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第八章
8.1　基本立体图形
立体几何初步
第1课时　棱柱、棱锥、棱台
学习 目标 1．了解空间几何体的概念，掌握棱柱、棱锥、棱台的结构特征，并能识别．
2．能运用棱柱、棱锥、棱台的结构特征描述现实生活中简单物体的结构，能将它们的表面展开成平面图形．
新知初探·基础落实
如图，这些图片中的物体具有怎样的形状？在日常生活中，我们把这些物体的形状叫做什么？如何描述它们的形状？
观察一个物体，将它抽象成空间几何体，并描述它的结构特征，应先从整体入手，想象围成物体的每个面的形状、面与面之间的关系，并注意利用平面图形的知识．
一、 概念生成
一般地，由若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体．如图(1)，围成多面体的各个多边形叫做多面体的面，如面ABE，面BAF；两个面的公共边叫做多面体的棱，如棱AE，棱EC；棱与棱的公共点叫做多面体的顶点，如顶点E，顶点C．情境图中的纸箱、金字塔、茶叶盒、储物箱等物体都具有多面体的形状．
图(1)
一条平面曲线(包括直线)绕它所在平面内的一条定直线旋转所形成的曲面叫做旋转面，封闭的旋转面围成的几何体叫做旋转体．这条定直线叫做旋转体的轴．图(2)中的旋转体就是由平面曲线OAA'O'绕轴OO'旋转形成的．情境图中的纸杯、奶粉罐、篮球和足球、铅锤等物体都具有旋转体的形状．
在空间几何体中说某个面是多边形，一般也包括这个多边形内部的平面部分．
图(2)
请同学阅读课本P97—P100，完成下列填空．
二、 概念表述
1．棱柱
(1) 棱柱的定义
定义：一般地，__________________________________________________________ ______________________，由这些面所围成的多面体叫做棱柱．
底面(底)：两个互相平行的面．
侧面：其余各面．
侧棱：相邻侧面的公共边．
顶点：侧面与底面的公共顶点．
有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且相邻两个四边形的公共边都互相平行
(2) 棱柱的图形
(3) 棱柱的分类及表示
①按棱柱底面边数分类：三棱柱、四棱柱……
②按棱柱侧棱与底面位置关系分类：直棱柱、斜棱柱．
③直棱柱：________________________；
斜棱柱：__________________________；
正棱柱：__________________________；
平行六面体：____________________________．
表示法：用表示底面各顶点的字母来表示，如棱柱ABCDEF A'B'C'D'E'F'．
　侧棱垂直于底面的棱柱
侧棱不垂直于底面的棱柱
底面是正多边形的直棱柱
　　底面是平行四边形的四棱柱
2．棱锥
(1) 棱锥的定义
定义：一般地，______________________________________________________，由这些面所围成的多面体叫做棱锥．
底面：多边形面．
侧面：有公共顶点的各个三角形面．
侧棱：相邻侧面的公共边．
顶点：各侧面的公共顶点．
有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形
(2) 棱锥的图形
(3) 棱锥的分类及表示
按照棱锥的底面多边形的边数，棱锥可分为：_________________________……
特别地，三棱锥又叫四面体．底面是________________________________________ ______________叫做正棱锥．
表示法：用表示顶点和底面各顶点的字母来表示，如棱锥S ABCD．
三棱锥、四棱锥、五棱锥
正多边形，并且顶点与底面中心的连线垂直于底面的棱锥
3．棱台
(1) 棱台的定义
定义：__________________________________________________________________多面体叫做棱台．
上底面：原棱锥的截面．
下底面：原棱锥的底面．
侧面：除上、下底面以外的面．
侧棱：相邻侧面的公共边．
顶点：侧面与上(下)底面的公共顶点．
用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，我们把底面和截面之间的那部分
(2) 棱台的图形
(3) 棱台的分类及表示
