资源简介

(共34张PPT)
第八章
8.3　简单几何体的表面积与体积
立体几何初步
第2课时　圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积
学习 目标 1．了解圆柱、圆锥、圆台的表面积和体积的计算公式．
2．理解并掌握侧面展开图与几何体的表面积之间的关系，并能利用计算公式求出几何体的表面积与体积；会求球的表面积与体积，并能解决一些有关的实际问题．
新知初探·基础落实
在前面我们已经学习了棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积，那么对于圆柱、圆锥、圆台等旋转体，它们的表面积和体积又该如何计算呢？
一、 概念生成
1．如何根据圆柱的侧面展开图，求圆柱的表面积？
圆柱的侧面展开图是矩形，长是圆柱底面圆的周长，宽是圆柱的高(母线)．
S圆柱侧＝2πrl，S圆柱表＝2πr(r＋l)，其中r为圆柱的底面半径，l为母线长．
2．如何根据圆锥的侧面展开图，求圆锥的表面积？
圆锥的侧面展开图是一个扇形，半径是圆锥的母线长，弧长等于圆锥底面圆的周长，侧面展开图扇形的面积为×2πrl＝πrl．
S圆锥侧＝πrl，S圆锥表＝πr(r＋l)，其中r为圆锥底面半径，l为母线长．
3．如何根据圆台的侧面展开图，求圆台的表面积？
圆台的侧面展开图是一个扇环，内弧长等于圆台上底面圆的周长，外弧长等于圆台下底面圆的周长．如图，由＝，解得x＝l，S扇环＝S大扇形 S小扇形＝(x＋l)× 2πR x×2πr＝π［(R r)x＋Rl］＝π(r＋R)l．S圆台侧＝π(r＋R)l，S圆台表＝π(r2＋rl＋Rl＋R2)．
4．通过学习圆柱、圆锥的体积公式，你能由圆台的定义，利用圆锥的体积公式推导出圆台的体积公式吗？
提示：V圆台＝πh(r'2＋r'r＋r2)．
在小学，我们学习了圆的面积公式，你还记得是如何求得的吗？类比这种方法，你能由球的表面积公式推导出球的体积公式吗？
类比利用圆周长求圆面积的方法，我们可以利用球的表面积求球的体积．如图，把球O的表面分成n个小网格，连接球心O和每个小网格的顶点，整个球体就被分割成n个“小锥体”．
当n越大，每个小网格越小时，每个“小锥体”的底面就越平，“小锥体”就越近似于棱锥，其高越近似于球半径R．设O ABCD是其中一个“小锥体”，它的体积是VO ABCD≈SABCDR．
由于球的体积就是这n个“小锥体”的体积之和，而这n个“小锥体”的底面积之和就是球的表面积，因此，球的体积V球＝S球R＝×4πR2·R＝πR3．
由此，我们得到球的体积公式V球＝πR3．
请同学阅读课本P116—P119，完成下列填空．
二、 概念表述
1．圆柱、圆锥、圆台的表面积
图形 表面积公式
旋 转 体 圆 柱 底面积：S底＝________
侧面积：S侧＝_________
表面积：S＝____________
　2πr2
　2πrl
2πr(r＋l)
图形 表面积公式
旋 转 体 圆 锥 底面积：S底＝_________
侧面积：S侧＝__________
表面积：S＝____________
圆 台 上底面面积：S上底＝______
下底面面积：S下底＝______
侧面积：S侧＝___________
表面积：S＝____________________
　πr2
　πrl
πr(r＋l)
πr'2
πr2
π(r'l＋rl)
π(r'2＋r2＋r'l＋rl)
2．圆柱、圆锥、圆台的体积
几何体 体积 说明
