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2025-2026 学年九年级下学期3月月考数学卷
一．选择题（每小题2分，满分12分）
1．方程2x2+3x﹣2＝0的两个根为（　　）
A． B．
C． D．
2．掷一个骰子，观察向上一面的点数，求点数大于2且小于5的概率（　　）
A． B． C． D．
3．二次函数y＝2（x﹣1）2+1的图象向下平移4个单位，再向左平移2个单位，所得到的函数关系式是（　　）
A．y＝2（x+1）2﹣3 B．y＝2（x﹣1）2﹣3
C．y＝2（x+1）2+3 D．y＝2（x﹣1）2+2
4．为防范新型毒品对青少年的危害，某校开展青少年禁毒知识竞赛，小星所在小组5个学生的真实成绩分别为80，86，95，96，98，由于小星将其中一名成员的96分错记为98分，则与所在小组的真实成绩相比，统计成绩的（　　）
A．平均数变小，中位数变大
B．平均数不变，众数不变
C．平均数变大，中位数不变
D．平均数不变，众数变大
5．如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，E为BC上一点，CE＝5，F为DE的中点．若△CEF的周长为18，则OF的长为（　　）
A．3.5 B．4 C．5 D．7
6．如图，在平面直角坐标系中，直线y1＝mx+n与抛物线y2＝ax2+bx﹣3相交于点A，B．结合图象，判断下列结论：①当﹣2＜x＜3时，y1＞y2；②x＝3是方程ax2+bx﹣3＝0的一个解；③x时，函数y＝﹣ax2+（m﹣b）x+n+3有最大值；④对于抛物线y2＝ax2+bx﹣3，当﹣2＜x＜3时，y2的取值范围是0＜y2＜5．其中正确结论的个数是（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二．填空题（每小题2分，满分20分）
7．若五个数据2，﹣1，3，x，5的极差为8，则x的值为 　 　 ．
8．若，则的值为　 　 ．
9．在实数范围内因式分解：3x2﹣2x﹣2＝　 　 ．
10．如图，要用一个扇形纸片围成一个无底的圆锥（接缝处忽略不计），若该圆锥的底面圆周长为10πcm，扇形的圆心角的度数是120°，则圆锥的侧面积为 　 　 （结果保留π）．
11．将一根长为20cm的铁丝，折成一个长方形，试写出长方形的面积y与长方形的一边长x之间的关系式以及x的取值范围：　 　 ．
12．若x＝1是方程x2+mx+2＝0的一根，则实数m的值为 　 　 ．
13．如图，将五边形ABCDE沿虚线裁去一个角，得到六边形ABCDGF，则内角和增加　 　 度．
14．如图，在平面直角坐标系xOy中，四边形ABOD是菱形，点B的坐标为（﹣2.0），∠ABO＝30°，点P从点B出发，沿折线BA﹣AD移动，移动到点D停止．当△PBO是等腰三角形时，点P的坐标为 　 　 ．
15．如图，在△ABC中，ED∥BC，∠ABC和∠ACB的平分线分别交ED于点G，F．若FG＝2，ED＝4，则EB+DC的值为 　 　 ．
16．如图，平行四边形ABCD的三个顶点B，C，D在⊙O上，线段CF为直径，连接BD，与CF相交于点E，已知CF＝10，sin∠BCD，则BD＝　 　 ；延长CF交AD于点H，连接HB，若，则HB的长为　 　 ．
三．解答题（共8小题，满分88分）
17．（11分）解方程：
（1）x2﹣8x+15＝0．
（2）（x﹣1）2＝2（x﹣1）．
18．（11分）某校八年级（1）班同学参加数学竞赛，成绩（单位：分）如下：
80，85，90，95，85，100，95，85，90，80
（1）求这组数据的平均数、中位数和众数；
（2）若成绩在90分及以上为优秀，求优秀率．
