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第八章测试卷
一、 单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.
1．如图，在正方体ABCD A1B1C1D1中，E，F 分别为BC，BB1的中点，则下列直线中与直线EF相交的是(　　)
(第1题)
A．直线AA1 B．直线A1B1
C．直线A1D1 D．直线B1C1
2．教师拿了一把直尺走进教室，则下列判断正确的个数是(　　)
①教室地面上有且仅有一条直线与直尺所在直线平行；②教室地面上有且仅有一条直线与直尺所在直线垂直；③教室地面上有无数条直线与直尺所在直线平行；④教室地面上有无数条直线与直尺所在直线垂直.
A．1　 B．2　
C．3　 D．4
3．若圆锥的表面积为12π，母线长为4，则该圆锥的底面半径为(　　)
A．2 B．3
C．1 D．
4．在空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA上分别取E，F，G，H四点，如果EF，HG交于一点P，则(　　)
A．点P一定在直线BD上 B．点P一定在直线AC上
C．点P一定在直线AC或BD上 D．点P既不在直线AC上，也不在直线BD上
5．如图，已知四棱锥P ABCD的底面是平行四边形，AC交BD于点O，E为AD的中点，F在PA上，AP＝λAF，PC∥平面BEF，则λ的值为(　　)
(第5题)
A．1 B．
C．2 D．3
6．已知在直三棱柱ABC A1B1C1中，∠ABC＝120°，AB＝2，BC＝CC1＝1，则异面直线AB1与BC1所成的角的余弦值为(　　)
A．　 B．　
C．　 D．
7．已知正三棱柱的所有顶点都在球O的球面上，且该正三棱柱的底面边长为2，体积为3，则球O的表面积为(　　)
A． B．5π
C． D．25π
8．如图，等边三角形ABC的边长为4，M，N分别为AB，AC的中点，沿MN将△AMN折起，使得平面AMN与平面MNCB所成的二面角为30°，则四棱锥A MNCB的体积为(　　)
(第8题)
A．　 B．
C．　 D．3
二、 多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9．如图，在正方体ABCD A1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，M为棱BB1的中点，则下列结论正确的是 (　　)
(第9题)
A．D1O∥平面A1BC1 B．D1O⊥平面MAC
C．异面直线BC1与AC所成的角为60° D．MO⊥平面ABCD
10．如图，在圆台O1O2的轴截面ABCD中，AB＝AD＝BC＝CD＝2，则下列说法正确的是(　　)
(第10题)
A．线段AC＝2
B．该圆台的表面积为11π
C．该圆台的体积为7π
D．沿着该圆台的表面，从点C到AD中点的最短距离为5
11．如图，在四棱锥P ABCD中，PD⊥平面ABCD，∠DAB＝∠CBD＝90°，∠ADB＝∠BDC＝60°，E为PC的中点，点F在CD上，∠FBC＝30°，PD＝2AD＝2，则下列结论正确的是(　　)
(第11题)
A．BE∥平面PAD B．PB与平面ABCD所成的角为30°
C．四面体D BEF的体积为 D．平面PAB⊥平面PAD
三、 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．如图，平行四边形O'A'B'C'是四边形OABC的直观图.若O'A'＝3，O'C'＝2，则原四边形OABC的周长为________．
(第12题)
13．《九章算术》中，称底面为矩形且有一侧棱垂直于底面的四棱锥为阳马.已知长方体ABCD A1B1C1D1，若阳马以该长方体的顶点为顶点，则这样的阳马的个数是________(用数字作答)．
(第14题)
14．如图，已知AD⊥平面ABC，AC⊥BC，AC＝BC＝2AD＝2，E，F分别为棱BD，AC上的动点(含端点)，则线段EF长度的最小值为________．
四、 解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．(13分)在《九章算术》中，将有三条棱相互平行且有一个面为梯形的五面体称为“羡除”.如图所示的五面体是一个羡除，其中棱AB，CD，EF相互平行，四边形ABEF是梯形.已知CD＝EF，AD⊥平面ABEF，BE⊥AF.
(1) 求证：DF∥平面BCE；
(2) 求证：平面ADF⊥平面BCE.
(第15题)
16． (15分)从①2cos Bsin C＝sin A，②sin Bsin C＝cos2，③(a2＋b2)sin(A－B)＝(a2－b2)sin C这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并进行解答.
已知a，b，c为锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边，若A＝，________，E是AB的中点，F是AC的中点，如图，将△AEF沿EF折起，使平面A'EF⊥平面EFCB，求异面直线A'B与EF所成的角的余弦值．
(第16题)
17．(15分)如图，在多面体ABCA1B1C1中，A1A，B1B，C1C均垂直于平面ABC，∠ABC＝120°，A1A＝4，C1C＝1，AB＝BC＝B1B＝2.
