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第七章
7.2　复数的四则运算
复　数
第2课时　复数的乘、除运算
学习 目标 1．掌握复数代数形式的乘法和除法运算．
2．理解复数乘法的交换律、结合律和乘法对加法的分配律；会在复数范围内解方程．
新知初探·基础落实
我们知道，两个一次式相乘，有(ax＋b)(cx＋d)＝acx2＋(bc＋ad)x＋bd，复数的加、减法也可以看作多项式相加、减，类比多项式的乘法，能否得到复数的乘法法则？
问题1：怎样定义复数的乘法？
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)是任意两个复数，那么它们的积(a＋bi)(c＋di)＝ac＋bci＋adi＋bdi2＝(ac bd)＋(ad＋bc)i．
问题2：猜想复数的乘法满足哪些运算律？
猜想，对于任意z1，z2，z3∈C，有：
(1) 交换律：z1z2＝z2z1；
(2) 结合律：(z1z2)z3＝z1(z2z3)；
(3) 分配律：z1(z2＋z3)＝z1z2＋z1z3．
一、 概念生成
问题3：复数的除法如何运算呢？
类比实数的除法是乘法的逆运算，我们规定复数的除法是乘法的逆运算．请探究复数除法的运算法则．
复数除法的运算法则是：
(a＋bi)÷(c＋di)＝＋i(a，b，c，d∈R，且c＋di≠0)．
由此可见，两个复数相除(除数不为0)，所得的商是一个确定的复数．
在进行复数除法运算时，通常先把(a＋bi)÷(c＋di)写成的形式，再把分子与分母都乘分母的共轭复数c di，化简后就可得到上面的结果．这里分子与分母都乘分母的“实数化因式”(共轭复数)，从而使分母“实数化”．
请同学阅读课本P77—P79，完成下列填空．
二、 概念表述
1．复数的乘法运算
(a＋bi)(c＋di)＝____________________．
2．复数乘法的运算律
(ac bd)＋(ad＋bc)i
运算律 恒等式
交换律 z1z2＝_______
结合律 (z1z2)z3＝__________
分配律 z1(z2＋z3)＝z1z2＋z1z3
z2z1
z1(z2z3)
3．复数的乘方(拓展知识)
当n个相同的复数z相乘时，仍称为z的n次方(或n次幂)，并记作zn，即zn＝z×z ×…×z(n个z相乘)．
当m，n都为正整数时，zmzn＝________，(zm)n＝______，(z1z2)n＝_______．
zm＋n
zmn
4．复数的除法运算(分母实数化)
(1) 如果复数z2≠0，则满足zz2＝z1的复数z称为z1除以z2的商，并记作z＝(或z＝z1÷z2)．
(2) 一般地，给定复数z≠0，称为z的倒数．z1除以z2的商，也可以看成z1与z2的倒数之积．
(3) 复数的除法法则：通过z2＝(c＋di)(c di)＝c2＋d2，可以实现复数除法的“分母
实数化”，＝_________________＝＋i(c＋di≠0)．
三、 概念辨析(判断正误：正确的画“√”，错误的画“×”)
(1) (1 i)2＝ 2i． (　　)
(2) (1＋i)(i 1)＝ 2． (　　)
(3) i2 025(1 i)＝1 i． (　　)
(4) (2＋i)( 1＋2i)＝4＋3i． (　　)
√
√
×
×
典例精讲·能力初成
探究
1
复数的乘法运算
　　　(1) (课本P78例3)计算(1 2i)(3＋4i)( 2＋i)．
1
【解答】
　　　　(1 2i)(3＋4i)( 2＋i)＝(11 2i)( 2＋i)＝ 20＋15i．
(2) (课本P78例4)计算：
①(2＋3i)(2 3i)；　②(1＋i)2．
【解答】
　　　　①(2＋3i)(2 3i)＝22 (3i)2＝4 ( 9)＝13．
②(1＋i)2＝1＋2i＋i2＝1＋2i 1＝2i．
两个复数代数形式乘法的一般方法：首先按多项式的乘法展开，再将i2换成 1，然后再进行复数的加、减运算．常用公式：
(1) (a＋bi)2＝a2 b2＋2abi(a，b∈R)．
(2) (a＋bi)(a bi)＝a2＋b2(a，b∈R)．
(3) (1±i)2＝±2i．
变式　(1) 计算：(1 i)(1＋i)＝ (　　)
A．1＋i　 B． 1＋i
C．＋i　 D． ＋i
【解析】
　　　　(1 i)(1＋i)＝(1 i)(1＋i)＝2＝ 1＋i．
B
变式　(2) 已知a，b∈R，若a i与2＋bi互为共轭复数，则(a＋bi)2＝ (　　)
A．5 4i　 B．5＋4i
C．3 4i　 D．3＋4i
【解析】
　　　　因为a i与2＋bi互为共轭复数，所以a＝2，b＝1，所以(a＋bi)2＝(2＋i)2＝3＋4i．
D
探究
2