由三棱锥、四棱锥、五棱锥……截得的棱台分别叫做三棱台、四棱台、五棱台……




表示法：用表示底面各顶点的字母来表示，如棱台ABCD A'B'C'D'．
三、 概念辨析(判断正误：正确的画“√”，错误的画“×”)
(1) 长方体是平行六面体． (　　)
(2) 正方体是正四棱柱． (　　)
(3) 平行六面体是四棱柱． (　　)
(4) 直四棱柱是长方体． (　　)
(5) 各侧棱相等的棱锥为正棱锥． (　　)
(6) 棱台的上、下底面是相似多边形． (　　)
(7) 各侧面都是全等的等腰三角形的棱锥是正棱锥． (　　)
(8) 底面是正多边形且各侧面是全等三角形的棱锥为正棱锥． (　　)
√
√
√
×
×
√
×
√
典例精讲·能力初成
探究
1
空间几何体的概念与棱柱的结构特征
　　　(多选)下列说法中错误的是 (　　　)
A．有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱
B．有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱
C．各侧面都是正方形的四棱柱一定是正方体
D．九棱柱有9条侧棱，9个侧面，侧面均为平行四边形
1
【解析】
　　　　A，B都不正确，反例如图所示．C不正确，如上、下底面是全等的菱形，各侧面是全等的正方形的四棱柱不是正方体．根据棱柱的定义知D正确．
ABC
棱柱结构特征的辨析方法
(1) 扣定义：判定一个几何体是否为棱柱的关键是棱柱的定义．①看“面”，即观察这个多面体是否有两个互相平行的面，其余各面都是四边形；②看“线”，即观察每相邻两个四边形的公共边是否平行．
(2) 举反例：通过举反例，如与常见几何体或实物模型、图片等不吻合，给予排除．
变式　(多选)下列命题中为假命题的是 (　 　)
A．长方体是四棱柱，直四棱柱是长方体
B．棱柱中至少有两个面的形状完全相同
C．有两个侧面是矩形的四棱柱是直四棱柱
D．正四棱柱是平行六面体
【解析】
　　　　对于A，当直四棱柱的底面不是矩形时就不是长方体，A错误；对于B，棱柱的两个底面全等，则棱柱中至少有两个面的形状完全相同，B正确；对于C，可以是两对称面是矩形的平行六面体，C错误；对于D，正四棱柱是平行六面体，D正确．
AC
探究
2
棱锥、棱台的结构特征
　　　(多选)下列关于棱锥、棱台的说法中正确的有 (　 　)
A．用一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分是棱台
B．两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台
C．有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台
D．棱锥的各个侧面都是三角形
E．四面体的任何一个面都可以作为棱锥的底面
F．棱锥的侧棱平行
2
【解析】
　　　　A中的平面不一定平行于底面，故A错误；B，C可用反例去检验，如图，侧棱延长线不能相交于一点，故B，C错误；由棱锥的定义，知棱锥的各侧面都是三角形，故D正确；四面体就是由四个三角形所围成的几何体，因此以四面体的任何一个面作底面的几何体都是三棱锥，故E正确；棱锥的侧棱相交于一点，故F错误．
【答案】DE
判断棱锥、棱台的两个方法
(1) 举反例法：结合棱锥、棱台的定义，举反例判断某些说法不正确．
(2) 直接法：①对于棱锥，要注意有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体不一定是棱锥，必须强调其余各面是共顶点的三角形；②棱台的上、下底面必须平行，各侧棱延长后必相交于一点，否则不是棱台．
变式　(多选)若空间几何体A的顶点数和空间几何体B的顶点数之和为12，则A和B可能分别是 (　 　)
A．三棱锥和四棱柱 B．四棱锥和三棱柱
C．四棱锥和四棱柱 D．五棱锥和三棱柱
【解析】
　　　　对于A，由三棱锥的顶点数为4，四棱柱的顶点数为8，所以两个几何体的顶点数之和为12，符合题意；对于B，由四棱锥的顶点数为5，三棱柱的顶点数为6，所以两个几何体的顶点数之和为11，不符合题意；对于C，由四棱锥的顶点数为5，四棱柱的顶点数为8，所以两个几何体的顶点数之和为13，不符合题意；对于D，由五棱锥的顶点数为6，三棱柱的顶点数为6，所以两个几何体的顶点数之和为12，符合题意．
AD
探究
3
空间几何体的平面展开图及最短路径
　　　(1) 画出如图所示的几何体的平面展开图(画出其中一种即可)．
