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重庆一中初 2026届初三下阶段性消化作业（三）
（全卷共四个大题，满分 150分，考试时间 120分钟）
一、选择题：（本大题 10个小题，每小题 4分，共 40分）在每个小题的下面，都给出代号为 A、
B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框
涂黑.
1. 3的倒数是（ ）
A 3 B 1． ． C． 3 D 1．
3 3
2. 下列消防标识中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
3. 第二十二届中国国际摩托车博览会在重庆开幕，此次博览会共设有 8个场馆，总展示面积达到
160000平方米．其中数 160000用科学记数法表示为（ ）
A．16 104 B．1.6 104 C．1.6 105 D．0.16 106
4. 如图，在水平地面 AB 上支放一个平面镜CD，一束光线 EF 经过平面镜反射后成水平光线 FG射
出， EF 延长线交 AB于点 H .若 DCA 30 ，则 CFH 度数为（ ）
A． 30 B． 45 C． 50 D． 60
5. 如图，△ABC和△DEF 是以点 O为位似中心的位似图形．若OA 3， AD 5，△ABC的面积
9
为 ，则△DEF的面积为（ ）
2
25 75
A． B．30 C．32 D．
2 2
4题图 5题图 7题图
6. 估计 3( 6 3)的值应在（ ）
A．0和 1之间 B．1和 2之间 C．2和 3之间 D．3和 4之间
7. 如图， AB分别与 O交于两点 B，C， AD与 O交于点 D，连接CD，若CA CD， A 20 ，
则 BOD的度数是（ ）
A． 40 B．50 C．80 D．100
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8. 用黑白两种三角形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有 4个黑色三角形，第②个图案
中有 7个黑色三角形，第③个图案中有 10个黑色三角形，第④个图案中有 13个黑色三角形， ，
依此规律排下去，则第⑧个图案中黑色三角形的个数为（ ）
① ② ③ ④
A．22 B．25 C．28 D．31 9题图
9. 如图，正方形 ABCD的边长为 4，点 E 是CD边上的点，且DE 1，连接 AE交对角线 BD于点 G，
将△ADE沿直线 AE翻折到正方形 ABCD所在平面内，得△AME，延长 EM 交 BC于点F，延长 AM
交 BC的延长线于点 N，连接GN，则 AGN的面积为（ ）
12 17
A． B C 12 17 17 17． ． D．
5 5 5 5
10. n已知整式 A anx a x
n 1
n 1 a1x a0，其中 n为自然数，an 为正整数，m，an 1, ,a0为整数，
且 n an an 1 a1 a0 m．下列说法：
①若 A为三项式，则 m的最小值为 5；
②若m 3，则满足条件的 A共有 5个；
③当 n 2，m 5时，满足关于 x的二次函数 y A与 x轴有交点的 A共有 9个．
其中正确的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
二、填空题：（本大题 6个小题，每小题 4分，共 24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应
的横线上.
11. 五边形的内角和为 °
12. 亮亮和爸爸搭乘高铁外出游玩．若售票系统随机分配座位，且系统已将两人分配到同一排．如
图所示的是高铁内同一排座位 A，B，C的排列示意图．则亮亮和
爸爸被分配到不相邻座位的概率为________．
a
13. 2 a
2 ab
若 ，则 2 2 的值_______b a b
14. 如图，点 D、E分别是△ABC边 AC、BC的中点, 在 AC的延
长线上取一点 F, 使 EF=BC，且∠DEF=∠ACB, 已知 DF=6，
DE=_______.