复数的除法运算
　　　(课本P79例5)计算(1＋2i)÷(3 4i)．
2
【解答】
　　　　(1＋2i)÷(3 4i)＝＝＝＝＝ ＋i．
(1) 两个复数代数形式的除法运算步骤
①首先将除式写为分式；
②再将分子、分母同乘以分母的共轭复数；
③然后将分子、分母分别进行乘法运算，并将其化为复数的代数形式．
(2) 常用公式
①＝ i；②＝i；③＝ i．
变式　(1) 计算：＝ (　　)
A．1＋2i　 B．1 2i
C．2＋i　 D．2 i
【解析】
　　　　＝＝＝2 i．
D
变式　(2) (新高考Ⅱ卷)已知z＝1＋i，则＝ (　　)
A． i　 B．i
C． 1　 D．1
【解析】
　　　　因为z＝1＋i，所以＝＝＝＝ i．
A
探究
3
在复数范围内解方程
　　　(课本P79例6)在复数范围内解下列方程：
(1) x2＋2＝0；
3
【解答】
　　　　因为＝＝ 2，所以方程x2＋2＝0的根为x＝±i．
【解答】
　　　　将方程ax2＋bx＋c＝0的二次项系数化为1，得x2＋x＋＝0，配方得＝，即＝ ．由Δ＜0，知＝＞0．类似(1)，可得x＋＝±i．所以原方程的根为x＝ ±i．
(2) ax2＋bx＋c＝0，其中a，b，c∈R，且a≠0，Δ＝b2 4ac＜0．
在复数范围内，实系数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的求解方法：
(1) 求根公式法：
①当Δ≥0时，x＝；
②当Δ＜0时，x＝．
(2) 利用复数相等的定义求解：设方程的根为x＝m＋ni(m，n∈R)，将其代入方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，化简后利用复数相等的定义求解．
变式　在复数范围内解下列方程：
(1) 2x2＋6＝0；
【解答】
　　　　由2x2＋6＝0，得x2＝ 3．因为(i)2＝( i)2＝ 3，所以方程2x2＋6＝0的根为x＝±i．
(2) x2＋x＋4＝0．
【解答】
　　　　配方，得＝ ，因为＝＝ ，所以x＋＝±i，所以原方程的根为x＝ ±i．
随堂内化·及时评价
1．计算：(1 i)2 (2 3i)(2＋3i)＝ (　　)
A．2i 13　 B．13＋2i
C．13 2i　 D． 13 2i
【解析】
　　　　(1 i)2 (2 3i)(2＋3i)＝1 2i＋i2 (4 9i2)＝ 13 2i．
D
2．(新高考Ⅰ卷)已知z＝，则z ＝ (　　)
A． i　 B．i
C．0　 D．1
【解析】
　　　　z＝＝ i，所以z ＝ i i＝ i．
A
3．(全国甲卷理)设z＝5＋i，则i(＋z)＝ (　　)
A．10i　　 B．2i　
C．10　　 D． 2
A
4．若z＝1＋i，则|z2 2z|＝ (　　)
A．0　 B．1
C．　 D．2
【解析】
　　　　因为z＝1＋i，所以|z2 2z|＝|(1＋i)2 2(1＋i)|＝|2i 2i 2|＝| 2|＝2．
D
5．(课本P80练习4)在复数范围内解下列方程：
(1) 9x2＋16＝0；
【解答】
　　　　因为＝＝ ，所以方程9x2＋16＝0的根为x＝±i．
(2) x2＋x＋1＝0．
【解答】
　　　　因为Δ＝12 4×1×1＝ 3＜0，所以方程x2＋x＋1＝0的根为x＝，即x＝．第2课时　复数的乘、除运算
一、 单项选择题
1．(新高考Ⅰ卷)若＝1＋i，则z＝(　　)
A．－1－i　 B．－1＋i　
C．1－i　 D．1＋i
2．已知复数z满足z(1＋i)＝，则复数z的共轭复数的虚部为(　　)
A． B．－i
C．－ D．i
3．已知i是虚数单位，若复数z＝(a∈R)的实部是虚部的2倍，则a＝(　　)
A．－ B．
C．－ D．
4．在复平面内，复数z1，z2对应的向量分别是＝(－2，3)，＝(3，－2)，则复数对应的点位于(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
二、 多项选择题
5．若复数z满足z(1＋2i)＝10，则(　　)
A．＝2＋4i
B．z的虚部是－4
C．复数z在复平面内对应的点在第一象限
D．若复数z在复平面内对应的点在角α的终边上，则sin α＝
6．下列说法正确的有(　　)
A．若复数z＝＋2i，则z＝i
B．若复数z＝1＋2i，则zi＋－i＝3－4i
C．若复数z满足(1＋i)z＝4，则复数z－的实部为2－
D．若复数z＝i2 025＋(1＋i)2 025，则复数z是纯虚数
三、 填空题
7．复数×的虚部为________．
8．设m，n∈R，若1－i是关于x的二次方程x2＋mx＋n＝0的一个虚根，则m＋n＝________．
四、 解答题
9．计算：(1) ÷(1＋i)2；　(2) .
