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第八章
8.3　简单几何体的表面积与体积
立体几何初步
第1课时　棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积
学习 目标 1．通过对棱柱、棱锥、棱台的研究，掌握它们的表面积与体积的公式及求法．
2．掌握与多面体相关的简单几何体的表面积与体积的求法，并能解决一些有关的实际问题．
新知初探·基础落实
问题：我们知道，空间几何体的表面积是围成多面体的各个面的面积之和，长方体、四棱锥、四棱台的侧面展开图各是什么样子的？
长方体、四棱锥、四棱台的侧面展开图分别如图(1)、图(2)、图(3)所示．
图(1) 　 　 　 　　　　　图(2) 　 　 　　　　 　 　图(3)
一、 概念生成
棱台的体积：V＝(S'＋＋S)h(S'，S分别为上、下底面面积，h为台体的高)．
推导过程：
如图，PO'＝h1，OO'＝h，＝，
V台＝VP ABCD VP A'B'C'D'
＝S(h＋h1) S'h1
＝(S＋＋S')h．
请同学阅读课本P114—P115，完成下列填空．
二、 概念表述
1．几种特殊的多面体
(1) 直棱柱：侧棱和底面________的棱柱．
(2) 正棱柱：底面为____________的直棱柱．
(3) 正棱锥：如果一个棱锥的底面是正多边形，并且顶点在底面的射影是______ ______，那么称这样的棱锥为正棱锥．正棱锥的侧棱长都相等，侧面均为全等的等腰三角形．
(4) 正棱台：正棱锥被____________________所截，截面和底面之间的部分叫做正棱台．
垂直
正多边形
底面
中心
平行于底面的平面
2．几种特殊的多面体的表面积
多面体 图形 表面积公式
直棱柱 S直棱柱侧＝______(c为直棱柱的底面周长，h为直棱柱的高)
S表＝S侧＋2S底
ch
多面体 图形 表面积公式
正棱锥
正棱台
3．柱体、锥体、台体的体积公式
几何体 体积 说明
棱柱 V棱柱＝Sh S为棱柱的__________，h为棱柱的______
棱锥 S为棱锥的__________，h为棱锥的______
棱台 S'，S分别为棱台的__________________，h为棱台的______
底面积
高
底面积
高
上、下底面面积
高
4．柱体、锥体、台体的体积公式之间的关系
V柱体＝Sh　　　　V台体＝h(S＋＋S') V锥体＝Sh
←——
三、 概念辨析(判断正误：正确的画“√”，错误的画“×”)
(1) 棱台的侧面展开图是由若干个等腰梯形组成的． (　　)
(2) 沿不同的棱将多面体展开，得到的展开图相同． (　　)
(3) 沿不同的棱将多面体展开，表面积相等． (　　)
(4) 棱柱、棱锥、棱台的表面积就是围成它们的各个面的面积的和． (　　)
×
×
√
√
典例精讲·能力初成
探究
1
求棱柱、棱锥、棱台的表面积
　　　(课本P114例1)如图，四面体P ABC的各棱长均为a，求它的表面积．
1
【解答】
　　　　因为△PBC是正三角形，其边长为a，所以S△PBC＝a2．因此，四面体P ABC的表面积SP ABC＝4×a2＝a2．
(1) 多面体的表面积转化为各面面积之和．
(2) 解决有关棱台的问题时，常用两种解题思路：一是把基本量转化到梯形中去解决；二是把棱台还原成棱锥，利用棱锥的有关知识来解决．
变式　已知正三棱台(由正三棱锥截得的三棱台)的上、下底面边长分别为3 cm和6 cm，高为 cm，求此正三棱台的表面积．
【解答】
　　　　如图，在正三棱台ABC A1B1C1中，O1，O为正三棱台上、下底面的中心，D，D1分别为BC，B1C1的中点，则OO1为正三棱台的高，DD1为侧面梯形BCC1B1的高，四边形ODD1O1为直
角梯形，所以DD1＝＝
＝．所以此正三棱台的表面积S表＝S侧＋S底＝3××(3＋6)×＋×32＋×62＝(cm2)．
探究
2
求棱柱、棱锥、棱台的体积
视角1　柱体的体积