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15. 如图，四边形 ABCD是平行四边形， O以CD为直径且过点A，
与对角线 BD交于点M，连接 AM 并延长交 BC于点 N，且 BN CN
当 AN 8时，BC的长度是________；连接MC，则弦MC的长度
是________．
16. 如果一个四位数M满足各个数位数字都不为 0且互不相等，若十位数字与个位数字之和为 9，
将M的千位数字与百位数字组成的两位数记为 x，十位数字与个位数字组成的两位数记为 y，令
F M x y ，若 F M 为整数，则称数M是“欢乐数”．例如：M 2718， 1 8 9，x 27，y 18，
9
F(M ) 27 18 5为整数， M 2718是“欢乐数”．若M为最小的“欢乐数”，则F M ________；
9
G M 2a 4c把一个“欢乐数”M的千位数字记为 a，百位数字记为 b，十位数字记为 c，令 ，当G M
b 2c
为整数时，满足条件的M的最大值与最小值的和为________．
三、解答题：（本大题 9个小题，17题 8分，18题 8分，其余每个小题 10分，共 86分）解答时每
小题须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写
在答题卡中对应的位置上．
ì3x 5 8

17.解不等式组 í
2x 1 3x 1 < 2
18. 在学习了三角形全等和等腰三角形的相关知识后，小明同学进行了更深入的研究，他 发现，三
角形一个角的角平分线上的点，如果满足到另外两个顶点距离相等，这个三角形有可能是等腰三角
形。其解决思路是利用角平分线的性质和全等得出结论. 请根据他的思路完成以下作图与填空:
(1)如图，在△ABC中，AE平分∠BAC交 BC于 E，点 D在线段 AE上，用尺规过点 D作 AB的垂
线，交 AB于点 F．（不写作法，保留作图痕迹）
(2)已知：点 D在△ABC内，且在 AE上，DB=DC, DG⊥AC于 G.
求证：AB=AC．
证明：∵AE平分∠BAC，DF⊥AB，DG⊥AC
∴① ，
在 Rt△DBF和 Rt△DCG中
ìDF DG
í
②________


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∴ Rt DBF Rt DCG（HL）．
∴③ ．
又∵DB DC ，
∴∠DBC=∠DCB．
∵∠ABC=∠ABD+∠DBC，∠ACB=∠ACD+∠DCB，
∴④
∴AB=AC．
进一步思考，点 D在△ABC外，其余条件不变，“AB=AC”还成立吗？写出你猜想的结论：
⑤ ．（填“一定成立”或者“一定不成立”或“不一定成立”）
19. 为提升青少年网络安全意识，某校举办了“数字安全小卫士”知识竞赛，内容涵盖个人信息保护、
网络诈骗识别等.现从七、八年级学生的竞赛成绩中，各随机抽取了 10名学生的成绩进行统计分析．数
据整理如下：（成绩得分用 x表示，共分成三组：合格80 x < 85，良好 85 x < 95，优秀 x 95）下
面给出了部分信息：
七年级学生竞赛成绩在“良好”等级中的数据为：90，94，85，90，90
八年级 10名学生的竞赛成绩为：83，84，84，88，89，89，95，95，95，98.
抽取的七年级学生竞赛
抽取的七、八年级学生竞赛成绩统计表 成绩扇形统计图
根据以上信息，解答下列问题：
（1）填空： a ，b ，m ；
（2）根据以上数据分析，你认为该校七、八年级中哪个年级学生的知识竞赛成绩较好？请说明理
由（写出一条理由即可）；
（3）该校七、八年级共有 2600名学生参加了此次知识竞赛，请估计该校七、八年级参加此次知
识竞赛成绩优秀的学生人数共有多少？
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2
2 2
20. 先化简，再求值： 2x 1 4x x 1 x 1 x x x 1 ，其中 x tan30 1．1 2x 2x 1
21. 列方程解下列问题：
某公司积极响应节能降碳号召，决定采购新能源 A型和 B型两款汽车，已知每辆 A型汽车的进
价是每辆 B型汽车的进价的 1.5倍，用 1500万元购进 A型汽车的数量比用 1200万元购进 B型汽车
的数量少 10辆．
(1)求每辆 A型和 B型汽车的进价分别为多少万元？
(2)公司将出售两种汽车，将 A型汽车的售价定为 35万元/辆，B型汽车的售价定为 25万元/辆，
第一个月售出 A型汽车 8辆，售出 B型汽车 6辆，为了尽快将汽车销售完，公司决定在第一个月的
售价上搞促销活动，每辆 A型汽车降低 m万元，第二个月比第一个月多卖出 2m辆，每辆 B型汽车
售价直接打九折，第二个月卖出 B型汽车 13辆，结果第二个月比第一个月的利润多 3万元，求 m