(1) 求证：AB1⊥平面A1B1C1；
(2) 求直线AC1与平面ABB1所成的角的正弦值.
　(第17题)
18．(17分)在如图所示的五面体ABCDEF中，四边形ABCD为菱形，且∠DAB＝60°，EF∥平面ABCD，EA＝ED＝AB＝2EF＝2，M为BC的中点.
(1) 求证：FM∥平面BDE；
(2) 若平面ADE⊥平面ABCD，求点F到平面BDE的距离.
　(第18题)
19．(17分)如图，在四棱锥P ABCD中，PA⊥底面ABCD，PA＝AC＝2，BC＝1，AB＝.
(1) 若AD⊥PB，求向量在向量上的投影向量的模.
(2) 当AD⊥PB，且AD＝1时，四棱锥P ABCD是否有外接球？若有，请求出四棱锥P ABCD的外接球的表面积；若没有，请说明理由.
(3) 若AD⊥DC，且AD＝，求二面角A CP D的正切值.
(第19题)
第八章测试卷
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案 D A A B D C C A ABC ABD ACD
1．D　2．A　3．A
4．B　【解析】 如图，因为P∈HG，HG 平面ACD，所以P∈平面ACD.同理，P∈平面BAC．因为平面BAC∩平面ACD＝AC，所以P∈AC．
(第4题)
5．D　【解析】 如图，设AO交BE于点G，连接FG.因为E是AD的中点，所以＝＝，则有＝.因为PC∥平面BEF，平面BEF∩平面PAC＝GF，所以GF∥PC，则＝＝，即λ＝3.
(第5题)
(第6题)
6．C　【解析】 如图，将直三棱柱ABC A1B1C1补形成直四棱柱ABCD A1B1C1D1，连接AD1，B1D1，则AD1∥BC1，则∠B1AD1为异面直线AB1与BC1所成的角.易求得AB1＝，BC1＝AD1＝，B1D1＝，由余弦定理得cos∠B1AD1＝.
7．C　【解析】 由题意可知，正三棱柱的底面中心的连线的中点就是外接球的球心，底面中心到顶点的距离为r＝.如图，设正三棱柱的高为h，由×2×h＝3，得h＝，则OG＝＝.所以外接球的半径为R＝OA＝＝＝，所以外接球的表面积为S＝4πR2＝4π×＝.
(第7题)
(第8题)
8．A　【解析】 如图，作出二面角A MN B的平面角∠AED，AO为△AED底边ED上的高，也是四棱锥A MNCB的高.由题意得∠AED＝30°，AE＝ED＝，AO＝，S四边形MNCB＝×(2＋4)×＝3，故VA MNCB＝×3×＝.
(第9题)
9．ABC　【解析】 连接BD，则O为BD中点.对于A，如图，取A1C1的中点E，连接BE，D1E，易得四边形BOD1E为平行四边形，则D1O∥BE.因为D1O 平面A1BC1，BE 平面A1BC1，所以D1O∥平面A1BC1，故A正确.对于B，设AB＝2a，连接D1M，易得D1M＝3a，MO＝a，D1O＝a，故MO2＋D1O2＝D1M2，所以D1O⊥OM.又因为D1O⊥AC，OM∩AC＝O，OM，AC 平面MAC，所以D1O⊥平面MAC，故B正确.对于C，因为AC∥A1C1，所以∠BC1A1是异面直线BC1与AC所成的角.又△A1C1B是正三角形，所以异面直线BC1与AC所成的角为60°，故C正确.对于D，易知MB⊥平面ABCD，MO∩MB＝M，故MO与平面ABCD不垂直，故D错误.
10．ABD　【解析】 显然四边形ABCD是等腰梯形，AB＝AD＝BC＝2，CD＝4，其高即为圆台的高h＝＝.对于A，在等腰梯形ABCD中，AC＝＝2，故A正确；对于B，圆台的表面积S＝π×12＋π×22＋π(1＋2)×2＝11π，故B正确；对于C，圆台的体积V＝π(12＋1×2＋22)×＝π，故C错误；对于D，将圆台一半侧面展开如图中扇环ABCD，E为AD的中点，而圆台对应的圆锥半侧面展开为扇形COD且OC＝4，又∠COD＝＝，在Rt△COE中，CE＝＝5，斜边CE上的高为＝>2，即CE与弧AB相离，所以C到AD中点的最短距离为5，故D正确.
