部分别为 3 和 4，因此解得x＝ 2，y＝5，所以实数 x 和 y 的值分别是 2，5．
D
变式　以3i 的虚部为实部，3i2＋i的实部为虚部的复数是 (　　)
A．3 3i　 B．3＋i
C． ＋i　 D．＋i
【解析】
　　　　因为3i 的虚部为3，3i2＋i＝ 3＋i的实部为 3，所以所求复数的实部为3，虚部为 3，因此所求复数为3 3i．
A
探究
2
复数的分类
　　　(课本P69例1)当实数m取什么值时，复数z＝m＋1＋(m 1)i是下列数？
(1) 实数；
2
【解答】
　　　　当m 1＝0，即m＝1时，复数z是实数．
(2) 虚数；
【解答】
　　　　当m 1≠0，即m≠1时，复数z是虚数．
(3) 纯虚数．
【解答】
　　　　当m＋1＝0且m 1≠0，即m＝ 1时，复数z是纯虚数．
利用复数的代数形式，对复数进行分类，关键是根据分类标准列出实部、虚部应满足的关系式．求解参数时，注意考虑问题要全面，当条件不满足代数形式z＝a＋bi时应先转化成此代数形式．
变式　求实数m分别取何值时，复数z＝＋(m2 2m)i为：
(1) 实数；
【解答】
　　　　当即m＝2时，复数z是实数．
(2) 虚数；
【解答】
　　　　当m2 2m≠0且m≠0，即m≠0且m≠2时，复数z是虚数．
(3) 纯虚数．
【解答】
　　　　当即m＝ 3时，复数z是纯虚数．
探究
3
复数相等
　　　(多选)若z1＝ 3 4i，z2＝(n2 3m 1)＋(n2 m 6)i(m，n∈R)，且z1＝z2，则m＋n的值可能为 (　 　)
A．4　 B．0　
C． 4　 D．2
3
【解析】
　　　　由z1＝z2，得n2 3m 1＝ 3且n2 m 6＝ 4，解得m＝2，n＝±2，所以m＋n＝4或0．
AB
复数相等问题的解题技巧
(1) 必须是复数的代数形式才可以根据实部与实部相等、虚部与虚部相等列方程组求解．
(2) 根据复数相等的条件，将复数问题转化为实数问题，为应用方程思想提供了条件，同时这也是复数问题实数化思想的体现．
提醒：若两个复数能比较大小，则这两个复数必为实数．
变式　已知x 2y＋3＋(x＋y)i＝0，x，y∈R，则x＝_______，y＝_____．
【解析】
　　　　因为x 2y＋3＋(x＋y)i＝0，所以所以
1
1
随堂内化·及时评价
1．在2＋i，8＋5i，(1 )i，0.618这几个数中，纯虚数的个数为 (　　)
A．1　 B．2
C．3　 D．4
B
2．若复数a＋(a＋1)i是实数，则实数a的值为 (　　)
A．1　 B．0
C． 1　 D．±1
C
3．已知复数a2 1＋(a 1)i是纯虚数，则a＝ (　　)
A．±1　 B．1
C． 1　 D．0
C
4．已知复数m(m 1)＋(m2＋2m 3)i＝2＋5i，则实数m的值为_____．
【解析】
　　　　由题意可得解得m＝2．
2
5．(课本P70练习3)求满足下列条件的实数x，y的值：
(1) (x＋y)＋(y 1)i＝(2x＋3y)＋(2y＋1)i；
【解答】
　　　　因为(x＋y)＋(y 1)i＝(2x＋3y)＋(2y＋1)i，所以解得
(2) (x＋y 3)＋(x 2)i＝0．
【解答】
　　　　因为(x＋y 3)＋(x 2)i＝0，所以解得7.1　复数的概念
第1课时　数系的扩充和复数的概念
一、 单项选择题
1．复数－2i的实部与虚部分别是(　　)
A．0，2 B．0，－2i
C．0，－2 D．－2，0
2．若复数z＝m2－1＋(m2－m－2)i为实数，则实数m的值为(　　)
A．－1 B．2
C．1 D．－1或2
3．已知a，b∈R，3＋ai＝b－(2a－1)i，则(　　)
A．b＝3a B．b＝6a
C．b＝9a D．b＝12a
4．已知i是虚数单位，a，b∈R，则“a＝0”是“a＋bi为纯虚数”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件
二、 多项选择题
5．对于复数a＋bi(a，b∈R)，下列说法正确的是(　　)
A．若a＝0，则a＋bi为纯虚数
B．若a＋(b－1)i＝3－2i，则a＝3，b＝－1
C．若b＝0，则a＋bi为实数
D．i的平方等于1
6．下列说法正确的有(　　)
A．若a∈R，则(a＋1)i是纯虚数
B．若a，b∈R，且a>b，则bi2>ai2
C．若a≤0，则z＝a2－b2＋(a＋|a|)i(a，b∈R)为实数
D．若x2－1＋(x2＋3x＋2)i是纯虚数，则实数x＝±1
三、 填空题
7．若4－3a－a2i＝a2＋4ai，则实数a＝________．
8．定义运算＝ad－bc，如果(x＋y)＋(x＋3)i＝，那么实数x，y的值分别为________．
四、 解答题
9．已知复数z＝m(m－1)＋(m2＋2m－3)i，求实数m为何值时：
(1) z＝0；　(2) z是纯虚数；　(3) z＝2＋5i.