的值．
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22. 如图，在矩形 ABCD中， AB 4， AD 3，点 E为线段 BD的中点，动点 P以每秒 1个单位长
1
度从点 B出发，沿着 B C D运动．动点 Q同时以每秒 2 个单位长度从点 D出发，沿D B方
向运动，当点 P到达点 D时，点 P、Q同时停止运动．设点 P、Q的运动时间均为 x秒 (0 < x < 7)，
4 S△BCD
记△BEP的面积为 y1， y2 5 ．S△AQD
(1)请直接写出 y1， y2关于 x的函数关系式，
并写出自变量的取值范围；
(2)在给定的平面直角坐标系中画出 y1， y2的
图象，并写出函数 y1的一条性质；
(3)结合函数图象，请直接写出当 y1 y2时 x
的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差
不超过 0.2）．
23. 如图，A港在 E港北偏西75 方向，且在 B港的正北方向 30海里处，C港在 B港的正东方向，
D港在 C港的北偏东60 方向，E港在 D港的正北方向 15海里处，且在 B港的东北方向．（参考数
据： 2 1.4， 3 1.7， 7 2.6）
(1)求 C，D两港之间的距离（结果保留根号）；
(2)甲货船从 A港出发，向 B港运送物资，乙货船从 C港出发，向 D港运送物资，甲船速度为
乙船速度的 1.5倍（均沿直线匀速运送）．请问当两艘船首次相距 25海里时，甲船离 A港多少海里
（结果精确到 0.1海里）？
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24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y ax2 bx 3与 x轴交于 A、B两点（A在 B的左侧）,
与 y轴交于点 C, 点 C关于 x轴的对称点为点 D，连接 BD、AC、BC， tan
2
ACO , BO=3AO.
3
（1）求抛物线的表达式；
（2）P是第一象限抛物线上一动点，连接 PB、PC，E、F为直线 BC上的动点（E在 F左侧），
且满足 EF 5 ,G为直线 BD上的动点，连接 PF、EG，当四边形 CPBD面积最大时，求点 P的
坐标，并求出 PF FE EG 的最小值;
（3）将原抛物线沿射线 CA方向平移得到新抛物线 y '，使平移后的新抛物线 y '的对称轴为 y轴，
点 Q为 y轴右侧 y '上一动点，连接 AQ，过 AQ的中点 M作 AQ的垂线交直线 BD于 N，连接 NQ，
当 MQN ACO时，直接写出所有符合条件的点 Q的横坐标，并写出其中一个 Q点横坐标的求
解过程.
24题图 24题备用图
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25. 在 ABC中， BAC 120 ，点 D为CA延长线上一点，连接 BD，使 BD DC，点 E在线段 BC
上，连接 DE交 AB于点 F.
（1）如图 1，若 DEB 60 ， ACB a,求 DFB 的度数（用含 a的代数式表示）；
（2）如图 2，点G在 BC 的下方，连接 BG，CG .若 DEB 60 ，CG CD，AB //CG .
2 3
求证： BC DE BG；
3
（3）如图 3，连接 AE ，将 AE 绕点 A 顺时针旋转 60 得到 AQ ，连接 BQ、CQ、EQ .若
AE 2 2，BE 2CE,当 BQ取最小值时，直接写出 CEQ的面积.
25题图 1 25题图 2
25题图 3
第 8页，共 8页重庆一中初 2026 届初三下阶段性消化作业（三）
参考答案
一、选择题：（本大题 10个小题，每小题 4分，共 40分）
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
D D C A C B C B B D
二、填空题（共 24分，每小题 4分）
1
11． 540 12．
3
2
13． 14． 3
3
16 16 3
15． 3 9 16． 5 9999
三、解答题：（本大题共 2小题，每小题 8分，共 16分）
17. 解： 解不等式①，得 x 1 2 分
解不等式②，得 x 3 4 分
（数轴略） 6 分
所以原不等式组的解集为1 x 3 8分
18． 图略 19.（10分）
1 DF DG (1) a= 90 , b= 95 , m= 30 ；
2 DB DC （2）八年级学生知识竞赛成绩较好，
3 ABD ACD 八年级的众数95大于七年级的众数90，
八年级学生知识竞赛成绩较好.
∠ABC ACB
4
(3) 3 4 2600 910（人）
一定成立 205
答：该校七、八年级参加此次知识竞赛成绩优秀的学生人数共910人.