　　　　　如图，一个直四棱柱形容器中盛有水，底面A1ADD1为梯形，AD＝3A1D1，侧棱长AB＝8．当侧面ABCD水平放置时，水面与棱AA1的交点恰为AA1的中点．当底面A1ADD1水平放置时，水面高为 (　　)
A．3　 B．4
C．5　 D．6
2－1
【解析】
　　　　取底面梯形A1ADD1两腰的中点为E，F，如图所示．由AD＝3A1D1可得EF＝2A1D1，所以四边形A1D1FE与四边形ADFE的面积之比为＝，即可知容器中水的体积占整个容器体积的＝．当底面A1ADD1水平放置时，可知水面高为直四棱柱侧棱长的，即可得水面高为AB＝5．
【答案】C
视角2　锥体的体积
　　　　　如图，在长方体ABCD A'B'C'D'中截下一个三棱锥C A'DD'，求三棱锥C A'DD'的体积与剩余部分的体积之比．
【解答】
　　　　方法一：设AB＝a，AD＝b，DD'＝c，则长方体ABCD A'B'C'D'的体积V＝abc．又S△A'DD'＝bc，且三棱锥C A'DD'的高为CD＝a，所以VC A'DD'＝S△A'D'D·CD＝abc，故剩余部分的几何体体积V剩＝abc abc＝abc，从而VC A'DD'∶V剩＝abc∶abc＝1∶5．
2－2
方法二：已知长方体可以看成侧棱垂直于底面的四棱柱ADD'A' BCC'B'，设其底面ADD'A'的面积为S，高为h，则它的体积V＝Sh．而三棱锥C A'DD'的底面面积为S，高为h，因此三棱锥C A'DD'的体积VC A'DD'＝Sh＝Sh，剩余部分的体积是Sh Sh＝Sh．所以三棱锥C A'DD'的体积与剩余部分的体积之比为Sh∶Sh＝1∶5．
视角3　台体的体积
　　　　　已知一个三棱台的上、下底面分别是边长为20和30的正三角形，侧面是全等的等腰梯形，且侧面面积等于上、下底面面积之和，求棱台的高和体积．
【解答】
　　　　如图，在三棱台ABC A'B'C'中，O'，O分别为上、下底面的中心，D'，D分别是B'C'，BC的中点，连接OO'，A'D'，AD，DD'，则点O，O'分别在AD，A'D'上，DD'是等腰梯形BCC'B'的高，记为h0，所以S侧＝3××(20＋30)h0＝75h0．
2－3
上、下底面面积之和为S上＋S下＝×(202＋302)＝325．由S侧＝S上＋S下，得75h0＝325，所以h0＝．又O'D'＝×20＝，OD＝×30＝5，记棱台的高为h，则h＝O'O＝ ＝＝4，故棱
台的体积V＝(S上＋S下＋)＝＝1 900．
(1) 常见的求几何体体积的方法
①公式法：直接代入公式求解．②等积法：如四面体的任何一个面都可以作为底面，只需选用底面积和高都易求的形式即可．③分割法：将几何体分割成易求解的几部分，分别求体积．④补体法：将几何体补成易求解的几何体，如棱锥补成棱柱，三棱柱补成四棱柱．
(2) 求几何体体积时需注意的问题
柱、锥、台的体积的计算，一般要找出相应的底面和高，要充分利用截面、轴截面，求出所需要的量，最后代入公式计算．
探究
3
求组合体的表面积和体积
　　　(课本P115例2)如图，一个漏斗的上面部分是一个长方体，下面部分是一个四棱锥，两部分的高都是0.5 m，公共面ABCD是边长为1 m的正方形，那么这个漏斗的容积是多少立方米(精确到0.01 m3)？(计算漏斗的容积时不考虑漏斗的厚度)
3
【解答】
　　　　由题意知，V长方体ABCD A'B'C'D'＝1×1×0.5＝0.5(m3)，V棱锥P ABCD＝×1×1×0.5＝(m3)，所以这个漏斗的容积V＝＋＝≈0.67(m3)．
组合体的体积与表面积的求解策略
(1) 求表面积时应弄清它的组成，其表面有哪些底面和侧面，各个面应怎样求其面积，然后把这些面的面积相加或相减；求体积时也要先弄清组成，求出各简单几何体的体积，然后再相加或相减．
(2) 在求组合体的表面积、体积时要注意“表面(和外界直接接触的面)”与“体积(几何体所占空间的大小)”的定义，以确保不重复、不遗漏．
变式　已知一个造桥用的钢筋混凝土预制件的尺寸如图所示(单位：m)，浇制一个这样的预制件需要多少立方米混凝土？(钢筋体积略去不计，精确到0.01 m3)
【解答】
