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2025-2026学年下学期九年级数学第一次月考试卷
一．选择题（本大题共有10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．我市某天最高温度是11°C，最低气温是零下3°C，那么当天的最大温差是（　　）
A．8°C B．﹣8°C C．14°C D．﹣14°C
2．玉龙沙湖旅游区，坐落于内蒙古自治区赤峰市翁牛特旗乌丹镇东北部，位于素有八百里瀚海之称的科尔沁沙地的西缘．这里距北京、沈阳、大连等地均在500公里内，被誉为距离北京最近最美的大漠旅游区．玉龙沙湖占地100000000平方米．该旅游区集沙漠、湖泊、湿地、草甸、奇松于一体，是国家AAAA级旅游景区．100000000用科学记数法可表示为（　　）
A．1×107 B．10×107 C．1×108 D．1×109
3．如图是由5个相同的小正方体组成的几何体，它的主视图是（　　）
A．B． C． D．
4．下列各式运算正确的是（　　）
A．x+x＝x2 B．a5﹣a4＝a
C．3a2b﹣2a2b＝1 D．﹣x3+3x3＝2x3
5．如图是可以自由转动的转盘，转盘被等分成三个扇形，并分别标上1，2，3，转盘停止后，则指针指向的数字为偶数的概率是（　　）
A． B． C． D．
6．如图，在平面直角坐标系中，△ABC与△DEF关于原点O成位似关系．点A，D在x轴上，且AD＝2OA，若点C的坐标为（2，1），则点F的坐标是（　　）
A．（2，4） B．（3，6） C．（4，2） D．（6，3）
7．在平面直角坐标系中，将点（﹣3，5）向右平移4个单位长度后得到的点的坐标是（　　）
A．（﹣3，1） B．（1，5） C．（﹣3，9） D．（﹣7，5）
8．下列命题中是真命题的是（　　）
A．点P（﹣2，﹣3）到x轴的距离是2
B．立方根等于其本身的数是0和1
C．若关于x的一元一次不等式组无解，则m≤1
D．若两个角的两边分别平行，则这两个角相等．
9．若点M（﹣2，y1），N（﹣1，y2），P（8，y3）在抛物线y＝﹣x2+4x上，则下列结论正确的是（　　）
A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y1＜y3 C．y3＜y1＜y2 D．y1＜y3＜y2
10．如图，菱形ABCD的边长为4，∠A＝60°，M是AD的中点，N是AB边上一动点，将△AMN沿MN所在的直线翻折得到△A′MN，连接A′C，则当A′C取得最小值时，则∠DCA′的正弦值为（　　）
A． B． C． D．
二．填空题（本大题有6个小题，每小题3分，共18分）
11．分解因式：x2﹣2023x＝　 　 ．
12．若分式有意义，则实数x的取值范围是 　 　 ．
13．不等式组的解为 　 　 ．
14．如图，五边形ABCDE是正五边形，F，G是边CD，DE上的点，且BF∥AG．若∠CFB＝57°，则∠AGD＝　 　 ．
15．如图，M为双曲线（x＞0）上的一点，分别交直线y＝﹣x+m于点D、C两点．若直线y＝﹣x+m与y轴交于点A，与x轴交于点B，则AD BC的值为 　 　 ．
16．如图，在 ABCD中，点E在BC上，BD与AE交于点F，连接CF，若，则　 　 ．
三．解答题（本大题有8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（9分）计算：．
18．（9分）解方程：
（1）；
（2）1．
19．（9分）在矩形ABCD中，取CD的中点E，连接AE并延长，交BC的延长线于点F．
（1）求证：AE＝EF．