3
【解答】
　　　　平面展开图如图所示．
图(1)
图(2)
　　　(2) 在长方体ABCD A1B1C1D1中，AB＝4，BC＝3，BB1＝5，一只蚂蚁从点A出发沿表面爬行到点C1，求蚂蚁爬行的最短路线长．
3
【解答】
　　　　沿长方体的一条棱剪开，使A，B和C1展开在同一平面上，求线段AC1的长即可，有如图所示的三种剪法．
①若将C1D1剪开，使面AB1与面A1C1共面，可求得AC1＝＝＝4．
②若将AD剪开，使面AC与面BC1共面，可求得AC1＝＝＝3．
③若将CC1剪开，使面BC1与面AB1共面，可求得AC1＝＝．
综上可得蚂蚁爬行的最短路线长为．
多面体表面展开图可以有不同的形状，应多实践、观察，并大胆想象立体图形与表面展开图的关系，一定要先观察立体图形的每一个面的形状．
变式　(1) 如图所示是三个几何体的侧面展开图，请说出各是什么几何体．
【解答】
　　　　如图，易知图(1)为五棱柱；图(2)为五棱锥；图(3)为三棱台．
图(1)
图(2)
图(3)
变式　(2) 如图，三棱柱ABC A1B1C1的底面是边长为2的正三角形，侧棱CC1⊥底面ABC，CC1＝3．有一只小虫从点A沿三个侧面爬到点A1，求小虫爬行的最短路程．
【解答】
　　　　沿AA1将三棱柱的侧面展开，则展开后的图形是矩形AA1D1D，如图所示，且AD＝3×2＝6，DD1＝3，所以小虫爬行的最短路程为AD1的长，且AD1＝＝3．
随堂内化·及时评价
1．如图所示的简单组合体的组成是 (　　)
A．棱柱、棱台　
B．棱柱、棱锥
C．棱锥、棱台　
D．棱柱、棱柱
B
2．若一个几何体有6个顶点，则这个几何体不可能是 (　　)
A．四面体　 B．三棱柱
C．五棱锥　 D．三棱台
A
3．下列关于棱柱的说法中正确的是 (　　)
A．棱柱的侧面是平行四边形，但它的底面一定不是平行四边形
B．棱柱的一条侧棱的长叫做棱柱的高
C．棱柱的两个互相平行的平面一定是棱柱的底面
D．棱柱的所有面中，至少有两个面互相平行
【解析】
　　　　由棱柱的定义，知A不正确，例如长方体；只有直棱柱才满足选项B的条件，故B不正确；C不正确，例如正六棱柱的相对侧面互相平行；D显然正确．
D
4．如图，在长方体ABCD A1B1C1D1中，AB＝4，AD＝2，AA1＝3，一小虫从顶点A出发沿长方体的表面爬到顶点C1，则小虫走过的最短路线的长为________．
【解析】
　　　　若小虫爬行路线经过棱BB1，则最短路程为＝3；若小虫爬行路线经过棱A1B1，则最短路程为＝；若小虫爬行路线经过棱BC，则最短路程为＝．综上所述，小虫走过的最短路线的长为．8.1　基本立体图形
第1课时　棱柱、棱锥、棱台
一、 单项选择题
1．四棱柱有(　　)
A．四条侧棱、四个顶点
B．八条侧棱、四个顶点
C．四条侧棱、八个顶点
D．六条侧棱、八个顶点
2．有一个多面体，由五个面围成，只有一个面不是三角形，则这个几何体为(　　)
A．四棱柱 B．四棱锥
C．三棱柱 D．三棱锥
3．在五棱柱中，将不同在任何侧面且不同在任何底面的两顶点的连线称为它的对角线.那么一个五棱柱对角线的条数为(　　)
A．20 B．15
C．12 D．10
4．下列说法正确的是(　　)
A．棱柱中两个互相平行的平面一定是棱柱的底面
B．棱柱的侧面都是全等的平行四边形
C．有两个面平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体叫棱柱
D．用一个平面去截棱锥，棱锥底面与截面之间的部分是棱台
二、 多项选择题
5．下面关于空间几何体的叙述正确的是(　　)
A．四面体的任何一个面都可以作为三棱锥的底面
B．棱柱的侧面都是全等的平行四边形
C．棱台的上、下两个底面全等
D．如果一个棱柱的所有面都是长方形，那么这个棱柱是长方体
6．在正方体ABCD A1B1C1D1的8个顶点中任意取4个不同的顶点，则下列说法正确的是(　　)
A．存在四个点，使得这四个点构成平行四边形
B．存在四个点可以构成正四面体
C．不存在这样的四个点，使得构成的四面体每个面都是直角三角形
D．存在有三个面是直角三角形、一个面是等边三角形的四面体
三、 填空题
7．若棱台上、下底面的对应边之比为1∶2，则上、下底面的面积之比是________．
8．如图，M是棱长为2 cm的正方体ABCD A1B1C1D1的棱CC1的中点，沿正方体表面从点A到点M的最短路程是________cm．
(第8题)
四、 解答题
9．已知长方体ABCD A1B1C1D1如图所示.
