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第八章
8.4　空间点、直线、平面之间的位置关系
立体几何初步
第1课时　平　面
学习 目标 1．了解平面的表示方法，掌握关于平面基本性质的基本事实1，2，3及推论1，2，3．
2．会进行文字语言、符号语言、图形语言三者之间的转化，会证明线共面、线共点、点共线的问题．
新知初探·基础落实
几何中的点、直线都是抽象的概念，并没有大小、粗细之分，要了解立体图形的几何特征及性质，面是一个非常关键的元素．平面有哪些特征及性质？
一、 概念生成
1．平面的概念
(1) 直观理解：课桌面、黑板面、教室地面、平静的水面等都给我们以平面的直观感觉，但它们都不是平面，而是平面的一部分．
(2) 抽象理解：平面是平的，平面是无限延展的，平面没有厚薄、没有大小．
2．平面的画法与表示
(1) 画法：在立体几何中，平面通常画成一个平行四边形．当平面水平放置时，通常将平行四边形的锐角画成45°，且使横边长等于其邻边长的2倍(如图(1))；当平面竖直放置时，通常将平行四边形的一组对边画成铅垂线(如图(2))．
图(1)
图(2)
(2) 如果一个平面被另一个平面遮挡住，为了增强它的立体感，把被遮挡部分用虚线画出来或者不画，如图(3)．
(3) 图(1)的平面可表示为平面α、平面ABCD、平面AC或者平面BD．
请同学阅读课本P124—P127，完成下列填空．
图(1)
图(3)
二、 概念表述
1．直线在平面内的概念
如果直线l上__________都在平面α内，就说直线l在平面α内．
2．一些文字语言、图形语言与符号语言的对应关系
所有点
文字语言 图形语言 符号语言
点A在直线l上 __________
点A在直线l外 __________
点A在平面α内 __________
A∈l
A l
A∈α
文字语言 图形语言 符号语言
点A在平面α外 __________
直线l在平面α内 __________
直线l在平面α外 __________
直线l，m相交于点A ______________
平面α，β相交于直线l ______________
A α
l α
l α
l∩m＝A
α∩β＝l
3．三个基本事实
公理 文字语言 图形语言 符号语言
基本 事实1 过__________________的三个点，____________一个平面(也可以简单说成“不共线的三点确定一个平面”) A，B，C三点不共线 存在唯一的平面α使A，B，C∈α
不在一条直线上
有且只有
公理 文字语言 图形语言 符号语言
基本 事实2 如果一条直线上的__________ 在一个平面内，那么这条直线在______________ __________
__________
__________
__________
两个点
这个平面内
A∈l
B∈l
A∈α
B∈α
l α
公理 文字语言 图形语言 符号语言
基本 事实3 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的____________ (在画两个相交平面时，如果其中一个平面的一部分被另一个平面挡住，通常把被挡住的部分画成虚线或不画) __________，且________ α∩β＝l，且P∈l
公共直线
P∈α
P∈β
4．三个基本事实的作用
(1) 基本事实1：①确定一个平面；②判断两个平面重合；③证明点、线共面．
(2) 基本事实2：①判断直线是否在平面内，点是否在平面内；②用直线检验平面．
(3) 基本事实3：①判断两个平面相交；②证明点共线；③证明线共点．
5．基本事实1和基本事实2的三个推论
利用基本事实1和基本事实2，再结合“两点确定一条直线”，可以得到下面三个推论：
推论1：________________________________，有且只有一个平面，如图①．
推论2：____________________，有且只有一个平面，如图②．
推论3：____________________，有且只有一个平面，如图③．
经过一条直线和这条直线外一点
经过两条相交直线
经过两条平行直线
图①　　　　　　　　　图②　　　　　　　　　　图③