10．已知复数z1＝4－m2＋(m－2)i，z2＝λ＋2sin θ＋(cos θ－2)i(m，λ，θ∈R).
(1) 若z1为纯虚数，求实数m的值；
(2) 若z1＝z2，求实数λ的取值范围.
11．若复数a2－a－2＋(|a－1|－1)i(a∈R)不是纯虚数，则(　　)
A．a＝－1 B．a≠－1且a≠2
C．a≠－1 D．a≠2
12．(多选)下列命题为真命题的是(　　)
A．复数集是实数集与纯虚数集的并集
B．x＝i是方程x2＋2＝0的解
C．已知复数z1，z2，若z1>z2，则z1－z2>0
D．i是－1的一个平方根
13．欧拉公式eix＝cos x＋isin x(i为虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里非常重要，被誉为“数学中的天桥”.根据欧拉公式可知，若复数z＝，则z的实部为________，虚部为________．
14．设z1＝m2＋1＋(m2＋m－2)i，z2＝4m＋2＋(m2－5m＋4)i，若z1第1课时　数系的扩充和复数的概念
基础打底·熟练掌握
1．C　2．D　3．C
4．B　【解析】 若复数a＋bi是纯虚数，则所以“a＝0”是“复数a＋bi为纯虚数”的必要不充分条件.
5．BC
6．BC　【解析】 对于A，当a＝－1时，(a＋1)i＝0不是纯虚数，故A错误；对于B，由i2＝－1，且a>b，得bi2>ai2，故B正确；对于C，当a≤0时，|a|＋a＝0，所以z＝a2－b2为实数，故C正确；对于D，当x＝－1时，可得x2＋3x＋2＝0，此时x2－1＋(x2＋3x＋2)i＝0是实数，故D错误.
7．－4　【解析】 由题意得解得a＝－4.
8．－1，2　
9．【解答】 (1) 由题得解得m＝1.
故当m＝1时，复数z＝0.
(2) 由题得解得m＝0.
故当m＝0时，复数z是纯虚数.
(3) 由题得解得m＝2.
故当m＝2时，复数z＝2＋5i.
10．【解答】 (1) 因为z1为纯虚数，所以解得m＝－2.
(2) 由z1＝z2，得所以λ＝4－cos2θ－2sin θ＝sin2θ－2sin θ＋3＝(sin θ－1)2＋2.因为－1≤sin θ≤1，所以当sin θ＝1时，λmin＝2；当sin θ＝－1时，λmax＝6.故实数λ的取值范围是［2，6］.
能力进阶·融会贯通
11．C　【解析】 根据题意，则有a2－a－2≠0或|a－1|－1＝0，解得a≠－1.
12．BCD　【解析】 复数集是实数集和虚数集的并集，A为假命题；当x＝i时，x2＋2＝0，B为真命题；两个复数z1，z2满足z1>z2，说明z1，z2都是实数，显然有z1－z2>0，C为真命题；根据虚数单位i的定义，D为真命题.
13．　　【解析】 因为复数z＝，所以由欧拉公式得z＝cos＋isin＝cos＋isin＝＋i.
14．【解答】 因为z1第1课时　数系的扩充和复数的概念
学习 目标 1．了解引进虚数单位i的必要性，了解数系的扩充过程． 2．理解复数的概念、表示法及相关概念；掌握复数的分类及复数相等的充要条件．
新知初探基础落实
1．回顾一元二次方程的解，明确实数的概念与分类：
(1) 方程x2 2x 3＝0的正整数解是__3__，有理数解是__3， 1__，实数解是__3， 1__．
(2) 方程x2 2x 1＝0的无理数解是__1±__，实数解是__1±__．
2．方程x2＝ 1在实数集中是否有解？
因为实数的平方都是非负数，所以方程x2＝ 1在实数集中无解．
一、 概念生成
【数学史介绍】
(1) 在1777年，欧拉在《微分公式》一文中首创了用“imaginary”(想象的、假想的)的首字母i作为虚数的单位，本意是这个数是虚幻的，规定了i2＝ 1．
(2) 莱昂哈德·欧拉是18世纪最伟大的数学家之一，有一个以他名字命名的公式被誉为“上帝创造的公式”，那就是欧拉恒等式：eiπ＋1＝0．
《物理世界》发起的一项调查表明，人们把欧拉恒等式与麦克斯韦方程组一起并称为“史上最伟大的公式”．物理大师费曼也盛赞这个公式为“数学最非凡的公式”．
依照这种思想，为了解决x2＋1＝0这样的方程在实数集中无解的问题，我们设想引入一个新数i，使得方程x2＋1＝0有解，即使得i2＝ 1．
请同学阅读课本P68—P70，完成下列填空．
二、 概念表述
1．复数的概念与表示
(1) 复数的定义：形如__a＋bi(a，b∈R)__的数叫做复数，其中i叫做虚数单位，规定i2＝ 1．全体复数构成的集合C＝__｛a＋bi|a，b∈R｝__叫做复数集．
