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(共13张PPT)
第二十章　一次函数
第2课时　一次函数
20.1　一次函数
　一次函数
1.(2025河北邯郸大名期末)下列函数中,是一次函数的是
( )
A.y= 　　　　 B.y=
C.y=x2+3　　 D.y=mx+n(m,n是常数)
A
解析　根据一次函数的定义逐项分析:
A.y= 是一次函数,故此选项符合题意;
B.y= 不是一次函数,故此选项不符合题意;
C.y=x2+3中自变量的次数为2,不是一次函数,故此选项不符合
题意;
D.当m=0时,y=mx+n(m,n是常数)不是一次函数,故此选项不合
题意.
故选A.
2.(2025河北承德兴隆期中)在函数、一次函数和正比例函数
的定义中,它们之间的关系是 ( )

A
解析　一次函数和正比例函数都属于函数的范畴;
一次函数y=kx+b(k≠0)中b=0时,为正比例函数,所以正比例函
数是一次函数的特殊形式.所以选项A符合题意.故选A.
　由实际问题确定一次函数表达式
3.(2025山西模拟)某书店对外租赁图书.收费标准:每本书在租
赁后的头两天每天按0.5元收费,以后每天按0.7元收费(不足
一天按一天计算),则租金y(元)和租赁天数x(x>2)之间的关系
式为 ( )
A.y=0.5x　　 B.y=0.7x
C.y=0.7x+1　　 D.y=0.7x-0.4
D
解析　根据题意,得y=0.5×2+0.7(x-2)=0.7x-0.4,
∴租金y(元)和租赁天数x(x>2)之间的关系式为y=0.7x-0.4.故
选D.
4.【学科特色·数形结合思想】(2025浙江宁波外国语学校期
末)如图,要围一个长方形ABCD的菜园,菜园的一边利用足够
长的墙,另外三边用35米长的篱笆围成.为了方便进出,在BC边
上留了一个2米宽的小门.设AB边的长为x米,BC边的长为y米,
则y与x之间的关系式是________________.
y=-2x+37
解析　由题意得2x+y=35+2,
整理,得y=-2x+37.
5.【学科特色·教材变式】(★★☆)若5y+2与x-3成正比例,则
( )
A.y一定是x的正比例函数
B.y一定是x的一次函数
C.y与x没有函数关系
D.以上都不正确
B
解析　∵5y+2与x-3成正比例,∴5y+2=k(x-3),其中k≠0,整理得
y= x- ,∴y一定是x的一次函数,不一定是正比例函数.故
选B.
6.(2025江苏南京月考,★★☆)已知关于x的函数y=(m-3)x|m|-2+n
-2.
(1)当m,n为何值时,它是一次函数
(2)当m,n为何值时,它是正比例函数
解析 (1)由题意得|m|-2=1且m-3≠0,解得m=-3,∴当m=-3,n为
任意实数时,它是一次函数.
(2)由题意得|m|-2=1且m-3≠0,n-2=0,解得m=-3,n=2.∴当m=-3,n
=2时,它是正比例函数.
7.【新课标·几何直观】(2025河南郑州八中月考)如图,在Rt△
ABC中,∠C=90°,AC=6,BC=8,设P为BC上任意一点,点P与点B,
C不重合,且PC=x,△APB的面积为y.
(1)写出y与x之间的函数解析式,并写出自变量x的取值范围.
(2)当△APB的面积为18时,求PC的长.
解析 (1)∵BC=8,PC=x,∴BP=8-x,
∴S△ABP= BP·AC= (8-x)×6=24-3x,
∵点P与点B,C不重合,∴0∴y与x的函数解析式为y=24-3x(0(2)当△APB的面积为18时,24-3x=18,
解得x=2,∴PC的长为2.(共31张PPT)
第二十章　一次函数
20.3　用待定系数法确定一次函数表达式
　用待定系数法确定一次函数表达式
1.【跨生物·蛇的生长】(2024山西中考)生物学研究表明,某种
蛇在一定生长阶段,其体长y(cm)是尾长x(cm)的一次函数,部
分数据如下表所示,则y与x之间的关系式为 ( )
A
尾长x/cm 6 8 10
体长y/cm 45.5 60.5 75.5
A.y=7.5x+0.5　　 B.y=7.5x-0.5 C.y=15x　 D.y=15x+45.5
解析　设y与x之间的关系式为y=kx+b(k≠0),把x=6,y=45.5;x=
8,y=60.5代入,得 解得 ∴y与x之间的关系
式为y=7.5x+0.5.故选A.
2.(2025河北石家庄模拟)将8个边长为1的小正方形按照图中
方式放置在平面直角坐标系中,直线l经过小正方形的顶点P
和Q,则直线l的表达式为 ( )

A.y=x+1　　 B.y= x+1
D
C.y=2x+1　　 D.y= x+1
解析　设直线l的表达式为y=kx+b(k≠0),由题图知点P和点Q
的坐标分别为(0,1),(4,2),将点P和点Q的坐标代入直线l的解析
式,得 ∴
∴直线l的表达式为y= x+1.故选D.
3.(2025河北石家庄长安期末)已知一个正比例函数的图象经
过点(-2,3),则这个正比例函数的表达式是_____________.
y=- x
解析　设函数表达式为y=kx(k≠0),将(-2,3)代入,得-2k=3.解得
k=- ,故函数表达式为y=- x.
4.(2025河北张家口张北期末)某商场调查发现,一商品的销售
量与销售单价之间存在如图所示一次函数关系.当销售单价
为150元时,销售量为__________件.

30
解析　设销售单价为x元,对应的销售量为y件,
y与x之间的函数关系式为y=kx+b(k,b为常数,且k≠0),
将(90,90)和(100,80)分别代入y=kx+b,
得 解得
∴y与x之间的函数关系式为y=-x+180,
当x=150时,y=-150+180=30,
∴当销售单价为150元时,销售量为30件.
故答案为30.
5.(2025河北唐山玉田校级期末)如图,左框中的实数x与右框
中的实数y满足某个一次函数关系,输入x的值会输出一个y的
值.
(1)求这个一次函数的表达式.
(2)求m的值.
(3)该一次函数的图象不经过第______象限.
解析 (1)设一次函数的解析式为y=kx+b(k≠0),
把(-2,5),(1,-7)分别代入,
得 解得
∴一次函数解析式为y=-4x-3.
(2)当y=9时,-4x-3=9,解得x=-3,即m=-3.
(3)一.
详解:∵k<0,b<0,
∴该一次函数的图象经过第二、三、四象限,不经过第一象
限.
6.(2025河北邯郸武安一模)已知一次函数的图象经过点(0,2)
和点(1,-1).
(1)求这个一次函数的解析式.
(2)求此一次函数图象与两坐标轴所围成的三角形面积.
解析 (1)设一次函数的解析式为y=kx+b(k≠0),把(0,2)和(1,-
1)代入,得 解得
所以一次函数解析式为y=-3x+2.
(2)当y=0时,-3x+2=0,解得x= ,则一次函数图象与x轴的交点坐
标为 ,因为函数图象与y轴交点为(0,2),所以一次函数图
象与两坐标轴所围成的三角形面积为 ×2× = .
7.(2025河北秦皇岛昌黎期中)下表反映的是某市用电量x(千
瓦时)与应缴电费y(元)之间的关系:
用电量
/千瓦时 1 2 3 4 5 …
应缴电
费/元 0.55 1.1 1.65 2.2 2.75 …
(1)请直接写出应缴电费y与用电量x之间的函数关系式.
(2)如果小明家某月缴纳电费40.7元,则该月用电量是多少
解析 (1)y=0.55x.
详解:设y与x之间的函数关系式为y=kx+b(k≠0),
将(1,0.55),(2,1.1)代入,
得 解得 ∴应缴电费y与用电量x之间的函
数关系式为y=0.55x.
(2)∵小明家某月缴纳电费40.7元,
∴y=40.7,即0.55x=40.7,解得x=74.
答:如果小明家某月缴纳电费40.7元,则该月用电量是74千瓦
时.
8.(2024河北邢台期中,★★☆)已知一次函数y=kx-4(k<0)的图
象与两坐标轴所围成的三角形的面积等于8,则该一次函数的
表达式为( )
A.y=-x-4　　 B.y=-2x-4
C.y=-3x-4　　 D.y=-4x-4
A
解析　如图,设一次函数图象与y轴交于A,与x轴交于B,令x=0,
则y=0-4=-4,∴A(0,-4),∴OA=4,∵一次函数y=kx-4(k<0)的图象
与两坐标轴所围成的三角形的面积等于8,∴ ×4OB=8,∴OB=
4,∴B点坐标为(-4,0),将(-4,0)代入y=kx-4(k<0),得k=-1,∴该一
次函数的表达式为y=-x-4.故选A.
9.【跨物理·光的反射】(2025河北沧州盐山期末,★★☆)如
图,从光源A发出一束光,经x轴上的一点B(-4,0)反射后,得到光
线BC,光线BC经y轴上一点C反射后,得到光线CD.若AB∥CD,
且光线AB所在直线的函数表达式为y=- x+b,则光线CD所在
直线的函数表达式为 ( )
D
A.y=- x+ 　　 B.y= x+2
C.y=-2x+2　　 D.y=- x+2
解析　如图,延长AB交y轴于点E,

把B(-4,0)代入y=- x+b,
得- ×(-4)+b=0,解得b=-2,∴E(0,-2),
∴OE=2,由光的反射可知,∠ABF=∠OBC,∴∠OBC=∠OBE,
∵OB=OB,∠BOC=∠BOE=90°,
∴△BOC≌△BOE,∴OC=OE=2,
∴C(0,2),∵AB∥CD,∴设直线CD的表达式为y=- x+c,
把C(0,2)代入,得c=2,∴y=- x+2.
10.【学科特色·分类讨论思想】(2025河北唐山路南校级月
考,★★☆)已知一次函数y=mx+n,当1≤x≤3时,2≤y≤6,则m
的值为__________.
±2
解析　当1≤x≤3时,2≤y≤6,分两种情况讨论:
①当m>0时,
解得 ∴m=2;
②当m<0时,
解得 ∴m=-2.
综上,m的值为±2.
11.(2025江苏宿迁期末,★★★)如图,四边形ABCD的顶点坐标
分别为A(-6,0),B(-3,-2),C(4,0),D(0,4),过点A的直线l将四边形
ABCD分成面积相等的两部分,则直线l的函数表达式为_______
_______.
x+
y=
解析　∵A(-6,0),B(-3,-2),C(4,0),D(0,4),∴AC=10,∴S△ACD= ×1
0×4=20,S△ABC= ×10×2=10,∴S四边形ABCD=S△ACD+S△ABC=30.
如图,设直线l与CD交于点E,

∵直线l将四边形ABCD分成面积相等的两部分,∴S△ABC+S△AEC
= ×30=15,∴S△AEC=5,∴E点的纵坐标为1,
设直线CD的函数表达式为y=kx+b(k≠0),
将C(4,0)和D(0,4)分别代入,
得 解得
∴直线CD的函数表达式为y=-x+4,
当y=1时,x=3,∴E(3,1),
设直线l的函数表达式为y=mx+n(m≠0),
将A(-6,0)和E(3,1)分别代入,
得 解得
∴直线l的函数表达式为y= x+ .
12.(2024河北沧州献县期末,★★☆)如图,在平面直角坐标系
中,A(2,0),B(0,4).
(1)求直线AB的函数表达式.
(2)点D在线段AB上(不与A,B重合),过点D作DE∥x轴,交y轴于
点E,连接OD,若ED=1,求点D的坐标及OD的长.

