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2025-2026学年九年级下学期3月月考数学试题
一．选择题（每题3分，满分30分）
1．如表为几种常见物质的凝固点．其中凝固点最低的是（　　）
物质 水 豆油 酒精 水银
凝固点（℃） 0 ﹣18 ﹣117 ﹣39
A．水 B．豆油 C．酒精 D．水银
2．若π取3.14，则下面图形中，圆柱的展开图是（　　）
A．B． C． D．
3．王叔叔想通过跑步锻炼身体，第一周计划每天跑5000m，按照计划第一周跑步的总路程用科学记数法表示为（　　）
A．35×103m B．3.5×103m C．3.5×104m D．0.35×105m
4．如图，直线AB，CD相交于点O，若∠1+∠2＝100°，则∠3等于（　　）
A．50° B．100° C．130° D．180°
5．已知关于x的方程kx2+（1﹣k）x﹣1＝0，下列说法中正确的是（　　）
A．当k＝0时，方程无解
B．当k＝1时，方程有两个相等的实数根
C．当k＝﹣1时，方程有两个相等的实数根
D．当k≠0时，方程总有两个不相等的实数根
6．我国南宋著名数学家秦九韶的著作《数书九章》里记载有这样一道题：“问有沙田一块，有三斜，其中小斜五里，中斜十二里，大斜十三里，欲知为田几何？”这道题讲的是：有一块三角形沙田，三条边长分别为5里，12里，13里，则这块沙田的面积为（　　）
A．65平方里 B．60平方里 C．325平方里 D．30平方里
7．计算的结果等于（　　）
A．a﹣b B．a+b C． D．
8．在一个不透明的盒子中，装有质地、大小一样的白色乒乓球2个，黄色乒乓球3个，任意摸出2个球，都是黄色乒乓球的概率是（　　）
A． B． C． D．
9．如图，Rt△ABC中，点P从点C出发，匀速沿CB﹣BA向点A运动，连接AP，设点P的运动距离为x，AP的长为y，y关于x的函数图象如图2所示，则当点P为BC中点时，AP的长为（　　）
A． B． C． D．
10．很多家庭都用燃气热水器，为了防止一氧化碳泄漏带来的危害，一般会安装燃气报警器．其中一种燃气报警器核心部件是气敏传感器（如图①中的R1），R1的阻值随空气中一氧化碳质量浓度c的变化而变化（如图②），空气中一氧化碳体积浓度（ppm）与一氧化碳质量浓度c的关系见图③．下列说法不正确的是（　　）
A．空气中一氧化碳质量浓度c越大，R1的阻值越小
B．当0g/m3时，R1的阻值小于50Ω
C．当空气中一氧化碳体积浓度是480ppm时，燃气报警器为报警状态
D．当R1＝20Ω时，燃气报警器为报警状态
二．填空题（每题3分，满分15分）
11．若在实数范围内有意义，请写出一个满足条件的x的值：　 　 ．
12．如图是根据某班40名同学一周的体育锻炼情况绘制的统计图，该班40名同学一周参加体育锻炼时间的众数为　 　 h．
13．按规律填写：，，，，，，…，那么第20个数是 　 　 ．
14．如图，直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，BC＝10cm，以BC为直径画半圆O，如果阴影甲的面积等于阴影乙的面积，那么AC长为　 　 cm．
15．如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，N是边BC上一点，M是边AB上的动点，点D，E分别为CN，MN的中点，则DE的最小值是 　 　 ．
三．解答题（共8小题，满分75分）
16．（9分）计算：
（1）cos260°+cos230°﹣tan45°；
（2）．
17．（9分）“禾下乘凉梦”是袁隆平院士追逐一生的“梦”．小鹭受到袁隆平院士精神的感召，查阅相关资料发现水稻在不同浓度的营养液中生长情况不同．他想利用已学的知识设计实验，探究同种营养液的不同浓度对某品种水稻生长情况的影响．
小鹭培育了某品种水稻苗30株，计划在水稻拔节期选出长势相近的水稻苗15株（仅考虑高度差别），平均分为三组进行培育．培育环境除营养液浓度外其余条件均相同．
小鹭测量得到30株水稻苗在水稻拔节期时的高度x（单位：mm）如下：
78 67 63 60 63 50 70 56 72 61
50 65 57 61 64 57 54 60 53 55
45 61 59 63 66 68 51 62 56 62
（1）小鹭为选出15株水稻苗，对以上数据进行整理．
步骤一：最大值为 　 　 ；最小值为 　 　 ；最大值与最小值的差为 　 　 ；
步骤二：将组距确定为5，完成以下频数分布表（请结合分组情况适当添加表格行数）；
高度分组 划记（用“正”字表示） 频数
45≤x＜50 一 1
（2）结合数据整理结果，你认为小鹭该选择高度在哪个范围的水稻苗，为什么？
18．（9分）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象如图所示，矩形ABCD在第一象限内，AB平行于x轴，且AB＝2，BC＝1，点A的坐标为（2，1）．
（1）直接写出B，C，D三点的坐标；