(第10题)
(第11题)
11．ACD　【解析】 如图，连接EF，DE.因为∠DAB＝∠CBD＝90°，∠ADB＝∠BDC＝60°，所以∠ABD＝∠BCD＝30°.又∠FBC＝30°，则∠DFB＝30°＋30°＝60°，故∠DBF＝60°，△DBF是等边三角形，故DF＝FC＝BF＝BD，∠ABF＝30°＋60°＝90°，即F是DC的中点，BF⊥AB.又E为PC的中点，DA⊥AB，故PD∥EF，AD∥BF，则EF∥平面PAD，BF∥平面PAD，EF，BF相交且在平面EBF内，故平面EBF∥平面PAD，而BE 平面EBF，所以BE∥平面PAD，故A正确.因为PD⊥平面ABCD，所以PB与平面ABCD所成角为∠PBD.因为PD＝2AD＝2，∠ABD＝30°，所以DB＝2＝PD，所以∠PBD＝45°，故B错误.因为PD∥EF，PD⊥平面ABCD，所以EF⊥平面ABCD，EF＝PD＝1，等边三角形DBF的面积为×22＝，故VD BEF＝VE BDF＝××1＝，故C正确.由PD⊥平面ABCD，知PD⊥AB，而DA⊥AB，PD，DA相交且在平面PAD内，故AB⊥平面PAD.因为AB 平面PAB，故平面PAB⊥平面PAD，故D正确.
12．14
13．24　【解析】 长方体ABCD A1B1C1D1有6个面.以其中一个面为底面，比如底面ABCD.当以底面ABCD为阳马的底面时，从顶点A1，B1，C1，D1中任选一个顶点作为垂直于底面ABCD的侧棱的顶点，都可以构成1个阳马，这样就有4个阳马.因为长方体有6个面，每个面都可以像底面ABCD这样构成4个阳马，所以阳马的总个数为6×4＝24.
14．　【解析】 如图，过E作EO∥AD交AB于O，连接OF.由于AD⊥平面ABC，故EO⊥平面ABC，又OF 平面ABC，所以EO⊥OF，则EF＝.设EO＝x，0≤x≤1.因为AC⊥BC，AC＝BC＝2AD＝2，所以AB＝＝2，则＝，故OB＝2x，当OE长度一定时，此时要使EF最小，则OF最小，故OF⊥AC，OA＝AB－OB＝2－2x，则OF＝OA＝2－2x，EF＝＝，故当x＝时，EF取最小值.
(第14题)
15．【解答】 (1) 因为AB，CD，EF相互平行，CD＝EF，所以四边形CDFE是平行四边形，所以DF∥CE.因为DF 平面BCE，CE 平面BCE，所以DF∥平面BCE.
(2) 因为AD⊥平面ABEF，BE 平面ABEF，所以BE⊥AD.因为BE⊥AF，AF∩AD＝A，AF，AD 平面ADF，所以BE⊥平面ADF.因为BE 平面BCE，所以平面ADF⊥平面BCE.
16．【解答】 若选①，因为2cos Bsin C＝sin A，所以2cos Bsin C＝sin(B＋C)＝sin Bcos C＋cos Bsin C，所以sin(B－C)＝0，所以B＝C，故△ABC为等腰三角形.因为A＝，故△ABC为等边三角形.如图，取EF的中点G，连接A'G，GB，GC，A'B，A'C，则A'G⊥EF.因为平面A'EF⊥平面EFCB，所以A'G⊥平面EFCB.又E，F分别为AB，AC的中点，所以EF∥BC，故异面直线A'B与EF所成的角即为A'B与BC所成的角.设△ABC的边长为2，计算可得A'G＝，GB＝GC＝，A'B＝A'C＝.在△A'BC中，cos∠A'BC＝＝，所以异面直线A'B与EF所成的角的余弦值为.
若选②，因为sin Bsin C＝cos2，所以sin Bsin C＝，所以2sin Bsin C＝1＋cos A，所以2sin Bsin C＝1－cos(B＋C)，所以2sin Bsin C＝1－cos Bcos C＋sin Bsin C，则cos(B－C)＝1，所以B＝C，故△ABC为等腰三角形.以下同选①.
若选③，因为(a2＋b2)sin(A－B)＝(a2－b2)sin C，所以(a2＋b2)sin(A－B)＝(a2－b2)sin(A＋B)，展开得(a2＋b2)(sin Acos B－cos Asin B)＝(a2－b2)(sin Acos B＋cos Asin B)，所以2b2sin Acos B＝2a2cos Asin B.由正弦定理得sin Bcos B＝sin Acos A，所以sin 2B＝sin 2A.因为△ABC为锐角三角形，所以B＝A，又A＝，故△ABC为等边三角形.以下同选①.