19．（11分）班委为班级联欢会设计了一个“比9点”游戏，游戏规则如下：在大小和形状完全相同的四张卡片的正面分别写上数字3、4、5、6，将这四张卡片洗匀后正面朝下放在桌子上，甲同学先从中随机抽一张，然后乙同学再从剩下的三张中随机抽取一张，若两人的卡片上的数字之和大于9，则乙同学胜，否则甲同学胜．
（1）求甲同学抽到数字3的概率；
（2）请用画树状图或列表的方法分析这个游戏是否公平．
20．（11分）如图，对称轴为直线x＝3的抛物线y＝x2+bx+c与y轴交于点A（0，7），P是抛物线上x轴上方的任意一点（不与点A重合），点P的横坐标为m，抛物线上点A与点P之间的部分（包含端点）记为图象C．
（1）求抛物线的表达式；
（2）当m符合什么条件时，图象C的最大值与最小值的差为9？
（3）如果一个四边形的一条对角线把四边形分割成两个三角形，且这两个三角形相似，我们就把这条对角线叫这个四边形的和谐线，这个四边形叫做和谐四边形，已知M为直线上的动点，过点P作PN⊥y轴于点N，连接OP，若四边形ONPM是以OP为和谐线的和谐四边形，求此时点M的坐标．
21．（11分）如图，已知正方形ABCD，边长AB＝6，点P为对角线BD上任一点，连接AP，过点P作PQ⊥AP交BC于点Q．
（1）求证：AP＝PQ；
（2）若，求四边形ABQP的面积．
22．（11分）如图，在矩形ABCD中，点E是AD边上一动点（不与A、D重合），连接BE，过E作EF⊥BE交DC于点F，随着E点位置的变化，F点的位置随之发生变化．
（1）在点E运动过程中，△ABE与△DEF始终保持相似关系，请说明理由；
（2）若AD＝2，AB＝1，
①当F是线段CD的中点时，求线段AE的长
②过点B作BG⊥BE交射线DC于G，连接BF，当△BFG是以FG为腰的等腰三角形时，直接写出线段AE的长．
23．（11分）铅球运动员在比赛时，铅球被掷出后的运动路线可以看作是抛物线的一部分．在某次比赛的一次投掷过程中，铅球被掷出后，设铅球距运动员出手点的水平距离为x（单位：m），竖直高度为y（单位：m）．由电子监测获得的部分数据如下：
水平距离x/m 0 3 6 9 12 15 18 …
竖直高度y/m 2.00 4.25 5.60 6.05 5.60 4.25 2.00 …
（1）根据上述数据，直接写出铅球竖直高度的最大值，并求出满足的函数关系y＝a（x﹣h）2+k（a＜0）；
（2）请你建立平面直角坐标系，描出上表中各对对应值为坐标的点，画出y与x的函数图象；
（3）请你结合所画图象或所求函数关系式，直接写出本次投掷后，铅球距运动员出手点的最远水平距离．
24．（11分）长方形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，A（0，2），C（﹣8，0），动点P从点O出发，沿O﹣A﹣B﹣A的方向以每秒2个单位长度的速度移动，与点A第二次相遇时停止，设点P移动的时间为x秒．
（1）点B的坐标为 　 　 ；
（2）当1＜x＜5时，AP＝　 　 ；（用含x的代数式表示）
（3）当点P第一次移动到点A时，有一条垂直于x轴的直线l开始从BC位置出发，以每秒1个单位长度的速度沿x轴正方向平行移动，当点P停止时直线l也随之停止．在移动过程中，当点P在直线l上时，求点P的坐标；
（4）连接OB，BP，OP，当△BOP的面积为2时，直接写出x的值．
参考答案
一．选择题
题号 1 2 3 4 5 6
答案 A B A C A C
二．填空题
7．7或﹣3．
8．．
9．3．
10．75π．
11．y＝﹣x2+10x（0＜x＜10）．
12．﹣3．
13．180．
14．（﹣1，）或（，1）或（，1）．
15．6．
16．．
三．解答题
17．解：（1）x2﹣8x+15＝0，
∴（x﹣3）（x﹣5）＝0，
即x﹣3＝0或x﹣5＝0，
解得：x1＝3，x2＝5；
（2）（x﹣1）2＝2（x﹣1），
∴（x﹣1）2﹣2（x﹣1）＝0，
