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第七章测试卷
一、 单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.
1．复数(－i)2＋＝(　　)
A．2－2i B．1－i
C．3－i D．11－5i
2．复数(2＋i)(|3＋4i|－i)的虚部为(　　)
A．3i B．－7i
C．3 D．－7
3．如图，在平行四边形OABC中，顶点O，A，C在复平面内分别表示0，3＋2i，－2＋4i，则点B对应的复数为(　　)
(第3题)
A．1＋6i B．5－2i
C．1＋5i D．－5＋6i
4．已知i为虚数单位，若复数z＝，则||＝(　　)
A．1 B．2
C． D．
5．已知i是虚数单位，则复数(3－i)(4－i)在复平面内对应的点位于(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
6．设a，b∈R，若为实数，则(　　)
A．b＋a≠0 B．b－a≠0
C．b＋a＝0 D．b－a＝0
7．若复数z1，z2在复平面内对应的点关于虚轴对称，且z1＝1－2i，则＝(　　)
A．＋i　 B．－＋i　
C．－－i　 D．－i
8．已知方程x3－1＝0的根分别为x1＝1，x2＝－＋i，x3＝－－i，则(1－i)100＋(＋i)100＝(　　)
A．0 B．2
C．2101 D．－2101
二、 多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9．下列说法正确的是(　　)
A．若复数z＝3＋i，则＝－
B．复数z＝1－3i的虚部是3
C．若复数z1，z2满足z1＝，则z1z2≥0
D．已知复数z满足|z－2i|＝1，z在复平面内对应的点为(x，y)，则x2＋(y－2)2＝1
10．已知复数z1，z2，z3，则下列说法正确的有(　　)
A．|z1z2|＝|z1||z2|
B．若z1－z2>0，则z1>z2
C．若z1z2＝0，则|z1－z2|＝|z1＋z2|
D．若z1z2＝z1z3且z1≠0，则z2＝z3
11．欧拉公式eix＝cos x＋isin x(x∈R)是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数之间的关系，它被誉为“数学中的天桥”.根据此公式，下面结论中正确的是(　　)
A．eπi＋1＝0
B．|eix|＝1
C．cos x＝
D．e12i在复平面内对应的点位于第二象限
三、 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．若4－3a－a2i＝a2＋4ai(a∈R)，则实数a＝________．
13．已知复平面内点A，B，C对应的复数分别为i，1，4＋2i，由A→B→C→D按逆时针顺序作平行四边形ABCD，则||＝________．
14．设复数z1，z2满足|z1|＝|z2|＝2，z1＋z2＝＋i，则|z1－z2|＝__________．
四、 解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．(13分)已知复数z＝(a2－4)＋(a＋2)i，a∈R.
(1) 若z为纯虚数，求实数a的值；
(2) 若z在复平面上对应的点在直线y＝－x－上，求实数a的值.
16．(15分)已知z1＝1＋i是关于x的实系数方程x2＋mx＋n＝0的一个复数根.
(1) 求实数m，n的值；
(2) 设方程的另一根为z2，复数z1，z2对应的向量分别是a，b，若向量ta－b与a＋tb垂直，求实数t的值.
17．(15分)已知复数z＝a＋bi(a，b∈R)，存在实数t使得a＋bi＝＋3ati成立.
(1) 求证：2a－b为定值；
(2) 若|z＋1|<|b|，求|z|的取值范围.
18．(17分)已知z1是虚数，z2＝z1＋是实数，且－1≤z2≤1.
(1) 求|z1|的值以及z1的实部的取值范围；
(2) 若ω＝，求证：ω为纯虚数.
19．(17分)对于一组复数z1，z2，z3，…，zn(n∈N，n≥3)，令Sn＝z1＋z2＋z3＋…＋zn，如果存在zp(p∈｛1，2，3，…，n｝)，使得|zp|≥|Sn－zp|，那么称zp是该复数组的“M复数”.
(1) 设zn＝n＋(n－x)i(n∈｛1，2，3｝)，若z3是复数组z1，z2，z3的“M复数”，求实数x的取值范围.
(2) 已知z1＝i，z2＝1＋i，是否存在复数z3使得z1，z2，z3均是复数组z1，z2，z3的“M复数”？若存在，求出所有的z3；若不存在，请说明理由.
(3) 若zn＝＋i·(－1)n(n∈N，n≥1)，复数组z1，z2，z3，…，zn是否存在“M复数”？给出你的结论并说明理由.
第七章测试卷
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案 B C A D D C A A ACD ACD AB
1．B　2．C　3．A　4．D　5．D　6．C　7．A
8．A　【解析】 (1－i)100＋(＋i)100＝＋(4i)50＝2100··＋450(i2)25＝2100＋2100×(－1)25＝0.
9．ACD　【解析】 ＝＝＝－，故A正确；复数z＝1－3i的虚部是－3，故B错误；设复数z1＝a＋bi，则z2＝a－bi，所以z1z2＝(a＋bi)(a－bi)＝a2＋b2≥0，故C正确；由z＝x＋yi，得|z－2i|＝|x＋(y－2)i|＝1，即x2＋(y－2)2＝1，故D正确.