　　　　将预制件看成由一个长方体挖去一个底面为等腰梯形的四棱柱后剩下的几何体．S底＝0.6×1.1 ×(0.5＋0.3)×0.3＝0.54(m2)，V＝S底·h＝0.54×24.8≈13.39 (m3)．故浇制一个这样的预制件需要约13.39 m3混凝土．
随堂内化·及时评价
1．已知棱柱的底面积为1，高为2，则其体积为 (　　)
A．9　 B．7
C．5　 D．2
【解析】
　　　　根据棱柱的体积公式可得V＝Sh＝1×2＝2．
D
2．若正三棱锥的底面边长等于a，三条侧棱两两垂直，则它的侧面积为 (　　)
A．a2　 B．a2
C．a2　 D．3a2
【解析】
　　　　因为正三棱锥的底面边长等于a，三条侧棱两两垂直，所以三棱锥的侧棱长为a，则它的侧面积为3×a×a＝a2．
A
3．如图，已知高为3的三棱柱ABC A1B1C1的底面是边长为1的正三角形，则三棱锥B AB1C的体积为 (　　)
A．　 B．
C．　 D．
【解析】
　　　　＝＝S△ABC·h＝×3＝．
D
4．(新高考Ⅰ卷)在正四棱台ABCD A1B1C1D1中，AB＝2，A1B1＝1，AA1＝，则
该棱台的体积为_______．
【解析】
　　　　设正四棱台的高为h，由题知h＝＝，故V＝×(4＋1＋2)×＝．
5．(课本P116练习1)若正六棱台的上、下底面边长分别是2 cm和6 cm，侧棱长是5 cm，则它的表面积为_____________________．
【解析】
　　　　如图，正六棱台ABCDEF A'B'C'D'E'F'中，A'B'＝2 cm，AB＝6 cm，AA'＝5 cm，所以侧面梯形ABB'A'的斜高为＝(cm)，所以S梯形ABB'A'＝＝4(cm2)．又S上底＝6××22＝6(cm2)， S下底＝6××62＝54(cm2)，所以正六棱台
的表面积S＝S上底＋S下底＋6S梯形ABB'A'＝6＋54＋6×4＝(60＋24) (cm2)．
(60＋24)cm28.3　简单几何体的表面积与体积
第1课时　棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积
一、 单项选择题
1．若正三棱锥的所有棱长均为a，则该三棱锥的表面积为(　　)
A．3a2 B．2a2
C．a2 D．4a2
2．若长方体过一个顶点的三条棱长之比是1∶2∶3，体对角线长为2，则这个长方体的体积是(　　)
A．6 B．12
C．24 D．48
3．若一个棱柱和一个棱锥的高相等，底面积之比为2∶3，则棱柱与棱锥的体积之比为(　　)
A． B．2
C． D．3
4．六氟化硫，化学式为SF6，在常压下是一种无色、无臭、无毒、不燃的稳定气体，有良好的绝缘性，在电器工业方面具有广泛用途.六氟化硫分子结构为正八面体结构(正八面体是每个面都是正三角形的八面体)，如图所示，硫原子位于正八面体的中心，6个氟原子分别位于正八面体的6个顶点.若相邻两个氟原子间的距离为2a，则六氟化硫分子中6个氟原子构成的正八面体的表面积是(不计氟原子的大小)(　　)
(第4题)
A．8a2 B．6a2
C．12a2 D．2a2
二、 多项选择题
5．已知正四棱台的上、下底面边长分别为2，4，侧棱长为2，则(　　)
A．正四棱台的高为2
B．正四棱台的斜高为
C．正四棱台的表面积为20＋12
D．正四棱台的体积为
6．如图，直三棱柱ABC A1B1C1中，AA1＝2，AB＝BC＝1，∠ABC＝90°，侧面AA1C1C的中心为O，E是侧棱BB1上的一个动点，下列判断中正确的是(　　)
(第6题)
A．直三棱柱的侧面积是4＋2
B．直三棱柱的体积是
C．三棱锥E AA1O的体积为定值
D．AE＋EC1的最小值为2
三、 填空题
7．如图，P ABCD是正四棱锥，ABCD A1B1C1D1是正方体，其中AB＝2，PA＝，则该几何体的表面积为________．
(第7题)
8．(新高考Ⅱ卷)底面边长为4的正四棱锥被平行于其底面的平面所截，截去一个底面边长为2，高为3的正四棱锥，所得棱台的体积为________．
四、 解答题
9．如图，正六棱锥被过棱锥高PO的中点O'且平行于底面的平面所截，得到正六棱台OO'和较小的棱锥PO'.
