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(共24张PPT)
第十九章自主检测
时间：40分钟 满分：100分
一、选择题(每小题6分,共36分)
1.(2025河北廊坊固安期中)正方形的周长C与其边长a的函数
关系式为C=4a,其中常量是 ( )
A.4　　 B.a　　
C.C　　 D.4a
A
解析　正方形的周长C与其边长a的函数关系式为C=4a,其中
常量是4.故选A.
2.(2025云南昆明期末)数学是严谨的逻辑与优美的艺术相结
合的学科.下列四个漂亮的图中,表示y是x的函数的是
( )

D
解析　只有D选项中的图满足“对于x的每一个确定的值,y都
有唯一确定的值与其对应”.故选D.
3.(2025贵州中考)如图,用一根管子向图中容器注水,若单位时
间内注水量保持不变,则从开始到注满容器的过程中,容器内
水面升高的速度 ( )

A.越来越慢　　 B.越来越快
C.保持不变　　 D.快慢交替变化
B
解析　∵单位时间内注水量保持不变,容器的形状为上窄下
宽,
∴从开始到注满容器的过程中,容器内水面升高的速度越来
越快.故选B.
4.(2025湖南长沙三模)已知某市的土地总面积约为11 819 km
2,人均占有的土地面积S(单位:km2)随全市人口总人数n(单位:
人)的变化而变化,则S与n的函数关系式为( )
A.S=11 819n　　 B.n=11 819S
C.S= 　　 D.S=
C
解析　由题意得S·n=11 819,所以S与n的函数关系式为S=
.
5.(2025贵州遵义期末)匀速地向一个如图所示的容器内注水,
最后把容器注满.在注水过程中,水面高度h随时间t变化的图
象(草图)大致是 ( )