圆柱 V圆柱＝Sh＝________ 圆柱底面圆的半径为r，面积为S，高为h
圆锥 圆锥底面圆的半径为r，面积为S，高为h
圆台 圆台上底面圆的半径为r'，面积为S'，下底面圆的半径为r，面积为S，高为h
πr2h
3．圆柱、圆锥、圆台的体积公式的关系
4．球的表面积和体积公式
(1) 球的表面积公式S＝________(R为球的半径)．
(2) 球的体积公式V＝πR3．
4πR2
三、 概念辨析(判断正误：正确的画“√”，错误的画“×”)
(1) 圆锥的侧面展开图为扇形，其中扇形的弧长为圆锥底面圆的周长． (　　)
(2) 若圆柱的底面圆的直径与圆柱的高相等，则圆柱的侧面展开图是正方形． (　　)
(3) 圆锥、圆台的侧面展开图中的所有弧线都与相应底面的周长有关． (　　)
(4) 求圆台的表面积和体积时，常用“还台为锥”的思想方法． (　　)
√
×
√
√
典例精讲·能力初成
探究
1
求圆柱、圆锥、圆台的表面积
　　　(1) 已知圆锥的高和底面半径相等，它的一个内接圆柱的高和圆柱底面半径也相等，求圆柱和圆锥的表面积之比．
1
【解答】
　　　　如图，设圆柱和圆锥的底面半径分别为r，R，则有＝，即＝，所以R＝2r，圆锥的母线长l＝R，所以＝＝＝＝＝ 1．
　　　(2) 已知圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为3，圆台的表面积为574π，则圆台较小的底面半径为_____．
1
【解析】
　　　　设圆台较小的底面半径为r，那么较大的底面半径为3r，由已知得π(r＋3r)×3＋πr2＋9πr2＝574π，解得r＝7．
7
求旋转体表面积的要点
(1) 因为轴截面联系着母线、底面半径、高等元素，因此处理好轴截面中的边角关系是解题的关键；
(2) 对于圆台问题，要重视“还台为锥”的思想方法；
(3) 在计算圆柱、圆锥、圆台的侧面积或表面积时，应根据已知条件先计算出它们的母线和底面圆半径的长，而求解这些未知量常常需要列方程．
探究
2
求圆柱、圆锥、圆台的体积
　　　已知圆台的高为3，如图，在轴截面中母线AA1与底面直径AB的夹角为60°，轴截面中的一条对角线垂直于腰，则圆台的体积为_______．
2
【解析】
　　　　设上、下底面的半径分别为r，R，母线长为l．如图，作A1D⊥AB于点D，则A1D＝3，∠A1AB＝60°，又∠BA1A＝90°，所以∠BA1D＝60°，所以AD＝＝，所以R r＝，BD＝A1D·tan 60°＝3，所以R＋r＝
3，所以R＝2，r＝．又h＝3，所以V圆台＝πh(R2＋Rr＋r2)＝π×3×［(2)2＋2＋()2］＝21π．
21π
求圆柱、圆锥、圆台的体积的关键是求其底面面积和高，其中高一般利用几何体的轴截面求得．
变式　若甲、乙两个圆柱的体积相等，底面积分别为S甲和S乙，侧面积分别为S1和S2．若＝2，则＝ (　　)
A．　 B． C．2　 D．
【解析】
　　　　设甲圆柱底面圆半径为r1，高为h1，乙圆柱底面圆半径为r2，高为h2，则＝＝＝2，所以r1＝r2．又πh1＝πh2，则h2＝2h1，所以＝＝＝．
B
探究
3
球的表面积、体积、截面及切、接问题
视角1　球的表面积、体积、截面问题
　　　　　(课本P118例3)如图，某种浮标由两个半球和一个圆柱黏合而成，半球的直径是0.3 m，圆柱高0.6 m．如果在浮标表面涂一层防水漆，每平方米需要0.5 kg涂料，那么给1 000个这样的浮标涂防水漆需要多少涂料？(π取3.14)
【解答】