(1) 求大棱锥、小棱锥、棱台的侧面积之比；
(2) 若大棱锥PO的侧棱长为12 cm，小棱锥的底面边长为4 cm，求截得的棱台的侧面积和表面积.
(第9题)
10．如图，在多面体ABCDEF中，已知平面ABCD是边长为4的正方形，EF∥AB，EF＝2，EF上任意一点到底面ABCD的距离均为3，求该多面体的体积.　
(第10题)
11．在《九章算术·商功》中将正四面形棱台体(棱台的上、下底面均为正方形)称为方亭.在方亭ABCD A1B1C1D1中，AB＝2A1B1＝4，四个侧面均为全等的等腰梯形且面积之和为12，则该方亭的体积为(　　)
A． B．
C． D．
12．埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为(　　)
(第12题)
A． B．
C． D．
13．有两个相同的直三棱柱，高为2，底面三角形的三边长分别为3，4，5.用它们拼成一个三棱柱或四棱柱，在所有可能的情形中，拼成的几何体表面积的最小值是________．
第1课时　棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积
基础打底·熟练掌握
1．C　2．D　3．B　
4．A　【解析】 相邻两个氟原子间的距离为2a，故正八面体的每个面都是边长为2a的等边三角形，故正八面体的表面积为8××2a×2a×sin 60°＝8a2.
5．BCD　
6．ACD　【解析】 由题知直三棱柱ABC A1B1C1的底面是等腰直角三角形，侧面是矩形，所以其侧面积为1×2×2＋×2＝4＋2，故A正确；直三棱柱的体积为×1×1×2＝1，故B不正确；三棱锥E AA1O的体积等于三棱锥O AA1E的体积，在三棱锥O AA1E中，底面△AA1E的面积为S＝×2×1＝1，点O到平面AA1B1B的距离h＝BC＝，故三棱锥O AA1E的体积V＝××1＝，故C正确；把侧面AA1B1B和侧面CC1B1B展开在一个平面上，当E为BB1的中点时，AE＋EC1取得最小值为AC1＝＝2，故D正确.
7．4＋20　【解析】 由题意得正四棱锥的斜高h'＝＝，故该几何体表面积为S＝×4＋5×2×2＝4＋20.
(第8题)
8．28　【解析】 如图，＝＝＝，所以OO1＝3，V＝×(4＋16＋)×3＝28.
9．【解答】 (1) 设小棱锥的底面边长为a，斜高为h，则大棱锥的底面边长为2a，斜高为2h，所以大棱锥的侧面积为6××2a×2h＝12ah，小棱锥的侧面积为6××a×h＝3ah，棱台的侧面积为12ah－3ah＝9ah，所以大棱锥、小棱锥、棱台的侧面积之比为12ah∶3ah∶9ah＝4∶1∶3.
(2) 因为小棱锥的底面边长为4 cm，所以大棱锥的底面边长为8 cm.因为大棱锥的侧棱长为12 cm，所以大棱锥的斜高为＝8(cm)，所以大棱锥的侧面积为6××8×8＝192(cm2)，所以棱台的侧面积为192×＝144(cm2)，棱台的上、下底面的面积和为6××42＋6××82＝24＋96＝120(cm2)，所以棱台的表面积为(120＋144)cm2.
10．【解答】 如图，连接EB，EC，AC.由题知VE ABCD＝×42×3＝16.因为AB＝2EF，EF∥AB，所以S△ABE＝2S△EFB，所以VF EBC＝VC EFB＝VC ABE＝VE ABC＝×VE ABCD＝4.所以该多面体的体积V＝VE ABCD＋VF EBC＝16＋4＝20.