三、 概念辨析(判断正误：正确的画“√”，错误的画“×”)
(1) 平面是无限延展且没有厚度的． (　　)
(2) 直线和平面可以理解为点的集合． (　　)
(3) 空间中三个点可以确定一个平面． (　　)
(4) 一条直线上有两个点在一个平面内，则该直线必在平面内． (　　)
(5) 两个平面可能有且只有一个公共点． (　　)
√
√
×
√
×
典例精讲·能力初成
探究
1
三种语言的转换
　　　用符号表示下列语句，并画出图形．
(1) 平面α与β相交于直线l，直线a与α，β分别相交于点A，B；
1
【解答】
　　　　用符号表示：α∩β＝l，a∩α＝A，a∩β＝B，如图(1)．
图(1)
(2) 点A，B在平面α内，直线a与平面α交于点C，点C不在直线AB上．
【解答】
　　　　用符号表示：A∈α，B∈α，a∩α＝C，C AB，如图(2)．
图(2)
(1) 用文字语言、符号语言表示一个图形时，首先仔细观察图形有几个平面、几条直线且相互之间的位置关系如何，试着用文字语言表示，再用符号语言表示．
(2) 要注意符号语言的意义．如点与直线的位置关系只能用“∈”或“ ”，直线与平面的位置关系只能用“ ”或“ ”．
(3) 由符号语言或文字语言画相应的图形时，要注意被遮挡部分用虚线表示．
变式　用符号表示“点A不在直线m上，直线m在平面α内”，正确的是 (　　)
A．A m，m α　 B．A m，m∈α
C．A m，m α　 D．A m，m∈α
【解析】
　　　　由题意，用符号表示“点A不在直线m上，直线m在平面α内”，即A m，m α．
A
探究
2
点、线共面问题
　　　已知直线a∥b，直线l与a，b都相交，求证：过a，b，l有且只有一个平面．
2
【解答】
　　　　因为a∥b，所以过a，b有且只有一个平面α．设a∩l＝A，b∩l＝B，所以A∈α，B∈α，且A∈l，B∈l，所以l α，即过a，b，l有且只有一个平面．
证明点、线共面的主要依据是基本事实1、基本事实2及其推论，常用的方法：
(1) 纳入平面法：先确定一个平面，再证明有关点、线在此平面内．
(2) 辅助平面法：先证明有关的点、线确定平面α，再证明其余元素确定平面β，最后证明平面α，β重合．
变式　如图，已知l1∩l2＝A，l2∩l3＝B，l1∩l3＝C，求证：直线l1，l2，l3在同一平面内．
【解答】
　　　　方法一(纳入法)：因为l1∩l2＝A，所以l1和l2确定一个平面α．因为l2∩l3＝B，所以B∈l2．又因为l2 α，所以B∈α．同理可证C∈α．又因为B∈l3，C∈l3，所以l3 α，所以直线l1，l2，l3在同一平面内．
方法二(同一法、重合法)：因为l1∩l2＝A，所以l1，l2确定一个平面α．因为l2∩l3＝B，所以l2，l3确定一个平面β．因为A∈l2，l2 α，所以A∈α．因为A∈l2，l2 β，所以A∈β．同理可证B∈α，B∈β，C∈α，C∈β，所以不共线的三个点A，B，C既在平面α内，又在平面β内，所以平面α和β重合，即直线l1，l2，l3在同一平面内．
探究
3
点共线、线共点问题
　　　　　如图所示，在正方体ABCD A1B1C1D1中，E，F分别为AB，AA1上的点且D1F∩CE＝M．求证：D，A，M三点共线．
【解答】
　　　　因为D1F∩CE＝M，且D1F 平面A1D1DA，CE 平面ABCD，所以M∈平面A1D1DA，M∈平面ABCD，从而M在两个平面的交线上．因为平面A1D1DA∩平面ABCD＝AD，所以M∈AD．所以D，A，M三点共线．
3－1
　　　　　如图，已知E，F，G，H分别是正方体ABCD A1B1C1D1的棱AB，BC，CC1，C1D1的中点．求证：FE，HG，DC三线共点．(提示：平行于同一条直线的两条直线平行(基本事实4))
【解答】
　　　　如图，连接C1B，GF，HE．由题意知HC1∥EB，且HC1＝EB，所以四边形HC1BE是平行四边形，所以HE C1B．又G，F分别是CC1，BC的中点，所以GF∥C1B，且GF＝C1B，所以GF∥HE，且GF≠HE，所以HG与EF相交，
3－2
设交点为K．因为K∈HG，HG 平面D1C1CD，所以K∈平面D1C1CD．因为K∈EF，EF 平面ABCD，所以K∈平面ABCD．因为平面D1C1CD∩平面ABCD＝DC，所以K∈DC，所以EF，HG，DC三线共点．