　　　　一个浮标的表面积是2π×0.15×0.6＋4π×0.152＝0.847 8(m2)，所以给1 000个这样的浮标涂防水漆约需涂料0.847 8×0.5×1 000＝423.9(kg)．
3－1
把握住球的体积公式V球＝πR3是计算球的体积的关键，半径与球心是确定球的条件．把握住公式，球的体积计算的相关题目也就迎刃而解了．
变式　已知过球面上A，B，C 三点的截面和球心的距离为球半径的一半，且 AB＝BC＝CA＝2，求球的表面积和体积．
【解答】
　　　　设截面圆心为O'，球心为 O，连接 O'A，OA，OO'，如图，设球的半径为R．因为O'A＝×2＝，在Rt△O'OA 中，OA2＝O'A2＋O'O2，所以R2＝＋R2，解得 R＝，所以 S球＝4πR2＝，V球＝π·＝．
　　　　　(1) 在半球内有一个内接正方体，则这个半球的体积与正方体的体积之比为__________．
【解析】
　　　　作正方体对角面的截面如图所示，设半球的半径为R，正方体的棱长为a，则CC'＝a，OC＝．在Rt△C'CO中，由勾股定理得CC'2＋OC2＝OC'2，即a2＋＝R2，所以R＝a．从
3－2
而V半球＝πR3＝＝πa3，V正方体＝a3，因此V半球∶V正方体＝πa3∶a3＝π∶2．
π∶2
　　　　　(2) 如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝1．在三角形内挖去半圆(圆心O在边AC上，半圆与BC，AB分别相切于点C，M，与AC交于N)，求图中阴影部分绕直线AC旋转一周所得的几何体的表面积和体积．
3－2
【解答】
　　　　几何体是图中阴影部分绕直线AC旋转一周所得旋转体，是一个圆锥内挖去一个球后剩余部分，球是圆锥的内接球．在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝1，所以圆锥的底面半径r＝1，高h＝，l＝AB＝2．又BC＝BM＝1，所以AM＝1．设球的半径为R，则tan 30°＝＝，R＝，所以S圆锥侧＝πrl＝2π，S球＝4πR2＝π，几何体的表面积为S圆锥底＋S圆锥侧＋S球＝π＋2π＋π＝π；圆锥的体积为π×12×＝，球的体积为π×＝，几何体的体积为＝．
(1) 正方体的内切球
球与正方体的六个面都相切，称球为正方体的内切球，此时球的半径r＝，过在一个平面上的四个切点作截面如图(1)．
(2) 长方体的外接球
长方体的八个顶点都在球面上，称球为长方体的外接球，根据球的定义可知，长方体的体对角线是球的直径．若长方体过同一顶点的三条棱长分别为a，b，c，此时球的半径r＝，过球心作长方体的对角线如图(2)．
图(1)
图(2)
(3) 正方体的外接球
正方体的棱长a与外接球的半径R的关系为2R＝a．
(4) 正四面体的外接球
正四面体的棱长a与外接球半径R的关系为2R＝a．
(5) 有关球的截面问题
常画出过球心的截面圆，将问题转化为平面中圆的有关问题解决．
随堂内化·及时评价
1．已知圆台上、下底面面积分别是π，4π，侧面积是6π，那么这个圆台的体积是 (　　)
A．π　 B．2
C．π　 D．π
【解析】
　　　　由题知S1＝π，S2＝4π，所以r＝1，R＝2，S侧＝6π＝π(r＋R)l，所以l＝2，所以h＝，所以V＝π(1＋4＋2)×＝π．
D
2．已知长方体的一个顶点处的三条棱长分别是，，且这个长方体的八个顶点都在同一个球面上，那么这个球的表面积是 (　　)
A．6π　 B．12π
C．18π　 D．36π
【解析】