(2) 复数的表示：复数通常用字母z表示，即z＝a＋bi(a，b∈R)，其中的a与b分别叫做复数z的__实部__与__虚部__．
2．复数相等
(1) 复数相等：设a，b，c，d都是实数，a＋bi＝c＋di当且仅当__a＝c且b＝d__．
(2) 复数的分类：对于复数z＝a＋bi(a，b∈R)，当且仅当__b＝0__时，z为实数；当且仅当__a＝b＝0__时，z为实数0；当__b≠0__时，z叫做虚数；当__a＝0且b≠0__时，z叫做纯虚数．
3．实数集与复数集之间的关系为__R C__，用Venn图表示实数集、虚数集、复数集之间的关系，如下图．
三、 概念辨析(判断正误：正确的画“√”，错误的画“×”)
(1) 若z∈C，则z2≥0．(　×　)
(2) 2i 1的虚部是2i．(　×　)
(3) 2i的实部是0．(　√　)
(4) i2 026＝ 1．(　×　)
典例精讲能力初成
探究1　复数的概念
例1　已知复数(x＋y)＋(2 x)i的实部和虚部分别为3和4，则实数x和y的值分别是(　D　)
A．2， 4　 B．2，5
C． 2，4　 D． 2，5
【解析】因为x，y∈R，复数 (x＋y)＋(2 x)i 的实部和虚部分别为 3 和 4，因此解得x＝ 2，y＝5，所以实数 x 和 y 的值分别是 2，5．
变式　以3i 的虚部为实部，3i2＋i的实部为虚部的复数是(　A　)
A．3 3i　 B．3＋i
C． ＋i　 D．＋i
【解析】因为3i 的虚部为3，3i2＋i＝ 3＋i的实部为 3，所以所求复数的实部为3，虚部为 3，因此所求复数为3 3i．
探究2　复数的分类
例2　(课本P69例1)当实数m取什么值时，复数z＝m＋1＋(m 1)i是下列数？
(1) 实数；
【解答】当m 1＝0，即m＝1时，复数z是实数．
(2) 虚数；
【解答】当m 1≠0，即m≠1时，复数z是虚数．
(3) 纯虚数．
【解答】当m＋1＝0且m 1≠0，即m＝ 1时，复数z是纯虚数．
利用复数的代数形式，对复数进行分类，关键是根据分类标准列出实部、虚部应满足的关系式．求解参数时，注意考虑问题要全面，当条件不满足代数形式z＝a＋bi时应先转化成此代数形式．
变式　求实数m分别取何值时，复数z＝＋(m2 2m)i为：
(1) 实数；
【解答】当即m＝2时，复数z是实数．
(2) 虚数；
【解答】当m2 2m≠0且m≠0，即m≠0且m≠2时，复数z是虚数．
(3) 纯虚数．
【解答】当即m＝ 3时，复数z是纯虚数．
探究3　复数相等
例3　(多选)若z1＝ 3 4i，z2＝(n2 3m 1)＋(n2 m 6)i(m，n∈R)，且z1＝z2，则m＋n的值可能为(　AB　)
A．4　 B．0　
C． 4　 D．2
【解析】由z1＝z2，得n2 3m 1＝ 3且n2 m 6＝ 4，解得m＝2，n＝±2，所以m＋n＝4或0．
复数相等问题的解题技巧
(1) 必须是复数的代数形式才可以根据实部与实部相等、虚部与虚部相等列方程组求解．
(2) 根据复数相等的条件，将复数问题转化为实数问题，为应用方程思想提供了条件，同时这也是复数问题实数化思想的体现．
提醒：若两个复数能比较大小，则这两个复数必为实数．
变式　已知x 2y＋3＋(x＋y)i＝0，x，y∈R，则x＝__ 1__，y＝__1__．
【解析】因为x 2y＋3＋(x＋y)i＝0，所以所以
随堂内化及时评价
1．在2＋i，8＋5i，(1 )i，0.618这几个数中，纯虚数的个数为(　B　)
A．1　 B．2
C．3　 D．4
2．若复数a＋(a＋1)i是实数，则实数a的值为(　C　)
A．1　 B．0
C． 1　 D．±1
3．已知复数a2 1＋(a 1)i是纯虚数，则a＝(　C　)
A．±1　 B．1
C． 1　 D．0
4．已知复数m(m 1)＋(m2＋2m 3)i＝2＋5i，则实数m的值为__2__．
【解析】由题意可得解得m＝2．
5．(课本P70练习3)求满足下列条件的实数x，y的值：
(1) (x＋y)＋(y 1)i＝(2x＋3y)＋(2y＋1)i；
【解答】因为(x＋y)＋(y 1)i＝(2x＋3y)＋(2y＋1)i，所以解得
(2) (x＋y 3)＋(x 2)i＝0．
【解答】因为(x＋y 3)＋(x 2)i＝0，所以解得

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