∴（x﹣1）（x﹣1﹣2）＝0，
∴x﹣1＝0或x﹣1﹣2＝0，
解得：x1＝1，x2＝3．
18．解：（1）这组数据的平均数为（80+85+90+95+85+100+95+85+90+80）÷10＝88.5，
将这10个数据从小到大排列，处在第5，第6位的两个数的平均数为87.5，即中位数是87.5，
这10个数据中出现次数最多的是85分，共出现3次，因此众数是85，
答：这组数据的平均数是88.5、中位数是87.5、众数是85；
（2）成绩在90分及以上的有5人，所以优秀率为5÷10×100%＝50%，
答：优秀率是50%．
19．解：（1）∵四张卡片的正面分别写上数字3、4、5、6，
∴甲同学抽到数字3的概率为；
（2）这个游戏不公平．理由如下：
画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中两人的卡片上的数字之和大于9的结果有4种，两人的卡片上的数字之和不大于9的结果有8种，
∴乙同学胜的概率，甲同学胜的概率，
∵，
∴乙同学胜的概率≠甲同学胜的概率，
∴这个游戏不公平．
20．解：（1）∵抛物线的对称轴为直线x＝3，
∴3，
∴b＝﹣6，
∴抛物线表达式为：y＝x2﹣6x+c，
将点A（0，7）代入抛物线得，
7＝c，
∴抛物线的表达式为：y＝x2﹣6x+7；
（2）∵y＝x2﹣6x+7＝（x﹣3）2﹣2，
∴抛物线的顶点为（3，﹣2），
当y＝7时，x2﹣6x+7＝7，
∴x＝0或x＝6，
当m≥6时，图象C的最小值为﹣2，最大值为m2﹣6m+7，
∴m2﹣6m+7﹣（﹣2）＝9，
解得m＝0或m＝6，
∴m＝6时，图象C的最大值与最小值的差为9；
当3≤m≤6时，图象C的最小值为﹣2，最大值为7，
∴图象C的最大值与最小值的差为9；
当0≤m＜3时，图象C的最大值为7，最小值为m2﹣6m+7，
∴7﹣（m2﹣6m+7）＝9，
解得m＝3（舍去）；
当m＜0时，图象C的最小值为7，最大值为m2﹣6m+7，
∴m2﹣6m+7﹣7＝9，
解得m＝3﹣3或m＝3+3（舍去）；
综上所述：3≤m≤6或m＝3﹣3时，图象C的最大值与最小值的差为9；
如图，当四边形ONPM是以OP为和谐线的和谐四边形时，必然有∠OM1P＝90°或∠OPM2＝90°，且OP为∠NOM的平分线，
连接NM1交OP于点B，过点B作BD⊥y轴于点D，过点M1作M1E⊥x轴于点E，过点M2⊥x轴于点F，
点M1在直线yx上，不妨设点M1的坐标为（4a，3a），则OM1＝5a，
∵OP为∠NOM的平分线，
∴PN＝PM1，ON＝OM1＝5a，
设P（e，5a），
∵（5a﹣3a）2+（4a﹣e）2，
∴（5a﹣3a）2+（4a﹣e）2＝e2，
解得ea，
∴点P（a，5a），
∴直线OP的表达式为y＝2x，
联立方程组，
∴或，
∴点P的坐标为（1，2）或（7，14），
①当点P的坐标为（1，2）时，
由a＝1，解得a，
∴M1的坐标为（，），
根据对称性，则OP⊥NM1，
∵OP，OM1＝2，PM1＝1，
∴BM1，
∴OB，
∵OP⊥BM1，OP⊥PM2，
∴BM1∥PM2，
∴，
∴OM2，
∵点M2在直线yx上，
∴点M2的坐标为（2，）；
②当点P的坐标为（7，14）时，由a＝7，解得a，
∴M1（，），
方法同①求得点M2的坐标为（14，），
综上所述，点M的坐标为（，）或（2，）或（，）或（14，）．
21．（1）证明：过点P作MN∥CD交AD于点M，交BC于点N，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ADB＝45°，
∵MN∥CD，∠ADC＝90°，
∴四边形MNCD为矩形，
∴∠NMD＝90°，∠MPD＝45°，AD＝CD＝MN，
∴MD＝MP，
∴AM＝PN，
∵AP⊥PQ，
∴∠APQ＝90°，