（作图 3 分，每空 1 分）
2 2
20．解：原式= = 6分
1 x x 1
x tan30 1 3 1 1 3 3 3当 时， 8 分
3 3 3
原式= 2 3
10 分
21．解：设 B型汽车的进价为每辆 x万元，则 A型汽车的进价为每辆1.5x万元，
1200 1500
依题意得： 10，
x 1.5x
1
解得： x = 20，
经检验， x = 20是方程的解，且符合题意，
则1.5x 1.5 20 30，
答：A型汽车的进价为每辆 30 万元，B型汽车的进价为每辆 20 万元；
（2）解：第一个月的利润为：
35 30 8 25 20 6 70（万元），
35 30 m 8 2m 25 90% 20 13 70 3
m1 m2 0.5
答：m的值为 0.5．
x 0 x 3
8
22．(1) y1 21 3x ， y 3 x 7 2
0 x 7
x 4
(2) 当0 x 3时， y1随 x的增大而增大，
当3 x 7时， y1 随 x的增大而减小；
(3) 2.8 x 4.8
23．解：如图，连接 BE，过点 A作 AG BE交 BE于点 G，延长 ED， BC交于点 K，
∵A港在 E港北偏西75 方向，E港在 B港的东北方向，
∴ AEH 75 ， BEK 45 ，
∴ AEB 180 AEH BEK 60 ，
∵ AG BE，
∴ AGB 90 ，
∵ ABG 45 ， AB 30，
∴在Rt△AGB中， BG AG sin 45 AB 2 30 15 2 ．
2
∵ AEB 60 ， AG 15 2，
AG 15 2
∴在Rt AGE中，GE 5 6，
tan 60 3
∴ BE BG GE 15 2 5 6．
2
∵ BEK 45 ，BE 15 2 5 6 ， K 90 ，
∴在Rt BKE中， BK EK BE sin 45 15 5 3 ，
∵ ED 15，
∴DK EK ED 15 5 3 15 5 3 ．
∵ DCK 90 60 30 ，DK 5 3，
DK
∴在Rt CKD中，CD 10 3 ．
sin 30
答：C，D两港之间的距离为10 3海里．
（2）解：如图，设甲货船从 A港出发，行至 N点，乙货船从 C港出发，行至 M点，此时
两船首次相距 25 海里，即MN 25，连接MN，过点 M作MR BN于点 R，过点 C作
CP RM 于点 P，延长 ED， BC交于点 K，
∵甲船速度为乙船速度的 1.5 倍且两船均沿直线匀速运送，
∴甲船路程为乙船路程的 1.5 倍，
设两船首次相距 25 海里时，乙船的路程为 S海里，则甲船的
路程为1.5S海里，
即 AN 1.5S，CM S，
∵ PCM 60 ，CM S，CP RM ，
∴ CPM 90 ，
Rt CPM CP cos60 CM
1
S PM sin 60 CM 3∴在 中， ， S．
2 2
∵MR BN，
∴ BRM 90 ，
∵ BRM B BCP 90 ，
∴四边形 BRPC是矩形，
∴ BR PC
1
S ，RP BC．
2
由（1）可知， DCK 30 ，DK 5 3，
DK
在Rt CKD中，CK 15，
tan 30
∵ BK 15 5 3，
3
∴ BC BK CK 15 5 3 15 5 3，
∴ RP BC 5 3，
∴ RM RP PM 5 3 3 S，
2
1
∵ AB 30， AN 1.5S ，BR S，
2
∴ NR
1
AB AN BR 30 1.5S S 30 2S ．
2
在Rt NRM中， ∵ NRM 90 ，
∴ NR2 RM 2 MN 2 ，
2
30 2S 2

∴ 5 3
3
S 25
2，
2
S 210 50 7 S 210 50 7解得 1 ，19 2
，
19
S 210 50 7 17.9 S 210 50 7∴ 1 ， 2 4.2，19 19
∵ NR 30 2S＞0，
∴ S1 17.9不符题意，应舍去，
∴ S 4.2，
∴1.5S 6.3．
答：当两艘船首次相距 25 海里时，甲船离 A港 6.3 海里．
24． 解：（1）由题意得C(0,3)
∵ BO 3AO, tan ACO 2 ∴ A( 2,0),B(6,0) ,代入 y ax2 bx 3
3
4a