解析 (1)设直线AB的函数表达式为y=kx+b(k≠0),
将A(2,0),B(0,4)代入,得 解得
∴直线AB的函数表达式为y=-2x+4.
(2)∵ED=1,∴点D的横坐标为1.
将x=1代入y=-2x+4,得y=-2×1+4=2,
∴点D的坐标为(1,2),∴OD= = .
13.【新课标·推理能力】(2025北京中考)在平面直角坐标系
xOy中,函数y=kx+b(k≠0)的图象经过点(1,3)和(2,5).
(1)求k,b的值.
(2)当x<1时,对于x的每一个值,函数y=mx(m≠0)的值既小于函
数y=kx+b的值,也小于函数y=x+k的值,直接写出m的取值范围.
解析 (1)∵函数y=kx+b(k≠0)的图象经过点(1,3)和(2,5),∴
解得
(2)2≤m≤3.
详解:由(1)可得函数y=kx+b(k≠0)的解析式为y=2x+1,函数y=x
+k的解析式为y=x+2,
当mx<2x+1时,(m-2)x<1,
当mx∵当x<1时,对于x的每一个值,函数y=mx(m≠0)的值既小于函
数y=2x+1的值,也小于函数y=x+2的值,
∴m-2≥0,m-1≥0,
∴m≥2.
当m=2时,2x<2x+1和x<2恒成立,故m=2符合题意.
当m>2时,x< 且x< ,
当 ≥ 时, ≥1,
解不等式组 得m≤3,∴2当 < 时, ≥1,∴
解不等式 < 得m>3,解不等式 ≥1得m≤3,∴此不
等式组无解.
综上所述,2≤m≤3.(共12张PPT)
第二十章　一次函数
第1课时　正比例函数
20.1　一次函数
　正比例函数
1.【学科特色·教材变式】(2025河北廊坊霸州期末)下列式子:
①y=-0.1x;②y= x;③y=3x2;④y2=5x.其中y是关于x的正比例函
数的有 ( )
A.1个　　 B.2个　　 C.3个　　 D.4个
B
解析　根据正比例函数的定义知①②是y关于x的正比例函
数,所以y是x的正比例函数的有2个,故选B.
2.(2025山西晋中期中)下列各选项中,两个变量y与x之间的关
系是正比例函数关系的是 ( )
A.直角三角形中一个锐角的度数y(度)与另一个锐角的度数x
(度)之间的关系
B.正方体的表面积y(cm2)与它的棱长x(cm)之间的关系
C.小红阅读一本420页的名著,未读的页数y(页)与已读的页数
x(页)之间的关系
D.汽车以60 km/h的速度匀速行驶,行驶路程y(km)与行驶时间
x(h)之间的关系
D
解析　选项A,y=90-x,y与x不是正比例函数关系;选项B,y=6x2,y
与x不是正比例函数关系;选项C,y=420-x,y与x不是正比例函数
关系;选项D,y=60x,y与x是正比例函数关系.
故选D.
3.(2025宁夏银川期末)一盒圆珠笔有12支,售价为18元,用y(元)
表示每支圆珠笔的售价,x(支)表示圆珠笔的支数,那么y与x之
间的解析式为( )
A.y= x　　 B.y= x　　 C.y=12x　　 D.y=18x
A
解析　∵每盒圆珠笔有12支,售价为18元,
∴每支圆珠笔的售价为 = (元),
∴y与x之间的解析式为y= x.故选A.
4.【跨物理·密度】(2024湖北中考)铁的密度约为7.9 g/cm3,铁
块的质量m(单位:g)与它的体积V(单位:cm3)之间的函数关系
式为m=7.9V.当V=10 cm3时,m=__________g.
79
解析　当V=10 cm3时,m=7.9×10=79(g).
5.【学科特色·易错题】(2025河北石家庄新华校级月考)若x,y
是变量,且y=(k-2)x|k-1|是正比例函数,则k的值为_________.
0
解析　根据正比例函数的定义,可得k-2≠0,|k-1|=1,∴k=0.
6.(2025河北石家庄期末,★★☆)下列说法:①当k≠0时,y=-
是正比例函数;②如果y=(a+3)x+a2-9是正比例函数,那么a=±3;
③如果y与x+2成正比例,那么y是x的正比例函数;④如果y= x2,
那么y与x2成正比例.其中正确的有( )
A.4个　　 B.3个　　 C.2个　　 D.1个
C
解析　①当k≠0时,y=- 符合正比例函数的定义,
故①说法正确;
②如果y=(a+3)x+a2-9是正比例函数,那么a=3,故②说法错误;
③如果y与x+2成正比例,那么y=k(x+2)=kx+2k(k≠0),y不是x的
正比例函数,故③说法错误;
④如果y= x2,那么y与x2成正比例,故④说法正确.
综上,正确的有2个,故选C.
7.(2025广东东莞期中改编,★★☆)已知y与x成正比例,且x=-2
时,y=6.写出y与x之间的函数表达式,并求x为何值时,y=-3.
解析　∵y与x成正比例,且x=-2时,y=6,6÷(-2)=-3,∴y与x之间的
函数表达式为y=-3x.当y=-3时,-3x=-3,解得x=1.
8.(2024河北沧州沧县月考,★★☆)已知用来生产一次性筷子
的大树的数量y(万棵)与加工后一次性筷子的数量x(亿双)成
正比例关系,且100万棵大树能加工成18亿双一次性筷子.
(1)求用来生产一次性筷子的大树的数量y(万棵)与加工后一
次性筷子的数量x(亿双)的函数关系式.
(2)据统计,我国一年要耗费一次性筷子约450亿双,生产这些
一次性筷子大约需要多少万棵大树
解析 (1)∵ = ,∴y= x.
(2)当x=450时,y= ×450=2 500.
答:生产450亿双筷子大约需要2 500万棵大树.(共30张PPT)
第二十章自主检测
时间：40分钟 满分：100分
一、选择题(每小题5分,共40分)
1.(2025河北邢台内丘期末)下列函数:①y= ;②y=- ;③y=3-
x;④y=3x2-2.其中是一次函数的有 ( )
A.4个　　 B.3个　　
C.2个　　 D.1个
C
解析　由一次函数的定义知①y= ,③y=3- x为一次函数,∴
一次函数有2个,故选C.
2.(2025河北石家庄平山期末)一次函数y=2x-1的图象不会经
过的象限是 ( )
A.第一象限　　 B.第二象限
C.第三象限　　 D.第四象限
B
解析　在一次函数y=2x-1中,k=2>0,b=-1<0,
∴一次函数y=2x-1的图象经过第一、三、四象限,
∴不经过第二象限.
故选B.
3.(2025湖南长沙期末)已知一次函数y=-2x+2的图象上有两点
A(-2,y1),B(3,y2),则y1与y2的大小关系是 ( )
A.y1y2　　 D.y1≥y2
C
解析　∵k=-2<0,∴y随x的增大而减小,
∵A(-2,y1),B(3,y2),且-2<3,∴y1>y2.
4.(2025河北邯郸涉县期末)一次函数y=kx+b(k,b为常数,且k≠
0)的图象经过A(-1,-6),B(1,-2),C(2,m)三点,则m的值为
( )
A.0　　 B.-1　　 C.8　　 D.4
A
解析　∵一次函数y=kx+b(k,b为常数,且k≠0)的图象经过A(-1,
-6),B(1,-2)两点,
∴ 解得 ∴y=2x-4,
将C(2,m)代入y=2x-4,得m=2×2-4=0,故选A.
5.(2025河北唐山乐亭期末)在平面直角坐标系中,△ABC的顶
点坐标分别为A(1,2),B(1,-1),C(3,-1).当直线y=-x+b与△ABC有
交点(包括顶点)时,b的取值范围是 ( )
A.-1≤b≤2　　 B.-1≤b≤3
C.0≤b≤2　　 D.0≤b≤3
D
解析　将C(3,-1)代入y=-x+b中,得-3+b=-1,∴b=2,
将B(1,-1)代入y=-x+b中,得-1+b=-1,∴b=0,
将A(1,2)代入y=-x+b中,得-1+b=2,
∴b=3,∴要使直线y=-x+b与△ABC有交点,则b的取值范围为0
≤b≤3.
故选D.
6.(2025河北石家庄栾城期末)在同一直角坐标系中,直线y=ax
与直线y=2x+a可能是 ( )

C
解析　选项A,由正比例函数图象得a>0,则直线y=2x+a经过第
一、二、三象限,所以A选项不符合题意;
选项B,由正比例函数图象得a<0,则直线y=2x+a经过第一、
三、四象限,所以B选项不符合题意;
选项C,由正比例函数图象得a>0,则直线y=2x+a经过第一、
二、三象限,所以C选项符合题意;
选项D,由正比例函数图象得a<0,则直线y=2x+a经过第一、
三、四象限,所以D选项不符合题意.
故选C.
7.(2025河北石家庄新华期末)如图,小明去超市购买一种水果,
付款金额y(元)与购买数量x(千克)之间的函数图象由线段OB
和射线BE组成.现有两种购买方案:
方案一:一次购买9千克水果;
方案二:分两次购买,第一次购买3千克水果,第二次购买6千克
水果.
方案一比方案二节省 ( )
B

A.2元　　 B.3元　　 C.4元　　 D.5元
解析　设当0≤x≤4时,y与x的函数解析式为y=ax(a≠0),
把(4,20)代入解析式得20=4a,
解得a=5,∴y=5x(0≤x≤4);
当x>4时,设y与x的函数解析式为y=kx+b(k≠0),
把(4,20),(10,44)代入解析式,得
解得 ∴y=4x+4(x>4).
方案一:当x=9时,y=4×9+4=40;
方案二:当x=3时,y=5×3=15;
当x=6时,y=4×6+4=28,
∴方案二付款15+28=43元,
∵43-40=3(元),
∴方案一比方案二节省3元,故选B.
8.(2025河北衡水月考)如图,在同一平面直角坐标系中,一次函
数y=k1x+b1与y=k2x+b2(k1k2≠0)的图象分别为直线l1,l2,下列说法
中,正确的有( )
①b2-b1>0;②k1k2<0;③关于x,y的方程组 的解为


