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第七章
7.2　复数的四则运算
复　数
第1课时　复数的加、减运算及其几何意义
学习 目标 1．掌握复数代数形式的加、减运算法则．
2．理解复数加、减运算的几何意义，能利用“数形结合”的思想解题．
新知初探·基础落实
任意两个实数可以相加，实数中的加法运算满足交换律和结合律．复数集是从实数扩充而来的，复数Z和复平面内的向量一一对应，向量也有加、减法．
问题1：怎么定义复数的加法？
若z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，
则z1＋z2＝(a＋c)＋(b＋d)i．
问题2：复数的加法满足交换律和结合律吗？
满足．
一、 概念生成
我们知道，复数与复平面内以原点为起点的向量一一对应．而我们讨论了向量加法的几何意义，你能由此出发讨论复数加法的几何意义吗？
设分别与复数a＋bi，c＋di对应，则＝(a，b)，＝(c，d)．由平面向量的坐标运算法则，得＋＝(a＋c，b＋d)．
这说明两个向量的和就是复数(a＋c)＋(b＋d)i对应的向量．因此，复数的加法可以按照向量的加法来进行，这就是复数加法的几何意义．
问题3：类比复数的加法法则，你认为复数有减法吗？复数的减法法则如何呢？
根据实数中加法是减法的逆运算，尝试给出复数减法的运算法则．
我们规定，复数的减法是加法的逆运算，即把满足(c＋di)＋(x＋yi)＝a＋bi的复数x＋yi(x，y∈R)叫做复数a＋bi(a，b∈R)减去复数c＋di(c，d∈R)的差，记作(a＋bi) (c＋di)．
根据复数相等的定义可知(a＋bi) (c＋di)＝(a c)＋(b d)i．
请同学阅读课本P75—P77，完成下列填空．
二、 概念表述
1．复数的加法与减法运算
已知复数z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，
(1) 复数加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝__________________．
(2) 复数减法：z1 z2＝(a＋bi) (c＋di)＝________________．
复数的加(减)法运算就是把复数的实部与实部，虚部与虚部分别相加(减)，结果仍然是一个复数．
(a＋c)＋(b＋d)i
(a c)＋(b d)i
2．复数加法的运算律
复数的加法运算满足交换律、结合律．
(1) 加法交换律：z1＋z2＝_________．
(2) 加法结合律：(z1＋z2)＋z3＝______________．
z2＋z1
z1＋(z2＋z3)
3．复数加法与减法运算的几何意义
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di对应向量＝(a，b)，＝(c，d)(a，b，c，d∈R)，其中不共线．
复数运算 加法 减法
运算法则 z1＋z2＝(a＋c)＋(b＋d)i z1 z2＝(a c)＋(b d)i
几何意义 平行四边形法则 三角形法则
三、 概念辨析(判断正误：正确的画“√”，错误的画“×”)
(1) 两虚数的和或差可能是实数． (　　)
(2) 进行复数的加法运算时，实部与实部相加得实部，虚部与虚部相加得虚部． (　　)
(3) 复数的减法运算不满足结合律，即(z1 z2) z3＝z1 (z2＋z3)可能不成立． (　　)
(4) 复数的加法运算满足交换律，即z1＋z2＝z2＋z1． (　　)
√
√
×
√
典例精讲·能力初成
探究
1
复数的加、减法运算
　　　(课本P76例1)计算(5 6i)＋( 2 i) (3＋4i)．
1
【解答】
　　　　(5 6i)＋( 2 i) (3＋4i)＝(5 2 3)＋( 6 1 4)i＝ 11i．
复数代数形式的加、减法运算技巧
(1) 复数代数形式的加、减法运算的实质就是将实部与实部相加、减，虚部与虚部相加、减之后分别作为结果的实部与虚部．