(1) 这个长方体是棱柱吗？如果是，说出是几棱柱，为什么？
(2) 用平面BCNM把这个长方体分成两部分，各部分形成的几何体还是棱柱吗？如果是，说出是几棱柱，并用符号表示；如果不是，请说明理由.
(第9题)
10．如图，在边长为2a的正方形ABCD中，E，F分别为AB，BC的中点，沿图中虚线将3个三角形折起，使点A，B，C重合，重合后记为点P.
(1) 折起后形成的几何体是什么几何体？
(2) 这个几何体共有几个面？每个面的三角形有何特点？
(3) 每个面的三角形面积为多少？
(第10题)
11．如图一个封闭的立方体，它6个表面各标出1，2，3，4，5，6这6个数字，现放成下面3个不同的位置，则数字1，2，3对面的数字是(　　)
(第11题)
A．4，5，6 B．6，4，5
C．5，6，4 D．5，4，6
12．某同学制作了一份礼物送给老师，用正方体纸盒包装，并在正方体六个面上分别写了“致敬最美教师”六个字，该正方体纸盒水平放置的六个面分别用“前面、后面、上面、下面、左面、右面”表示.如图是该正方体的展开图.若图中“师”在正方体的左面，那么在正方体右面的字是(　　)
(第12题)
A．最 B．美
C．教 D．敬
13．如图，下列选项能推断这个几何体可能是三棱台的是(　　)
(第13题)
A．A1B1＝2，AB＝3，B1C1＝3，BC＝4
B．A1B1＝1，AB＝2，B1C1＝1.5，BC＝3，A1C1＝2，AC＝3
C．A1B1＝1，AB＝2，B1C1＝1.5，BC＝3，A1C1＝2，AC＝4
D．AB＝A1B1，BC＝B1C1，CA＝C1A1
14．如图，在侧棱长为2的正三棱锥V ABC中，∠AVB＝∠BVC＝∠CVA＝40°，过点A作截面△AEF，求截面△AEF周长的最小值.
(第14题)
第1课时　棱柱、棱锥、棱台
基础打底·熟练掌握
1．C　2．B
3．D　【解析】 如图，在五棱柱ABCDE A1B1C1D1E1中，从顶点A出发的对角线有两条：AC1，AD1.同理，从B，C，D，E点出发的对角线均有两条，共2×5＝10(条).
(第3题)
4．C　【解析】 对于A，正六棱柱正对的两个侧面平行，但它们不是正六棱柱的底面，A错误；对于B，底面邻边不等的长方体的相邻两个侧面不全等，B错误；对于C，由棱柱的定义知，C正确；对于D，当截面与棱锥的底面不平行时，棱锥底面与截面之间的部分不是棱台，D错误.
5．AD　
6．ABD　【解析】 对于A，如图(1)，四边形ABC1D1为平行四边形，所以A正确；对于B，如图(2)，四面体AB1CD1是正四面体，所以B正确；对于C，如图(3)，四面体AB1BD中，BB1⊥BA，BB1⊥BD，AB⊥AD，AD⊥AB1，故每个面都是直角三角形，所以C不正确；对于D，如图(3)，四面体AA1B1D1中，△AA1D1，△AA1B1，△A1B1D1均是直角三角形，△D1AB1为等边三角形，所以D正确.
图(1)
图(2)
图(3)
(第6题)
7．1∶4　
8．　【解析】 由题意，若以BC为轴展开，则A，M两点连成的线段所在的直角三角形的两直角边的长度分别为2 cm，3 cm，故两点之间的距离是 cm；若以BB1为轴展开，则A，M两点连成的线段所在的直角三角形的两直角边的长度分别为1 cm，4 cm，故两点之间的距离是 cm.故沿正方体表面从点A到点M的最短路程是 cm.