D
A.0个　　 B.1个　　
C.2个　　 D.3个
解析　由题图得b2>b1,直线l1经过第一、二、三象限,则k1>0,b
1>0;直线l2经过第一、二、四象限,则k2<0,b2>0.∴b2-b1>0,k1k2<
0,故①②均正确.
∵一次函数y=k1x+b1与y=k2x+b2(k1k2≠0)的图象的交点为(1,3),
∴方程组 的解为 故③正确.
∴正确的说法有3个,
故选D.
二、填空题(每小题5分,共15分)
9.(2025江西宜春第八中学期中)若y=(k-1)x|k|+3是关于x的一次
函数,则k的值为_______.
　-1
解析　由题意,得k-1≠0,|k|=1,∴k=-1.
10.(2025河北石家庄长安月考)一支蜡烛,点燃后其剩余长度y
(cm)与燃烧时间x(分)之间的关系如表所示:
燃烧时
间x/分 10 20 30 40 50 …
剩余长
度y/cm 19 18 17 16 15 …
则剩余长度y与燃烧时间x之间的关系式及自变量的取值范围
为_________________________,蜡烛原长为__________cm.
20
y=-0.1x+20(0≤x≤200)
解析　观察表格可知,y是x的一次函数,
设y=kx+b(k≠0),把(10,19),(20,18)代入得 解得

∴y=-0.1x+20,
经检验,(30,17),(40,16),(50,15)均符合.
当y=0时,0=-0.1x+20,解得x=200,
∴0≤x≤200,
当x=0时,y=20,
∴蜡烛原长为20 cm.
故答案为y=-0.1x+20(0≤x≤200);20.
11.(2025广州中考改编)如图,在平面直角坐标系中,点A(-3,1),
点B(-1,1),若将直线y=x向上平移d个单位长度后与线段AB有
交点,则d的取值范围是_____________.

2≤d≤4
解析　把直线y=x向上平移d个单位长度后得到y=x+d,
若直线过A(-3,1),则-3+d=1,解得d=4,
若直线过B(-1,1),则-1+d=1,解得d=2,
∴若将直线y=x向上平移d个单位长度后与线段AB有交点,则2
≤d≤4.
三、解答题(共45分)
12.【学科特色·教材变式】(2025天津十一中月考改编)(10分)
已知y-3与2x-1成正比例,且x=1时,y=4.
(1)求y与x之间的函数关系式.
(2)画出y关于x的函数图象.
解析 (1)设y-3=k(2x-1)(k≠0),
∵当x=1时,y=4,∴4-3=k(2-1),
解得k=1,∴y与x的函数关系式为y-3=2x-1,即y=2x+2.
(2)函数图象如下.

13.【学科特色·教材变式】(2025河北沧州新华期中)(15分)如
图,在平面直角坐标系中,一次函数的图象经过点A(6,-3)和点B
(-2,5).
(1)求这个一次函数的表达式.
(2)求该函数图象与坐标轴围成的三角形的面积.
(3)判断点C(2,2)是在直线AB的上方(右边)还是下方(左边).
解析 (1)设这个一次函数的表达式为y=kx+b(k≠0),
∵一次函数的图象经过点A(6,-3)和点B(-2,5),
∴ 解得
∴这个一次函数的表达式是y=-x+3.
(2)对于y=-x+3,
当x=0时,y=3,当y=0时,x=3,
所以函数y=-x+3的图象与坐标轴的交点坐标分别为(0,3)和(3,
0),
所以该函数图象与坐标轴围成的三角形的面积是 ×3×3=4.5.
(3)当x=2时,y=-2+3=1<2,
所以点C(2,2)在直线AB的上方.
14.(2025河北邯郸武安三模)(20分)某学校需要购买一批滑冰
鞋,已知两家商场A,B分别推出了自己的优惠方案:
A商场:每双滑冰鞋标价为120元,若购买超过20双,超过部分按
每双标价的八折出售;
B商场:每双滑冰鞋标价为120元,若购买超过15双,超过部分按
每双标价的九折出售,然后每双再优惠10元.
若用x(双)表示购买滑冰鞋的数量,用y(元)表示购买的总价,其
函数图象如图所示.
(1)分别写出选择购买A,B两家商场滑冰鞋的总价y与数量x之
间的函数关系式.
(2)当x>20时,两函数图象交于点M,请求出图中点M的坐标,并
简要说明点M表示的实际意义.
(3)根据图象直接写出选择哪家商场更划算.
解析 (1)当0≤x≤20时,yA=120x,
当x>20时,yA=120×20+0.8×120(x-20)=96x+480,
∴A商场滑冰鞋的总价yA与数量x之间的函数关系式为yA=

当0≤x≤15时,yB=120x,
当x>15时,yB=120×15+(0.9×120-10)(x-15)=98x+330,
∴B商场滑冰鞋的总价yB与数量x之间的函数关系式为yB=

(2)设M(x,y),由
解得
∴点M的坐标为(75,7 680),其实际意义是当购买75双滑冰鞋
时,在A,B两家商场所付钱数相同,均为7 680元.
(3)当0≤x≤15或x=75时,在A,B两家商场所付钱数相同;当15<
x<75时,选择B商场更划算;当x>75时,选择A商场更划算.(共24张PPT)
第二十章　一次函数
第2课时　一次函数的应用——单图象型
20.4　一次函数的应用
　一次函数的应用——单图象型
1.【跨物理·电阻】(2025内蒙古中考)在闭合电路中,通过定值
电阻的电流I(单位:A)是它两端的电压U(单位:V)的正比例函
数,其图象如图所示,当该电阻两端的电压为15 V时,通过它的
电流为 ( )
A.12 A　　 B.8 A　　
C.6 A　　 D.4 A
A
解析 设电流I关于电压U的函数解析式为I=kU(k≠0),
将(5,4)代入,得5k=4,解得k=0.8,
∴I=0.8U(U≥0),
当U=15时,I=0.8×15=12,故当电阻两端的电压为15 V时,通过
的电流为12 A.故选A.
2.【跨物理·弹簧】(2025河北邯郸大名期末)若弹簧的总长度
y(单位:cm)是所挂重物质量x(单位:kg)的一次函数,图象如图,
则该弹簧在自然状态下的长是 ( )

A.7 cm　　 B.6.5 cm　　 C.6 cm　　 D.5 cm
D
解析　设一次函数的解析式为y=kx+b(k≠0),
把(5,12.5),(10,20)代入,
得 解得
∴一次函数的解析式为y=1.5x+5,
当x=0时,y=5,
即自然状态下,弹簧的长度是5 cm.故选D.
3.【跨生物·植物生长】(2025河北邯郸武安期末)某兴趣小组
的同学们观察一种植物生长,得到该植物高度y(cm)与观察时
间x(天)之间的关系,画出如图所示的函数图象(CD∥x轴),则
该植物最高长到( )
C
A.14 cm　　 B.15 cm　　 C.16 cm　　 D.17 cm
解析　设AC段y与x的函数关系式为y=kx+b(k≠0),
将(0,6),(30,12)代入,得 解得
则AC段对应的函数关系式为y=0.2x+6,
当x=50时,y=0.2×50+6=16,
∴该植物最高长到16 cm.故选C.
4.【学科特色·教材变式】(2025河北邯郸涉县期末)根据国家
天然气价格形成机制的相关要求,某市居民用天然气价格已
上调.调整后,居民每月用气费用y(元)与每月用气量x(立方米)
之间的函数图象如图所示,其中OA段(第一阶梯)符合正比例
函数模型,AB段(第二阶梯)符合一次函数模型,则下列说法不
正确的是 ( )
C

A.第一阶梯的价格是2.94元/立方米
B.第二阶梯的价格是3.82元/立方米
C.a的值为90
D.当月用气量为120立方米时,费用为414.4元
解析　第一阶梯的价格是147÷50=2.94(元/立方米),∴A正确,
不符合题意;第二阶梯的价格是(338-147)÷(100-50)=3.82(元/
立方米),∴B正确,不符合题意;
第二阶梯y与x的函数关系式为y=3.82(x-50)+147=3.82x-44,令y
=261.6,得x=80,即a=80,∴C不正确,符合题意;
当x=120,即当月用气量为120立方米时,费用为414.4元,∴D正
确,不符合题意.故选C.
5.(2024陕西中考)我国新能源汽车快速健康发展,续航里程不
断提升,王师傅驾驶一辆纯电动汽车从A市前往B市,他驾车从
A市一高速公路入口驶入时,该车的剩余电量是80 kW·h,行驶
了240 km后,从B市一高速公路出口驶出.已知该车在高速公
路上行驶的过程中,剩余电量y(kW·h)与行驶路程x(km)之间的
关系如图所示.
(1)求y与x之间的关系式.
(2)已知这辆车的“满电量”为100 kW·h,求王师傅驾车从B市
这一高速公路出口驶出时,该车的剩余电量占“满电量”的
百分之多少.
解析 (1)设y与x之间的关系式为y=kx+b(0≤x≤240),
将(0,80),(150,50)代入,
得 解得
∴y=- x+80.
(2)令x=240,则y=- ×240+80=32,
∴ ×100%=32%.
答:该车的剩余电量占“满电量”的32%.
6.(2025河北唐山玉田月考,★★☆)小明购买一种笔记本的付
款金额y(元)与购买量x(本)之间的函数图象由如图所示的线
段OB和射线BE组成,则一次购买8本笔记本比分8次购买每次
购买1本笔记本节省 ( )
B
A.2元　　 B.4元　　
C.6元　　 D.8元
解析　当x>4时,设BE对应的函数关系式为y=kx+b(k,b为常数,
且k≠0),
将B(4,20)和E(10,44)分别代入y=kx+b,
得 解得
∴当x>4时,BE对应的函数关系式为y=4x+4,
当x=8时,y=4×8+4=36,
∴一次购买8本笔记本的付款金额为36元;
当0≤x≤4时,每本笔记本的价格为20÷4=5(元),5×8=40(元),
∴分8次购买,每次购买1本笔记本的付款金额为40元.
∵40-36=4(元),
∴一次购买8本笔记本比分8次购买,每次购买1本节省4元.故
选B.
7.(2025吉林长春中考,★★☆)随着我国人工智能科技的快速
发展,智能机器人已经走进我们的生活.某快递公司使用甲、
乙两台不同型号的智能机器人进行快递分拣工作,它们工作
时各自的速度均保持不变.已知某天它们同时开始工作,甲机
器人工作一段时间后停工保养,保养结束后又和乙机器人一
起继续工作.甲、乙两台机器人分拣快递的总数量y(件)与乙
机器人的工作时间x(分钟)之间的函数关系如图所示.
(1)甲机器人停工保养的时间为_____分钟,m=______.
(2)求AB所在直线对应的函数表达式.
(3)若该快递公司当天分拣快递的总数量为5 450件,则乙机器
人的工作时间为______分钟.