(2) 算式中若出现字母，首先确定其是否为实数，再确定复数的实部与虚部，最后把实部与实部、虚部与虚部分别相加、减．
(3) 复数的运算可以类比多项式的运算：若有括号，括号优先；若无括号，可以从左到右依次进行计算．
变式　设z1＝x＋2i，z2＝3 yi(x，y∈R)，且z1＋z2＝5 6i，求z1 z2．
【解答】
　　　　因为z1＝x＋2i，z2＝3 yi，z1＋z2＝5 6i，所以(3＋x)＋(2 y)i＝5 6i，所以所以所以z1 z2＝(2＋2i) (3 8i)＝(2 3)＋［2 ( 8)］i＝ 1＋10i．
探究
2
复数加、减法的几何意义
　　　已知平行四边形ABCD中，对应的复数分别是3＋2i与1＋4i，两对角线AC与BD相交于点O．
(1) 求对应的复数；
2
【解答】
　　　　因为四边形ABCD是平行四边形，所以＝＋，于是＝＝(1，4) (3，2)＝( 2，2)，即对应的复数是 2＋2i．
(2) 求对应的复数．
【解答】
　　　　因为＝＝(3，2) ( 2，2)＝(5，0)，所以对应的复数是5．
复数与向量的对应关系的两个关注点
(1) 复数z＝a＋bi(a，b∈R)与以原点为起点，Z(a，b)为终点的向量一一对应．
(2) 向量平移后其对应的复数不变，但是其起点与终点所对应的复数可能改变．
变式　如图，在复平面上，一个正方形的三个顶点对应的复数分别是1＋2i， 2＋i，0，那么这个正方形的第四个顶点对应的复数为 (　　)
A．3＋i　　　　 B．3 i
C．1 3i　　　　 D． 1＋3i
【解析】
　　　　因为＝＋，所以对应的复数为1＋2i 2＋i＝ 1＋3i，所以点C对应的复数为 1＋3i．
D
探究
3
复数加、减运算的几何意义的应用
　　　(课本P77例2)根据复数及其运算的几何意义，求复平面内的两点Z1(x1，y1)，Z2(x2，y2)之间的距离．
3
【解答】
　　　　因为复平面内的点Z1(x1，y1)，Z2(x2，y2)对应的复数分别为z1＝x1＋y1i，z2＝x2＋y2i，所以点Z1，Z2之间的距离为|Z1Z2|＝||＝|z2 z1|＝|(x2＋y2i) (x1＋y1i)|＝|(x2 x1)＋(y2 y1)i|＝．
利用复数的几何意义判别图形时，常见的方法如下：
(1) |z z1|＝r，复数z在复平面内对应的点的集合是以复数z1在复平面内对应的点为圆心，以r为半径的圆．
(2) |z z1|＝|z z2|，意味着复数z在复平面内对应的点分别与复数z1和复数z2对应的点的距离相等，即复数z在复平面内对应的点的集合是以复数z1，z2在复平面内对应的点Z1，Z2为端点的线段的垂直平分线．
变式　(1) 设复数z满足|z 3 4i|＝1，求|z|的最大值．
【解答】
　　　　因为|z 3 4i|＝1，所以复数z所对应的点在以C(3，4)为圆心，半径为1的圆上，由几何性质得|z|的最大值是＋1＝6．
【解答】
　　　　因为|z|＝1且z∈C，如图，所以|z 2 2i|的几何意义为单位圆上的点M到复平面上的点P(2，2)的距离，所以|z 2 2i|的最小值为|OP| 1＝2 1．
(2) 已知|z|＝1且z∈C，求|z 2 2i|的最小值．
随堂内化·及时评价
1．已知复数z对应的向量如图所示，则复数z＋1所对应的向量表示正确的是 (　　)
A
2．在平行四边形ABCD中，若A，C对应的复数分别为 1＋i和 4 3i，则该平行四边形的对角线AC的长度为 (　　)
A．　 B．5
C．2　 D．10
【解析】
　　　　依题意知，对应的复数为( 4 3i) ( 1＋i)＝ 3 4i，因此AC的长度为| 3 4i|＝5．
B
3．已知z1，z2∈C，且z1＝2＋i，z2＝3 4i，则z1 z2＝___________．
【解析】
　　　　z1 z2＝2＋i 3＋4i＝ 1＋5i．
1＋5i
4．若复数z1＝4 3i，z2＝4＋3i所对应的向量分别为，则△OZ1Z2的周长为______．
【解析】
　　　　由题意可得＝(4， 3)，＝(4，3)，则＝＝(0，6)，所以||＝5，||＝5，||＝6，故△OZ1Z2的周长为16．
16