(第16题)
(第17题)
17．【解答】 (1) 由AB＝2，AA1＝4，BB1＝2，AA1⊥AB，BB1⊥AB，得AB1＝A1B1＝2，所以A1＋A＝A，故AB1⊥A1B1.由BC＝2，BB1＝2，CC1＝1，BB1⊥BC，CC1⊥BC，得B1C1＝.由AB＝BC＝2，∠ABC＝120°，得AC＝2.由CC1⊥AC，得AC1＝，所以A＋B1＝A，故AB1⊥B1C1.又B1C1∩A1B1＝B1，B1C1，A1B1 平面A1B1C1，所以AB1⊥平面A1B1C1.
(2) 如图，过点C1作C1D⊥A1B1交直线A1B1于点D，连接AD.由AB1⊥平面A1B1C1，得平面A1B1C1⊥平面ABB1，所以AB1⊥C1D.又C1D⊥A1B1，A1B1∩AB1＝B1，所以C1D⊥平面ABB1，所以∠C1AD是AC1与平面ABB1所成的角.由B1C1＝，A1B1＝2，A1C1＝，得cos∠C1A1B1＝，从而sin∠C1A1B1＝，所以C1D＝，故sin∠C1AD＝＝.故直线AC1与平面ABB1所成的角的正弦值是.
18．【解答】 (1) 如图，取CD的中点N，连接MN，FN.因为N，M分别为CD，BC的中点，所以MN∥BD.又BD 平面BDE，且MN 平面BDE，所以MN∥平面BDE.因为EF∥平面ABCD，EF 平面ABFE，平面ABCD∩平面ABFE＝AB，所以EF∥AB.又AB＝CD＝2DN＝2EF＝2，AB∥CD，所以EF∥CD，EF＝DN，所以四边形EFND为平行四边形，所以FN∥ED.又ED 平面BDE，且FN 平面BDE，所以FN∥平面BDE.又FN∩MN＝N，所以平面MFN∥平面BDE.因为FM 平面MFN，所以FM∥平面BDE.
(2) 由(1)得FM∥平面BDE，所以点F到平面BDE的距离等于点M到平面BDE的距离.如图，取AD的中点H，连接EH，BH.因为四边形ABCD为菱形，且∠DAB＝60°，EA＝ED＝AB＝2EF，所以EH⊥AD，BH⊥AD.因为平面ADE⊥平面ABCD，平面ADE∩平面ABCD＝AD，所以EH⊥平面ABCD，所以EH⊥BH.因为EH＝BH＝，所以BE＝，所以S△BDE＝××＝.连接EM，DM，设点F到平面BDE的距离为h.因为S△BDM＝S△BCD＝××4＝，所以由VE BDM＝VM BDE，得××＝×h×，解得h＝.所以点F到平面BDE的距离为.
(第18题)
(第19题)
19．【解答】 (1) 因为PA⊥平面ABCD，AD 平面ABCD，所以PA⊥AD，又AD⊥PB，PB∩PA＝P，PB，PA 平面PAB，所以AD⊥平面PAB，而AB 平面PAB，所以AD⊥AB.因为BC2＋AB2＝AC2，所以BC⊥AB，根据平面知识可知AD∥BC，结合AD⊥平面PAB，可知BC⊥平面PAB.又PB 平面PAB，所以BC⊥PB，故向量在上的投影向量的模即为向量的模长1.
( 或者利用∠PCB是和的夹角：在Rt△PBC中，PB＝，BC=1，PC=2，cos∠PCB＝ ＝，故向量 在 上的投影向量的模为cos∠PCB＝1)
(2) 当AD⊥PB，且AD＝1时，四边形ABCD是长方形，可将四棱锥P ABCD补成一个长、宽、高分别为，1，2的长方体，体对角线长度为＝2，则该长方体的外接球即为四棱锥P ABCD的外接球，所以四棱锥P ABCD有外接球，且该外接球半径为，表面积S＝8π.
(3) 如图所示，过点D作DE⊥AC于E，过点E作EF⊥CP于点F，连接DF.因为PA⊥平面ABCD，PA 平面PAC，所以平面PAC⊥平面ABCD，而平面PAC∩平面ABCD＝AC，DE 平面ABCD，所以DE⊥平面PAC.又CP 平面PAC，所以DE⊥CP，又EF⊥CP，DE∩EF＝E，DE，EF 平面DEF，所以CP⊥平面DEF，又DF 平面DEF，所以CP⊥DF.根据二面角的定义可知，∠DFE即为二面角A CP D的平面角.因为AD⊥DC，AD＝，AC＝2，所以CD＝1，在Rt△ACD中，由等面积法可得，DE＝＝，所以在Rt△DEC中，CE＝，而△EFC为等腰直角三角形，所以EF＝，故tan∠DFE＝＝，即二面角A CP D的正切值为.

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