证明三点共线的方法
(1) 首先找出两个平面，然后证明这三点都是这两个平面的公共点，根据基本事实3可知，这些点都在两个平面的交线上．
(2) 选择其中两点确定一条直线，然后证明另一点也在此直线上．
证明三线共点的步骤
(1) 首先证明两条直线共面且交于一点；
(2) 证明这个点在这两条直线所在的两个平面上，并且这两个平面相交；
(3) 得到交线也过此点，从而得到三线共点．
变式　(课本P132习题8)如图，△ABC在平面α外，AB∩α＝P，BC∩α＝Q，AC∩α＝R，求证：P，Q，R三点共线．
【解答】
　　　　由AB∩α＝P，可知点P∈AB，且AB 平面ABC，可知P∈平面ABC，又P∈α，所以点P在平面ABC与平面α的交线上．同理可得，点Q，R均在平面ABC与平面α的交线上，所以P，Q，R三点共线．
随堂内化·及时评价
1．能确定一个平面的条件是 (　　)
A．空间三个点 B．一个点和一条直线
C．无数个点 D．两条相交直线
D
2．经过同一条直线上的3个点的平面 (　　)
A．有且只有一个 B．有且只有3个
C．有无数个 D．不存在
C
3．下面表述与结论都正确的是 (　　)
A．因为A∈α，B∈α，所以AB∈α B．因为a∈α，a∈β，所以α∩β＝a
C．因为A∈a，a α，所以A∈α D．因为A a，a α，所以A α
【解析】
　　　　A中，因为A∈α，B∈α，所以直线AB在平面α内，即AB α，故A错误；B中，直线a在平面α内，应为a α，故B错误；C中，因为A∈a，a α，所以A∈α，故C正确；D中，A a，a α，有可能A∈α，故D错误．
C
4．如图，在四棱锥P ABCD中，底面ABCD为菱形，E，F分别是BC，PC的中点，点G在PD上，且PG＝PD，证明：A，E，F，G四点共面．
【解答】
　　　　在平面ABCD内，连接AE并延长，交DC的延长线于点M，则有CM＝CD．在平面PCD内，连接GF并延长，交DC的延长线于点M1．取GD的中点N，连接CN，则由PG＝PD可知PG＝GN＝ND．因为F为PC的中点，所以FG∥CN，即GM1∥CN，所以在△GM1D中，CM1＝CD，所以点M与点M1重合，即AE与GF相交于点M，所以A，E，F，G四点共面．8.4　空间点、直线、平面之间的位置关系
第1课时　平　　面
一、 单项选择题
1．“平面内有一条直线，则这条直线上的一点必在这个平面内”用符号表述是(　　)
A． A α B． A∈α
C． A∈α D． A α
2．下列说法正确的是(　　)
A．和直线a都相交的两条直线在同一个平面内
B．三条两两相交的直线一定在同一个平面内
C．8个平面重叠起来要比6个平面重叠起来厚
D．两两相交且不过同一点的四条直线共面
3．如图，α∩β＝l，A，B∈α，C∈β，且A，B，C l，直线AB∩l＝M，过A，B，C三点的平面记作γ，则γ与β的交线必经过(　　)
(第3题)
A．点A B．点B
C．点C但不过点M D．点C和点M
4．三个不互相重合的平面将空间分成n个部分，则n不可能是(　　)
A．4 B．5
C．6 D．7
二、 多项选择题
5．用符号语言表示下列语句正确的是(　　)
A．点A在平面α内，但不在平面β内：A α，A β
B．直线a经过平面α外的点A，且a不在平面α内：A∈a，A α，a α
C．平面α与平面β相交于直线l，且l经过点P：α∩β＝l，P∈l
D．点A在直线l上，直线l在平面α外：A∈l，l α
6．如图，在正方体中，A，B，C，D分别是顶点或所在棱的中点，则A，B，C，D四点共面的图形有(　　)
A B
C D
三、 填空题
7．在空间四边形ABCD中，点E，F，G，H分别在AB，BC，CD，DA上，若直线EH与FG相交于点P，则点P与直线BD的关系是________．
8．(1) 空间任意4点，没有任何3点共线，它们最多可以确定________个平面．
(2) 空间5点，其中有4点共面，它们没有任何3点共线，这5个点最多可以确定________个平面．
四、 解答题
9．如图，AB∩α＝P，CD∩α＝P，A，D与B，C分别在平面α的两侧，AC∩α＝Q，BD∩α＝R.求证：P，Q，R三点共线.