5．(课本P81习题9)若z＝x＋yi(x，y∈R)，则复平面内满足|z (2＋i)|＝3的点Z的集合是什么图形？
【解答】
　　　　方法一：由复数模的几何意义可知，复平面内满足|z (2＋i)|＝3的点Z的集合是以(2，1)为圆心，以3为半径的圆．
方法二：因为z＝x＋yi，所以|z (2＋i)|＝|x＋yi 2 i|＝|(x 2)＋(y 1)i|＝3，所以＝3，即(x 2)2＋(y 1)2＝32，故复平面内满足|z (2＋i)|＝3的点Z的集合是以(2，1)为圆心，以3为半径的圆．7.2　复数的四则运算
第1课时　复数的加、减运算及其几何意义
一、 单项选择题
1．已知复数z1＝1＋3i，z2＝3＋i，则z1＋z2在复平面内对应的点在(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
2．在复平面内，向量对应的复数为－1＋3i，向量对应的复数为－2＋i，则向量对应的复数为(　　)
A．－3－4i B．－3＋4i
C．1＋2i D．－1－2i
3．在复平面上复数－1＋i，0，3＋2i所对应的点分别是A，B，C，则平行四边形ABCD的对角线BD的长为(　　)
A．5 B．
C． D．
4．若复数3＋4i与2－i分别表示向量与，则表示向量的复数为(　　)
A．1＋5i B．－1－5i
C．5＋3i D．－5－3i
二、 多项选择题
5．已知z1，z2是复数，则以下结论错误的是(　　)
A．若z1＋z2＝0，则z1＝0且z2＝0
B．若|z1|＋|z2|＝0，则z1＝0且z2＝0
C．若|z1|＝|z2|，则向量和重合
D．若|z1－z2|＝0，则＝
6．下列说法正确的是(　　)
A．若复数z满足|z－i|＝，则复数z对应的点在以(1，0)为圆心，为半径的圆上
B．若复数z满足z＋(3－4i)＝1，则z的虚部是4
C．复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模
D．若复数z1＝3－5i，z2＝1－i，z3＝－2＋ai在复平面内对应的点在同一条直线上，则＝－2－5i　
三、 填空题
7．设z1＝3－4i，z2＝－2＋3i，则z1－z2在复平面内对应的点位于第________象限．
8．已知复平面上有A，B，C三点，若点A对应的复数为2＋i，对应的复数为1＋2i，对应的复数为3－i，则点C的坐标为________．
四、 解答题
9．已知复数z1＝a2＋(a－6)i，z2＝2a－3＋a2i，a∈R.　
(1) 若z1＋z2是纯虚数，求a；
(2) 若z1＋z2>0，求|z1|.
10．在 ABCD中，已知，对应的复数分别为z1＝3＋5i，z2＝－1＋2i.
(1) 求对应的复数；
(2) 求对应的复数；
(3) 求 ABCD的面积.
11．若z＝cos θ＋isin θ(θ∈R，i是虚数单位)，则|z－2－2i|的最小值是(　　)
A．2 B．
C．2＋1 D．2－1
12．(多选)已知复数z＝2＋i，z1＝x＋yi(x，y∈R)(i为虚数单位)，为z的共轭复数，则下列结论正确的是(　　)
A．的虚部为－i
B．z对应的点在第一象限
C．＝1
D．若|z－z1|≤1，则在复平面内z1对应的点形成的图形的面积为π
13．欧拉公式eix＝cos x＋isin x(i为虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发现的，他将指数函数的定义域扩大到复数集，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数理论中占有非常重要的地位，特别是当x＝π时，eiπ＋1＝0被称为数学上的优美公式.根据欧拉公式，＋表示复数z，则|z|＝(　　)
A．2＋ B．
C．2 D．2－
14．已知z∈C，|z－2|＝1，则|z＋i|的取值范围为 ________．
第1课时　复数的加、减运算及其几何意义
基础打底·熟练掌握
1．A
2．D　【解析】 因为向量对应的复数为－1＋3i，向量对应的复数为－2＋i，所以＝－＝(－2＋i)－(－1＋3i)＝－1－2i，所以向量对应的复数为－1－2i.