解析 (1)20;3 800.
详解:由图象可得甲机器人停工保养的时间为60-40=20(分
钟).
∵甲、乙机器人同时工作时的效率为2 200÷40=55(件/分钟),
∴m=2 700+(80-60)×55=3 800.
(2)由(1)知,甲、乙机器人同时工作时的效率为55件/分钟,
∴AB所在直线对应的函数表达式为y=2 700+55(x-60)=55x-60
0.
(3)110.
详解:当y=5 450时,55x-600=5 450,解得x=110,
∴若该快递公司当天分拣快递的总数量为5 450件,则乙机器
人的工作时间为110分钟.
8.【新课标·模型观念】(2025河北邯郸武安二模)某快递公司
为提高配送效率,使用智能配送机器人.已知机器人充满电后
开始工作,剩余电量y(%)与行驶时间x(分钟)之间的关系如图
所示.机器人每次配送前都充满电,且当剩余电量≤10%时停
止行驶,等待充电.
(1)求剩余电量y与行驶时间x之间的函数关系式.(无需写自变
量的取值范围)
(2)若某次配送需要50分钟,则该机器人是否需要中途充电 请
说明理由.
(3)为提高效率,技术人员将机器人的电量消耗速度降低20%.
①写出优化后的剩余电量y与行驶时间x之间的函数关系式.
②计算优化后的单次最远行驶时间.
解析 (1)该智能配送机器人每分钟的耗电量为(100%-60%)÷
40=1%,
∴剩余电量y与行驶时间x之间的函数关系式为y=-x+100.
(2)该机器人不需要中途充电.理由如下:
当x=50时,y=-50+100=50,
∵50%>10%,
∴该机器人不需要中途充电.
(3)①优化后,该智能配送机器人每分钟的耗电量为1%×(1-2
0%)=0.8%,
∴优化后的剩余电量y与行驶时间x之间的函数关系式为y=-0.
8x+100.
②根据题意,得-0.8x+100≥10,
解得x≤112.5,
∴优化后的单次最远行驶时间为112.5分钟.(共26张PPT)
第二十章　一次函数
第1课时　一次函数的应用——文字或表格表述型
20.4　一次函数的应用
　一次函数的应用——文字表述型
1.(2025河北石家庄栾城期末)2024年国庆长假期间,各景区行
人如织.已知某景区成人门票价格为80元/张,并规定购买团队
成人票时,对10张以内(含10张)门票不优惠,超过10张的部分
七折优惠.某旅行团参观该景区,需购买成人票x张(x>10),所需
总费用为y元,则y与x的函数关系式为 ( )
A.y=80x　　 B.y=56x
C.y=56x+800　　 D.y=56x+240
D
解析　由题意得总费用=10张以内(含10张)门票费用+超过10
张的部分门票费用,
即y=10×80+80×0.7(x-10)=56x+240.故选D.
2.【跨物理·弹簧】(2024河北邯郸临漳期末)小华发现弹簧的
长度L(cm)是所悬挂物体的质量m(kg)的一次函数.当所悬挂物
体的质量为2 kg时,弹簧的长度为16 cm,且质量m每增加0.1
kg,弹簧的长度L就增加0.2 cm.若弹簧所能拉伸的最大长度为
40 cm,则该弹簧所悬挂物体的质量m最大为__________kg.
14
解析　质量m每增加0.1 kg,弹簧的长度L就增加0.2 cm,即质量
m每增加1 kg,弹簧的长度L就增加2 cm.
∴所悬挂物体的质量为3 kg时,弹簧的长度为18 cm,
∵弹簧的长度L(cm)是所悬挂物体的质量m(kg)的一次函数,∴
设L与m的函数解析式为L=km+b(k≠0),将(2,16),(3,18)分别代
入得
解得
∴L与m的函数解析式为L=2m+12,
当L=40 cm时,2m+12=40,解得m=14 kg,
即弹簧所悬挂物体的质量m最大为14 kg.
3.【新考向·地域文化】(2025河北衡水安平月考)藁城宫灯是
石家庄藁城著名的特色传统手工艺品,以造型优美、易于保
存等特点驰名中外.李老师计划购进一批宫灯,已知甲、乙两
个商店的标价都是每个10元,两商店售卖方式如下:
甲商店:购买一张会员卡,享受会员价,每个宫灯可按标价的七
折售卖;
乙商店:不购买会员卡,每个宫灯可按标价的九折售卖.
设李老师购买宫灯的个数为x,甲商店所需费用为y1元,且y1=7x
+100;乙商店所需费用为y2元.
(1)甲商店一张会员卡的价格为______元.
(2)y2与x的函数表达式为______.
(3)如果李老师购买数量不少于30个,去哪个商店购买比较合
算 请说明理由.
解析 (1)100.
详解:∵y1=7x+100,∴当x=0时,y1=100.
(2)y2=9x.
详解:根据题意得y2=10×0.9x=9x.
(3)令7x+100=9x,解得x=50,
令7x+100>9x,解得x<50,
令7x+100<9x,解得x>50,
所以当30≤x<50时,到乙商店购买比较合算;
当x=50时,到两家商店购买一样合算;
当x>50时,到甲商店购买比较合算.
　一次函数的应用——表格信息型
4.【跨物理·岩层】(2025河北石家庄长安期末)地表以下岩层
的温度(℃)与所处深度(km)有如下关系:
深度/km 1 2 3 4 5 …
温度/℃ 55 90 125 160 195 …
若地表以下岩层的温度是335 ℃,估计该岩层所处的深度是
( )
A.6 km　　 B.7 km　　 C.8 km　　 D.9 km
D
解析　由表格可知,深度每增加1 km,温度升高35 ℃,
∴温度是深度的一次函数,
设深度用x(km)表示,对应的温度用y(℃)表示,则x与y之间的函
数关系式为y=55+35(x-1)=35x+20,
当y=335时,35x+20=335,解得x=9,
∴估计该岩层所处的深度是9 km.故选D.
5.【跨物理·浮力】物理课上,于老师让同学们做这样的试验:
在放水的盆中放入质地均匀的木块A,再在其上方放置不同质
量的铁块.已知木块A全程保持漂浮状态,通过测量木块A浮在
水面上的高度h(mm)与铁块的质量x(g),可得它们之间满足一
次函数关系,部分测量数据如下表.
铁块的质量x/g 25 50 75
木块A浮在水面上的高度h/mm 44 38 32
据此可知当铁块的质量为100 g时,木块A浮在水面上的高度
为( )
A.30 mm　　 B.28 mm　　
C.26 mm　　 D.24 mm
C
解析　设h=kx+b(k≠0),将(25,44),(50,38)代入得
解得 ∴高度h(mm)与铁块的质量x(g)之间的关系式
为h=- x+50,当x=100时,h=- ×100+50=26,∴当铁块的质量
为100 g时,木块A浮在水面上的高度为26 mm,故选C.
6.【新考向·条件开放题】(2025广东深圳中考,★★☆)某学校
采购体育用品,需要购买三种球类.已知某体育用品商店排球
的单价为30元,篮球和足球的价格满足下表:
①篮球、足球、排球各买一个的价格为140元
②购买2个足球比购买一个篮球多花费40元
③购买5个篮球与购买6个足球花费相同
(1)请你从上述3个条件中任选2个作为条件,求出篮球和足球
的单价.
(2)若该学校要购买篮球、足球共10个,且足球的个数不超过
篮球个数的2倍,请问购买多少个篮球时花费最少 最少费用
是多少
解析 (1)设篮球的单价为x元,足球的单价为y元,选择条件①
②(答案不唯一):
根据题意得 解得
答:篮球的单价为60元,足球的单价为50元.
(2)设该学校购买篮球m个,则购买足球(10-m)个,根据题意得10
-m≤2m,解得m≥ ,
又∵m<10,∴ ≤m<10,
设学校购买篮球、足球的总费用为w元,
根据题意得w=60m+50(10-m)=10m+500,
∵10>0,∴w随m的增大而增大,
∵ ≤m<10,且m为正整数,
∴当m=4时,w最小,最小值为10×4+500=540.
答:购买4个篮球时花费最少,最少费用是540元.
7.(2025河北唐山期末改编,★★☆)某市对居民用水实行“阶
梯收费”制度:每月的用水量为x(m3),每月缴纳的水费为y(元).
已知每月用水量不超过10 m3,水价为2.2元/m3;每月用水量超
过10 m3不超过15 m3,y+3与x成正比例函数关系,当x=12时,y=2
7;每月用水量超过15 m3时,水费y(元)与月用水量x(m3)成一次
函数关系,部分对应值如下表.
x/m3 16 18
y/元 39.5 49.5
(1)求y(元)与x(m3)之间的函数关系.
(2)如果某用户预计下月的水费y在30≤y≤40范围内,直接写
出该用户下月用水量x的取值范围.
解析 (1)当0≤x≤10时,由题意得y=2.2x;
当10∵当x=12时,y=27,∴27+3=12k,解得k=2.5,
∴当10当x>15时,设y=mx+n(m≠0),
由表格数据得 解得
∴当x>15时,y=5x-40.5.
综上,y=
(2)该用户下月用水量x的取值范围为13.2≤x≤16.1.
详解:∵用户预计下月的水费在30≤y≤40范围内,且2.2×10=2
2<30,∴共有两种情形,
①当10∵30≤2.5x-3≤40,∴13.2≤x≤17.2,
又∵10②当x>15时,
∵30≤5x-40.5≤40,∴14.1≤x≤16.1,
又∵x>15,∴15综上,如果某用户预计下月的水费在30≤y≤40范围内,则该用
户下月用水量x的取值范围为13.2≤x≤16.1.
8.【新课标·模型观念】【新考向·综合与实践】(2025河北邢
台第三中学三模)某商场为推广新品,对商品采取分段打折促
销策略,以下是相关信息:
【基础应用】若某商品原价为400元,打折后价格为320元,则
该商品打几折
【函数建模】设商品原价为x(0≤x≤600)元,打折后价格为y
(0≤y≤500)元,经统计发现:当0≤x≤300时,y与x满足的关系
为y=0.9x;当300时,y=280,当x=500时,y=360.
(1)当300(2)若小丽在该商场购买了一件商品,花费240元,求该商品的
原价.
【方案决策】为进一步刺激消费,商场推出两种新方案:
方案一:全店商品统一打a(0方案二:所购商品按原价每满300元减b元(b>0,不满300元部分
不优惠).
若某商品原价为600元,分别按方案一和方案二优惠后价格相
同,直接写出a与b的关系.
解析　【基础应用】∵ =0.8,∴该商品打8折.
【函数建模】(1)设当300kx+b(k≠0),
∵当x=400时,y=280,当x=500时,y=360,
∴ 解得
∴y=0.8x-40(300(2)当0≤x≤300时,令y=0.9x=240,解得x= .
当300∴若小丽在该商场购买了一件商品,花费240元,则该商品的原
价为 元或350元.
【方案决策】a=10- .详解如下:
按照方案一优惠后价格为600× =60a元,
按照方案二优惠后价格为(600-2b)元,
由题意知60a=600-2b,∴a=10- .(共28张PPT)
第二十章　一次函数
20.5　一次函数与二元一次方程的关系
　一次函数与二元一次方程的关系
1.(2025山东青岛期中)已知一次函数y=ax+b(a,b是常数且a≠
0)中,x与y的部分对应值如下表:
x -2 -1 0 1 2 3
y 3 2.5 2 1.5 1 0.5
则关于x的方程ax+b=2的解是 ( )
A.x=-1　　 B.x=0　　 C.x=1　　 D.x=2
B
解析　根据题表得,当x=0时,y=2,∴方程ax+b=2的解是x=0.故
选B.
2.(2024江苏扬州中考)如图,已知一次函数y=kx+b(k≠0)的图
象分别与x轴、y轴交于A,B两点,若OA=2,OB=1,则关于x的方
程kx+b=0的解为____________.