9．【解答】 (1) 是棱柱，并且是四棱柱.因为长方体相对的两个面是互相平行的四边形(底面)，其余各面都是矩形(侧面)，且相邻侧面的公共边互相平行，符合棱柱的定义.
(2) 是棱柱，截面BCNM的上方部分是三棱柱BB1M CC1N，下方部分是四棱柱ABMA1 DCND1.
10．【解答】 (1) 如图，折起后的几何体是三棱锥.
(2) 这个几何体共有4个面，其中△DEF为等腰三角形，△PEF为等腰直角三角形，△DPE和△DPF均为直角三角形.
(3) S△PEF＝a2，S△DPF＝S△DPE＝×2a×a＝a2，S△DEF＝－S△PEF－S△DPF－S△DPE＝(2a)2－a2－a2－a2＝a2.
(第10题)
能力进阶·融会贯通
11．D　【解析】 第一个正方体已知1，2，3，第二个正方体已知1，3，4，第三个正方体已知2，3，5且不同的面上写的数字各不相同，则可知1对面标的是5，2对面标的是4，3对面标的是6.
12．A　【解析】 把正方体的表面展开图再折成正方体，如图，“师”在正方体的左面，那么在正方体右面的字是“最”.
(第12题)
13．C　【解析】 A选项，≠，所以几何体不是三棱台，A错误；B选项，≠，所以几何体不是三棱台，B错误；C选项，＝＝，所以几何体是三棱台，C正确；D选项，该几何体可能是三棱柱，D错误.
14．【解答】 沿着侧棱VA把正三棱锥V ABC展开在一个平面内，如图，则AA1的长即为截面△AEF周长的最小值，且∠AVA1＝∠AVB＋∠BVC＋∠CVA1＝120°.取AA1的中点为D，连接VD，则VD⊥AA1，且VA＝2，∠AVD＝60°，在△VAD中，AD＝VAsin 60°＝3，所以AA1＝2AD＝6，故截面△AEF周长的最小值为6.
(第14题)8.1　基本立体图形
第1课时　棱柱、棱锥、棱台
学习 目标 1．了解空间几何体的概念，掌握棱柱、棱锥、棱台的结构特征，并能识别． 2．能运用棱柱、棱锥、棱台的结构特征描述现实生活中简单物体的结构，能将它们的表面展开成平面图形．
新知初探基础落实
如图，这些图片中的物体具有怎样的形状？在日常生活中，我们把这些物体的形状叫做什么？如何描述它们的形状？
观察一个物体，将它抽象成空间几何体，并描述它的结构特征，应先从整体入手，想象围成物体的每个面的形状、面与面之间的关系，并注意利用平面图形的知识．
一、 概念生成
一般地，由若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体．如图(1)，围成多面体的各个多边形叫做多面体的面，如面ABE，面BAF；两个面的公共边叫做多面体的棱，如棱AE，棱EC；棱与棱的公共点叫做多面体的顶点，如顶点E，顶点C．情境图中的纸箱、金字塔、茶叶盒、储物箱等物体都具有多面体的形状．
图(1)
图(2)
一条平面曲线(包括直线)绕它所在平面内的一条定直线旋转所形成的曲面叫做旋转面，封闭的旋转面围成的几何体叫做旋转体．这条定直线叫做旋转体的轴．图(2)中的旋转体就是由平面曲线OAA'O'绕轴OO'旋转形成的．情境图中的纸杯、奶粉罐、篮球和足球、铅锤等物体都具有旋转体的形状．
在空间几何体中说某个面是多边形，一般也包括这个多边形内部的平面部分．
请同学阅读课本P97—P100，完成下列填空．
二、 概念表述
1．棱柱
(1) 棱柱的定义
定义：一般地，__有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且相邻两个四边形的公共边都互相平行__，由这些面所围成的多面体叫做棱柱．
底面(底)：两个互相平行的面．
侧面：其余各面．
侧棱：相邻侧面的公共边．
顶点：侧面与底面的公共顶点．
(2) 棱柱的图形
(3) 棱柱的分类及表示
①按棱柱底面边数分类：三棱柱、四棱柱……
②按棱柱侧棱与底面位置关系分类：直棱柱、斜棱柱．
③直棱柱：__侧棱垂直于底面的棱柱__；
斜棱柱：__侧棱不垂直于底面的棱柱__；
正棱柱：__底面是正多边形的直棱柱__；
平行六面体：__底面是平行四边形的四棱柱__．
表示法：用表示底面各顶点的字母来表示，如棱柱ABCDEF A'B'C'D'E'F'．