3．B
4．A　【解析】 因为对应的复数为3＋4i，对应的复数为2－i，所以＝－＝(3＋4i)－(2－i)＝3＋4i－2＋i＝1＋5i，所以表示向量的复数为1＋5i.
5．AC　【解析】 对于A，z1＋z2＝0只能说明z1＝－z2，不一定有z1＝0，z2＝0，故A错误；对于B，|z1|＋|z2|＝0，说明|z1|＝|z2|＝0，即z1＝z2＝0，故B正确；对于C，|z1|＝|z2|，说明||＝||，但与方向不一定相同，故C错误；对于D，|z1－z2|＝0，则z1＝z2，故＝，故D正确.
6．BCD　【解析】 对于A，满足|z－i|＝的复数z对应的点在以(0，1)为圆心，为半径的圆上，故A错误；对于B，因为z＋(3－4i)＝1，所以z＝－2＋4i，所以z的虚部是4，故B正确；对于C，由复数的模的定义可知C正确；对于D，设复数z1，z2，z3分别对应点P1(3，－5)，P2(1，－1)，P3(－2，a)，由已知得＝，解得a＝5，所以z3＝－2＋5i，＝－2－5i，故D正确.
7．四
8．(4，－2)　【解析】 因为对应的复数是1＋2i，对应的复数为3－i，又＝－，所以对应的复数为(3－i)－(1＋2i)＝2－3i.又＝＋，所以点C对应的复数为(2＋i)＋(2－3i)＝4－2i，所以点C的坐标为(4，－2).
9．【解答】 (1) 由题意得z1＋z2＝a2＋2a－3＋(a2＋a－6)i，因为z1＋z2是纯虚数，所以解得a＝1.
(2) 因为z1＋z2>0，所以解得a＝2，故|z1|＝|4－4i|＝4.
10．【解答】 (1) 由于＝＋＝＋，所以＝－，故对应的复数为(3＋5i)－(－1＋2i)＝4＋3i.
(2) 由于＝－＝－，所以对应的复数为(4＋3i)－(－1＋2i)＝5＋i.
(3) 由(1)(2)可知＝＝(－1，2)，＝＝(4，3)，所以cos∠DAB＝＝＝.因此sin∠DAB＝＝，于是 ABCD的面积S＝||||sin∠DAB＝×5×＝11.
能力进阶·融会贯通
(第11题)
11．D　【解析】 由复数的几何意义可知，z＝cos θ＋isin θ表示的点在单位圆上.而|z－2－2i|表示该单位圆上的点到复数2＋2i表示的点Z的距离，由图象可知|z－2－2i|的最小值应为点A到Z的距离，而|OZ|＝＝2，圆的半径为1，故|z－2－2i|的最小值为2－1.　
12．BCD　【解析】 由z＝2＋i，可得＝2－i，所以的虚部为－1，A错误；z对应的点(2，1)在第一象限，B正确；＝＝＝1，C正确；由|z－z1|≤1，可得(x－2)2＋(y－1)2≤1，则在复平面内z1对应的点的集合确定的图形是半径为1的圆及其内部，面积为π，D正确.
13．B　【解析】 根据欧拉公式有＋＝cos＋isin＋cos＋isin＝＋i，所以z＝＋i， |z|＝＝.