(第9题)
10．如图，空间四边形ABCD中，E，F分别是AB，AD的中点，G，H分别是BC，CD上的点，且CG＝BC，CH＝DC.
(1) 求证：E，F，G，H四点共面；
(2) 求证：直线FH，EG，AC共点.
(第10题)
11．在棱长为的正方体ABCD A1B1C1D1中，M是棱A1D1的中点，过C1，B，M作正方体的截面，则这个截面的面积为(　　)
A． B．
C． D．
12．(多选)如图，在三棱柱ABC A1B1C1中，E，F，G，H分别为BB1，CC1，A1B1，A1C1的中点，则下列说法正确的是(　　)
(第12题)
A．E，F，G，H四点共面 B．EF∥GH
C．EG，FH，AA1三线不共点 D．∠EGB1＝∠FHC1
13．在正方体ABCD A1B1C1D1中，M，N分别是棱DD1和BB1上的点，MD＝DD1，NB＝BB1，那么正方体过点M，N，C1的截面图形是(　　)
A．三角形 B．四边形
C．五边形 D．六边形
第1课时　平　面
基础打底·熟练掌握
1．B　2．D
3．D　【解析】 因为直线AB∩l＝M，过A，B，C三点的平面记作γ，所以β∩γ＝MC，所以γ与β的交线必经过点C和点M.
4．B　【解析】 按照三个平面中平行的个数来分类：(1) 三个平面两两平行，如图(1)，可将空间分成4部分；(2) 两个平面平行，第三个平面与这两个平行平面相交，如图(2)，可将空间分成6部分；(3) 三个平面中没有平行的平面：①三个平面两两相交且交线互相平行，如图(3)，可将空间分成7部分；②三个平面两两相交且三条交线交于一点，如图(4)，可将空间分成8部分；③三个平面两两相交且交线重合，如图(5)，可将空间分成6部分.综上，可以为4，6，7，8部分，不能为5部分.
图(1)
图(2)
图(3)
图(4)
图(5)
(第4题)
5．BC　
6．ACD　【解析】 对于A，如图(1)，取GD的中点F，连接BF，EF，因为B，F均为相应边的中点，则BF∥AE，且BF＝AE，所以四边形ABFE为平行四边形，所以AB∥EF，又CD∥EF，则AB∥CD，即A，B，C，D四点共面，故A正确；对于B，显然AB与CD异面，故B不正确；对于C，如图(2)，连接AC，BD，EF，因为BE DF，所以四边形BDFE为平行四边形，所以BD∥EF，又A，C分别为相应边的中点，则AC∥EF，所以BD∥AC，即A，B，C，D四点共面，故C正确；对于D，如图(3)，连接AC，BD，EF，GH，因为GE HF，所以四边形GEFH为平行四边形，所以GH∥EF，又A，C分别为相应边的中点，所以AC∥EF，同理BD∥GH，所以BD∥AC，即A，B，C，D四点共面，故D正确.
图(1)
图(2)
图(3)
(第6题)
7．P∈BD
8．(1) 4　(2) 7　【解析】 (1) 可以想象三棱锥的4个顶点，它们总共确定4个平面.(2) 可以想象四棱锥的5个顶点，它们总共确定7个平面.
9．【解答】 因为AB∩α＝P，CD∩α＝P，所以AB∩CD＝P，所以AB，CD可确定一个平面，设为β.因为A∈AB，C∈CD，B∈AB，D∈CD，所以A∈β，C∈β，B∈β，D∈β，所以AC β，BD β，平面α，β相交.因为AB∩α＝P，AC∩α＝Q，BD∩α＝R，所以P，Q，R三点是平面α与平面β的公共点，所以P，Q，R都在α与β的交线上，故P，Q，R三点共线.