∴∠APM+∠QPN＝90°，
∵∠QPN+∠PQN＝90°，
∴∠APM＝∠PQN，
在△AMP和△PNQ中，
，
∴△AMP≌△PNQ（AAS），
∴AP＝PQ；
（2）解：在等腰直角三角形DMP中，，
根据勾股定理得MD＝MP＝1，
∴AM＝5，
∴四边形ABQP的面积．
22．解：（1）在点E的运动过程中，△ABE与△DEF始终保持相似关系，理由如下：
在△ABE和△DEF中，
∵∠BAE＝∠EDF＝90°，EF⊥BE，
∴∠BEF＝90°，
∴∠BEA+∠DEF＝90°，
∵∠BEA+∠ABE＝90°，
∴∠ABE＝∠DEF，
△ABE∽△DEF；
（2）①∵AD＝2，AB＝1，
∴AD＝2AB，
∴AD＝BC＝2，AB＝CD＝1，
当点F是线段CD的中点时，，
设AE＝x，
则DE＝2﹣x，
由（1）得△ABE∽△DEF，
∴，
即，
解得：，
故AE的长为或；
②如图：
设AE长为x，则DE长为2﹣x，
∵EF⊥BE，BG⊥BE，
∴EF∥BG，
∴∠DFE＝∠G，BFE＝∠FBG．
分类讨论：当FB＝FG时，
则∠FBG＝∠G，
∴∠BFE＝∠OFE，
如图，作EH⊥BF于H．则EH＝ED，
又∵EF是公共边，
∴Rt△DEF≌Rt△HEF（HL），
∴∠1＝∠2，
∵∠A＝90°，
∴∠3+∠4＝90°．
∵EF⊥BE，
∴∠1+∠3＝90°，
∴∠1＝∠4＝∠2．
又∵∠BEF＝∠2+∠BEH＝90°，
∵EH⊥BF，
∴∠5+∠BEH＝90°，
∴∠2＝∠5，
∴∠4＝∠5，
∴EA＝EH，
∴EA＝ED，即x＝2﹣x，
∴x＝1．
当FG＝BG时，则∠FBG＝∠BFG，
∴∠BFE＝∠BFG．
∴BE＝BC，
∴BE2＝BC2．即x2+12＝22，
∴x1，x20（舍），
因此AE的长为1或．
23．解：（1）铅球竖直高度的最大值为6.05m，
根据表中数据可知，二次函数图象的顶点是（9，6.05），
∴函数关系式为y＝a（x﹣9）2+6.05，
∵二次函数图象过点（0，2），
∴2＝a（0﹣9）2+6.05，
解得：a，
∴函数关系式为；
（2）函数图象如图：
（3）根据函数图象可知，本次投掷后，铅球距运动员出手点的最远水平距离为20m；
令y＝0得：，
解得：x＝20或x＝﹣2（舍去），
∴本次投掷后，铅球距运动员出手点的最远水平距离为20m．
24．解：（1）∵四边形ABCO是矩形，
∴AB＝OC，AO＝BC，BC⊥OC，
∵A的坐标为（0，2），C的坐标为（﹣8，0），
∴AB＝OC﹣2，AO＝BC＝8，
∴B的坐标为（﹣8，2），
故答案为：（﹣8，2）；
（2）当1＜x＜5时，点P在AB上运动，
则AP＝2x﹣2，
故答案为：2x﹣2；
（3）①当1≤x≤5（或点P由A向B运动）时：
此时直线l运动的距离+P点运动的距离＝OA+AB，
即：2（x﹣1）+x﹣1＝8，
∴x，
故点P（，2）；
②当5＜x≤9（或点P由B向A运动）时：
此时直线l运动的距离＝P点运动的距离﹣（OA+AB），
即：2（x﹣1）﹣8＝x﹣1，
∴x＝9，
故点P的坐标为：（0，2）；
综上，点P的坐标为（，2）或（0，2）；
（4）①当点P由O向A运动时，
∵S△BOPOP AB＝2，OP＝2x1，AB＝8，
∴8＝2，
解得：x1，
②当点P由A向B运动时，
∵S△BOPOA BP＝2，OA＝2，BP＝AB﹣AP＝8﹣（2x2﹣2）＝10﹣2x2，
∴（10﹣2x2）＝2，
解得：x2＝4，
③当点P由B向A运动时，
∵S△BOPOA BP＝2，OA＝2，BP＝2x3﹣AB﹣OA＝2x3﹣10，
∴（2x3﹣10）＝2，
解得：x3＝6，
综上所述，当x的值为 或4或6时，△BOP的面积为2．

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