14．［－1，＋1］　【解析】 因为1＝|z－2|＝|(z＋i)－(2＋i)|≥||z＋i|－|2＋i||＝||z＋i|－|，所以－1≤|z＋i|≤＋1，即|z＋i|的取值范围为［－1，＋1］.7.2　复数的四则运算
第1课时　复数的加、减运算及其几何意义
学习 目标 1．掌握复数代数形式的加、减运算法则． 2．理解复数加、减运算的几何意义，能利用“数形结合”的思想解题．
新知初探基础落实
任意两个实数可以相加，实数中的加法运算满足交换律和结合律．复数集是从实数扩充而来的，复数Z和复平面内的向量一一对应，向量也有加、减法．
问题1：怎么定义复数的加法？
若z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，
则z1＋z2＝(a＋c)＋(b＋d)i．
问题2：复数的加法满足交换律和结合律吗？
满足．
一、 概念生成
我们知道，复数与复平面内以原点为起点的向量一一对应．而我们讨论了向量加法的几何意义，你能由此出发讨论复数加法的几何意义吗？
设分别与复数a＋bi，c＋di对应，则＝(a，b)，＝(c，d)．由平面向量的坐标运算法则，得＋＝(a＋c，b＋d)．
这说明两个向量与的和就是复数(a＋c)＋(b＋d)i对应的向量．因此，复数的加法可以按照向量的加法来进行，这就是复数加法的几何意义．
问题3：类比复数的加法法则，你认为复数有减法吗？复数的减法法则如何呢？
根据实数中加法是减法的逆运算，尝试给出复数减法的运算法则．
我们规定，复数的减法是加法的逆运算，即把满足(c＋di)＋(x＋yi)＝a＋bi的复数x＋yi(x，y∈R)叫做复数a＋bi(a，b∈R)减去复数c＋di(c，d∈R)的差，记作(a＋bi) (c＋di)．
根据复数相等的定义可知(a＋bi) (c＋di)＝(a c)＋(b d)i．
请同学阅读课本P75—P77，完成下列填空．
二、 概念表述
1．复数的加法与减法运算
已知复数z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，
(1) 复数加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝__(a＋c)＋(b＋d)i__．
(2) 复数减法：z1 z2＝(a＋bi) (c＋di)＝__(a c)＋(b d)i__．
复数的加(减)法运算就是把复数的实部与实部，虚部与虚部分别相加(减)，结果仍然是一个复数．
2．复数加法的运算律
复数的加法运算满足交换律、结合律．
(1) 加法交换律：z1＋z2＝__z2＋z1__．
(2) 加法结合律：(z1＋z2)＋z3＝__z1＋(z2＋z3)__．
3．复数加法与减法运算的几何意义
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di对应向量＝(a，b)，＝(c，d)(a，b，c，d∈R)，其中与不共线．
复数运算 加法 减法
运算法则 z1＋z2＝(a＋c)＋(b＋d)i z1 z2＝(a c)＋(b d)i
几何意义 平行四边形法则 三角形法则
三、 概念辨析(判断正误：正确的画“√”，错误的画“×”)
(1) 两虚数的和或差可能是实数．(　√　)
(2) 进行复数的加法运算时，实部与实部相加得实部，虚部与虚部相加得虚部．(　√　)
(3) 复数的减法运算不满足结合律，即(z1 z2) z3＝z1 (z2＋z3)可能不成立．(　×　)
(4) 复数的加法运算满足交换律，即z1＋z2＝z2＋z1．(　√　)
典例精讲能力初成
探究1　复数的加、减法运算
例1　(课本P76例1)计算(5 6i)＋( 2 i) (3＋4i)．
【解答】(5 6i)＋( 2 i) (3＋4i)＝(5 2 3)＋( 6 1 4)i＝ 11i．
复数代数形式的加、减法运算技巧
(1) 复数代数形式的加、减法运算的实质就是将实部与实部相加、减，虚部与虚部相加、减之后分别作为结果的实部与虚部．
(2) 算式中若出现字母，首先确定其是否为实数，再确定复数的实部与虚部，最后把实部与实部、虚部与虚部分别相加、减．
(3) 复数的运算可以类比多项式的运算：若有括号，括号优先；若无括号，可以从左到右依次进行计算．
变式　设z1＝x＋2i，z2＝3 yi(x，y∈R)，且z1＋z2＝5 6i，求z1 z2．