x=-2
解析　∵OA=2,∴点A(-2,0),
∵一次函数y=kx+b(k≠0)的图象与x轴相交于点A(-2,0),
∴关于x的方程kx+b=0的解为x=-2.
　一次函数与二元一次方程组的关系
3.【学科特色·数形结合思想】(2025河北衡水安平月考)如图,
函数y=x+1与y=ax+3的图象交于点P(1,2),则关于x,y的方程组
的解是 ( )
A. 　　 B. 　　
C. 　　 D.
C
解析　因为两直线的交点坐标为(1,2),
所以关于x,y的方程组 的解为
故选C.
4.(2024河北石家庄桥西期末)已知方程组 的解为
则一次函数y=3x-1与y=2x图象的交点坐标为 ( )
A.(1,-2)　　 B.(-1,2)　　 C.(-1,-2)　　 D.(1,2)
D
解析　∵方程组 的解为 ∴一次函数y=3x-1与
y=2x图象的交点坐标为(1,2),
故选D.
5.(2025河北唐山玉田月考)一次函数y=ax+5与y=-x+b的图象
交于点P(1,2),则关于x,y的方程组 的解为_____
____.
解析　∵一次函数y=ax+5和y=-x+b的图象交于点P(1,2),
∴方程组 的解为
即 的解为
6.(2025河北石家庄裕华期中)已知点A(0,4),C(-2,0)在直线l:y=
kx+b上,直线l和一次函数y=-4x+a的图象交于点B.
(1)求直线l的表达式.
(2)若点B的横坐标是1,求点B的坐标,并直接写出关于x,y的方
程组 的解.
解析 (1)∵A(0,4),C(-2,0)在直线l:y=kx+b上,
∴ 解得
∴直线l的表达式为y=2x+4.
(2)∵点B在直线l上,当x=1时,y=2+4=6,
∴点B的坐标为(1,6),
∴关于x,y的方程组 的解为
7.(2025河北唐山迁安期末,★★☆)已知一次函数y=kx+b的图
象与一次函数y=mx+n的图象交于点P(1,3),则方程组
的解为 ( )
A. 　　 B.
C. 　　 D.
C
解析　∵一次函数y=kx+b的图象与一次函数y=mx+n的图象
相交于点P(1,3),
∴一次函数y=kx+b-2的图象与一次函数y=mx+n-2的图象的交
点坐标为(1,1),
∴方程组 的解为 故选C.
8.(2025河北邯郸武安一模,★★☆)已知关于x,y的二元一次方
程组 无解,则一次函数y=kx- 的图象不经过的
象限是 ( )
A.第一象限　　 B.第二象限
C.第三象限　　 D.第四象限
B
解析　∵关于x,y的二元一次方程组 无解,
∴直线y=(7-k)x-2与直线y=(3k-1)x+5没有交点,即两直线平行,
∴7-k=3k-1,解得k=2,
∴一次函数y=2x- 的图象经过第一、三、四象限,不经过第
二象限.故选B.
9.(2025广东广州期末,★★☆)如图,一次函数y1=ax+b(a,b为常
数且a<0)与正比例函数y2=kx(k为常数且k>0)的图象交于点P(-
4,-2),则关于x的方程(a-k)x+b=0的解是____________.

x=-4
解析　∵一次函数y1=ax+b与正比例函数y2=kx的图象交于点P
(-4,-2),∴关于x的方程ax+b=kx的解是x=-4,∴(a-k)x+b=0的解
是x=-4.
10.【学科特色·整体思想】(2025河北邢台任泽期末,★★☆)
在同一直角坐标系中,一次函数y= x+2与y=kx+b(k<0)的图象
如图所示,则方程组 的解为_________.
解析　方程组 变形可得
∵两函数y= x+2与y=kx+b的图象交点的纵坐标为3,把y=3代
入y= x+2,解得x=2,
∴交点坐标为(2,3),∴方程组的解是
11.【新课标·模型观念】(2025河北沧州南皮期末)规定:关
于x,y的二元一次方程ax+by=c(a≠0,b≠0)的解记为有序数对
M(x,y),将这些有序数对在平面直角坐标系中描点,连接,得到
一条直线,这些有序数对对应的点称为直线ax+by=c(a≠0,b≠
0)的“解点”,回答下列问题:
(1)已知P1(-1,0),P2(0,-1),P3(1,2),其中是直线x-y=1的“解点”
的是______.
(2)若A(1,1),B(2,-1)是直线(m+1)x+ny=3的“解点”,求m,n的
值.
(3)已知实数h,t满足-2 +t=2,若点M( ,t)是直线3x-y=s的一
个“解点”,用等式表示s与h之间的关系,并直接写出s的最小
值.
解析 (1)P2.详解:把P1(-1,0),P2(0,-1),P3(1,2)分别代入x-y=1,得-
1-0=-1,0-(-1)=1,1-2=-1,
∴三个点中是直线x-y=1的“解点”的是P2.
(2)将A(1,1),B(2,-1)代入(m+1)x+ny=3,得 解得

(3)由点M( ,t)是直线3x-y=s的“解点”得3 -t=s,
∵-2 +t=2,∴t=2+2 ,∴s= -2,
∵ ≥0,∴s的最小值为-2.
微专题　根据函数图象求不等式(组)的解集
1.(2024广东中考)已知不等式kx+b<0的解集是x<2,则一次函
数y=kx+b的图象大致是 ( )

B
解析 A.不等式kx+b<0的解集是x>-2,故本选项不符合题意;
B.不等式kx+b<0的解集是x<2,故本选项符合题意;
C.不等式kx+b<0的解集是x<-2,故本选项不符合题意;
D.不等式kx+b<0的解集是x>2,故本选项不符合题意.故选B.
2.(2025河北秦皇岛期末)如图,已知直线l1:y=k1x与直线l2:y=k2x
+b,则关于x的不等式k1x>k2x+b的解集为( )

A.x>-1　　 B.x<-1
C.x<-2　　 D.无法确定
B
解析　由题图得,当x<-1时,直线y=k1x在直线y=k2x+b的上方,∴
k1x>k2x+b的解集为x<-1.故选B.
3.(2025山东日照期末)数形结合是解决数学问题常用的思想
方法.如图,直线y=kx+b经过A(-1,-2),B(-3,0)和C(0,-3)三点,则2x

　-3解析　如图,作直线OA,

∵A点坐标为(-1,-2),∴直线OA的解析式为y=2x,由图可知,2x<
kx+b<0的解集为-3第二十章　一次函数
第3课时　一次函数的应用——双图象型
20.4　一次函数的应用
　一次函数的应用——双图象型
1.(2025河北唐山乐亭期末)如图,小王与小张骑自行车先后从
甲地出发前往8千米外的乙地,图中线段PA,OB分别反映了小
王和小张骑行所走的路程y(千米)关于小张所用时间x(分钟)
的函数关系.则小张比小王早到乙地的时间是 ( )
B
A.10分钟　　 B.12分钟　　
C.14分钟　　 D.16分钟
解析　设OB对应的函数解析式为y1=kx(k≠0),
将(30,5)代入得5=30k,解得k= ,
∴OB对应的函数解析式为y1= x,
设PA对应的函数解析式为y2=mx+n(m≠0),
将(0,2),(30,5)代入,
得 解得
∴PA对应的函数解析式为y2= x+2,
当y1=8时,x=48,当y2=8时,x=60,
∵60-48=12(分钟),
∴小张比小王早到乙地的时间是12分钟.故选B.
2.【学科特色·方程思想】(2025河北保定阜平期末)“这么近,
那么美,周末到河北”,河北某文旅公司推出野外宿营活动,有
以下两种优惠方案:
方案一:以团队为单位办理会员卡(会员卡花费a元),所有人都
按半价优惠;
方案二:所有人都按六折优惠.
某团队有x人参加该活动,购票总费用为y元,这两种方案中y关
于x的函数图象如图所示,则下列说法正确的是 ( )
D

A.a=480
B.原票价为480元/人
C.方案二中y关于x的函数解析式为y=480x
D.当x>10时,方案一比方案二优惠
解析　由方案一图象过(0,400)知,a=400,故A错误,不符合题
意;
设原票价为m元/人,由图象可知方案二2人购票需480元,∴2×
0.6m=480,解得m=400,
∴原票价为400元/人,故B错误,不符合题意;
方案二中y关于x的函数解析式为y=0.6×400x=240x,故C错误,
不符合题意;
由400+400×0.5x<240x得x>10,
∴当x>10时,方案一比方案二优惠,故D正确,符合题意.故选D.
3.(2025河北石家庄栾城期中)作为“新质生产力”和“低空
经济主角”的无人机在快递配送领域悄然改变了我们获取快
递的方式.现在一条笔直的公路旁依次有A,C,B三个快递驿站
(如图1),甲、乙两架无人机分别从A,B两个快递驿站同时出
发,沿公路匀速飞行,运输冷链包裹至快递驿站C.已知甲、乙
两架无人机到驿站C的距离s1,s2(km)与飞行时间t(min)之间的
函数关系如图2所示.若甲、乙两架无人机同时到达驿站C,则
驿站A离驿站C的距离是 ( )
C