10．已知复数z满足z＝(－1＋3i)(1－i)－4.
(1) 求复数z的共轭复数；
(2) 若复数ω＝z＋ai，且复数ω对应向量的模不大于复数z所对应向量的模，求实数a的取值范围.
11．设复数z对应的点在第四象限，则复数z·(1＋i)1 016对应的点在(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
12．若一个复数的实部与虚部互为相反数，则称此复数为“理想复数”.已知z＝＋bi(a，b∈R)为“理想复数”，则(　　)
A．a－5b＝0 B．3a－5b＝0
C．a＋5b＝0 D．3a＋5b＝0
13．任何一个复数z＝a＋bi(其中a，b∈R)都可以表示成z＝r(cos θ＋isin θ)(其中r≥0，θ∈R)的形式，通常称之为复数z的三角形式.法国数学家棣莫弗发现：［r(cos θ＋isin θ)］n＝rn(cos nθ＋isin nθ)(n∈Z)，我们称这个结论为棣莫弗定理.由棣莫弗定理可知，当n＝4时，复数＝(　　)
A．＋i B．－＋i
C．－i D．－－i
14．若z＝a＋bi，∈R，则实数a，b应满足的条件为________．
第2课时　复数的乘、除运算
基础打底·熟练掌握
1．C　2．A　
3．B　【解析】 z＝＝＋i，由题得＝2×，解得a＝.
4．A　【解析】 由已知可得z1＝－2＋3i，z2＝3－2i，则＝＝＝＝＋i，所以复数对应的点为，该点位于第一象限.
5．AB　【解析】 依题意，z＝＝＝＝2－4i，因此＝2＋4i，z的虚部是－4，复数z在复平面内对应的点(2，－4)在第四象限，故A，B正确，C错误；复平面内的点(2，－4)到原点的距离r＝＝2，因此sin α＝＝－，D错误.
6．AC　【解析】 对于A，z＝＋2i＝＋2i＝－i＋2i＝i，故A正确；对于B，zi＋－i＝(1＋2i)i＋1－2i－i＝i－2＋1－2i－i＝－1－2i，故B错误；对于C，因为(1＋i)z＝4，所以z＝＝＝＝2－2i，所以z－＝2－2i－＝(2－)－2i，其实部为2－，故C正确；对于D，z＝i2 025＋(1＋i)2 025＝i＋［(1＋i)2］1 012·(1＋i)＝i＋21 012i1 012(1＋i)＝21 012＋(21 012＋1)i，故D错误.
7．0　【解析】 因为(1－i)14＝［(1－i)2］7＝(－2i)7＝27i，＝＝i，所以复数×＝×i7×＝32，所以其虚部为0.
8．2　【解析】 将x＝1－i代入方程得(1－i)2＋m(1－i)＋n＝0，即1－2i＋3i2＋m－mi＋n＝0，即(－2＋m＋n)＋(－2－m)i＝0，所以解得所以m＋n＝2.
9．【解答】 (1) ÷(1＋i)2＝÷［(1＋i)(1＋i)］＝÷(1＋3i2＋2i)＝÷(－2＋2i)＝＝＝＝－i.
(2) 方法一：＝＝＝＝＝
＝.
方法二：＝＝＝＝.
10．【解答】 (1) 因为z＝(－1＋3i)(1－i)－4＝－1＋i＋3i＋3－4＝－2＋4i，所以复数z的共轭复数为－2－4i.
(2) ω＝－2＋(4＋a)i，复数ω对应的向量为(－2，4＋a)，其模为＝.又复数z对应的向量为(－2，4)，其模为2.由复数ω对应向量的模不大于复数z所对应向量的模得20＋8a＋a2≤20，解得－8≤a≤0，所以实数a的取值范围是［－8，0］.