10．【解答】 (1) 如图，连接EF，GH.因为E，F分别是AB，AD的中点，所以EF∥BD且EF＝BD.因为G，H分别是BC，CD上的点，且CG＝BC，CH＝DC，所以GH∥BD，所以EF∥GH，所以E，F，G，H四点共面.
(2) 由(1)知EF∥GH，且EF≠GH，所以四边形EFHG是梯形，设两腰EG，FH相交于一点T，如图.因为EG 平面ABC，FH 平面ACD，所以T∈平面ABC，且T∈平面ACD.又平面ABC∩平面ACD＝AC，所以T∈AC，即直线EG，FH，AC相交于一点T.
(第10题)
能力进阶·融会贯通
11．B　【解析】 如图，取AA1的中点N，连接MN，NB，则四边形BC1MN即过C1，B，M三点的截面，此截面为等腰梯形，上底NM＝1，下底BC1＝2，腰BN＝＝，所以梯形的高h＝＝，所以梯形的面积S＝×(1＋2)×＝.
(第11题)
(第12题)
12．AB　【解析】 对于A，B，如图所示，连接EF，GH，因为GH是△A1B1C1的中位线，所以GH∥B1C1，且GH＝B1C1，又因为B1E∥C1F，且B1E＝C1F，所以四边形B1EFC1是平行四边形，所以EF∥B1C1，所以EF∥GH，且GH＝EF，所以四边形EFHG为梯形，所以E，F，G，H四点共面，所以A，B正确；对于C，如图所示，延长EG，FH相交于点P，因为P∈EG，EG 平面ABB1A1，所以P∈平面ABB1A1，因为P∈FH，FH 平面ACC1A1，所以P∈平面ACC1A1，因为平面ABB1A1∩平面ACC1A1＝AA1，所以P∈AA1，所以EG，FH，AA1三线共点，所以C不正确；对于D，因为EB1＝FC1，当GB1≠HC1时，tan∠EGB1≠tan∠FHC1，又0<∠EGB1<，0<∠FHC1<，则∠EGB1≠∠FHC1，所以D错误.
13．C　【解析】 如图，延长C1M交CD的延长线于点P，延长C1N交CB的延长线于点Q，连接PQ交AD于点E，交AB于点F，连接NF，ME，则正方体过点M，N，C1的截面图形是五边形.
(第13题)8.4　空间点、直线、平面之间的位置关系
第1课时　平　面
学习 目标 1．了解平面的表示方法，掌握关于平面基本性质的基本事实1，2，3及推论1，2，3． 2．会进行文字语言、符号语言、图形语言三者之间的转化，会证明线共面、线共点、点共线的问题．
新知初探基础落实
几何中的点、直线都是抽象的概念，并没有大小、粗细之分，要了解立体图形的几何特征及性质，面是一个非常关键的元素．平面有哪些特征及性质？
一、 概念生成
1．平面的概念
(1) 直观理解：课桌面、黑板面、教室地面、平静的水面等都给我们以平面的直观感觉，但它们都不是平面，而是平面的一部分．
(2) 抽象理解：平面是平的，平面是无限延展的，平面没有厚薄、没有大小．
2．平面的画法与表示
(1) 画法：在立体几何中，平面通常画成一个平行四边形．当平面水平放置时，通常将平行四边形的锐角画成45°，且使横边长等于其邻边长的2倍(如图(1))；当平面竖直放置时，通常将平行四边形的一组对边画成铅垂线(如图(2))．
图(1)
图(2)
图(3)
(2) 如果一个平面被另一个平面遮挡住，为了增强它的立体感，把被遮挡部分用虚线画出来或者不画，如图(3)．
(3) 图(1)的平面可表示为平面α、平面ABCD、平面AC或者平面BD．
请同学阅读课本P124—P127，完成下列填空．
二、 概念表述
1．直线在平面内的概念
如果直线l上__所有点__都在平面α内，就说直线l在平面α内．
2．一些文字语言、图形语言与符号语言的对应关系
文字语言 图形语言 符号语言
点A在直线l上 __A∈l__
点A在直线l外 __A l__
点A在平面α内 __A∈α__
点A在平面α外 __A α__
直线l在平面α内 __l α__
直线l在平面α外 __l α__
直线l，m相交于点A __l∩m＝A__
平面α，β相交于直线l __α∩β＝l__