2．棱锥
(1) 棱锥的定义
定义：一般地，__有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形__，由这些面所围成的多面体叫做棱锥．
底面：多边形面．
侧面：有公共顶点的各个三角形面．
侧棱：相邻侧面的公共边．
顶点：各侧面的公共顶点．
(2) 棱锥的图形
(3) 棱锥的分类及表示
按照棱锥的底面多边形的边数，棱锥可分为：__三棱锥、四棱锥、五棱锥__……
特别地，三棱锥又叫四面体．底面是__正多边形，并且顶点与底面中心的连线垂直于底面的棱锥__叫做正棱锥．
表示法：用表示顶点和底面各顶点的字母来表示，如棱锥S ABCD．
3．棱台
(1) 棱台的定义
定义：__用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，我们把底面和截面之间的那部分__多面体叫做棱台．
上底面：原棱锥的截面．
下底面：原棱锥的底面．
侧面：除上、下底面以外的面．
侧棱：相邻侧面的公共边．
顶点：侧面与上(下)底面的公共顶点．
(2) 棱台的图形
(3) 棱台的分类及表示
由三棱锥、四棱锥、五棱锥……截得的棱台分别叫做三棱台、四棱台、五棱台……
表示法：用表示底面各顶点的字母来表示，如棱台ABCD A'B'C'D'．
三、 概念辨析(判断正误：正确的画“√”，错误的画“×”)
(1) 长方体是平行六面体．(　√　)
(2) 正方体是正四棱柱．(　√　)
(3) 平行六面体是四棱柱．(　√　)
(4) 直四棱柱是长方体．(　×　)
(5) 各侧棱相等的棱锥为正棱锥．(　×　)
(6) 棱台的上、下底面是相似多边形．(　√　)
(7) 各侧面都是全等的等腰三角形的棱锥是正棱锥．(　×　)
(8) 底面是正多边形且各侧面是全等三角形的棱锥为正棱锥．(　√　)
典例精讲能力初成
探究1　空间几何体的概念与棱柱的结构特征
例1　(多选)下列说法中错误的是(　ABC　)
A．有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱
B．有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱
C．各侧面都是正方形的四棱柱一定是正方体
D．九棱柱有9条侧棱，9个侧面，侧面均为平行四边形
【解析】A，B都不正确，反例如图所示．C不正确，如上、下底面是全等的菱形，各侧面是全等的正方形的四棱柱不是正方体．根据棱柱的定义知D正确．
棱柱结构特征的辨析方法
(1) 扣定义：判定一个几何体是否为棱柱的关键是棱柱的定义．①看“面”，即观察这个多面体是否有两个互相平行的面，其余各面都是四边形；②看“线”，即观察每相邻两个四边形的公共边是否平行．
(2) 举反例：通过举反例，如与常见几何体或实物模型、图片等不吻合，给予排除．
变式　(多选)下列命题中为假命题的是(　AC　)
A．长方体是四棱柱，直四棱柱是长方体
B．棱柱中至少有两个面的形状完全相同
C．有两个侧面是矩形的四棱柱是直四棱柱
D．正四棱柱是平行六面体
【解析】对于A，当直四棱柱的底面不是矩形时就不是长方体，A错误；对于B，棱柱的两个底面全等，则棱柱中至少有两个面的形状完全相同，B正确；对于C，可以是两对称面是矩形的平行六面体，C错误；对于D，正四棱柱是平行六面体，D正确．
探究2　棱锥、棱台的结构特征
例2　(多选)下列关于棱锥、棱台的说法中正确的有(　DE　)
A．用一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分是棱台
B．两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台
C．有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台
D．棱锥的各个侧面都是三角形
E．四面体的任何一个面都可以作为棱锥的底面
F．棱锥的侧棱平行