【解答】因为z1＝x＋2i，z2＝3 yi，z1＋z2＝5 6i，所以(3＋x)＋(2 y)i＝5 6i，所以所以所以z1 z2＝(2＋2i) (3 8i)＝(2 3)＋［2 ( 8)］i＝ 1＋10i．
探究2　复数加、减法的几何意义
例2　已知平行四边形ABCD中，与对应的复数分别是3＋2i与1＋4i，两对角线AC与BD相交于点O．
(1) 求对应的复数；
【解答】因为四边形ABCD是平行四边形，所以＝＋，于是＝＝(1，4) (3，2)＝( 2，2)，即对应的复数是 2＋2i．
(2) 求对应的复数．
【解答】因为＝＝(3，2) ( 2，2)＝(5，0)，所以对应的复数是5．
复数与向量的对应关系的两个关注点
(1) 复数z＝a＋bi(a，b∈R)与以原点为起点，Z(a，b)为终点的向量一一对应．
(2) 向量平移后其对应的复数不变，但是其起点与终点所对应的复数可能改变．
变式　如图，在复平面上，一个正方形的三个顶点对应的复数分别是1＋2i， 2＋i，0，那么这个正方形的第四个顶点对应的复数为(　D　)
A．3＋i　　　　 B．3 i
C．1 3i　　　　 D． 1＋3i
【解析】因为＝＋，所以对应的复数为1＋2i 2＋i＝ 1＋3i，所以点C对应的复数为 1＋3i．
探究3　复数加、减运算的几何意义的应用
例3　(课本P77例2)根据复数及其运算的几何意义，求复平面内的两点Z1(x1，y1)，Z2(x2，y2)之间的距离．
【解答】因为复平面内的点Z1(x1，y1)，Z2(x2，y2)对应的复数分别为z1＝x1＋y1i，z2＝x2＋y2i，所以点Z1，Z2之间的距离为|Z1Z2|＝||＝|z2 z1|＝|(x2＋y2i) (x1＋y1i)|＝|(x2 x1)＋(y2 y1)i|＝．
利用复数的几何意义判别图形时，常见的方法如下：
(1) |z z1|＝r，复数z在复平面内对应的点的集合是以复数z1在复平面内对应的点为圆心，以r为半径的圆．
(2) |z z1|＝|z z2|，意味着复数z在复平面内对应的点分别与复数z1和复数z2对应的点的距离相等，即复数z在复平面内对应的点的集合是以复数z1，z2在复平面内对应的点Z1，Z2为端点的线段的垂直平分线．
变式　(1) 设复数z满足|z 3 4i|＝1，求|z|的最大值．
【解答】因为|z 3 4i|＝1，所以复数z所对应的点在以C(3，4)为圆心，半径为1的圆上，由几何性质得|z|的最大值是＋1＝6．
(2) 已知|z|＝1且z∈C，求|z 2 2i|的最小值．
【解答】因为|z|＝1且z∈C，如图，所以|z 2 2i|的几何意义为单位圆上的点M到复平面上的点P(2，2)的距离，所以|z 2 2i|的最小值为|OP| 1＝2 1．
随堂内化及时评价
1．已知复数z对应的向量如图所示，则复数z＋1所对应的向量表示正确的是(　A　)
　　　　　　
A　　　　　　　B　　　　　　　C　　　　　　　D
2．在平行四边形ABCD中，若A，C对应的复数分别为 1＋i和 4 3i，则该平行四边形的对角线AC的长度为(　B　)
A．　 B．5
C．2　 D．10
【解析】依题意知，对应的复数为( 4 3i) ( 1＋i)＝ 3 4i，因此AC的长度为| 3 4i|＝5．
3．已知z1，z2∈C，且z1＝2＋i，z2＝3 4i，则z1 z2＝__ 1＋5i__．
【解析】z1 z2＝2＋i 3＋4i＝ 1＋5i．
4．若复数z1＝4 3i，z2＝4＋3i所对应的向量分别为与，则△OZ1Z2的周长为__16__．
【解析】由题意可得＝(4， 3)，＝(4，3)，则＝＝(0，6)，所以||＝5，||＝5，||＝6，故△OZ1Z2的周长为16．
5．(课本P81习题9)若z＝x＋yi(x，y∈R)，则复平面内满足|z (2＋i)|＝3的点Z的集合是什么图形？
【解答】方法一：由复数模的几何意义可知，复平面内满足|z (2＋i)|＝3的点Z的集合是以(2，1)为圆心，以3为半径的圆．
方法二：因为z＝x＋yi，所以|z (2＋i)|＝|x＋yi 2 i|＝|(x 2)＋(y 1)i|＝3，所以＝3，即(x 2)2＋(y 1)2＝32，故复平面内满足|z (2＋i)|＝3的点Z的集合是以(2，1)为圆心，以3为半径的圆．

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