(第10题)
能力进阶·融会贯通
11．B　【解析】 如图，过A1作A1E⊥AB，垂足为E.由四个侧面的面积之和为12知，侧面ABB1A1的面积为3，所以(AB＋A1B1)·A1E＝3，则A1E＝.由题意得AE＝(AB－A1B1)＝1，在Rt△AA1E中，AA1＝＝.连接AC，A1C1，过A1作A1F⊥AC，垂足为F，易知四边形ACC1A1为等腰梯形且AC＝4，A1C1＝2，则AF＝，所以A1F＝＝1，所以该方亭的体积V＝×(22＋42＋)×1＝.
(第11题)
12．C　【解析】 如图，设CD＝a，PE＝b，则PO＝＝，由题意知PO2＝ab，即b2－＝ab，化简得4－2·－1＝0，解得＝(负值舍去).
(第12题)
13．52　【解析】 记两直三棱柱为直三棱柱ABC DEF和直三棱柱A1B1C1 D1E1F1，如图(1)所示.
图(1)
当拼成一个三棱柱时，表面积有三种情况：
①上、下底面对接，如图(2)，其表面积为S1＝2××3×4＋(3＋4＋5)×4＝60；
图(2)
图(3)
图(4)
②边长为3的边合在一起，如图(3)，表面积为S2＝2×2××3×4＋2×(5＋4)×2＝60；
③边长为4的边合在一起，如图(4)，表面积为S3＝2×2××3×4＋2×(5＋3)×2＝56.
当拼成一个四棱柱时，有四种情况，如图(5)，(6)，(7)，(8)：
图(5)
图(6)
图(7)
图(8)
(第13题)
图(5)的表面积S4＝4××3×4＋(5＋4＋5＋4)×2＝60，
图(6)的表面积S5＝4××3×4＋(5＋3＋3＋5)×2＝56，
图(7)的表面积S6＝4××3×4＋(4＋3＋4＋3)×2＝52，
图(8)的表面积S7＝4××3×4＋(4＋3＋3＋4)×2＝52.
综上所述，拼成的几何体表面积的最小值是52.8.3　简单几何体的表面积与体积
第1课时　棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积
学习 目标 1．通过对棱柱、棱锥、棱台的研究，掌握它们的表面积与体积的公式及求法． 2．掌握与多面体相关的简单几何体的表面积与体积的求法，并能解决一些有关的实际问题．
新知初探基础落实
问题：我们知道，空间几何体的表面积是围成多面体的各个面的面积之和，长方体、四棱锥、四棱台的侧面展开图各是什么样子的？
长方体、四棱锥、四棱台的侧面展开图分别如图(1)、图(2)、图(3)所示．
　　　　
图(1) 　 　 　 　　图(2) 　 　 　 　 　图(3)
一、 概念生成
棱台的体积：V＝(S'＋＋S)h(S'，S分别为上、下底面面积，h为台体的高)．
推导过程：
如图，PO'＝h1，OO'＝h，＝，
V台＝VP ABCD VP A'B'C'D'
＝S(h＋h1) S'h1
＝(S＋＋S')h．
请同学阅读课本P114—P115，完成下列填空．
二、 概念表述
1．几种特殊的多面体
(1) 直棱柱：侧棱和底面__垂直__的棱柱．
(2) 正棱柱：底面为__正多边形__的直棱柱．
(3) 正棱锥：如果一个棱锥的底面是正多边形，并且顶点在底面的射影是__底面中心__，那么称这样的棱锥为正棱锥．正棱锥的侧棱长都相等，侧面均为全等的等腰三角形．
(4) 正棱台：正棱锥被__平行于底面的平面__所截，截面和底面之间的部分叫做正棱台．
2．几种特殊的多面体的表面积
多面体 图形 表面积公式
直棱柱 S直棱柱侧＝__ch__(c为直棱柱的底面周长，h为直棱柱的高) S表＝S侧＋2S底
正棱锥 S正棱锥侧＝ch'(c为正棱锥的底面周长，h'为斜高，即侧面等腰三角形底边上的高) S表＝S侧＋S底
正棱台 S正棱台侧＝(c＋c')h'(c'，c分别为正棱台的上、下底面的周长，h'为斜高) S表＝S侧＋S上底＋S下底
3．柱体、锥体、台体的体积公式
几何体 体积 说明
棱柱 V棱柱＝Sh S为棱柱的__底面积__，h为棱柱的__高__