【解析】A中的平面不一定平行于底面，故A错误；B，C可用反例去检验，如图，侧棱延长线不能相交于一点，故B，C错误；由棱锥的定义，知棱锥的各侧面都是三角形，故D正确；四面体就是由四个三角形所围成的几何体，因此以四面体的任何一个面作底面的几何体都是三棱锥，故E正确；棱锥的侧棱相交于一点，故F错误．
判断棱锥、棱台的两个方法
(1) 举反例法：结合棱锥、棱台的定义，举反例判断某些说法不正确．
(2) 直接法：①对于棱锥，要注意有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体不一定是棱锥，必须强调其余各面是共顶点的三角形；②棱台的上、下底面必须平行，各侧棱延长后必相交于一点，否则不是棱台．
变式　(多选)若空间几何体A的顶点数和空间几何体B的顶点数之和为12，则A和B可能分别是(　AD　)
A．三棱锥和四棱柱 B．四棱锥和三棱柱
C．四棱锥和四棱柱 D．五棱锥和三棱柱
【解析】对于A，由三棱锥的顶点数为4，四棱柱的顶点数为8，所以两个几何体的顶点数之和为12，符合题意；对于B，由四棱锥的顶点数为5，三棱柱的顶点数为6，所以两个几何体的顶点数之和为11，不符合题意；对于C，由四棱锥的顶点数为5，四棱柱的顶点数为8，所以两个几何体的顶点数之和为13，不符合题意；对于D，由五棱锥的顶点数为6，三棱柱的顶点数为6，所以两个几何体的顶点数之和为12，符合题意．
探究3　空间几何体的平面展开图及最短路径
例3　(1) 画出如图所示的几何体的平面展开图(画出其中一种即可)．
图(1)
图(2)
【解答】平面展开图如图所示．
(2) 在长方体ABCD A1B1C1D1中，AB＝4，BC＝3，BB1＝5，一只蚂蚁从点A出发沿表面爬行到点C1，求蚂蚁爬行的最短路线长．
【解答】沿长方体的一条棱剪开，使A，B和C1展开在同一平面上，求线段AC1的长即可，有如图所示的三种剪法．
①若将C1D1剪开，使面AB1与面A1C1共面，可求得AC1＝＝＝4．
②若将AD剪开，使面AC与面BC1共面，可求得AC1＝＝＝3．
③若将CC1剪开，使面BC1与面AB1共面，可求得AC1＝＝．
综上可得蚂蚁爬行的最短路线长为．
多面体表面展开图可以有不同的形状，应多实践、观察，并大胆想象立体图形与表面展开图的关系，一定要先观察立体图形的每一个面的形状．
变式　(1) 如图所示是三个几何体的侧面展开图，请说出各是什么几何体．
图(1)
图(2)
图(3)
【解答】如图，易知图(1)为五棱柱；图(2)为五棱锥；图(3)为三棱台．
(2) 如图，三棱柱ABC A1B1C1的底面是边长为2的正三角形，侧棱CC1⊥底面ABC，CC1＝3．有一只小虫从点A沿三个侧面爬到点A1，求小虫爬行的最短路程．
【解答】沿AA1将三棱柱的侧面展开，则展开后的图形是矩形AA1D1D，如图所示，且AD＝3×2＝6，DD1＝3，所以小虫爬行的最短路程为AD1的长，且AD1＝＝3．
随堂内化及时评价
1．如图所示的简单组合体的组成是(　B　)
A．棱柱、棱台　 B．棱柱、棱锥
C．棱锥、棱台　 D．棱柱、棱柱
2．若一个几何体有6个顶点，则这个几何体不可能是(　A　)
A．四面体　 B．三棱柱
C．五棱锥　 D．三棱台
3．下列关于棱柱的说法中正确的是(　D　)
A．棱柱的侧面是平行四边形，但它的底面一定不是平行四边形
B．棱柱的一条侧棱的长叫做棱柱的高
C．棱柱的两个互相平行的平面一定是棱柱的底面
D．棱柱的所有面中，至少有两个面互相平行
【解析】由棱柱的定义，知A不正确，例如长方体；只有直棱柱才满足选项B的条件，故B不正确；C不正确，例如正六棱柱的相对侧面互相平行；D显然正确．
4．如图，在长方体ABCD A1B1C1D1中，AB＝4，AD＝2，AA1＝3，一小虫从顶点A出发沿长方体的表面爬到顶点C1，则小虫走过的最短路线的长为____．
【解析】若小虫爬行路线经过棱BB1，则最短路程为＝3；若小虫爬行路线经过棱A1B1，则最短路程为＝；若小虫爬行路线经过棱BC，则最短路程为＝．综上所述，小虫走过的最短路线的长为．

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