（2）已知AB＝4，AF＝6，求AD的长．
20．（9分）某校举办了数学知识竞赛，从七、八年级各随机抽取了10名学生的竞赛成绩（百分制），进行整理，描述和分析如下：成绩得分用x表示（x为整数），共分成四组：
A.80≤x＜85；B.85≤x＜90；C.90≤x＜95；D.95≤x＜100．
七年级10名学生的成绩是：96，86，96，86，99，96，90，100，89，82．
八年级10名学生的成绩在C组中的数据是：90，92，94．
抽取的七、八年级学生成绩统计表：
年级 平均数 中位数 众数 方差
七年级 92 a b 34.6
八年级 92 93 100 41.4
根据以上信息，解答下列问题：
（1）直接写出图表中a，b的值：a＝　 　 ，b＝　 　 ；
（2）该校八年级共50人参加知识竞赛，估计八年级参加竞赛成绩优秀（x≥90）的学生人数．
21．（9分）寒假期间，小明和小红在A处游玩，结束后相约去学校自习室，学校在点C处，小明家在点D处，小红家在点B处，点D在点A的正东方向，点B在点A的正北方向，点C在点B的北偏东60°方向，点C在点D的东北方向，且AB＝200米，BC＝800米．
（1）求小明家到学校的距离CD的长度（结果保留根号）；
（2）小明和小红同时从A处出发，两人先各自回家取书包．再去学校自习室，小明步行的速度为40米/分，小红步行的速度为45米/分，请通过计算说明谁先到达学校自习室（两人取书包的时间忽略不计）．（参考数据：，，结果精确到十分位）
22．（9分）如图1，若二次函数y＝ax2﹣2x+c（a≠0）的图象与x轴交于点A和点B（3，0），与y轴交于点C（0，﹣3）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图2，连接BC，点P为直线BC下方抛物线上的动点，求△PBC面积的最大值及此时点P的坐标；
（3）如图3，将抛物线y＝ax2﹣2x+c（a≠0）先向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度得到新的抛物线y′，在y′的对称轴上有一点D，坐标平面内有一点E，使得以点B，C，D，E为顶点的四边形是矩形，求点E的坐标．
23（9分）已知抛物线y＝x2﹣ax+5（a为常数）经过点（1，0）．
（1）求a的值．
（2）过点A（0，t）与x轴平行的直线交抛物线于B，C两点，且点B为线段AC的中点，求t的值．
（3）设m＜3＜n，抛物线的一段y＝x2﹣ax+5（m≤x≤n）夹在两条均与x轴平行的直线l1，l2之间．若直线l1，l2之间的距离为16，求n﹣m的最大值．
24．（9分）如图所示，点C在以O为圆心、线段AB为直径的半圆上，联结BC，取线段BC中点D，在线段OA上取一点E（点E不与点A重合），使DE＝BD，作E点作直线EF⊥DE，EF与AC交于点F．
（1）如图（1），当点O、点E重合时，求证：四边形CDEF是正方形．
（2）如图（2），联结OF，点M是线段OF与线段DE的公共点．
①设x，tanB＝y，求y关于x的函数解析式并写出定义域．
②如图（3），联结BF、OC，点N是线段BF与线段OC的公共点，点G是线段OC与线段DE的公共点，当时，求的值．
参考答案
一．选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C C． A D． D D B C C B
二．填空题
11．x（x﹣2023）．
12．x≠3．
13．﹣3≤x＜1．
14．129°．
15．6．
16．．
三．解答题
17．解：
．
18．解：（1），
方程两边同时乘2（x﹣1），得2x＝x﹣1，
解得：x＝﹣1，