棱锥 V棱锥＝Sh S为棱锥的__底面积__，h为棱锥的__高__
棱台 V棱台＝(S'＋＋S)h S'，S分别为棱台的__上、下底面面积__，h为棱台的__高__
4．柱体、锥体、台体的体积公式之间的关系
V柱体＝ShV台体＝h(S＋＋S') V锥体＝Sh
三、 概念辨析(判断正误：正确的画“√”，错误的画“×”)
(1) 棱台的侧面展开图是由若干个等腰梯形组成的．(　×　)
(2) 沿不同的棱将多面体展开，得到的展开图相同．(　×　)
(3) 沿不同的棱将多面体展开，表面积相等．(　√　)
(4) 棱柱、棱锥、棱台的表面积就是围成它们的各个面的面积的和．(　√　)
典例精讲能力初成
探究1　求棱柱、棱锥、棱台的表面积
例1　(课本P114例1)如图，四面体P ABC的各棱长均为a，求它的表面积．
【解答】因为△PBC是正三角形，其边长为a，所以S△PBC＝a2．因此，四面体P ABC的表面积SP ABC＝4×a2＝a2．
(1) 多面体的表面积转化为各面面积之和．
(2) 解决有关棱台的问题时，常用两种解题思路：一是把基本量转化到梯形中去解决；二是把棱台还原成棱锥，利用棱锥的有关知识来解决．
变式　已知正三棱台(由正三棱锥截得的三棱台)的上、下底面边长分别为3 cm和6 cm，高为 cm，求此正三棱台的表面积．
【解答】如图，在正三棱台ABC A1B1C1中，O1，O为正三棱台上、下底面的中心，D，D1分别为BC，B1C1的中点，则OO1为正三棱台的高，DD1为侧面梯形BCC1B1的高，四边形ODD1O1为直角梯形，所以DD1＝＝＝．所以此正三棱台的表面积S表＝S侧＋S底＝3××(3＋6)×＋×32＋×62＝(cm2)．
探究2　求棱柱、棱锥、棱台的体积
视角1　柱体的体积
例2 1　如图，一个直四棱柱形容器中盛有水，底面A1ADD1为梯形，AD＝3A1D1，侧棱长AB＝8．当侧面ABCD水平放置时，水面与棱AA1的交点恰为AA1的中点．当底面A1ADD1水平放置时，水面高为(　C　)
A．3　 B．4
C．5　 D．6
【解析】取底面梯形A1ADD1两腰的中点为E，F，如图所示．由AD＝3A1D1可得EF＝2A1D1，所以四边形A1D1FE与四边形ADFE的面积之比为＝，即可知容器中水的体积占整个容器体积的＝．当底面A1ADD1水平放置时，可知水面高为直四棱柱侧棱长的，即可得水面高为AB＝5．
视角2　锥体的体积
例2 2　如图，在长方体ABCD A'B'C'D'中截下一个三棱锥C A'DD'，求三棱锥C A'DD'的体积与剩余部分的体积之比．
【解答】方法一：设AB＝a，AD＝b，DD'＝c，则长方体ABCD A'B'C'D'的体积V＝abc．又S△A'DD'＝bc，且三棱锥C A'DD'的高为CD＝a，所以VC A'DD'＝S△A'D'D·CD＝abc，故剩余部分的几何体体积V剩＝abc abc＝abc，从而VC A'DD'∶V剩＝abc∶abc＝1∶5．
方法二：已知长方体可以看成侧棱垂直于底面的四棱柱ADD'A' BCC'B'，设其底面ADD'A'的面积为S，高为h，则它的体积V＝Sh．而三棱锥C A'DD'的底面面积为S，高为h，因此三棱锥C A'DD'的体积VC A'DD'＝Sh＝Sh，剩余部分的体积是Sh Sh＝Sh．所以三棱锥C A'DD'的体积与剩余部分的体积之比为Sh∶Sh＝1∶5．
视角3　台体的体积
例2 3　已知一个三棱台的上、下底面分别是边长为20和30的正三角形，侧面是全等的等腰梯形，且侧面面积等于上、下底面面积之和，求棱台的高和体积．