B
解析　在注水过程中,由于容器的横截面积不同,水面上升的
速度也不同.横截面积越小,水面上升速度越快;横截面积越大,
水面上升速度越慢.
开始注水时,容器最下面的部分横截面积最小,所以水面高度h
随时间t上升最快;
接着到最粗的圆柱部分,横截面积最大,水面高度h随时间t上
升最慢;
最后到最上面的圆柱部分,横截面积介于最小和最大之间,水
面高度h随时间t上升的速度也介于上述两种情况之间.符合的
是选项B.故选B.
6.(2025四川成都中考)小明从家跑步到体育馆,在那里锻炼了
一段时间后又跑步到书店买书,然后步行回家(小明家、书
店、体育馆依次在同一直线上),如图表示的是小明离家的距
离与时间的关系.下列说法正确的是 ( )
C
A.小明家到体育馆的距离为2 km
B.小明在体育馆锻炼的时间
为45 min
C.小明家到书店的距离为1 km
D.小明从书店到家步行的时间为40 min
解析　由题图可知:
A.小明家到体育馆的距离为2.5 km,故本选项不符合题意;
B.小明在体育馆锻炼的时间为45-15=30(min),故本选项不符
合题意;
C.小明家到书店的距离为1 km,故本选项符合题意;
D.小明从书店到家步行的时间为100-80=20(min),故本选项不
符合题意.故选C.
二、填空题(每小题8分,共24分)
7.(2025河北邢台襄都期末)函数y= 中自变量x的取值范
围是___________.
x<3
解析　由题意得,3-x>0,解得x<3,故答案为x<3.
8.【新课标·中华优秀传统文化】(2025广东深圳期末改编)漏
刻是我国古代的一种计时工具.小明同学依据漏刻的原理制
作了一个简单的漏刻计时工具模型,研究中发现了水位h(单
位:cm)和时间t(单位:min)两个变量之间的关系.下表是小明记
录的部分数据,当h为10 cm时,对应的时间t为_________min.
20
t/min … 1 2 3 4 …
h/cm … 2.4 2.8 3.2 3.6 …
解析　根据题意得时间每增加1 min,水位增高0.4 cm,∴h=2.4
+0.4(t-1),当h为10 cm时,10=2.4+0.4(t-1),解得t=20.
∴当h为10 cm时,对应的时间t为20 min.
9.【学科特色·动点问题】(2025甘肃中考改编)如图1,在等腰
直角三角形ABC中,∠ACB=90°,点D为边AB的中点.动点P从
点A出发,沿边AC→CB方向匀速运动,运动到点B时停止.设点
P的运动路程为x,△APD的面积为y,y与x的函数图象如图2所
示,当点P运动到CB的中点时,PD的长为_________.
　
2
解析　根据题意得,动点P从点A出发,沿边AC→CB方向匀速
运动过程中,△APD的面积先增大,再减小,当点P运动到点C
时,△APD的面积最大,根据函数图象可得,此时y=4,
∵点D为边AB的中点,
∴S△ABC=2S△ADP=8= AC2,解得AC=4(舍负),
当点P运动到CB的中点时,PD为△ABC的中位线,
∴PD= AC=2.
三、解答题(共40分)
10.(2025云南昆明月考)(12分)一辆汽车油箱内有56升汽油.从
某地出发,平均每行驶1千米,耗油0.07升.设油箱内剩油量为y
(升),行驶路程为x(千米),且y随x的变化而变化.
(1)直接写出y与x的关系式.
(2)写出自变量x的取值范围.
(3)求这辆汽车行驶350千米时,剩油多少升.
解析 (1)y=56-0.07x.
(2)0≤56-0.07x≤56,解得0≤x≤800.
(3)将x=350代入y=56-0.07x,得y=56-0.07×350=31.5,
∴这辆汽车行驶350千米时,剩油31.5升.
11.(2025河北保定安国期末)(13分)已知洋洋家、公园、图书
馆在同一条东西方向的直线街道上.周末,洋洋一早从家步行
去公园游玩,接着去图书馆看书,然后回家,假设洋洋行走时的
速度保持不变,洋洋离家的距离s(km)与时间t(min)之间的对
应关系如图所示.根据图象回答下列问题:
(1)图中的自变量是______,因变量是______.(用文字表达)
(2)洋洋在图书馆看书的时间是______min.
(3)洋洋行走时的速度为______km/min.
(4)求图中t1,t2的值.
解析 (1)时间;离家的距离.
(2)30.
详解:洋洋在图书馆看书的时间为58-28=30(min).
(3)0.1.
详解:洋洋行走时的速度为 =0.1(km/min).
(4)t1= =6,t2=58+ =66.
故t1=6,t2=66.
12.(2025北京中考改编)(15分)工厂对新员工进行某种工艺品
制作的培训.在完成理论学习后,新员工接下来先使用智能辅
助训练系统进行一次为期T日(T可取0,1,2,3)的模拟练习,然后
开始试制.记一名新员工在试制阶段的第x日单日制成的合格
品的个数为y,根据以往的培训经验,对于给定的T,可以认为y
是x的函数.当T=0和T=3时,部分数据如下:
x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
y(T=0) 0 7 8 10 12 16 20 23 25 26
y(T=3) 0 26 37 43 46 48 50 51 52 53
对于给定的T,根据对应的数对(x,y)得到曲线CT.当T=1和T=2
时,曲线C1,C2如图所示.
(1)观察曲线C1,当整数x的值为______时,y的值首次超过35.
(2)在给出的平面直角坐标系中,画出T=3时的曲线C3.
(3)新员工小云要进行模拟练习和试制,若小云单日制成不少
于45个合格品即可获得“优秀学员”证书,根据上述函数关
系,小云最早在完成理论学习后的第
______日可获得“优秀学员”证书.
解析 (1)6.
(2)曲线C3如图.

(3)7.
详解:由题意可知符合题意的曲线只有C2与C3,
C3:T=3且在试制阶段的第4日单日制成的合格品个数开始不
少于45,∴T+x=7.
C2:T=2且在试制阶段的第6日单日制成的合格品个数开始不
少于45,∴T+x=8.
∵7<8,∴小云最早在完成理论学习后的第7日可获得“优秀
学员”证书.(共21张PPT)
第十九章　函数
19.3　函数的表示
　函数的图象及其画法
1.(2025河北保定易县期末)如图,小亮同学每天早晨都要在小
区后面的广场上锻炼身体.某天他绕着一个呈扇形轮廓的场
地(如图)匀速跑步,下列选项能近似刻画小亮离出发点P的距
离y与时间x之间关系的是 ( )
C
解析　如图所示:
当小亮在半径PA上运动时,与出发点距离越来越大;
在弧AB上运动时,与出发点的距离不变;
在BP上运动时,与出发点的距离越来越小.从开始到结束时间
在不断增加.故选C.
2.(2025河北承德兴隆期中)如图1,已知点A(8,0)及第一象限的
动点P(x,y),且x+y=10.设△OPA的面积为S.
(1)求S关于x的函数关系式,并直接写出x的取值范围.
(2)当S=12时,求P点的坐标.
(3)根据x的取值范围,在所给的直角坐标系(图2)中,直接画出
函数S的图象.
解析 (1)如图,过P作PG⊥OA于点G,
由题意可知,PG=y=10-x,OA=8,

则S= AO·PG= ×8(10-x)=-4x+40,x的取值范围是0(2)把S=12代入S=-4x+40,得12=-4x+40,解得x=7,
把x=7代入x+y=10,得y=3,∴P点的坐标是(7,3).
(3)S的函数图象如图所示.