能力进阶·融会贯通
11．D　【解析】 (1＋i)1 016＝［(1＋i)2］508＝(2i)508＝2508i508＝2508.设z＝a＋bi，则a>0，b<0，z(1＋i)1 016＝2508a＋2508bi，2508a>0，2508b<0，故复数z·(1＋i)1 016对应的点在第四象限.
12．D　【解析】 z＝＋bi＝＋bi＝＋i，由题意知＝－－b，则3a＋5b＝0.
13．B　【解析】 因为＝＝＝＝－＋i.
14．b＝0或a2＋b2＝1　【解析】 ＝＝＝＝＝＝＝，因为∈R，所以有b(1－b2－a2)＝0，所以b＝0或1－b2－a2＝0，即b＝0或a2＋b2＝1是a，b应满足的条件.第2课时　复数的乘、除运算
学习 目标 1．掌握复数代数形式的乘法和除法运算． 2．理解复数乘法的交换律、结合律和乘法对加法的分配律；会在复数范围内解方程．
新知初探基础落实
我们知道，两个一次式相乘，有(ax＋b)(cx＋d)＝acx2＋(bc＋ad)x＋bd，复数的加、减法也可以看作多项式相加、减，类比多项式的乘法，能否得到复数的乘法法则？
问题1：怎样定义复数的乘法？
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)是任意两个复数，那么它们的积(a＋bi)(c＋di)＝ac＋bci＋adi＋bdi2＝(ac bd)＋(ad＋bc)i．
问题2：猜想复数的乘法满足哪些运算律？
猜想，对于任意z1，z2，z3∈C，有：
(1) 交换律：z1z2＝z2z1；
(2) 结合律：(z1z2)z3＝z1(z2z3)；
(3) 分配律：z1(z2＋z3)＝z1z2＋z1z3．
一、 概念生成
问题3：复数的除法如何运算呢？
类比实数的除法是乘法的逆运算，我们规定复数的除法是乘法的逆运算．请探究复数除法的运算法则．
复数除法的运算法则是：
(a＋bi)÷(c＋di)＝＋i(a，b，c，d∈R，且c＋di≠0)．
由此可见，两个复数相除(除数不为0)，所得的商是一个确定的复数．
在进行复数除法运算时，通常先把(a＋bi)÷(c＋di)写成的形式，再把分子与分母都乘分母的共轭复数c di，化简后就可得到上面的结果．这里分子与分母都乘分母的“实数化因式”(共轭复数)，从而使分母“实数化”．
请同学阅读课本P77—P79，完成下列填空．
二、 概念表述
1．复数的乘法运算
(a＋bi)(c＋di)＝__(ac bd)＋(ad＋bc)i__．
2．复数乘法的运算律
运算律 恒等式
交换律 z1z2＝__z2z1__
结合律 (z1z2)z3＝__z1(z2z3)__
分配律 z1(z2＋z3)＝z1z2＋z1z3
3．复数的乘方(拓展知识)
当n个相同的复数z相乘时，仍称为z的n次方(或n次幂)，并记作zn，即zn＝z×z×…×z(n个z相乘)．
当m，n都为正整数时，zmzn＝__zm＋n__，(zm)n＝__zmn__，(z1z2)n＝____．
4．复数的除法运算(分母实数化)
(1) 如果复数z2≠0，则满足zz2＝z1的复数z称为z1除以z2的商，并记作z＝(或z＝z1÷z2)．
(2) 一般地，给定复数z≠0，称为z的倒数．z1除以z2的商，也可以看成z1与z2的倒数之积．
(3) 复数的除法法则：通过z2＝(c＋di)(c di)＝c2＋d2，可以实现复数除法的“分母实数化”，＝____＝＋i(c＋di≠0)．
三、 概念辨析(判断正误：正确的画“√”，错误的画“×”)
(1) (1 i)2＝ 2i．(　√　)
(2) (1＋i)(i 1)＝ 2．(　√　)
(3) i2 025(1 i)＝1 i．(　×　)
(4) (2＋i)( 1＋2i)＝4＋3i．(　×　)
典例精讲能力初成
探究1　复数的乘法运算
例1　(1) (课本P78例3)计算(1 2i)(3＋4i)( 2＋i)．
【解答】(1 2i)(3＋4i)( 2＋i)＝(11 2i)( 2＋i)＝ 20＋15i．
(2) (课本P78例4)计算：
①(2＋3i)(2 3i)；　②(1＋i)2．
【解答】①(2＋3i)(2 3i)＝22 (3i)2＝4 ( 9)＝13．
