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4.5三角形的中位线 课时分层练
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
1．如图，是的中位线，若，则的长为（ ）．
A．2 B．4 C．5 D．8
2．如图，小华注意到跷跷板静止状态时，可以与地面构成一个，跷跷板中间的支撑杆垂直于地面（E，F分别为、的中点）．若，则此时点B距离地面的高度为（ ）
A． B． C． D．
3．如图，在中，点P是边上的动点，连接，，E，F分别是，的中点．点P从点B向点C运动的过程中，的长度（ ）
A．保持不变 B．逐渐增大 C．先增大再减小 D．先减小再增大
4．如图，小张想估测被池塘隔开的两处景观之间的距离，他先在外取一点，然后步测出的中点，并步测出的长约为，由此估测之间的距离约为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，、、分别是三条边上的中点，若的面积是12，则阴影部分的面积和是（ ）
A．4 B．6 C．8 D．12
6．如图，、两点被池塘隔开，在外选一点，连接和．分别取的中点，测得两点间的距离为，则两点间的距离为__________m．
7．如图，是的中位线，若，则的长为____________．
8．如图，四边形各边中点分别是E、F、G、H，求证：四边形是平行四边形．
9．如图，在中，点分别是边的中点，，求的度数．
10．如图，已知是的中位线，为上一点，连接，若，，则的长为（ ）
A． B． C．3 D．4
11．如图，在中，，分别是，的中点，则的值为（ ）
A． B． C． D．
12．如图，在平行四边形中，，对角线交于点，点是的中点，连接，点是的中点，连接，则的长是（ ）
A．1 B． C．2 D．
13．如图，在中，于点D，E，F，G，H分别是，，，的中点，若，则的长为（ ）
A． B．3 C．4 D．5
14．如图，矩形的对角线、相交于点，点为的中点，连接，若，，则的面积为（ ）
A．3 B．4 C．6 D．2
15．如图，在四边形中，点是对角线的中点，点、分别是、的中点，，，．则的度数为（ ）
A． B． C． D．
16．如图所示，在中，，、分别是、的中点，，，则______．
17．如图，在平行四边形中，点M为边上任意一点，点E，点F分别是的中点，若，则的长为___________．
18．如图，在中，对角线、相交于点，为的中点，．若，则的长为_____________．
19．如图，在中，已知，平分，E为的中点．
(1)求的长；
(2)求证：．
20．如图，已知四边形中，点E、F、G、H分别是、、、的中点．求证：和互相平分．
21．【问题情境】如图①，是的中线，与的面积有怎样的数量关系？
小琼的思路如下：
作，则，，
∵是的中线，　　　　　　，
∴；（请完成填空）
【解决问题】如图②，为提高全民健身环境，公园管理部门打算将原有的健身区域进行改造，改造方案如下：分别延长的至点D，E，F，使得A，B，C分别为的中点，依次连接点D，E，F得，已知的面积为，改造甲区域成本为100元，扩建乙区域成本为200元，求改造总费用．
22．（1）如图1，与相交于点过点O，且分别交于点E，F，且．判断四边形的形状，并加以证明．
（2）如图2，在中，点D，E分别为边的中点，点H在线段上，连接，点G，F分别为的中点．
①求证：四边形为平行四边形；
②若，求的长．
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《4.5三角形的中位线 课时分层练》参考答案
题号 1 2 3 4 5 10 11 12 13 14
答案 B A A B B B A B D A
题号 15
答案 C
1．B
【分析】根据三角形中位线定理，直接得出中位线与第三边的数量关系，进而求解．本题主要考查了三角形中位线定理，熟练掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．
【详解】解：∵ 是 的中位线，
∴
∴
故选：B．
2．A
【分析】本题考查的是三角形中位线定理，熟记三角形中位线等于第三边的一半是解题的关键．根据三角形中位线定理解答．
【详解】解：∵E、F分别为、的中点，
∴是的中位线，
∴，
故选：A．
3．A
【分析】本题考查考查三角形中位线定理，根据三角形中位线定理得，可知点P从点B向点C运动的过程中，的长度保持不变，于是得到问题的答案．
【详解】解：，F分别是，的中点，
是的中位线，
，
点P从点B向点C运动的过程中，的长度保持不变，
故选： A．
4．B
【分析】本题考查了三角形中位线定理．
证明是的中位线，进而作答即可．
【详解】分别是的中点，
是的中位线，
．
故选B．
5．B
【分析】本题考查了三角形面积，理解题意是解决本题的关键．
设的面积分别为，根据D、E、F是三边的中点，可得，进而求解即可．
【详解】解：设的面积分别为，
∵D、E、F是三边的中点，
∴，
∵的面积是12，
∴，
∴，
∴，
∴阴影部分的面积和是6，
故选B．
6．40
【分析】本题考查了三角形的中位线性质，根据三角形的中位线性质解答即可求解，掌握三角形的中位线性质是解题的关键．
【详解】解：∵点分别为的中点，
∴为的中位线，
∴，
故答案为：40．
7．
【分析】本题考查了三角形中位线定理，由三角形中位线定理得，，，所以 整体计算，即可求解．
【详解】解： 是的中位线，
，，，
，
故答案为：．
8．证明见解析
【分析】本题考查中点四边形，三角形的中位线定理，根据三角形的中位线定理以及一组对边平行且相等的四边形为平行四边形，进行求证即可．
【详解】证明：连接，
∵四边形各边中点分别是E、F、G、H，
是的中位线，是的中位线，
，
，
∴四边形是平行四边形．
9．
【分析】本题主要考查了三角形中位线定理，根据三角形中位线定理得到，则由平行线的性质可得到．