A.18 km　　 B.19 km　　
C.20 km　　 D.21 km
解析　设s2与t之间的函数关系式为s2=kt+b(k≠0),根据题意得
解得
∴s2与t之间的函数关系式为s2=-3t+15,
当s2=0时,-3t+15=0,解得t=5.
∵甲、乙两架无人机同时到达驿站C,
∴甲无人机的速度为 =4(km/min),
∴驿站A离驿站C的距离是4×5=20(km).
故选C.
4.(2025河北石家庄长安期末)虹吸原理描述了液体在两个具
有高度差的容器之间,通过充满液体的虹吸管自动流动的过
程.图1是利用虹吸原理从甲容器向乙容器注水的示意图,已知
甲、乙容器完全相同,开始时甲容器中的液面高为16 cm,一段
时间后,设甲容器中的液面高为y1(单位:cm),乙容器中的液面
高为y2(单位:cm),小明绘制了y1,y2关于时间x(单位:s)的函数图
象,如图2所示,当甲容器中的液面比乙容器中的液面低2 cm
时,x的值为_________.
　
解析　当x=0时,y1=a,
∵初始时甲容器中的液面高为16 cm,∴a=16,
设y1=kx+b(k≠0),
由题意得 解得
∴y1=-16x+16,
∵两容器完全相同,
∴甲容器向乙容器注水时,y1+y2始终为16,
∴y2=16-y1=16-(-16x+16)=16x,
∴甲容器中的液面比乙容器中的液面低2 cm时,y1-y2=-2,
∴-16x+16-16x=-2,解得x= ,故答案为 .
5.(2025河北衡水故城月考,★★☆)甲、乙两车沿同一条路同
时出发前往B地,各自的车速保持不变,甲车到达B地后立即以
原速沿原路返回,乙车到达B地后停止,不再行驶.两车距B地的
距离y甲(km),y乙(km)与甲车行驶时间x(h)之间的函数图象如图
所示,下列结论正确的是( )
D
A.a=4.5
B.y乙=360-30x
C.返程时y甲=80x
D.两次相遇的时间间隔为 h
解析　由题图可知,a=10÷2=5,故A错误;
乙车的速度为360÷9=40(km/h),
∴y乙=360-40x,故B错误;
设甲车在返程时的函数解析式为y甲=kx+b(k≠0),
把(5,0)和(10,400)代入解析式得
解得 ∴y甲=80x-400,故C错误;
易得甲车的速度为80 km/h,
∴甲车前往B地时,y甲=400-80x,
∴两车第一次相遇:360-40x=400-80x,
解得x=1;
两车第二次相遇:360-40x=80x-400,
解得x= ,
∴两车两次相遇的时间间隔为 -1= (h),故D正确.故选D.
6.(2025河北邯郸武安一模,★★☆)甲、乙两人赛跑,两人所跑
的路程y(米)与所用的时间x(分)之间的函数关系如图所示,给
出下列说法:
①比赛全程1 500米.
②2分时,甲、乙相距300米.
③比赛结果是乙比甲领先50秒到达终点.
④3分40秒时,乙追上甲,其中正确的个数是 ( )
C

A.1　　 B.2　　
C.3　　 D.4
解析　①由题图可得比赛全程为1 500米,故①正确;
②甲的速度为 =300(米/分),∴2分时甲、乙相距300×2-30
0=300米,故②正确;
③由题图可得乙比甲领先0.5×60=30秒到达终点,故③错误;
④设两分钟后,y乙=kx+b(k≠0),将(2,300),(4.5,1 500)代入,得

解得 ∴两分钟后,y乙=480x-660,
设甲的函数解析式为y甲=k'x(k'≠0),将(5,1 500)代入得1 500=5k
',解得k'=300,∴y甲=300x,
令y甲=y乙,即300x=480x-660,
解得x= , 分=3分40秒,故④正确.
故选C.
7.【学科特色·易错题】(2025河北沧州吴桥期末,★★☆)共享
电动车是一种新理念下的交通工具,现有A,B两种品牌的共享
电动车,图象反映了收费y(元)与骑行时间x(分钟)之间的关系,
其中A品牌共享电动车的收费方式对应y1,B品牌共享电动车
的收费方式对应y2,当x=_________分钟时,两种品牌共享电动
车收费相差4元.
5或40
解析　设y1=k1x+b1(x>10,k1≠0),y2=k2x(k2≠0),将(10,6),(20,8)代
入y1=k1x+b1得
解得 ∴y1=0.2x+4(x>10),
∴y1=
将(20,8)代入y2=k2x得8=20k2,解得k2=0.4,
∴y2=0.4x,
①当0≤x≤10时,
依题意得6-0.4x=4,解得x=5;
②当10依题意得0.2x+4-0.4x=4,
解得x=0(不合题意,舍去);
③当x>20时,
依题意得0.4x-(0.2x+4)=4,
解得x=40.
综上所述,当x=5或x=40时,两种品牌共享电动车收费相差4元,
故答案为5或40.
8.【新课标·模型观念】(2025河北邯郸四模)如图,某品牌滤水
壶有净水区和蓄水区.给净水区加满水,净水区中的水匀速流
向蓄水区,一段时间后再将净水区补满(不计加水时间).已知
净水区水面与蓄水区水面的距离h(cm)与水流时间t(min)之间
的函数图象如图所示.
(1)直接写出线段AB与线段CD的位置关系.
(2)求线段AB所在直线的函数表达式.
(3)求净水区水面与蓄水区水面重合时t的值.

解析 (1)线段AB与线段CD互相平行.
(2)设线段AB所在直线的函数表达式为h=kt+b(k≠0),
∵点(0,27)和点(3,9)在该函数图象上,
∴ 解得
即线段AB所在直线的函数表达式为h=-6t+27.
(3)设线段CD所在直线的函数表达式为h=-6t+b',
∵点(3,21)在该函数图象上,
∴21=-6×3+b',解得b'=39,
即线段CD所在直线的函数表达式为h=-6t+39,
将h=0代入h=-6t+39,得0=-6t+39,
解得t= ,
即净水区水面与蓄水区水面重合时t的值为 .(共16张PPT)
第二十章　一次函数
第1课时　一次函数的图象
20.2　一次函数的图象和性质
　一次函数的图象
1.(2025广东深圳龙岗期中)下列选项中哪个可能是函数y=-8x
的图象 ( )
A　　 B　　 C　　 D
B
解析　函数y=-8x的图象过点(0,0)和点(1,-8),只有选项B符合,
故选B.
2.(2025河北秦皇岛第七中学期中)嘉淇在用描点法画一次函
数的图象时列表如下,已知其中有一组数据是错误的,则这组
错误的数据是 ( )
A
x … -2 -1 0 1 2 …
y … 12 10 8 6 2 …
A.(2,2)　　 B.(1,6)
C.(0,8)　　 D.(-1,10)
解析　根据表格数据描点,如图,

可知点(2,2)不在一次函数的图象上,故选A.
3.【学科特色·教材变式】(2024内蒙古包头九原期中改编)用
“列表、描点、连线”的方法画出函数y=2x+1的图象.
(1)下表是y与x的几组对应值,请补充完整.
x … -2 -1 0 1 2 …
y … -3 3 …
(2)以(1)中的每对对应值分别为横坐标和纵坐标,在平面直角
坐标系xOy中描出相应的点,画出函数y=2x+1的图象.

解析 (1)∵y=2x+1,
∴当x=-1时,y=2×(-1)+1=-1,
当x=0时,y=2×0+1=1,
当x=2时,y=2×2+1=5.
故从左往右依次填-1;1;5.
(2)如图所示.
4.(2025河北承德兴隆期末,★★☆)已知函数y=kx+1(k≠0),则
此函数图象过定点 ( )
A.(1,1)　　 B.(0,1)　　 C.(1,0)　　 D.(-1,0)
B
解析　当x=0时,y=k×0+1=1,
∴函数y=kx+1(k≠0)的图象过定点(0,1).故选B.
5.【新考向·结论开放题】(2024宁夏中考,★☆☆)在平面直角
坐标系中,一条直线与两坐标轴围成的三角形是等腰三角形,
则该直线的解析式可能为______________________(写出一个
即可).
y=x+1(答案不唯一)
解析　若某直线交y轴于点(0,1),交x轴于点(-1,0),则该直线的
解析式为y=x+1,图象如图,

故该直线与坐标轴围成的三角形是等腰三角形.
6.(2025河北张家口张北期末,★★☆)已知函数y=-x+3.
(1)填表,并在如图所示的平面直角坐标系中画出这个函数的
图象.
x … -2 …
y=-x+3 … -1 …
(2)当-1≤x<2时,求y的取值范围.

解析 (1)填表如下.
x … -2 　4 …
y=-x+3 … 　5 -1 …
函数图象如图.
(2)当x=-1时,y=4.
当x=2时,y=1.
综合图象可得,y的取值范围是17.【新课标·模型观念】(2024河北沧州月考)定义运算“※”
为a※b= 如1※(-2)=1×(-2)=-2,则函数y=2※x的图象
大致是 ( )

A
解析　由题意知y=2※x= 当x>0时,图象是函数y=-2
x的图象在第四象限的部分;当x≤0时,图象是函数y=2x的图象
在第三象限的部分(含原点).故选A.(共14张PPT)
专项突破5　一次函数中三类易错题
　忽略定义中的限制条件
1.(2024贵州黔东南州台江期中)已知关于x的函数y=(k+2)x+|k|
-2是正比例函数,则k的值是_________.
2
解析　∵y=(k+2)x+|k|-2是正比例函数,∴|k|-2=0且k+2≠0,解
得k=±2且k≠-2,∴k=2.
　忽略或误判自变量的取值范围
2.(2025山东济南历城二中月考)将一根16 cm长的细铁丝折成
一个等腰三角形(弯折处长度忽略不计),设腰长为x cm,底边
长为y cm,则下列选项中能正确描述y与x之间的函数关系的是
( )

D
解析　由题意得y=16-2x,所以 解得4选项符合,故选D.
3.把一个长10 cm、宽5 cm的长方形的长减少x(单位:cm),宽不
变,所得长方形的面积为y(单位:cm2).
(1)请写出y与x之间的函数关系式.
(2)画出函数的图象.
解析 (1)根据题意得,y=5(10-x),即y=-5x+50,0≤x<10,∴y与x
之间的函数关系式为y=-5x+50(0≤x<10).
(2)函数y=-5x+50(0≤x<10)的图象如图所示.