　函数的三种表示方法
3.(2025山东淄博期末)小颖现有存款300元,为赞助“希望工
程”,她计划今后每月存款20元,则存款总金额y(元)与时间x
(月)之间的函数解析式为 ( )
A.y=20x　　 B.y=300+20x
C.y=300-20x　　 D.y=240x
B
解析　根据题意得y与x之间的函数解析式为y=300+20x.故选
B.
4.(2025河北唐山乐亭期末)如图,把一些相同规格的碗整齐地
叠放在水平桌面上,这摞碗的高度h(cm)随着碗的数量x(只)变
化而变化的情况如表所示:
碗的数
量x/只 1 2 3 4 …
高度h/
cm 6 7.3 8.6 9.9 …
(1)上述两个变量中,自变量是______;函数是______.(用文字
表达)
(2)请你写出h与x之间的关系式.
(3)若这摞碗的高度为13.8 cm,求这摞碗的数量.
解析 (1)碗的数量;高度.
(2)根据表格,碗的数量每增加1只,高度升高1.3 cm,
则h=6+1.3(x-1)=1.3x+4.7,
∴h与x之间的关系式为h=1.3x+4.7.
(3)当h=13.8时,1.3x+4.7=13.8,解得x=7.
∴这摞碗的数量是7只.
5.【新考向·地域题型】(★★☆)如图所示的是一种轨道示意
图,其中 和 均为半圆,点M,A,C,N依次在同一直线上,
且AM=CN.现有两个机器人(看成点)分别从M,N两点同时出
发,沿着轨道以大小相同的速度匀速移动,其路线分别为M→A
→D→C→N和N→C→B→A→M.若移动时间为x,两个机器人
之间的距离为y,则y与x关系的图象大致是( )
D