检验：把x＝﹣1代入2（x﹣1）≠0，
∴分式方程的解为x＝﹣1；
（2）1．
方程两边同时乘x﹣2，得2x＝x﹣2+1
解得：x＝﹣1，
检验：把x＝﹣1代入x﹣2≠0，
∴分式方程的解为x＝﹣1．
19．（1）证明：∵矩形ABCD，
∴AD＝BC，∠D＝∠C＝90°
∵E为CD中点，
∴DE＝CE，
在△ADE和△CEF中，
，
∴△ADE≌△CEF（ASA）
∴AE＝EF．
（2）解：由（1）△ADE≌△CEF，得出AD＝CF，
∵AD＝BC，
∴BC＝CF＝AD，
在Rt△ABF中，
BF2，
∴ADBF．
20．解：（1）把七年级10名学生的成绩从小到大排列，排在中间的两个数分别是90，96，故中位数a93；
在七年级10名学生的成绩中，96出现的次数最多，故众数b＝96．
故答案为：93；96；
（2）因为八年级的中位数是93，八年级10名学生的成绩在C组中的数据是：90，92，94，
所以有5个学生的成绩比93大，所以被抽取的10名学生的成绩有7人成绩优秀，
5035（人）．
答：估计八年级参加竞赛成绩优秀（x≥90）的学生人数大约有35人．
21．解：（1）如图：
由题意得：AE＝CF，∠BEC＝∠AFC＝90°，∠CDF＝45°，
在Rt△BEC中，BC＝800米，∠EBC＝60°，
∴EB＝BC cos60°＝800400（米），
∵AB＝200米，
∴CF＝AE＝AB+BE＝200+400＝600（米），
在Rt△CDF中，CD600（米），
∴小明家到学校的距离CD的长度为600米；
（2）小红先到达学校自习室，
理由：由题意得：CE＝AF，
在Rt△BEC中，BC＝800米，∠EBC＝60°，
∴CE＝BC sin60°＝800400（米），
∴AF＝CE＝400（米），
在Rt△CDF中，∠CDF＝45°，CF＝600米，
∴DF600（米），
∴AD＝AF﹣DF＝（400600）米，
∵小明步行的速度为40米/分，小红步行的速度为45米/分，
∴小明需要的时间23.5（分）；
小红需要的时间22.2（分），
∵22.2分＜23.5分，
∴小红先到达学校自习室．
22．解：（1）二次函数y＝ax2﹣2x+c（a≠0）的图象与x轴交于点A和点B（3，0），与y轴交于点C（0，﹣3）．将点B，点C的坐标分别代入得：
，
解得：，
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3；
（2）设直线BC的解析式为y＝kx+b，将点B（3，0），点C（0，﹣3）分别代入得：
，
解得：，
∴直线BC的解析式为y＝x﹣3，
点P为直线BC下方抛物线上的点，如图2，
设P（a，a2﹣2a﹣3），
∴M（a，a﹣3），
∴，
当时，，
∴，
∴△PBC面积的最大值为，
∴；
（3）由题意可得：y′＝（x﹣1）2﹣2（x﹣1）﹣3﹣1＝x2﹣4x﹣1＝（x﹣2）2﹣5，
y′的对称轴为x＝2．
∵B（3，0），C（0，﹣3），
∴OC＝OB＝3，∠BCO＝∠CBO＝45°，
当BC为矩形一边时，且点D在x轴的下方，如图3，过D作DF⊥y轴于点F，
∵D在y′的对称轴上，
∴FD＝2，
∵∠BCD＝90°，∠BCO＝45°，
∴∠DCF＝45°，
∴CF＝FD＝2，OF＝3+2＝5，即点D（2，﹣5），
∴点C向右平移2个单位、向下平移2个单位可得到点D，则点B向右平移2个单位、向下平移2个单位可得到点E（5，﹣2）；
当BC为矩形一边时，且点D在x轴的上方，y′的对称轴为x＝2与x轴交于点F，如图4，
∵D在y′的对称轴上，
∴FO＝2，
∴BF＝3﹣2＝1，
∵∠CBO＝45°，即∠DBO＝45°，
FD＝1，即点D（2，1），