【解答】如图，在三棱台ABC A'B'C'中，O'，O分别为上、下底面的中心，D'，D分别是B'C'，BC的中点，连接OO'，A'D'，AD，DD'，则点O，O'分别在AD，A'D'上，DD'是等腰梯形BCC'B'的高，记为h0，所以S侧＝3××(20＋30)h0＝75h0．上、下底面面积之和为S上＋S下＝×(202＋302)＝325．由S侧＝S上＋S下，得75h0＝325，所以h0＝．又O'D'＝×20＝，OD＝×30＝5，记棱台的高为h，则h＝O'O＝＝＝4，故棱台的体积V＝(S上＋S下＋)＝＝1 900．
(1) 常见的求几何体体积的方法
①公式法：直接代入公式求解．②等积法：如四面体的任何一个面都可以作为底面，只需选用底面积和高都易求的形式即可．③分割法：将几何体分割成易求解的几部分，分别求体积．④补体法：将几何体补成易求解的几何体，如棱锥补成棱柱，三棱柱补成四棱柱．
(2) 求几何体体积时需注意的问题
柱、锥、台的体积的计算，一般要找出相应的底面和高，要充分利用截面、轴截面，求出所需要的量，最后代入公式计算．
探究3　求组合体的表面积和体积
例3　(课本P115例2)如图，一个漏斗的上面部分是一个长方体，下面部分是一个四棱锥，两部分的高都是0.5 m，公共面ABCD是边长为1 m的正方形，那么这个漏斗的容积是多少立方米(精确到0.01 m3)？(计算漏斗的容积时不考虑漏斗的厚度)
【解答】由题意知，V长方体ABCD A'B'C'D'＝1×1×0.5＝0.5(m3)，V棱锥P ABCD＝×1×1×0.5＝(m3)，所以这个漏斗的容积V＝＋＝≈0.67(m3)．
组合体的体积与表面积的求解策略
(1) 求表面积时应弄清它的组成，其表面有哪些底面和侧面，各个面应怎样求其面积，然后把这些面的面积相加或相减；求体积时也要先弄清组成，求出各简单几何体的体积，然后再相加或相减．
(2) 在求组合体的表面积、体积时要注意“表面(和外界直接接触的面)”与“体积(几何体所占空间的大小)”的定义，以确保不重复、不遗漏．
变式　已知一个造桥用的钢筋混凝土预制件的尺寸如图所示(单位：m)，浇制一个这样的预制件需要多少立方米混凝土？(钢筋体积略去不计，精确到0.01 m3)
【解答】将预制件看成由一个长方体挖去一个底面为等腰梯形的四棱柱后剩下的几何体．S底＝0.6×1.1 ×(0.5＋0.3)×0.3＝0.54(m2)，V＝S底·h＝0.54×24.8≈13.39(m3)．故浇制一个这样的预制件需要约13.39 m3混凝土．
随堂内化及时评价
1．已知棱柱的底面积为1，高为2，则其体积为(　D　)
A．9　 B．7
C．5　 D．2
【解析】根据棱柱的体积公式可得V＝Sh＝1×2＝2．
2．若正三棱锥的底面边长等于a，三条侧棱两两垂直，则它的侧面积为(　A　)
A．a2　 B．a2
C．a2　 D．3a2
【解析】因为正三棱锥的底面边长等于a，三条侧棱两两垂直，所以三棱锥的侧棱长为a，则它的侧面积为3×a×a＝a2．
3．如图，已知高为3的三棱柱ABC A1B1C1的底面是边长为1的正三角形，则三棱锥B AB1C的体积为(　D　)
A．　 B．
C．　 D．
【解析】＝＝S△ABC·h＝×3＝．
4．(新高考Ⅰ卷)在正四棱台ABCD A1B1C1D1中，AB＝2，A1B1＝1，AA1＝，则该棱台的体积为____．
【解析】设正四棱台的高为h，由题知h＝＝，故V＝×(4＋1＋2)×＝．
5．(课本P116练习1)若正六棱台的上、下底面边长分别是2 cm和6 cm，侧棱长是5 cm，则它的表面积为__(60＋24)cm2__．
【解析】如图，正六棱台ABCDEF A'B'C'D'E'F'中，A'B'＝2 cm，AB＝6 cm，AA'＝5 cm，所以侧面梯形ABB'A'的斜高为＝(cm)，所以S梯形ABB'A'＝＝4(cm2)．又S上底＝6××22＝6(cm2)，S下底＝6××62＝54(cm2)，所以正六棱台的表面积S＝S上底＋S下底＋6S梯形ABB'A'＝6＋54＋6×4＝(60＋24)(cm2)．

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