（2）若将矩形向下平移m个单位，矩形的两个顶点恰好同时落在反比例函数的图象上，猜想这是哪两个点？并求m的值和反比例函数的表达式．
19．（9分）如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC、BD相交于点O，点E是CD的中点．
（1）用直尺和圆规完成下面的作图，过点C作AC的垂线，与OE的延长线交于点F，连接FD．（只保留作图痕迹）
（2）求证：四边形OCFD是矩形．
证明：∵四边形ABCD是菱形．
∴AC⊥BD，
∴∠COD＝90°，
又∵AC⊥CF，
∴∠ACF＝90°，
∴∠COD+∠ACF＝180°，
∴CF∥BD，
∴　 　 ，
∵E是CD中点，
∴　 　 ，
在△ODE和△FCE中，
，
∴△ODE≌△FCE（ASA），
∴　 　 ，
∵CF∥BD，
∴四边形OCFD是平行四边形，
又∵　 　 ，
∴四边形OCFD是矩形．
20．（9分）孝敬父母是中华民族的传统美德．母亲节来临之际，某花店新进了康乃馨和百合花进行搭配销售，若按康乃馨和百合花各5束搭配需成本1200元，按3束康乃馨和4束百合花搭配需成本880元．
（1）求一束康乃馨和一束百合花的成本价各多少元；
（2）若花店共进康乃馨，百合花两款花束共100束，其中一束康乃馨售价为120元，一束百合花售价为220元，设销售康乃馨x束，获得总利润为w元．
①求w关于x的函数关系式；
②要使销售花束的利润最大，且所获利润不低于进货价格的45%，请你帮该花店设计一个配货方案，并求出其所获利润的最大值．
21．（9分）阅读材料，解决问题．
通常，路灯、手电筒…的光线可以看成是从一个点发出的，在点光源的照射下，物体所形成的影子称为中心投影．某学习小组利用竹竿开展“投影”为主题的综合实践活动． 如图，在同一平面内，线段AB，CD表示两根垂直于水平地面的竹竿，它们在点光源下的影子分别为线段AG和CH，线段EF表示平行于地面并可移动的水平竹竿．
（1）在所给的图形中，确定光源的位置，用点P表示；画出水平竹竿EF在地面的影子，用线段MN表示；
（2）在光源P的照射范围内，移动竹竿EF，其影长的变化情况是：EF向左平移时的影长　 　 ，EF向下平移时的影长　 　 ；（填“变小”“变大”或“不变”）
（3）已知竹竿EF的长度为2米，光源P到地面的距离为5米．设EF与地面的距离为x米（0＜x＜5），影长MN为y米，求y关于x的函数关系式．
22．（9分）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A（﹣1，0），C（0，3）两点，并交x轴于另一点B，点M是抛物线的顶点，直线AM与y轴交于点D．
（1）求该抛物线的表达式；
（2）若点H是x轴上一动点，分别连接MH，DH，求|MH﹣DH|的最大值；
（3）若点P是抛物线上一动点，问在对称轴上是否存在点Q，使得以D，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
23．（12分）如图①所示，在平面直角坐标系中，点A的坐标是（10，0），点B在y轴上，连接AB，∠BAO＝30°，动点C从点B出发沿射线BO方向运动，点C、F关于直线AB对称，连接CF交AB于点E．
（1）请直接写出∠BFC的度数；
（2）如图②，当点C运动到与点O重合时，求证：AF＝OF；
（3）如图③，当点C运动到y轴的负半轴且恰好有∠BFA＝75°时，设CF与x轴正半轴交于点G，若BE＝4，求证：△AFG≌△FAB，并直接写出此时点G的坐标．
参考答案
一．选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C A C C C D D C B D
二．填空题
11．0（答案不唯一、所填的数不大于5均正确）．
12．8．
13．．
14．．
15．．
三．解答题
16．解：（1）原式
＝0；
（2）原式
．
17．解：（1）步骤一：最大值为78；最小值为45；最大值与最小值的差为33；
故答案为：78，45，33；
步骤二：将组距确定为5，完成以下频数分布表（请结合分组情况适当添加表格行数）；
高度分组 划记（用“正”字表示） 频数
45≤x＜50 一 1
50≤x＜55 正 5
55≤x＜60 正一 6
60≤x＜65 正正一 11
65≤x＜70 止 4
70≤x＜75 丅 2
75≤x＜80 一 1
（2）小鹭该选择高度在55≤x＜65（去掉55和56 即可）这个范围的水稻苗，理由为：这个范围中的数据最多，最集中．
18．解：（1）∵四边形ABCD是矩形，平行于x轴，且AB＝2，BC＝1，点A的坐标为（2，1），
∴AB＝CD＝2，AD＝BC＝1，
∴B（4，1），C（4，2），D（2，2）；
（2）猜想：A、C落在反比例函数的图象上，
设矩形平移后点A的坐标是（2，1﹣m），点C的坐标是（4，2﹣m），
∵A、C落在反比例函数的图象上，
∴k＝2（1﹣m）＝4（2﹣m），
解得m＝3，
即矩形平移后A的坐标是（2，﹣2），代入反比例函数的解析式得：k＝2×（﹣2）＝﹣4，
即A、C落在反比例函数的图象上，矩形的平移距离是3，反比例函数的解析式是y．
19．（1）解：如图所示.