∴点B向左平移1个单位、向上平移1个单位可得到点D，则点C向左平移1个单位、向上平移1个单位可得到点E（﹣1，﹣2）；
当BC为矩形对角线时，如图5，设D（2，d），E（m，n），BC的中点F的坐标为，
依意得：，
解得：，
又∵DE＝BC，
∴（2﹣1）2+（d﹣n）2＝32+32，
解得：，
联立得：，
解得：，
∴点E的坐标为或．
综上所述，点E的坐标为（5，﹣2）或（﹣1，﹣2）或或．
23．解：（1）抛物线y＝x2﹣ax+5（a为常数）经过点（1，0）．将点（1，0）代入得：
1﹣a+5＝0，
解得：a＝6；
（2）由（1）知：y＝x2﹣6x+5＝（x﹣3）2﹣4，
∴对称轴为直线x＝3，
∵点A（0，t）在y轴上，过点A（0，t）与x轴平行的直线交抛物线于B，C两点，
∴B，C关于对称轴对称，B，C的纵坐标均为t，
又∵点B为线段AC的中点，
∴xC＝2xB，
∴，
∴xB＝2，
∴x＝2代入y＝x2﹣6x+5，得：y＝22﹣6×2+5＝﹣3，
∴t＝﹣3；
（3）∵y＝x2﹣6x+5＝（x﹣3）2﹣4，
∴抛物线的顶点坐标（3，﹣4），
当抛物线的一段y＝x2﹣ax+5（m≤x≤n）夹在两条均与x轴平行的直线l1，l2之间时，
m，n为直线与抛物线的交点，
∴要使n﹣m最大，则，m，n为一条直线与抛物线的交点，x＝m和x＝n关于对称轴对称，
又∵直线l1，l2之间的距离为16，为定值，
∴当一条直线恰好经过抛物线的顶点（3，﹣4），即：y＝﹣4时，n﹣m最大，此时另一条直线的解析式为y＝16﹣4＝12，如图：
∴当x2﹣6x+5＝12时，
解得：x1＝7，x2＝﹣1，
∴n＝7，m＝﹣1，
∴n﹣m的最大值为：7﹣（﹣1）＝8．
24．（1）证明：
∵AB是⊙O的直径，
∴∠C＝90°，
∵D是BC的中点，O是AB的中点，
∴OD∥AC，
∴∠CDO＝180°﹣∠C＝90°，
∵DE⊥EF，
∴∠DEF＝90°，
∴四边形CDEF是矩形，
∵CD＝BD＝DE，
∴四边形CDEF是正方形；
（2）①解：如图1，
连接OD，DF，
∵CD＝BD＝DE，∠C＝∠DEF＝90°，DF＝DF，
∴Rt△DCF≌△DEF（HL），
∴CF＝EF，
∵DE＝BD，
∴∠B＝∠DEB，
∵∠C＝∠DEF＝90°，
∴∠B+∠A＝90°，∠AEF+∠DEB＝90°，
∴∠A＝∠AEF，
∴AF＝EF，
∴CF＝AF，
∴DF∥AB，DFAB＝OB，
∴四边形BOFD是平行四边形，
∴∠DFO＝∠B，
∴tan∠DFO＝tanB＝y，
∵OA＝OB，
∴ODAC，
∴OD＝CF＝AF＝EF，
∴四边形EODF是等腰梯形，
∴∠OEF＝∠DOE，∠BED＝∠EOF，∠OFD＝∠FDE，
∴∠DOF＝∠DEF＝90°，FM＝DM，
∴，
设OD＝ay，OF＝a，FM＝DM＝m，则OM＝OF﹣FM＝a﹣m，
∵∵DM2﹣OM2＝OD2，
∴m2﹣（a﹣m）2＝（ay）2，
∴m，
∴x，
∴y或y，
由题意得：0＜tanB＜1，
∴0＜y＜1，
∴y2+1＞2y，
∴0＜x＜1；
②如图2，
连接OD，
由①知：AF＝CF＝OD，EM＝OM，∠DOM＝90°，
∴OD2+OM2＝DM2（Ⅰ），
∵OA＝OB，
∴OF∥BC，
∴，
∵，
∴，
∴OD2＝OM DM（Ⅱ），
由（Ⅰ）和（Ⅱ）得，
OM2+OM DM﹣DM2＝0，
∴或（舍去），
∵F是AC的中点，O是AB的中点，
∴N是△ABC的重心，
∴CNOC，
∵OF∥BC，
∴△OGM∽△CGD，
∴，
∴，
∵OF＝CD，
∴，
∵FM＝DM，
∴，
∴OG，
∴．

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