　条件指向不明时忽略分类讨论
4.(2024河北邯郸一模)已知一次函数y=kx-3k,当-5≤x≤1时,
≤y≤9,则k的值为 ( )
A.- 　　 B. 　　 C.- 或 　　 D.-
D
解析　在y=kx-3k中,当x=3时,y=0,所以一次函数图象过定点(3,
0).又因为当-5≤x≤1时, ≤y≤9,所以函数图象经过点
,(1,9)或(-5,9), ,当函数图象经过点 和(1,9)时,
此函数图象不经过点(3,0),故此情况舍去.将x=-5,y=9代入一次
函数表达式,得-5k-3k=9,解得k=- ,此时函数图象过定点(3,0),
符合题意.故选D.
5.(2025四川自贡期末)已知一次函数y=kx+b(k≠0)的图象过点
(2,0),且与两坐标轴围成的三角形的面积为1,则这个一次函数
的解析式是______________________.
y= x-1或y=- x+1
解析　∵一次函数y=kx+b(k≠0)的图象过点(2,0),∴2k+b=0,∴
b=-2k,
∴y=kx-2k,令x=0,则y=-2k,
∵函数图象与两坐标轴围成的三角形的面积为1,
∴ ×2×|-2k|=1,解得k=± ,
当k= 时,b=-2k=-1,当k=- 时,b=-2k=1,
∴这个一次函数的解析式为y= x-1或y=- x+1.
6.(2025江西赣州期末)如图,一次函数y1=kx+b(k,b为常数且k≠
0)的图象与正比例函数y2=x的图象交于点C,与坐标轴分别交
于点A和点B,OA=OB=4.
(1)求一次函数的解析式.
(2)求△AOC的面积.
(3)已知过点C的直线将△AOC的面积分为1∶3的两部分,求
该直线的解析式.
解析 (1)由题意得A(0,4),B(4,0),
∵y1=kx+b的图象过点A,B,
∴ 解得
∴一次函数的解析式为y1=-x+4.
(2)联立 解得
∴点C的坐标为(2,2),
∴S△AOC= ×4×2=4.
(3)由(2)得C(2,2),设过点C的直线与y轴交于点P,∵过点C的直
线将△AOC的面积分为1∶3的两部分,∴OP=1或OP=3,
设该直线的解析式为y=mx+n(m≠0),
①当OP=1时,P(0,1),
则有 解得
∴此时函数解析式为y= x+1;
②当OP=3时,P(0,3),
则有 解得
∴此时函数解析式为y=- x+3.
综上所述,该直线的解析式为y= x+1或y=- x+3.(共14张PPT)
专项突破4　一次函数中方程思想的三种应用
　用方程思想求解一次函数定义问题
1.(2025上海宝山实验学校月考)如果函数y=(m2-1)·xm-1-m是一
次函数,那么m的值是 ( )
A.1　　 B.2　　 C.±1　　 D.±2
B
解析　∵y=(m2-1)xm-1-m是一次函数,
∴m-1=1且m2-1≠0,
解得m=2.故选B.
2.(2024河北保定高碑店期末)若y=kx+k+x-1是y关于x的正比例
函数,则k的值为 ( )
A.-1　　 B.0　　 C.1　　 D.2
C
解析　∵y=kx+k+x-1=(k+1)x+k-1是y关于x的正比例函数,∴k+
1≠0且k-1=0,∴k=1,故选C.
3.(2025河北邯郸大名期末改编)如果y=(m-3) +4是一次函
数,那么m=_______.
　-3
解析　根据一次函数的定义可得
解得m=-3.故答案为-3.
　用方程思想求解一次函数表达式
4.【跨物理·温度】(2025河北唐山迁安期末)如图所示的是温
度计的示意图,左边的温度表示摄氏温度,右边的温度表示华
氏温度.小明观察温度计发现:两个刻度x(℃),y(℉)之间的关系
如表所示.
x/℃ 10 20 30
y/℉ 50 68 86
据此可知,华氏温度为95 ℉时,对应的摄氏温度为 ( )

A.35 ℃　　 B.36 ℃　　 C.37 ℃　　 D.38 ℃
A
解析　设y=kx+b(k≠0),代入(10,50),(20,68),得 解
得 ∴y=1.8x+32,经检验,(30,86)符合该函数关系式,
∴y与x之间的函数关系式为y=1.8x+32,
当y=95时,1.8x+32=95,解得x=35,
∴华氏温度为95 ℉时,对应的摄氏温度为35 ℃.
故选A.
5.(2025安徽中考)已知一次函数y=kx+b(k≠0)的图象经过点M
(1,2),且y随x的增大而增大.若点N在该函数的图象上,则点N的
坐标可以是 ( )
A.(-2,2)　　 B.(2,1)　　 C.(-1,3)　　 D.(3,4)
D
解析　根据题意,得k>0,
把M(1,2)和(-2,2)代入y=kx+b,得 解得k=0,故A选项
不符合题意;
把M(1,2)和(2,1)代入y=kx+b,得 解得k=-1,故B选项不
符合题意;
把M(1,2)和(-1,3)代入y=kx+b,得 解得k=- ,故C选项
不符合题意;
把M(1,2)和(3,4)代入y=kx+b,得 解得k=1,故D选项符
合题意.故选D.
　用方程思想求解一次函数图象上点的坐标问题
6.(2025河北邯郸武安期末)已知一次函数的图象经过(2,3)和(-
1,-3)两点.
(1)在平面直角坐标系中画出这个函数的图象.
(2)求这个一次函数的关系式.
(3)求出该函数图象与x轴的交点坐标.
解析 (1)如图.

(2)设一次函数的关系式为y=kx+b(k≠0),
把(2,3)和(-1,-3)分别代入,得
解得 ∴这个一次函数的关系式为y=2x-1.
(3)当y=0时,2x-1=0,解得x= ,
∴该函数图象与x轴的交点坐标为 .
7.(2024重庆巴南期末改编)如图,直线l1:y=x+a与x轴交于点A(-
3,0),与y轴交于点B,C点在x轴上,且在A点的右侧,AC=7,经过点
C的直线l2与正比例函数y=- x的图象平行,直线l1与直线l2相交
于点D,求点D的坐标.

解析　∵直线l1:y=x+a与x轴交于点A(-3,0),∴0=-3+a,解得a=3,
∴直线l1:y=x+3.
∵A(-3,0),∴OA=3,∵AC=7,C点在A点右侧,
∴OC=4,∴点C(4,0),∵直线l2与正比例函数y=- x的图象平行,
且直线l2经过点C,
∴直线l2的解析式为y=- (x-4)=- x+2,
联立可得 解得
则点D .(共13张PPT)
专项突破3　一次函数图象与字母系数的关系
　由函数图象求字母系数的值或取值范围
1.(2025河北沧州献县期末)已知正比例函数y=kx的图象经过
第二、四象限,则k的值可以是( )
A.2　　 B. 　　 C.1　　 D.-1
D
解析　当k<0时,图象经过第二、四象限,故选D.
2.(2025河北沧州孟村期末)一次函数y=x+b的图象如图所示,
则b的值可能为 ( )

A.-1　　 B.0
C.0.5　　 D.2
A
解析　由题中图象可知b<0,只有A符合题意.故选A.
3.(2025山东济南市中泉海学校月考)若函数y=(k-1)x+k-2的图
象经过第一、三、四象限,则k的取值范围是 ( )
A.k>1　　 B.k>2　　 C.1 C
解析　因为一次函数y=(k-1)x+k-2的图象经过第一、三、四
象限,所以k-1>0且k-2<0,解得14.(2025河北唐山路南校级月考改编)已知一次函数y=(m-4)x+
m+2的图象不经过第三象限,则m的取值范围为___________.
　-2≤m<4
解析　∵一次函数y=(m-4)x+m+2的图象不经过第三象限,∴
∴-2≤m<4.
　由字母系数的符号判断一次函数图象
5.(2025河北沧州新华校级期中)已知kb<0,且k>0,则函数y=kx+
b的图象大致是 ( )

B
解析 k>0时,直线必经过第一、三象限,排除选项C,D;又kb<
0,所以b<0,即直线与y轴负半轴相交,排除选项A.故选B.
6.(2025河北唐山路南月考)已知一次函数y=kx+b的图象如图
所示,则一次函数y=bx+k的图象大致是 ( )


D
解析　由题中图象得k>0,b<0,故选D.
7.(2025山东济南市中期中)若a<-1,则一次函数y=(a+1)x+1-a
的图象可能是 ( )

D
解析　因为a<-1,所以a+1<0,1-a>0,所以一次函数y=(a+1)x+1-
a的图象经过第一、二、四象限.故选D.
8.(2025河北唐山路南月考)若式子 +(k-1)0有意义,则一次
函数y=(k-1)x+k的图象可能是 ( )

D
解析　∵ +(k-1)0有意义,
∴ ∴k>1,∴k-1>0,∴一次函数y=(k-1)x+k的图象经过
第一、二、三象限.故选D.
　两个一次函数图象的共存问题
9.(2025山东济南商河期中)直线y1=mx+n和y2=nmx-n在同一平
面直角坐标系中可能是 ( )

A
解析　选项A,C,直线y1=mx+n经过第一、三、四象限,所以m>
0,n<0,所以mn<0,-n>0,直线y2=nmx-n经过第一、二、四象限,A
正确,C不正确.选项B,D,直线y1=mx+n经过第一、二、三象限,
所以m>0,n>0,所以mn>0,-n<0,直线y2=nmx-n经过第一、三、
四象限,B,D均不正确.故选A.
10.(2024河北沧州模拟)直线l1:y=kx-b和直线l2:y= x+2b在同一
坐标系中的图象大致是( )