【详解】解：∵在中，点分别是边的中点，
∴都是的中位线，
∴，
∴，
∴．
10．B
【分析】本题考查三角形中位线定理，根据中位线得到，求出．
【详解】解：∵是的中位线，，
∴，
∵，
∴，
故选：B．
11．A
【分析】本题考查中位线，熟练掌握中位线的定义和性质是解题的关键．由，分别是，的中点，可知是的中位线，利用中位线性质即可得．
【详解】解：∵，分别是，的中点，
∴是的中位线，
∴，
故选：A．
12．B
【分析】由平行四边形性质可得，即为中点，又是的中点，所以是中位线，然后根据中位线定理即可求解，掌握平行四边形的性质，三角形中位线定理是解题的关键．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴，即为中点，
∵是的中点，
∴是中位线，
∴，
∵，点P是的中点，
∴，即．
13．D
【分析】本题考查了三角形中位线定理．
根据中位线定理得到，，即．
【详解】解：∵E，F分别是，的中点，
∴是中位线，
∴，
同理可得，
即．
故选：D．
14．A
【分析】此题考查了矩形的性质，三角形中线的性质，熟练掌握以上知识点是关键．首先求出，因为矩形的对角线、互相平分，则为中点，所以，因为点为的中点，所以，进而求解即可．
【详解】解：由条件可知，
∵矩形的对角线、互相平分，
∴为中点，
∴，
点为的中点，
．
故选：A．
15．C
【分析】由三角形的内角和定理，结合三角形中位线定理可得，由平行线的性质可得的度数，根据三角形的内角和定理以及等边对等角，计算即可得的度数．
【详解】解：∵是对角线的中点，点、分别是、的中点，
∴，，，，
∴，，
∵，，
∴，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
16．
【分析】此题主要考查了三角形中位线定理，勾股定理，关键是熟练掌握三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．首先根据三角形中位线定理可得，再由可得到的长，然后在中利用勾股定理可以算出的长．
【详解】解：、分别是边、的中点，
，
，
，
在中，，，
．
故答案为：．
17．3
【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，三角形中位线的判定和性质，解题的关键是掌握以上性质．
根据平行四边形的性质得出相等的边，然后判定是的中位线，根据三角形中位线的性质进行求解即可．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴，
∵点E，点F分别是的中点，
∴是的中位线，
∴，
故答案为：3．
18．1
【分析】取的中点并连接，先借助平行四边形对角线互相平分的性质，结合三角形中位线定理确定为的中位线，求出的长度，再根据线段比例关系推出是的中点，结合为的中点，再次运用三角形中位线定理判定为的中位线，最终求出的长．
【详解】解：取的中点，连接．
∵四边形是平行四边形，
∴是的中点．
∵是的中点，
∴是的中位线，
∴，且．
∵，是的中点，
∴，，
∴是的中点．
又∵是的中点，
∴是的中位线，
∴．
19．(1)
(2)证明见解析
【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，中位线的性质，掌握中位线的性质是解决本题的关键．
（1）根据等腰三角形的判定和性质可得，点D是的中点，再根据点E为的中点可得，是的中位线，进而即可求解；
（2）根据中位线的性质即可证明．
【详解】（1）解：∵，
∴是等腰三角形，
∵平分，
∴是边上的中线，
∴点D是的中点，
又∵点E为的中点，
∴是的中位线，
∴；
（2）证明：由（1）可得，是的中位线，
∴．
20．见详解
【分析】本题考查平行四边形的性质和判定定理，熟练掌握平行四边形的性质定理和判定定理是解题的关键．
连接、、、，根据中位线定理和平行四边形的性质和判定定理，可证四边形为平行四边形，再根据平行四边形的性质即可求证．
【详解】证明：连接、、、，
点E、F、G、H分别是、、、的中点，
、分别是与的中位线，
，，
，
同理，
四边形为平行四边形，
和互相平分．
21．
[问题情境]
[解决问题]改造总费用为65000元
【分析】[问题情境]作，根据三角形的面积公式得到，，由于是的中线，于是得到结论；
[解决问题]连接，根据点A、B、C分别是的中点，得到，，，根据三角形的面积公式得到，求得，于是得到结论．
【详解】解：[问题情境]作，则，，
∵是的中线，，
∴；
故答案为：；
[解决问题]连接，
∵点A、B、C分别是的中点，
∴，
∴，
∴，
同理可得，
∴乙部分的面积为，
∴改造总费用（元），
答：改造总费用为65000元．
【点睛】本题考查了三角形的面积，三角形的角平分线、中线、高线，熟练掌握三角形的面积公式是解题的关键．
22．（1）四边形的形状为平行四边形，证明见解析；（2）①见解析；②
【分析】（1）利用全等三角形的判定及性质可证，，结合对角线互相平分的四边形为平行四边形即可求解；
（2）①根据三角形中位线的性质可得，且，再结合平行四边形的判定即可证明；②由平行四边形的性质结合勾股定理先求出，再根据为中点即可求答案．
【详解】（1）解：四边形的形状为平行四边形，证明如下：
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴．
同理：，
∴，
即对角线互相平分，
∴四边形为平行四边形；
（2）①证明：∵点D、E分别为，的中点，
∴是的中位线，
∴，且，
∵点G、F分别为的中点，
∴是的中位线，
∴，且，
∴，且，
∴四边形是平行四边形；
②解：∵，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∵点D为的中点，
∴，
∵，
∵点G为的中点，
∴．
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