1
2b 3 0 a
得 所以36a 6b 3 0
4
b 1
1
所以，抛物线的表达式为 y x2 x 3
4
（2）由 B(6,0),C(0,3) 1得 yBC x 3,D(0, 3)2
∵ S△BCD为定值，所以当 S△PCB 最大时四边形的面积最大，过 P作 PH∥y轴交 BC于点 H，
P(m, 1设 m2 m 3) H (m, 1 ，则 m 3)
4 2
4
S 1 1 2 1△PCB PH (x x2 B C
) 3( m m 3 m 3)
4 2
3
m2 9 m
4 2
3
∵ 0, b∴当m 3 15时 S
4 2a △PCB
最大，此时 P(3, )
4
由D(0, 3) , B(6,0) 1得 yBD x 3,将 PF 沿射线 FE 方向平移 5 个单位为 P1E，过 P2 1
作 P1M
⊥BD 于 M，则 PF+EG 的最小值为 P1M
由 P(3,15) 1， yBC x 3, EF 5 P '(1,
19
得 )
4 2 4
P 'M 29 5∴
10
PF FE EG 39 5∴ 的最小值为
10
7 201 1 465
（3） ;
2 4
25．（1）解：由 BAC 120 ， ACB a，
ABC 60 a，
又 FEB 60 ， DFB 120 a.
（2）连接CF .
由（1）得 DFB 120 a,
DB DC，
在 DBE中， BDE 120 a,
BD BF DC GC,
又 BF//GC 四边形BFCG是平行四边形,
CF BG
方法一：在BC上截使BH DE,见答图1，
CDE≌ FBH (SAS )，
FEH FHE 60 ， FH EC FE,
BC BH HC DE 2EC DE 2 3 BG
3
方法二：延使DR BC，见答图2，
CDR≌ FBC, CRD FCB，CR CF ,
CRD CFE FCB 30 ，
5
ECR ER 2 3在 中， CR，
3
（3）解：如图，延长 AE至 F ，使 EF 2AE ，则 AF 3AE 6 2，
AE CE 1
∴ ， AEC FEB，
EF BE 2
∴△ACE∽△FBE，
∴ CAE BFE，
∴ AC∥BF，
∴ ABF 180 BAC 60 ，
根据定弦定角模型可知点 B在以O为圆心，OA为半径的圆弧上，
过点O作OH AF交 AF 于点 H ，过点Q作QG AF交 AF 于点G，延长OQ交 O于点 B ，
∵ BQ OQ OB，
∴ BQ OB OQ，即点 B和 B 重合时， BQ取最小值，
C E 1
此时点C对应点为C ， ，
B E 2
∵OH AF，OA OF，
1
∴ AH AF 3 2，OH 平分 AOF，
2
∵ AOF 2 ABF 120 ，
∴ AOH 60 ，
OA AH 3 2 2 6 AH 3 2
∴ sin 60 3 ，OH 6 ，tan 60 3
2
∵GQ AQ sin 60 AE sin 60 2 2 3 6 ，
2
∴OH GQ，
∵OH AF，QG AF，
∴四边形OHGQ是矩形，
6
OQ GH AH AG 3 2 AE∴ 3 2 2 2 2 ，QB OB OQ 2 6 2 2，
2
∴ S
1 1 1 1
C EQ S B EQ B Q GQ 2 6 2 2 6 3 3．2 2 2 4
10.解：说法①，
A a xn a xn 1整式 n n 1 a1x a0为三项式，
当三项式的系数绝对值为 1，且 n最小时，m最小，
即 n 2，且 a2 1， a1 1， a0 1，
m最小 2 1 1 1 5，说法①正确；
说法②，
m 3， n an an 1 a1 a0 3， an 1，n为自然数，
分情况讨论：（1）当 n 0时，m 0 a0 3， a0 3，
A a0 3，符合条件的有 1 个；
（2）当 n 1时，m 1 a1 a0 3， a1 1；
（i） a1 1时， a0 1，a0 1，
A a1x a0 x 1或 A a1x a0 x 1，符合条件的有 2 个；
（ii） a1 2时， a0 0， a0 0，
A a1x a0 2x ，符合条件的有 1 个；
（3）当 n 2时，m 2 a2 a1 a0 3， a2 1，
a2 1， a1 0， a0 0， a2 1， a1 0， a0 0，