　　　　由题意可知，该长方体的体对角线即为球的直径，其长度为2，从而球的半径为，球的表面积为12π．
B
3．(新高考Ⅰ卷)已知圆柱和圆锥的底面半径相等，侧面积相等，且它们的高均为，则圆锥的体积为 (　　)
A．2π　　 B．3π　
C．6π　　 D．9π
【解析】
　　　　设圆柱的底面半径为r，则圆锥的母线长为，而它们的侧面积相等，所以2πr×＝πr×，即2＝，解得r＝3，故圆锥的体积为π×9×＝3π．
B
4．(多选)若某圆锥的底面半径是3，母线长为4，则下列关于此圆锥的说法正确的是 (　 　)
A．圆锥的体积是9π B．圆锥侧面展开图的圆心角是
C．圆锥的轴截面的面积是8 D．圆锥的侧面积是12π
【解析】
　　　　圆锥的底面半径r＝3，母线长l＝4，则该圆锥的高h＝＝．对于A，圆锥的体积V＝πr2h＝3π，A错误；对于B，圆锥侧面展开图扇形弧长为2πr＝6π，该扇形圆心角为＝，B正确；对于C，该圆锥的轴截面是底边长为6，高为的等腰三角形，面积为3，C错误；对于D，该圆锥的侧面积S＝πrl＝12π，D正确．
BD第2课时　圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积
一、 单项选择题
1．已知某圆锥的轴截面是等腰直角三角形，则该圆锥的侧面积与表面积之比是(　　)
A．2－ B．－1
C．＋1 D．2＋
2．某种药物呈胶囊形状，该胶囊中间部分为圆柱，左、右两端均为半径为1的半球.已知该胶囊的表面积为10π，则它的体积为(　　)
(第2题)
A．π B．π
C．π D．π
3．已知圆柱的高等于1，侧面积等于4π，则这个圆柱的体积为(　　)
A．π B．2π
C．3π D．4π
4．早在一万多年前的新石器时代，生活在金丽衢地区的古人就开始制作各种石器，今天在浦江上山遗址、水康湖西遗址、义乌桥头遗址等还可以见到各种当时的石器，现在农村还在使用的石磨就是从古代的石器演变而来的.如果一个石磨近似看作两个圆柱体拼合而成，每个圆柱体的底面直径是80 cm，每个圆柱体的高为30 cm，那么这两个圆柱体的表面积之和为(　　)
(第4题)
A．4 800π cm2 B．5 600π cm2
C．6 400π cm2 D．11 200π cm2
二、 多项选择题
5．若圆台的上、下底面半径分别是10和20，它的侧面展开图扇环的圆心角为180°，则圆台的(　　)
A．母线长是20 B．表面积是1 100π
C．高是10 D．体积是π
6．如图，一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径2R相等，则下列结论正确的是(　　)
(第6题)
A．圆柱的侧面积为2πR2
B．圆柱的侧面积与球面面积相等
C．圆锥的侧面积为2πR2
D．圆柱、圆锥、球的体积之比为3∶1∶2
三、 填空题
7．某圆台形花坛的上底面圆的半径是2 m，下底面圆的半径是4 m，高是3 m，则该花坛的侧面积是________m2．
8．(全国甲卷理)已知甲、乙两个圆台上、下底面的半径均为r1和r2，母线长分别为2(r2－r1)和3(r2－r1)，则两个圆台的体积之比＝________．
四、 解答题
9．已知底面半径为 cm，母线长为 cm的圆柱，挖去一个以圆柱上底面圆心为顶点、下底面为底面的圆锥，求所得几何体的表面积.
10．如图，已知一个圆锥的底面半径为2，高为2，且在这个圆锥中有一个高为x的圆柱.
(1) 当x＝时，求圆柱的体积；
(2) 当x为何值时，此圆柱的侧面积最大？并求出此最大值.