B
解析 A.直线l1:y=kx-b中,k>0,-b>0,则b<0,直线l2:y= x+2b中,2
b>0,即b>0,不一致,故本选项不符合题意;B.直线l1:y=kx-b中,k>
0,-b>0,则b<0,直线l2:y= x+2b中, <0,2b<0,则k>0,b<0,一致,故
本选项符合题意;C.直线l1:y=kx-b中,k<0,-b<0,则b>0,直线l2:y=
x+2b中, >0,2b<0,则k<0,b<0,不一致,故本选项不符合题意;
D.直线l1:y=kx-b中,k<0,-b<0,则b>0,直线l2:y= x+2b中, <0,2b<
0,则k>0,b<0,不一致,故本选项不符合题意.故选B.(共32张PPT)
第二十章　一次函数
第2课时　一次函数的性质
20.2　一次函数的图象和性质
　一次函数的性质
1.(2024甘肃临夏州中考)一次函数y=kx-1(k≠0)的函数值y随x
的增大而减小,它的图象不经过的象限是 ( )
A.第一象限　　 B.第二象限
C.第三象限　　 D.第四象限
A
解析　∵一次函数y=kx-1(k≠0)的函数值y随x的增大而减小,
∴k<0,∵b=-1<0,∴该函数图象经过第二、三、四象限,不经
过第一象限,故选A.
2.(2024山西中考)已知点A(x1,y1),B(x2,y2)都在正比例函数y=3x
的图象上,若x1A.y1>y2　　 B.y1 B
解析　因为3>0,所以y随x的增大而增大.又因为x12.故选B.
3.(2025河北唐山古冶期末)下列有关一次函数y=-3x+4的说法
中,错误的是 ( )
A.y随x的增大而减小
B.当x>0时,y>4
C.函数图象与y轴的交点坐标为(0,4)
D.函数图象经过第一、二、四象限
B
解析　根据一次函数的图象和性质,逐项分析如下:
A.∵k=-3<0,∴y随x的增大而减小,正确,不符合题意;
B.∵x=0时,y=4,又∵y随x的增大而减小,
∴当x>0时,y<4,原说法错误,符合题意;
C.∵当x=0时,y=4,∴函数图象与y轴的交点坐标为(0,4),正确,
不符合题意;
D.∵k=-3<0,b=4>0,∴函数图象经过第一、二、四象限,正确,
不符合题意.故选B.
4.【新考向·结论开放题】(2024天津中考)若正比例函数y=kx
(k是常数,且k≠0)的图象经过第一、三象限,则k的值可以是____
________________.(写出一个即可)
1(答案不唯一)
解析　因为正比例函数y=kx(k是常数,且k≠0)的图象经过第
一、三象限,所以k>0,则k的值可以是1(答案不唯一).
5.【学科特色·教材变式】(2024四川自贡中考)一次函数y=(3
m+1)x-2的值随x的增大而增大,请写出一个满足条件的m的值:
________________.
1(答案不唯一)
解析 ∵y=(3m+1)x-2的值随x的增大而增大,∴3m+1>0,∴m>-
,∴m的值可以为1(答案不唯一).
6.(2025湖南张家界期末)将直线y=3x+1向下平移2个单位后得
到的直线表达式为______________.
y=3x-1
解析　将直线y=3x+1向下平移2个单位后得到的直线表达式
为y=3x+1-2,即y=3x-1.
7.已知直线y=(m+1)x+2m-6(m为常数,且m≠-1)经过第一、
三、四象限.
(1)求m的取值范围.
(2)若该直线与y轴交于(0,-4),求m的值.
(3)判断点A(5,6m+5)是否在该直线上,若不在,判断点A在该直
线的上方还是下方,并说明理由.
解析 (1)由题意可得 解得-1(2)由题意可得2m-6=-4,解得m=1.
(3)当x=5时,y=5(m+1)+2m-6=7m-1,若7m-1=6m+5,则m=6,∵-1<
m<3,∴7m-1≠6m+5,∴点A不在该直线上.
∵7m-1-(6m+5)=m-6,-1该直线的上方.
8.(2025河北唐山路南期末,★★☆)如图,点A,B,C,D为平面直
角坐标系中的四个点,一次函数y=kx+1(k>0)的图象不可能经
过 ( )

A.点A　　 B.点B　　 C.点C　　 D.点D
A
解析　∵一次函数y=kx+1(k>0)中,k>0,b=1>0,
∴一次函数y=kx+1(k>0)的图象经过第一、二、三象限,∵点A
在第四象限,∴一次函数y=kx+1(k>0)的图象不可能经过点A.
故选A.
9.(2025河北邯郸永年期末,★★☆)若点A(x1,y1)和B(x2,y2)都在
一次函数y=(m+2)x+1(m为常数)的图象上,且当x1y2,则
m的值可能是 ( )
A.-3　　 B.-2　　 C.0　　 D.1
A
解析　∵当x1y2,
∴y随x的增大而减小,∴m+2<0,∴m<-2.
∴四个选项中,只有A选项中的数符合题意,故选A.
10.(2025江西南昌期末,★★☆)若y=(m-2)x+m2-4是y关于x的正
比例函数,且点A(m,a)和点B(-m,b)在该函数的图象上,则a和b
的大小关系是 ( )
A.ab　　 C.a≤b　　 D.a≥b
B
解析　∵y=(m-2)x+m2-4是y关于x的正比例函数,∴
∴m=-2,∴正比例函数的解析式为y=-4x,A(-2,a),B(2,b),
∵k=-4<0,∴y随x的增大而减小,
∵-2<2,∴a>b.故选B.
11.【跨物理·光的折射】(2025广东深圳三模,★★☆)如图所
示的是光从空气进入水中入水前与入水后的光路图,若建立
如图所示的平面直角坐标系,并设入水前与入水后光线所在
直线的表达式分别为y1=k1x,y2=k2x,则下列判断正确的是
( )
C

A.k1>0,k2<0　　 B.k1<0,k2>0
C.|k1|<|k2|　　 D.|k1|>|k2|
解析　由题图可知,y1随x的增大而减小,y2随x的增大而减小,∴
k1<0,k2<0,
如图,在两条直线上分别取横坐标为m的两个点A和B(m>0),

则A(m,k1m),B(m,k2m),∵k1m>k2m,m>0,∴k1>k2,又∵k1<0,k2<0,∴|
k1|<|k2|.
12.【学科特色·多解法】(2025河北石家庄平山期末,★★☆)
一次函数y=kx和y=-kx+k在同一平面直角坐标系中的图象可
能是 ( )

B
解析　【解法一】选项A,没有过原点的直线,此选项不符合
题意;
选项B,由函数y=kx的图象可知k<0,则-k>0,故一次函数y=-kx+k
的图象经过第一、三、四象限,此选项符合题意;
选项C,由函数y=kx的图象可知k>0,则-k<0,此时一次函数y=-kx
+k的图象应经过第一、二、四象限,此选项不符合题意;
选项D,由函数y=kx的图象可知k>0,则-k<0,此时一次函数y=-kx
+k的图象应经过第一、二、四象限,此选项不符合题意.故选
B.
【解法二】若k>0,则-k<0,直线y=kx过第一、三象限及原点,直
线y=-kx+k过第一、二、四象限,没有选项符合;若k<0,则-k>0,
直线y=kx过第二、四象限及原点,直线y=-kx+k过第一、三、
四象限,选项B符合.故选B.
【解法三】选项A,没有过原点的直线,此选项不符合题意;
选项B,由函数y=kx的图象可知k<0,由一次函数y=-kx+k的图象
经过第一、三、四象限可知k<0,此选项符合题意;
选项C,由一次函数y=-kx+k的图象经过第一、二、三象限可
知-k>0,k>0,不一致,此选项不符合题意;
选项D,由一次函数y=-kx+k的图象经过第二、三、四象限可
知-k<0,k<0,不一致,此选项不符合题意.故选B.
13.(★★☆)我们研究一个新函数时,常常会借助图象研究新
函数的性质,在经历“列表、描点、连线”的步骤后,就可以
得到函数图象,请运用这样的方法对函数y=|x-1|-2进行探究:
(1)补全表格中所缺数据,并在所给平面直角坐标系中画出函
数图象.
x … -2 -1 0 1 2 3 4 …
y … 1 -1 -1 1 …
(2)根据所画图象,写出该函数的两条性质:
①____;
②____.
(3)结合所画图象回答:当-2
解析 (1)当x=-1时,y=|x-1|-2=0,
当x=1时,y=|x-1|-2=-2,
当x=3时,y=|x-1|-2=0,
故题表中的横线上依次填0;-2;0.
画出函数的图象如图:
(2)由图象可知:①当x>1时,y随x的增大而增大,当x<1时,y随x的
增大而减小;②y的最小值是-2.(答案不唯一,合理即可)
(3)由图象可得,当-214.【新课标·推理能力】(2025山东聊城东昌教育集团三模)
如图,在平面直角坐标系中,平行四边形OABC的边OC落在x轴
的正半轴上,且点B的坐标为(6,2),直线y=4x+1向右平移_____
个单位长度可将平行四边形OABC的面积分为相等的两部分.

3
解析　因为四边形OABC是平行四边形,且点B的坐标为(6,2),
所以平行四边形对角线的交点的坐标为(3,1).当平移后的直
线经过点(3,1)时,平行四边形的面积被平分.设直线y=4x+1向
右平移m个单位长度后过点(3,1),所以平移后的直线为y=4(x-
m)+1=4x-4m+1,将(3,1)代入y=4x-4m+1,得1=12-4m+1,解得m=3.
微专题　一次函数图象的平移与函数解析式的关系
方法指引 (1)将直线y=kx+b向上平移m(m>0)个单位长度,得
到直线y=kx+b+m,向下平移m(m>0)个单位长度,得到直线y=kx
+b-m,简记为“上加下减”.
(2)将直线y=kx+b向左平移m(m>0)个单位长度,得到直线y=k(x
+m)+b,向右平移m(m>0)个单位长度,得到直线y=k(x-m)+b,简
记为“左加右减”.
(3)直线y=k1x+b1和直线y=k2x+b2平行,则k1=k2且b1≠b2.
1.(2025安徽蚌埠期末)将直线y=2x+4平移后恰好经过坐标原
点.下列平移方式错误的是 ( )
A.向左平移2个单位,再向上平移2个单位
B.向右平移1个单位,再向下平移2个单位
C.向右平移2个单位
D.向下平移4个单位
A
解析 A.直线y=2x+4向左平移2个单位,再向上平移2个单位
后得到直线y=2(x+2)+4+2=2x+10,此时直线不过原点,符合题
意;B.直线y=2x+4向右平移1个单位,再向下平移2个单位后得
到直线y=2(x-1)+4-2=2x,此时直线过原点,不合题意;C.直线y=2
x+4向右平移2个单位后得到直线y=2(x-2)+4=2x,此时直线过
原点,不合题意;D.直线y=2x+4向下平移4个单位后得到直线y=
2x+4-4=2x,此时直线过原点,不合题意.故选A.
2.(2025福建龙岩期末)若直线y=kx+2是由直线y=-2x-1平移得
到的,则k=_______,即将直
线y=-2x-1沿y轴向______(填“上”或“下”)平移_____个单
位长度.
3
　上
　-2
解析　∵直线y=kx+2是由直线y=-2x-1平移得到的,∴直线y=
kx+2与y=-2x-1平行,即k=-2.
∵2-(-1)=3,∴y=-2x+2是由直线y=-2x-1沿y轴向上平移3个单位
长度得到的.
3.(2025河北张家口张北期末)将直线y=2x向下平移m(m>0)个
单位长度,所得的图象恰好过点(5,7),求m的值.
解析　平移后的直线解析式为y=2x-m,
把(5,7)代入得7=2×5-m,解得m=3.

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