3．三个基本事实
公理 文字语言 图形语言 符号语言
基本 事实1 过__不在一条直线上__的三个点，__有且只有__一个平面(也可以简单说成“不共线的三点确定一个平面”) A，B，C三点不共线 存在唯一的平面α使A，B，C∈α
基本 事实2 如果一条直线上的__两个点__ 在一个平面内，那么这条直线在__这个平面内__ l α
基本 事实3 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的__公共直线__ (在画两个相交平面时，如果其中一个平面的一部分被另一个平面挡住，通常把被挡住的部分画成虚线或不画) __P∈α__，且__P∈β__ α∩β＝l，且P∈l
4．三个基本事实的作用
(1) 基本事实1：①确定一个平面；②判断两个平面重合；③证明点、线共面．
(2) 基本事实2：①判断直线是否在平面内，点是否在平面内；②用直线检验平面．
(3) 基本事实3：①判断两个平面相交；②证明点共线；③证明线共点．
5．基本事实1和基本事实2的三个推论
利用基本事实1和基本事实2，再结合“两点确定一条直线”，可以得到下面三个推论：
推论1：__经过一条直线和这条直线外一点__，有且只有一个平面，如图①．
推论2：__经过两条相交直线__，有且只有一个平面，如图②．
推论3：__经过两条平行直线__，有且只有一个平面，如图③．
图①
图②
图③
三、 概念辨析(判断正误：正确的画“√”，错误的画“×”)
(1) 平面是无限延展且没有厚度的．(　√　)
(2) 直线和平面可以理解为点的集合．(　√　)
(3) 空间中三个点可以确定一个平面．(　×　)
(4) 一条直线上有两个点在一个平面内，则该直线必在平面内．(　√　)
(5) 两个平面可能有且只有一个公共点．(　×　)
典例精讲能力初成
探究1　三种语言的转换
例1　用符号表示下列语句，并画出图形．
(1) 平面α与β相交于直线l，直线a与α，β分别相交于点A，B；
【解答】用符号表示：α∩β＝l，a∩α＝A，a∩β＝B，如图(1)．
(2) 点A，B在平面α内，直线a与平面α交于点C，点C不在直线AB上．
【解答】用符号表示：A∈α，B∈α，a∩α＝C，C AB，如图(2)．
图(1)
图(2)
(1) 用文字语言、符号语言表示一个图形时，首先仔细观察图形有几个平面、几条直线且相互之间的位置关系如何，试着用文字语言表示，再用符号语言表示．
(2) 要注意符号语言的意义．如点与直线的位置关系只能用“∈”或“ ”，直线与平面的位置关系只能用“ ”或“ ”．
(3) 由符号语言或文字语言画相应的图形时，要注意被遮挡部分用虚线表示．
变式　用符号表示“点A不在直线m上，直线m在平面α内”，正确的是(　A　)
A．A m，m α　 B．A m，m∈α
C．A m，m α　 D．A m，m∈α
【解析】由题意，用符号表示“点A不在直线m上，直线m在平面α内”，即A m，m α．
探究2　点、线共面问题
例2　已知直线a∥b，直线l与a，b都相交，求证：过a，b，l有且只有一个平面．
【解答】因为a∥b，所以过a，b有且只有一个平面α．设a∩l＝A，b∩l＝B，所以A∈α，B∈α，且A∈l，B∈l，所以l α，即过a，b，l有且只有一个平面．
证明点、线共面的主要依据是基本事实1、基本事实2及其推论，常用的方法：
(1) 纳入平面法：先确定一个平面，再证明有关点、线在此平面内．
(2) 辅助平面法：先证明有关的点、线确定平面α，再证明其余元素确定平面β，最后证明平面α，β重合．
变式　如图，已知l1∩l2＝A，l2∩l3＝B，l1∩l3＝C，求证：直线l1，l2，l3在同一平面内．
【解答】方法一(纳入法)：因为l1∩l2＝A，所以l1和l2确定一个平面α．因为l2∩l3＝B，所以B∈l2．又因为l2 α，所以B∈α．同理可证C∈α．又因为B∈l3，C∈l3，所以l3 α，所以直线l1，l2，l3在同一平面内．