(第10题)
11．如图，将一个圆柱4等份切割，再将其重新组合成一个与圆柱等底等高的几何体，若新几何体的表面积比原圆柱的表面积增加了20，则原圆柱的侧面积是(　　)
(第11题)
A．10π B．20π
C．100π D．200π
12．唐朝的狩猎景象浮雕银杯如图(1)所示，其浮雕临摹了国画、漆绘和墓室壁画，体现了古人的智慧与工艺.它的盛酒部分可以近似地看作是半球与圆柱的组合体(假设内壁表面光滑，忽略杯壁厚度)，如图(2)所示.已知球的半径为R，酒杯内壁表面积为πR2，设酒杯上部分(圆柱)的体积为V1，下部分(半球)的体积为V2，则＝(　　)
　　
(第12题)
A．2 B．
C． D．1
13．在直三棱柱ABC A'B'C'中，∠ABC＝，AB＝，BC＝AA'＝1，则直三棱柱ABC A'B'C'外接球的体积为________，在三棱锥B' A'BC中，底面A'BC上的高为________．
14．(新高考Ⅱ卷)一个底面半径为4 cm，高为9 cm的封闭圆柱形容器(容器壁厚度忽略不计)内有两个半径相等的铁球，则铁球半径的最大值为________cm．
第2课时　圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积
基础打底·熟练掌握
1．A　2．C　3．D　
4．D　【解析】 由题意可得，一个圆柱体的底面积为S底＝2π×＝3 200π(cm2)，S侧＝π×80×30＝2 400π(cm2)，所以一个圆柱体的表面积为3 200π＋2 400π＝5 600π(cm2)，所以两个圆柱体的表面积之和为5 600π×2＝11 200π(cm2).
5．ABD　【解析】 如图，设圆台的上底面周长为C.因为扇环的圆心角为180°，所以C＝π·SA，又C＝10×2π，所以SA＝20.同理SB＝40，故圆台的母线长AB＝SB－SA＝20，高h＝＝10，体积V＝π×10×(102＋10×20＋202)＝π，表面积S＝π(10＋20)×20＋100π＋400π＝1 100π.
(第5题)
(第7题)
6．BD　
7．6π　【解析】 由题意可得该花坛为圆台，它的母线长l＝＝(m)，则该花坛的侧面积S＝π(r1＋r2)l＝π×(2＋4)×＝6π(m2).
8．　【解析】 由题可得两个圆台的高分别为h甲＝＝(r2－r1)，h乙＝＝2(r2－r1)，所以＝＝＝＝.
　(第9题)
9．【解答】 如图，所得几何体的表面积S＝S底＋S圆柱侧＋S圆锥侧＝π×()2＋2π××＋π××3＝(3＋6＋3)π(cm2).
10．【解答】 (1) 设圆柱的半径为r，则＝，所以r＝2－x，0(2) 由(1)知r＝2－x，0能力进阶·融会贯通
11．B　【解析】 设圆柱的底面圆半径为r，高为h，则原圆柱的表面积为2πr2＋2πrh，新几何体的表面积为2πr2＋2πrh＋2rh，故2rh＝20，原圆柱的侧面积为2πrh＝20π.
12．C　【解析】 设酒杯上部分高为h，则酒杯内壁表面积S＝×4πR2＋2πRh＝πR2，解得h＝R，所以V1＝πR2h＝πR3，V2＝×πR3＝πR3，所以＝.
13．　　【解析】 如图所示，将三棱柱ABC A'B'C'补为长方体ABCD A'B'C'D'，易知三棱柱ABC A'B'C'的外接球即长方体ABCD A'B'C'D'的外接球，其体对角线即为球的直径，易得A'C＝＝，所以球的体积为×＝.易知△A'BC为直角三角形，其面积为×BC×A'B＝1，设底面A'BC上的高为h，则VB' A'BC＝VC BB'A'，即h×1＝×1××1×，解得h＝.