A　　 B
C　　 D
解析　当两个机器人分别从M,N两点同时出发,未到圆弧上
时,y随x的增大而减小,排除选项A和C;当两个机器人经过圆弧
后,分别在CN,AM上移动时,y随x的增大而增大,排除选项B,故
选D.
6.(2025广东中考,★★☆)在理想状态下,某电动摩托车充满电
后以恒定功率运行,其电池剩余的能量y(W·h)与骑行里程x
(km)之间的关系如图.当电池剩余能量小于100 W·h时,摩托车
将自动报警.根据图象,下列结论正确的是 ( )
C
A.电池能量最多可充400 W·h
B.摩托车每行驶10 km消耗能量300 W·h
C.一次性充满电后,摩托车最多行驶25 km
D.摩托车充满电后,行驶18 km将自动报警
解析　由题图可得,当x=0时,y=500,
∴电池能量最多可充500 W·h,故A错误;
每行驶1 km消耗能量500÷25=20(W·h),
则每行驶10 km消耗能量20×10=200(W·h),
∴摩托车每行驶10 km消耗能量200 W·h,故B错误;
由题图可得,当x=25时,y=0,
∴一次性充满电后,摩托车最多行驶25 km,故C正确;
(500-100)÷20=20(km),
∴摩托车充满电后,行驶20 km将自动报警,故D错误.故选C.
7.(2025河北保定莲池期末,★★☆)小明家、报亭、乒乓球馆
在一条直线上.小明从家跑步到乒乓球馆打球,再去报亭看报,
最后回家.小明离家的距离y(m)与时间x(min)之间的关系如图
所示.下列结论正确的是 ( )
B
A.小明从家到乒乓球馆的速度是250 m/min
B.小明在报亭停留时间为10 min
C.乒乓球馆在小明家与报亭之间
D.小明从乒乓球馆到报亭的速度比从报亭到家的速度慢
解析 根据题图知,小明家到乒乓球馆的距离是1 200 m,从家
到乒乓球馆用时5 min,∴小明从家到乒乓球馆的速度是1 200
÷5=240(m/min),故选项A结论错误;
根据题图知,小明在报亭停留时间为49-39=10(min),故选项B
结论正确;
根据题图知,小明先到乒乓球馆,再往回走到报亭,再回到家,
∴乒乓球馆不在小明家与报亭之间,故选项C结论错误;
∵小明从乒乓球馆到报亭用时39-35=4(min),所走路程为1 20
0-840=360(m),故速度为360÷4=90(m/min),
从报亭回到家用时63-49=14(min),所走路程为840 m,故速度
为840÷14=60(m/min),
∵90>60,
∴小明从乒乓球馆到报亭的速度比从报亭到家的速度快,故
选项D结论错误.故选B.
8.【新课标·几何直观】一辆汽车从甲地到乙地的速度(千米/
时)与时间(分钟)的关系图象如图.根据图象,回答下列问题:
(1)汽车从出发到最后停止经过多长时间 它的最大速度是多少
(2)汽车在哪段时间保持匀速行驶 速度是多少
(3)出发后25分钟到30分钟之间可能
发生了什么情况
(4)用自己的语言大致描述这辆汽车的
行驶情况.
解析 (1)汽车从出发到最后停止经过60分钟,最大速度是80
千米/时.
(2)汽车在出发后35分钟到50分钟之间保持匀速行驶,速度是8
0千米/时.
(3)可能到达站点,停留了5分钟.(合理即可)
(4)汽车先加速行驶10分钟,然后减速行驶15分钟,接着停下5
分钟,再加速行驶5分钟,然后匀速行驶15分钟,再减速行驶10
分钟停止.(合理即可)(共11张PPT)
第十九章　函数
第1课时　图形的平移与坐标
19.1　常量和变量
　常量和变量
1.(2025浙江杭州期中)以下是关于常量和变量的说法:(1)在一
个变化过程中,允许出现多个变量和常量;(2)变量就是变量,它
不可以转化为常量;(3)变量和常量是相对而言的,在一定条件
下可以相互转化;(4)在一个变化过程中,变量只有2个,常量可
以没有,也可能有多个.其中说法正确的有 ( )
A.1个　　 B.2个　　 C.3个　　 D.4个
B
解析　在一个变化过程中,允许出现多个变量和常量,故(1)说
法正确;变量和常量在一定的条件下可以相互转化,如s=vt中,s
一定,v和t就是变量,v一定,s和t就是变量,故(2)说法错误,(3)说
法正确;在一个变化过程中,变量可以有多个,常量可以没有,也
可以有多个,故(4)说法错误.正确的有2个.故选B.
2.(2025河北沧州任丘期末)甲以每小时10 km的速度匀速行驶
时,他所走过的路程s(km)与时间t(h)之间可用公式s=10t来表
示,则下列说法正确的是 ( )
A.数10和s,t都是变量
B.s是常量,数10和t是变量
C.数10是常量,s和t是变量
D.t是常量,数10和s是变量
C
解析　在s=10t中,数10是常量,s和t是变量.故选C.
3.【学科特色·教材变式】(2025山西临汾一中月考)写出下列
变化过程中的变量和常量:
(1)一个面积是10平方厘米的长方形,记它的长为a厘米,宽为b
厘米.
(2)小佳带了20元钱到某商店购买练习本,练习本的单价是1.2
元,小佳购买n本练习本,剩余m元.
(3)以固定的速度v0米/秒向上抛一个小球,小球的高度h(米)与
小球运动的时间t(秒)之间的关系式是h=v0t-4.9t2.
解析 (1)a,b为变量;10为常量.
(2)n,m为变量;20,1.2为常量.
(3)h,t为变量;v0,-4.9为常量.
4.(2025河南南阳期末,★★☆)如图,把两根木条AB和AC的一
端A用螺栓固定在一起,木条AC自由转动至AC'的位置.在转动
过程中,下面的量是常量的为 ( )
A.∠BAC的度数　　
B.AB的长度
C.BC的长度　　
D.△ABC的面积
B
解析　木条AC绕点A自由转动至AC'的过程中,AB的长度始终
保持不变,所以AB的长度是常量;而∠BAC的度数、BC的长
度、△ABC的面积一直在变化,均是变量.故选B.
5.【学科特色·教材变式】(2024山东青岛即墨期中,★★☆)一
汽车油箱里有油40 L,在行驶过程中,每小时耗油2.5 L,回答下
列问题:
(1)汽车行驶1 h后油箱里还有油______L,汽车行驶6 h后油箱
里还有油______L.
(2)这一变化过程中共有______个变量,其中______是变量,____
_____是常量.
(3)设汽车行驶的时间为x h,油箱里剩下的油量为Q L,请用含x
的式子表示Q.
(4)这辆汽车最多能行驶多少小时
解析 (1)40-2.5×1=37.5(L),40-2.5×6=25(L),故答案为37.5;25.
(2)这一变化过程中共有2个变量,其中油箱里剩下的油量和行
驶的时间是变量,每小时耗油量是常量.
(3)Q=40-2.5x.
(4)当40-2.5x=0时,x=16.
答:这辆汽车最多能行驶16小时.
6.【新课标·应用意识】球的体积V与半径R之间的关系式是V
= πR3.
(1)在这个式子中,常量、变量分别是什么
(2)若R>1,则当球的半径增大时,球的体积如何变化
解析 (1)常量是 ,π;变量是R,V.
(2)当R>1时,球的半径越大,球的体积就越大.(共14张PPT)
专项突破2　函数图象的实际应用
　根据实际情况判断函数图象
1.(2025北京朝阳期末)如图,将一个圆柱形的空玻璃杯固定在
一个无水鱼缸内,现对准玻璃杯杯口匀速注水,直到容器注满
为止,在注水过程中,杯底始终紧贴鱼缸底部中央,则能刻画容
器最高水位h(厘米)与注水时间t(分)的函数关系的图象大致
是 ( )
A