10．ACD　【解析】 由题意，设z1＝a＋bi，z2＝c＋di，a，b，c，d∈R.对于A，|z1z2|＝|(a＋bi)(c＋di)|＝|ac－bd＋(bc＋ad)i|＝＝，|z1||z2|＝·＝，所以|z1z2|＝|z1||z2|，故A正确；对于B，当z1－z2>0时，若两复数是虚数z1，z2不能比较大小，故B错误；对于C，z1－z2＝a－c＋(b－d)i，z1＋z2＝a＋c＋(b＋d)i，|z1－z2|＝＝，|z1＋z2|＝＝，当z1z2＝0时，|z1z2|＝|z1||z2|＝0，即·＝0，所以a＝0，b＝0，c，d任取，或c＝0，d＝0，a，b任取，即z1，z2至少有一个为0，所以|z1－z2|＝|z1＋z2|＝(其中至少有两项为0)，故C正确；对于D，因为z1z2＝z1z3，所以z1(z2－z3)＝0，因为z1≠0，所以z2－z3＝0，即z2＝z3，故D正确.
11．AB　【解析】 eπi＋1＝cos π＋isin π＋1＝0，故A正确；|eix|＝|cos x＋isin x|＝＝1，故B正确；由eix＝cos x＋isin x，e－ix＝cos x－isin x，可得cos x＝，故C错误；e12i表示的复数在复平面内对应的点的坐标为(cos 12，sin 12)，显然该点位于第四象限，故D错误.
12．－4　13．
14．2　【解析】 方法一：设z1＝a＋bi(a∈R，b∈R)，z2＝c＋di(c∈R，d∈R)，则z1＋z2＝a＋c＋(b＋d)i＝＋i，所以又|z1|＝|z2|＝2，所以a2＋b2＝4，c2＋d2＝4，所以(a＋c)2＋(b＋d)2＝a2＋c2＋b2＋d2＋2(ac＋bd)＝4，所以ac＋bd＝－2.所以|z1－z2|＝|(a－c)＋(b－d)i|＝＝＝＝2.
方法二：如图，设复数z1，z2所对应的点为Z1，Z2，＝＋，由已知得＝＝2＝||＝||，所以平行四边形OZ1PZ2为菱形，且△OPZ1，△OPZ2都是正三角形，所以∠Z1OZ2＝120°，Z1＝O＋O－2OZ1·OZ2cos 120°＝22＋22－2×2×2×＝12，故|z1－z2|＝Z1Z2＝2.
(第14题)
15．【解答】 (1) 若z为纯虚数，则a2－4＝0，且a＋2≠0，解得a＝2.
(2) 因为z在复平面上对应的点(a2－4，a＋2)在直线y＝－x－，即x＋2y＋1＝0上，所以a2－4＋2(a＋2)＋1＝0，解得a＝－1.
16．【解答】 (1) 由题得(1＋i)2＋m(1＋i)＋n＝－1＋m＋n＋2i＋mi＝0，所以解得
(2) 由(1)知关于x的实系数方程为x2－2x＋3＝0，所以z1＋z2＝2，又z1＝1＋i，所以z2＝1－i，所以a＝(1，)，b＝(1，－)，则ta－b＝(t－1，(t＋1))，a＋tb＝(t＋1，(1－t)).因为ta－b与a＋tb垂直，所以(ta－b)·(a＋tb)＝(t－1)(t＋1)＋(t＋1)·(1－t)＝－t2＋1＝0，解得t＝±1.
17．【解答】 (1) 因为a，b，t∈R，a＋bi＝＋3ati＝＋i，所以＝a，＋3at＝b，则有2a－b＝－6，即2a－b为定值.
(2) 由|z＋1|<|b|，得|a＋bi＋1|＝|b|，即a2＋2a＋1－且a≠0，或a<－5，又|z|＝＝＝，所以|z|∈∪(6，＋∞).
18．【解答】 (1) 设z1＝a＋bi(a，b∈R且b≠0)，则z2＝z1＋＝a＋bi＋＝＋i.因为z2是实数，b≠0，所以b－＝0，即a2＋b2＝1，所以|z1|＝1，z2＝2a.由－1≤z2≤1，得－1≤2a≤1，解得－≤a≤.故z1的实部的取值范围是.
(2) ω＝＝＝＝－i.因为a∈，b≠0，所以ω为纯虚数.
19．【解答】 (1) z1＝1＋(1－x)i，z2＝2＋(2－x)i，z3＝3＋(3－x)i，因为z3是复数组z1，z2，z3的“M复数”，z1＋z2＝3＋(3－2x)i，所以|z3|≥|S3－z3|＝|z1＋z2|，即≥，化简得x(x－2)≤0，解得0≤x≤2.故实数x的取值范围为［0，2］.
(2) 若z1，z2，z3均是复数组z1，z2，z3的“M复数”，则设zk＝xk＋yki，k＝1，2，3，则相加得(x1＋x2＋x3)2＋(y1＋y2＋y3)2≤0，所以z1＋z2＋z3＝0，所以z3＝－(z1＋z2)＝－1－2i.
(3) 易知|zn|＝严格递减.当n为奇数时，z1＝1－i，z2＋z3＋…＋zn＝＋＋…＋＝＝，所以|z1|＝，|z2＋z3＋…＋zn|＝＝|z1|，所以当n为奇数时，复数组z1，z2，z3，…，zn存在“M复数”，z1是复数组z1，z2，z3，…，zn的“M复数”.当n(n≥4)为偶数时，|zp|max＝|z1|＝，|Sn－zp|min＝|Sn－z1|min＝|z2＋z3＋…＋zn|＝＝＝≥＝|z1|＝|zn|max，所以|zn|max<|Sn－zp|min，所以当n为偶数时，复数组z1，z2，z3，…，zn不存在“M复数”.综上，当n为奇数时，复数组z1，z2，z3，…，zn存在“M复数”，z1是复数组z1，z2，z3，…，zn的“M复数”.

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