(第13题)
(第14题)
14．2.5　【解析】 圆柱的底面半径为4 cm，设铁球的半径为r cm，且r<4，由圆柱与球的性质知AB2＝(2r)2＝(8－2r)2＋(9－2r)2，即4r2－68r＋145＝(2r－5)(2r－29)＝0，因为r<4，所以r＝2.5.第2课时　圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积
学习 目标 1．了解圆柱、圆锥、圆台的表面积和体积的计算公式． 2．理解并掌握侧面展开图与几何体的表面积之间的关系，并能利用计算公式求出几何体的表面积与体积；会求球的表面积与体积，并能解决一些有关的实际问题．
新知初探基础落实
在前面我们已经学习了棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积，那么对于圆柱、圆锥、圆台等旋转体，它们的表面积和体积又该如何计算呢？
一、 概念生成
1．如何根据圆柱的侧面展开图，求圆柱的表面积？
圆柱的侧面展开图是矩形，长是圆柱底面圆的周长，宽是圆柱的高(母线)．
S圆柱侧＝2πrl，S圆柱表＝2πr(r＋l)，其中r为圆柱的底面半径，l为母线长．
2．如何根据圆锥的侧面展开图，求圆锥的表面积？
圆锥的侧面展开图是一个扇形，半径是圆锥的母线长，弧长等于圆锥底面圆的周长，侧面展开图扇形的面积为×2πrl＝πrl．
S圆锥侧＝πrl，S圆锥表＝πr(r＋l)，其中r为圆锥底面半径，l为母线长．
3．如何根据圆台的侧面展开图，求圆台的表面积？
圆台的侧面展开图是一个扇环，内弧长等于圆台上底面圆的周长，外弧长等于圆台下底面圆的周长．如图，由＝，解得x＝l，S扇环＝S大扇形 S小扇形＝(x＋l)×2πR x×2πr＝π［(R r)x＋Rl］＝π(r＋R)l．S圆台侧＝π(r＋R)l，S圆台表＝π(r2＋rl＋Rl＋R2)．
4．通过学习圆柱、圆锥的体积公式，你能由圆台的定义，利用圆锥的体积公式推导出圆台的体积公式吗？
提示：V圆台＝πh(r'2＋r'r＋r2)．
在小学，我们学习了圆的面积公式，你还记得是如何求得的吗？类比这种方法，你能由球的表面积公式推导出球的体积公式吗？
类比利用圆周长求圆面积的方法，我们可以利用球的表面积求球的体积．如图，把球O的表面分成n个小网格，连接球心O和每个小网格的顶点，整个球体就被分割成n个“小锥体”．
当n越大，每个小网格越小时，每个“小锥体”的底面就越平，“小锥体”就越近似于棱锥，其高越近似于球半径R．设O ABCD是其中一个“小锥体”，它的体积是VO ABCD≈SABCDR．
由于球的体积就是这n个“小锥体”的体积之和，而这n个“小锥体”的底面积之和就是球的表面积，因此，球的体积V球＝S球R＝×4πR2·R＝πR3．
由此，我们得到球的体积公式V球＝πR3．
请同学阅读课本P116—P119，完成下列填空．
二、 概念表述
1．圆柱、圆锥、圆台的表面积
图形 表面积公式
旋 转 体 圆 柱 底面积：S底＝__2πr2__ 侧面积：S侧＝__2πrl__ 表面积：S＝__2πr(r＋l)__
圆 锥 底面积：S底＝__πr2__ 侧面积：S侧＝__πrl__ 表面积：S＝__πr(r＋l)__
圆 台 上底面面积：S上底＝__πr'2__ 下底面面积：S下底＝__πr2__ 侧面积：S侧＝__π(r'l＋rl)__ 表面积：S＝__π(r'2＋r2＋r'l＋rl)__
2．圆柱、圆锥、圆台的体积
几何体 体积 说明
圆柱 V圆柱＝Sh＝__πr2h__ 圆柱底面圆的半径为r，面积为S，高为h
圆锥 V圆锥＝Sh＝πr2h 圆锥底面圆的半径为r，面积为S，高为h
圆台 V圆台 ＝(S＋＋S')h ＝π(r2＋rr'＋r'2)h 圆台上底面圆的半径为r'，面积为S'，下底面圆的半径为r，面积为S，高为h