（2）证明：∵四边形ABCD是菱形．
∴AC⊥BD，
∴∠COD＝90°，
又∵AC⊥CF，
∴∠ACF＝90°，
∴∠COD+∠ACF＝180°，
∴CF∥BD，
∴∠DOE＝∠FCE，
∵E是CD中点，
∴DE＝CE，
在△ODE和△FCE中，
，
∴△ODE≌△FCE（ASA），
∴CF＝OD，
∵CF∥BD，
∴四边形OCFD是平行四边形，
又∵∠ACF＝90°，
∴四边形OCFD是矩形．
故答案为：∠DOE＝∠FCE；DE＝CE；CF＝OD；∠ACF＝90°．
20．解：（1）设一束康乃馨的成本价为m元，一束百合花的成本价为n元，
根据题意得：，
解得，
∴一束康乃馨的成本价为80元，一束百合花的成本价为160元；
（2）①根据题意得：W＝（120﹣80）x+（220﹣160）（100﹣x）＝﹣20x+6000，
∴W关于x的函数关系式为W＝﹣20x+6000；
②∵所获利润不低于进货价格的45%，
∴﹣20x+6000≥45%[80x+160（100﹣x）]，
解得x≥75；
在W＝﹣20x+6000中，W随x的增大而减小，
∴当x＝75时，W取最大值﹣20×75+6000＝4500，
此时100﹣x＝100﹣75＝25，
∴销售康乃馨75束，百合花25束，利润最大，最大利润为4500元．
21．解：（1）如图，点P为光源的位置，MN为EF的影子；
（2）在光源P的照射范围内，移动竹竿EF，
EF向下平移时，光源高度没变，竹竿高度变低，竹竿到光源的距离变大，离光源越远，影长越短，所以其影长变小；
EF向左平移时，光源和竹竿高度都没有发生变化，所以其影长不变；
故答案为：不变，变小；
（3）过P作PQ⊥直线MN，交直线EF于点L，
依题意，LQ＝x，PL＝5﹣x，EF＝2，PQ＝5，
∵EF∥MN，
∴，且∠PFE＝∠PNM，∠PEF＝∠PMN，
∴△PEF∽△PMN，
∴，
∴，
∴．
∴．
22．解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A（﹣1，0），C（0，3）两点，
∴，
解得：，
∴y＝﹣x2+2x+3；
（2）∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，
∴抛物线的顶点M的坐标为（1，4），
设直线AM的解析式为y＝kx+s，
把A（﹣1，0），M（1，4）代入，得，
解得，
∴直线AM的解析式为y＝2x+2，
令x＝0，则y＝2，
∴D（0，2），
∵|MH﹣DH|≤DM，
∴当H，M，D三点共线时，即H与A点重合，|MH﹣DH|的值最大，
最大值；
（3）解：存在；y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，
∴对称轴为直线x＝1，
设P（p，t），Q（1，n），
当以D，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形时：
①DM为对角线时：，
∴，
当p＝0时，t＝3，
∴n＝3，
∵Q（1，3）；
②当DP为对角线时：，
∴，
当p＝2时，t＝﹣22+2×2+3＝3，
∴n＝1，
∵Q（1，1）；
③当MP为对角线时：，
∴，
∵当 p＝0时，t＝3，
∴n＝5，
∴Q（1，5），
综上：当以D，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形时，Q（1，3）或Q（1，1）或Q（1，5）．
23．（1）解：∵∠BAO＝30°，
∴∠ABO＝60°，
∵点C、F关于直线AB对称，
∴∠ABC＝∠ABF＝60°，BC＝BF，
∴∠CBF＝120°，
∴∠BFC30°；
（2）证明：∵点C、F关于直线AB对称，点C与点O重合，
∴AO＝AF，∠OAB＝∠FAB＝30°，
∴∠OAF＝60°，
∴△OAF为等边三角形，
∴AF＝OF，
（3）证明：∵点C、F关于直线AB对称，
∴FE＝EC，FC⊥BA，
∴∠AGE＝90°﹣∠BAO＝60°，
由（1）知∠FBE＝60°，
∴∠AGE＝∠FBE，
在△ABF中，
∠FAB＝180°﹣∠BFA﹣∠FBA＝180°﹣75°﹣60°＝45°，
∵∠BFA＝75°，∠BFE＝30°，
∴∠GFA＝45°，
∴∠FAB＝∠GFA，
∴AE＝EF，
在△AFG和△FAB中，
，
∴△AFG≌△FAB（AAS），
∴AG＝BF，
∵BE＝4，FC⊥BA，∠BFC＝30°，
∴BF＝AG＝8，
∴OG＝10﹣8＝2，
∴此时点G的坐标为G（2，0）．

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