②(1＋i)2＝1＋2i＋i2＝1＋2i 1＝2i．
两个复数代数形式乘法的一般方法：首先按多项式的乘法展开，再将i2换成 1，然后再进行复数的加、减运算．常用公式：
(1) (a＋bi)2＝a2 b2＋2abi(a，b∈R)．
(2) (a＋bi)(a bi)＝a2＋b2(a，b∈R)．
(3) (1±i)2＝±2i．
变式　(1) 计算：(1 i)(1＋i)＝(　B　)
A．1＋i　 B． 1＋i
C．＋i　 D． ＋i
【解析】(1 i)(1＋i)＝(1 i)(1＋i)＝2＝ 1＋i．
(2) 已知a，b∈R，若a i与2＋bi互为共轭复数，则(a＋bi)2＝(　D　)
A．5 4i　 B．5＋4i
C．3 4i　 D．3＋4i
【解析】因为a i与2＋bi互为共轭复数，所以a＝2，b＝1，所以(a＋bi)2＝(2＋i)2＝3＋4i．
探究2　复数的除法运算
例2　(课本P79例5)计算(1＋2i)÷(3 4i)．
【解答】(1＋2i)÷(3 4i)＝＝＝＝＝ ＋i．
(1) 两个复数代数形式的除法运算步骤
①首先将除式写为分式；
②再将分子、分母同乘以分母的共轭复数；
③然后将分子、分母分别进行乘法运算，并将其化为复数的代数形式．
(2) 常用公式
①＝ i；②＝i；③＝ i．
变式　(1) 计算：＝(　D　)
A．1＋2i　 B．1 2i
C．2＋i　 D．2 i
【解析】＝＝＝2 i．
(2) (新高考Ⅱ卷)已知z＝1＋i，则＝(　A　)
A． i　 B．i
C． 1　 D．1
【解析】因为z＝1＋i，所以＝＝＝＝ i．
探究3　在复数范围内解方程
例3　(课本P79例6)在复数范围内解下列方程：
(1) x2＋2＝0；
【解答】因为＝＝ 2，所以方程x2＋2＝0的根为x＝±i．
(2) ax2＋bx＋c＝0，其中a，b，c∈R，且a≠0，Δ＝b2 4ac＜0．
【解答】将方程ax2＋bx＋c＝0的二次项系数化为1，得x2＋x＋＝0，配方得＝，即＝ ．由Δ＜0，知＝＞0．类似(1)，可得x＋＝±i．所以原方程的根为x＝ ±i．
在复数范围内，实系数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的求解方法：
(1) 求根公式法：
①当Δ≥0时，x＝；
②当Δ＜0时，x＝．
(2) 利用复数相等的定义求解：设方程的根为x＝m＋ni(m，n∈R)，将其代入方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，化简后利用复数相等的定义求解．
变式　在复数范围内解下列方程：
(1) 2x2＋6＝0；
【解答】由2x2＋6＝0，得x2＝ 3．因为(i)2＝( i)2＝ 3，所以方程2x2＋6＝0的根为x＝±i．
(2) x2＋x＋4＝0．
【解答】配方，得＝ ，因为＝＝ ，所以x＋＝±i，所以原方程的根为x＝ ±i．
随堂内化及时评价
1．计算：(1 i)2 (2 3i)(2＋3i)＝(　D　)
A．2i 13　 B．13＋2i
C．13 2i　 D． 13 2i
【解析】(1 i)2 (2 3i)(2＋3i)＝1 2i＋i2 (4 9i2)＝ 13 2i．
2．(新高考Ⅰ卷)已知z＝，则z ＝(　A　)
A． i　 B．i
C．0　 D．1
【解析】z＝＝ i，所以z ＝ i i＝ i．
3．(全国甲卷理)设z＝5＋i，则i(＋z)＝(　A　)
A．10i　　 B．2i　
C．10　　 D． 2
4．若z＝1＋i，则|z2 2z|＝(　D　)
A．0　 B．1
C．　 D．2
【解析】因为z＝1＋i，所以|z2 2z|＝|(1＋i)2 2(1＋i)|＝|2i 2i 2|＝| 2|＝2．
5．(课本P80练习4)在复数范围内解下列方程：
(1) 9x2＋16＝0；
【解答】因为＝＝ ，所以方程9x2＋16＝0的根为x＝±i．
(2) x2＋x＋1＝0．
【解答】因为Δ＝12 4×1×1＝ 3＜0，所以方程x2＋x＋1＝0的根为x＝，即x＝．

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