3．圆柱、圆锥、圆台的体积公式的关系
4．球的表面积和体积公式
(1) 球的表面积公式S＝__4πR2__(R为球的半径)．
(2) 球的体积公式V＝πR3．
三、 概念辨析(判断正误：正确的画“√”，错误的画“×”)
(1) 圆锥的侧面展开图为扇形，其中扇形的弧长为圆锥底面圆的周长．(　√　)
(2) 若圆柱的底面圆的直径与圆柱的高相等，则圆柱的侧面展开图是正方形．(　×　)
(3) 圆锥、圆台的侧面展开图中的所有弧线都与相应底面的周长有关．(　√　)
(4) 求圆台的表面积和体积时，常用“还台为锥”的思想方法．(　√　)
典例精讲能力初成
探究1　求圆柱、圆锥、圆台的表面积
例1　(1) 已知圆锥的高和底面半径相等，它的一个内接圆柱的高和圆柱底面半径也相等，求圆柱和圆锥的表面积之比．
【解答】如图，设圆柱和圆锥的底面半径分别为r，R，则有＝，即＝，所以R＝2r，圆锥的母线长l＝R，所以＝＝＝＝＝ 1．
(2) 已知圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为3，圆台的表面积为574π，则圆台较小的底面半径为__7__．
【解析】设圆台较小的底面半径为r，那么较大的底面半径为3r，由已知得π(r＋3r)×3＋πr2＋9πr2＝574π，解得r＝7．
求旋转体表面积的要点
(1) 因为轴截面联系着母线、底面半径、高等元素，因此处理好轴截面中的边角关系是解题的关键；
(2) 对于圆台问题，要重视“还台为锥”的思想方法；
(3) 在计算圆柱、圆锥、圆台的侧面积或表面积时，应根据已知条件先计算出它们的母线和底面圆半径的长，而求解这些未知量常常需要列方程．
探究2　求圆柱、圆锥、圆台的体积
例2　已知圆台的高为3，如图，在轴截面中母线AA1与底面直径AB的夹角为60°，轴截面中的一条对角线垂直于腰，则圆台的体积为__21π__．
【解析】设上、下底面的半径分别为r，R，母线长为l．如图，作A1D⊥AB于点D，则A1D＝3，∠A1AB＝60°，又∠BA1A＝90°，所以∠BA1D＝60°，所以AD＝＝，所以R r＝，BD＝A1D·tan 60°＝3，所以R＋r＝3，所以R＝2，r＝．又h＝3，所以V圆台＝πh(R2＋Rr＋r2)＝π×3×［(2)2＋2＋()2］＝21π．
求圆柱、圆锥、圆台的体积的关键是求其底面面积和高，其中高一般利用几何体的轴截面求得．
变式　若甲、乙两个圆柱的体积相等，底面积分别为S甲和S乙，侧面积分别为S1和S2．若＝2，则＝(　B　)
A．　 B．
C．2　 D．
【解析】设甲圆柱底面圆半径为r1，高为h1，乙圆柱底面圆半径为r2，高为h2，则＝＝＝2，所以r1＝r2．又πh1＝πh2，则h2＝2h1，所以＝＝＝．
探究3　球的表面积、体积、截面及切、接问题
视角1　球的表面积、体积、截面问题
例3 1　(课本P118例3)如图，某种浮标由两个半球和一个圆柱黏合而成，半球的直径是0.3 m，圆柱高0.6 m．如果在浮标表面涂一层防水漆，每平方米需要0.5 kg涂料，那么给1 000个这样的浮标涂防水漆需要多少涂料？(π取3.14)
【解答】一个浮标的表面积是2π×0.15×0.6＋4π×0.152＝0.847 8(m2)，所以给1 000个这样的浮标涂防水漆约需涂料0.847 8×0.5×1 000＝423.9(kg)．
把握住球的体积公式V球＝πR3是计算球的体积的关键，半径与球心是确定球的条件．把握住公式，球的体积计算的相关题目也就迎刃而解了．
变式　已知过球面上 A，B，C 三点的截面和球心的距离为球半径的一半，且 AB＝BC＝CA＝2，求球的表面积和体积．
【解答】设截面圆心为O'，球心为 O，连接 O'A，OA，OO'，如图，设球的半径为R．因为O'A＝×2＝，在Rt△O'OA 中，OA2＝O'A2＋O'O2，所以R2＝＋R2，解得 R＝，所以 S球＝4πR2＝，V球＝π·＝．