A a2x
2 a1x a x
2
0 ，符合条件的有 1 个；
（4）当 n 3时， an 1，m n an 4，与说法②矛盾，没有符合条件的情况；
综上分析，符合条件的 A共有1 2 1 1 5个，说法②正确；
说法③，
当 n 2，m 5时，m 2 a2 a1 a0 5，即 a2 a1 a0 3， a2 1，
7
二次函数 y a2x
2 a1x a0 与 x a
2
轴有交点，即 1 4a2a0 0，
分情况讨论：（1）当 a2 1时， a1 a0 2，
2
（i） a1 0， a0 2时， a1 0， a0 2， a1 4a2a0 0 4 1 2 ，
当 a0 2时， 0，符合条件的有 1 个；
（ii） a1 1， a0 1时， a1 1，a0 1 a
2
， 1 4a2a0 1 4 1 1 ，
当 a1 1， a0 1时， 0，符合条件的有 2 个；
iii a 2 a 0 a 2 a 0 a 2（ ） 1 ， 0 时， 1 ， 0 ， 1 4a2a0 4 0 0，符合条件的有 2 个；
当 a2 1时，符合条件的共1 2 2 5个；
（2）当 a2 2时， a1 a0 1，
2
（i） a1 0， a0 1时， a1 0， a0 1， a1 4a2a0 0 4 2 1 ，
当 a0 1时， 0，符合条件的有 1 个；
（ii） a1 1， a0 0时， a1 1， a0 0 a 2， 1 4a2a0 1 0 0，符合条件的有 2 个；
当 a2 2时，符合条件的共1 2 3个；
（3）当a2 3时， a1 a0 0，a1 a0 0，函数为 y 3x2与 x轴交于原点，符合条件的有
1 个；
综上分析，符合条件的 A共有5 3 1 9个，说法③正确；
故选：D．
15. 解：如图，连接 AC，
∵CD是 O的直径，
∴ CMD CAD 90 BMC，
∵ BN CN，
MN 1∴ BC BN CN，
2
∵四边形 ABCD是平行四边形，
∴ AD BC， AD BC，
∴ BMN∽ DMA，
8
MN BN 1
∴ ，
MA AD 2
MN 1 8∴ AN
3 3
∴ BC
16

3
∵ ACN CAD 90 ，
∴ AC
16
AN 2 CN 2 2 ，
3
过点 D 作DE BC，交 BC的延长线于点 E，则四边形 ACED是矩形，
∴DE AC 16 2 ，CE AD
16
BC ，
3 3
BD BE 2∴ DE 2
16
6，
3
1
∵ S BCD BD·CM
1
BC·DE，
2 2
∴CM BC·DE 16 3 ，
BD 9
16 16
故答案为： ， 3
3 9
16. 解：设“欢乐数”M的千位数字记为 a，百位数字记为 b，十位数字记为 c，则个位数字为
9 c， x 10a b， y 10c 9 c 9c 9，
∴ F M x y 10a b 9c 9 a c 1 a b ，
9 9 9
∵ F M 为整数，
∴ a b是9的倍数，
∵四位数 M满足各个数位数字都不为 0 且互不相等，
∴1 a 9，1 b 9，1 c 8，
∴3 a b 17，
∴ a b 9，
∴ b 9 a，
若 M为最小的“欢乐数”，则 a 1，b 8，此时由四位数 M满足各个数位数字都不为 0 且互
不相等，得到 c 2，
a b 9
∴若 M为最小的“欢乐数”，则 F M a c 1 1 2 1 5；
9 9
G M 2a 4c∵ ，
b 2c
G M 2a 4c
18 2 9 a 2c 18
∴ 2，
9 a 2c 9 a 2c 9 a 2c
18 18 9
当 a 1时，b 9 a 8，G M 2 2 2，若 M取得最小值，G M
9 a 2c 8 2c 4 c
为整数，则 4 c 9， c 5，此时M 1854，符合题意；
9
18 18
当 a 8时，b 9 a 1，G M 2 2，若 M取得最大值，G M 为整数，
9 a 2c 1 2c
则1 2c 9， c 4，此时M 8145，符合题意；
∴满足条件的 M的最大值与最小值的和为1854 8145 9999．
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