方法二(同一法、重合法)：因为l1∩l2＝A，所以l1，l2确定一个平面α．因为l2∩l3＝B，所以l2，l3确定一个平面β．因为A∈l2，l2 α，所以A∈α．因为A∈l2，l2 β，所以A∈β．同理可证B∈α，B∈β，C∈α，C∈β，所以不共线的三个点A，B，C既在平面α内，又在平面β内，所以平面α和β重合，即直线l1，l2，l3在同一平面内．
探究3　点共线、线共点问题
例3 1　如图所示，在正方体ABCD A1B1C1D1中，E，F分别为AB，AA1上的点且D1F∩CE＝M．求证：D，A，M三点共线．
【解答】因为D1F∩CE＝M，且D1F 平面A1D1DA，CE 平面ABCD，所以M∈平面A1D1DA，M∈平面ABCD，从而M在两个平面的交线上．因为平面A1D1DA∩平面ABCD＝AD，所以M∈AD．所以D，A，M三点共线．
例3 2　如图，已知E，F，G，H分别是正方体ABCD A1B1C1D1的棱AB，BC，CC1，C1D1的中点．求证：FE，HG，DC三线共点．(提示：平行于同一条直线的两条直线平行(基本事实4))
【解答】如图，连接C1B，GF，HE．由题意知HC1∥EB，且HC1＝EB，所以四边形HC1BE是平行四边形，所以HE綉C1B．又G，F分别是CC1，BC的中点，所以GF∥C1B，且GF＝C1B，所以GF∥HE，且GF≠HE，所以HG与EF相交，设交点为K．因为K∈HG，HG 平面D1C1CD，所以K∈平面D1C1CD．因为K∈EF，EF 平面ABCD，所以K∈平面ABCD．因为平面D1C1CD∩平面ABCD＝DC，所以K∈DC，所以EF，HG，DC三线共点．
证明三点共线的方法
(1) 首先找出两个平面，然后证明这三点都是这两个平面的公共点，根据基本事实3可知，这些点都在两个平面的交线上．
(2) 选择其中两点确定一条直线，然后证明另一点也在此直线上．
证明三线共点的步骤
(1) 首先证明两条直线共面且交于一点；
(2) 证明这个点在这两条直线所在的两个平面上，并且这两个平面相交；
(3) 得到交线也过此点，从而得到三线共点．
变式　(课本P132习题8)如图，△ABC在平面α外，AB∩α＝P，BC∩α＝Q，AC∩α＝R，求证：P，Q，R三点共线．
【解答】由AB∩α＝P，可知点P∈AB，且AB 平面ABC，可知P∈平面ABC，又P∈α，所以点P在平面ABC与平面α的交线上．同理可得，点Q，R均在平面ABC与平面α的交线上，所以P，Q，R三点共线．
随堂内化及时评价
1．能确定一个平面的条件是(　D　)
A．空间三个点 B．一个点和一条直线
C．无数个点 D．两条相交直线
2．经过同一条直线上的3个点的平面(　C　)
A．有且只有一个 B．有且只有3个
C．有无数个 D．不存在
3．下面表述与结论都正确的是(　C　)
A．因为A∈α，B∈α，所以AB∈α
B．因为a∈α，a∈β，所以α∩β＝a
C．因为A∈a，a α，所以A∈α
D．因为A a，a α，所以A α
【解析】A中，因为A∈α，B∈α，所以直线AB在平面α内，即AB α，故A错误；B中，直线a在平面α内，应为a α，故B错误；C中，因为A∈a，a α，所以A∈α，故C正确；D中，A a，a α，有可能A∈α，故D错误．
4．如图，在四棱锥P ABCD中，底面ABCD为菱形，E，F分别是BC，PC的中点，点G在PD上，且PG＝PD，证明：A，E，F，G四点共面．
【解答】在平面ABCD内，连接AE并延长，交DC的延长线于点M，则有CM＝CD．在平面PCD内，连接GF并延长，交DC的延长线于点M1．取GD的中点N，连接CN，则由PG＝PD可知PG＝GN＝ND．因为F为PC的中点，所以FG∥CN，即GM1∥CN，所以在△GM1D中，CM1＝CD，所以点M与点M1重合，即AE与GF相交于点M，所以A，E，F，G四点共面．

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