视角2　球的切、接问题
例3 2　(1) 在半球内有一个内接正方体，则这个半球的体积与正方体的体积之比为__π∶2__．
【解析】作正方体对角面的截面如图所示，设半球的半径为R，正方体的棱长为a，则CC'＝a，OC＝．在Rt△C'CO中，由勾股定理得CC'2＋OC2＝OC'2，即a2＋＝R2，所以R＝a．从而V半球＝πR3＝π＝πa3，V正方体＝a3，因此V半球∶V正方体＝πa3∶a3＝π∶2．
(2) 如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝1．在三角形内挖去半圆(圆心O在边AC上，半圆与BC，AB分别相切于点C，M，与AC交于N)，求图中阴影部分绕直线AC旋转一周所得的几何体的表面积和体积．
【解答】几何体是图中阴影部分绕直线AC旋转一周所得旋转体，是一个圆锥内挖去一个球后剩余部分，球是圆锥的内接球．在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝1，所以圆锥的底面半径r＝1，高h＝，l＝AB＝2．又BC＝BM＝1，所以AM＝1．设球的半径为R，则tan 30°＝＝，R＝，所以S圆锥侧＝πrl＝2π，S球＝4πR2＝π，几何体的表面积为S圆锥底＋S圆锥侧＋S球＝π＋2π＋π＝π；圆锥的体积为π×12×＝，球的体积为π×＝，几何体的体积为＝．
(1) 正方体的内切球
球与正方体的六个面都相切，称球为正方体的内切球，此时球的半径r＝，过在一个平面上的四个切点作截面如图(1)．
图(1)
(2) 长方体的外接球
长方体的八个顶点都在球面上，称球为长方体的外接球，根据球的定义可知，长方体的体对角线是球的直径．若长方体过同一顶点的三条棱长分别为a，b，c，此时球的半径r＝，过球心作长方体的对角线如图(2)．
图(2)
(3) 正方体的外接球
正方体的棱长a与外接球的半径R的关系为2R＝a．
(4) 正四面体的外接球
正四面体的棱长a与外接球半径R的关系为2R＝a．
(5) 有关球的截面问题
常画出过球心的截面圆，将问题转化为平面中圆的有关问题解决．
随堂内化及时评价
1．已知圆台上、下底面面积分别是π，4π，侧面积是6π，那么这个圆台的体积是(　D　)
A．π　 B．2
C．π　 D．π
【解析】由题知S1＝π，S2＝4π，所以r＝1，R＝2，S侧＝6π＝π(r＋R)l，所以l＝2，所以h＝，所以V＝π(1＋4＋2)×＝π．
2．已知长方体的一个顶点处的三条棱长分别是，，且这个长方体的八个顶点都在同一个球面上，那么这个球的表面积是(　B　)
A．6π　 B．12π
C．18π　 D．36π
【解析】由题意可知，该长方体的体对角线即为球的直径，其长度为2，从而球的半径为，球的表面积为12π．
3．(新高考Ⅰ卷)已知圆柱和圆锥的底面半径相等，侧面积相等，且它们的高均为，则圆锥的体积为(　B　)
A．2π　　 B．3π　
C．6π　　 D．9π
【解析】设圆柱的底面半径为r，则圆锥的母线长为，而它们的侧面积相等，所以2πr×＝πr×，即2＝，解得r＝3，故圆锥的体积为π×9×＝3π．
4．(多选)若某圆锥的底面半径是3，母线长为4，则下列关于此圆锥的说法正确的是(　BD　)
A．圆锥的体积是9π B．圆锥侧面展开图的圆心角是
C．圆锥的轴截面的面积是8 D．圆锥的侧面积是12π
【解析】圆锥的底面半径r＝3，母线长l＝4，则该圆锥的高h＝＝．对于A，圆锥的体积V＝πr2h＝3π，A错误；对于B，圆锥侧面展开图扇形弧长为2πr＝6π，该扇形圆心角为＝，B正确；对于C，该圆锥的轴截面是底边长为6，高为的等腰三角形，面积为3，C错误；对于D，该圆锥的侧面积S＝πrl＝12π，D正确．

展开更多......

收起↑