解析　注水管向小玻璃杯内注水,水面逐渐升高,当小玻璃杯
中水满时,开始向鱼缸内流,这时水位高度不变,当鱼缸水面高
度与小玻璃杯一样后,再继续注水,水面高度继续升高,升高的
速度比开始慢.故选A.
2.(2025辽宁抚顺望花期末)如图所示的是两圆柱形连通容器,
向甲容器匀速注水,下面可以近似地刻画甲容器的水面高度h
(cm)随时间t(min)的变化情况的图象是 ( )

C
解析　刚开始时所注水都在甲容器中,水面高度h随t的增大而
增大;
当甲容器中水位到达连通部分后水开始流向乙容器,此时甲
容器的水面高度h不变;
当乙容器水位也到达连通部分后,甲、乙两容器中水位同时
上升,此时水面高度h上升但速度比开始时慢;
当水面超过连通部分后,空间变小,速度变快.
选项C中图象符合该变化过程.故选C.
　根据函数图象分析实际情况
3.(2025山东临沂蒙阴期末)在同一条道路上,甲车从A地到B
地,乙车从B地到A地,两车都匀速行驶,乙车先出发,图中的折
线段为甲、乙两车之间的距离y(千米)与行驶时间x(小时)的
函数关系的图象,下列说法错误的是( )
D
A.乙车先出发的时间为0.5小时
B.甲车的速度是80千米/小时
C.甲车出发0.5小时后两车相遇
D.甲车到B地比乙车到A地早 小时
解析 A.由图象可得,乙车先出发的时间为0.5小时,说法正确,
不合题意;
B.由图象可得乙车的速度为(100-70)÷0.5=60(km/h),故乙车行
驶完全程所用时间为 = (小时),由最后时间为1.75小时可
得乙车先到达A地,故甲车整个行驶过程所用时间为1.75-0.5=
1.25(小时),故甲车的速度为 =80(km/h),故B选项说法正确,
不合题意;
C.由以上所求可得,甲车出发0.5小时后行驶距离为40 km,乙
车此时行驶的距离为60 km,因为40+60=100(km),所以两车此
时相遇,C选项说法正确,不合题意;
D.由以上所求可得,乙车到达A地比甲车到达B地早1.75- =
(小时),故此选项说法错误,符合题意.故选D.
4.(2025贵州贵阳花溪模拟)一辆快车从实验中学开往锦绣中
学,一辆慢车从锦绣中学开往实验中学,两车同时出发,设快车
离锦绣中学的距离为y1(km),慢车离锦绣中学的距离为y2(km),
行驶时间为x(h),两车之间的距离为s(km).y1,y2与x的函数关系
图象如图1所示,s与x的函数关系图象如图2所示.则下列判断:
①图1中a=3;②当x= 时,两车相遇;③当x= 时,两车相距60
km;④当x= 或 时,两车相距200 km.其中正确的是 ( )
A
　
A.①②③　　 B.①②④　　
C.②③④　　 D.①③④
解析　①由题图2可得,当x=3时,快车到达锦绣中学,∴a=3,故
①正确;
②v快车= =100(km/h),v慢车= =60(km/h),
当两车相遇时,100x+60x=300,
解得x= ,故②正确;
③当x= 时,快车行驶的路程为100× =150(km),慢车行驶的路
程为60× =90(km),
∴两车相距300-150-90=60(km),故③正确;
④当两车相遇之前相距200 km时,有100x+200+60x=300,解得x
= ;
当两车相遇之后相距200 km时,有100x+60x-200=300,解得x=
,
∵ >3,故不合题意,故④错误.
综上可知①②③正确.故选A.
5.(2025山东烟台龙口期末)如图1,一个正方体铁块放置在圆
柱形水槽内,现以一定的速度往水槽中注水,28 s时注满水槽,
水槽内水面的高度y(cm)与注水时间x(s)之间的函数图象如图
2所示,注满水后将正方体铁块取出,还需要经过_____秒恰好
将水槽注满.
4
解析　由函数图象可知,圆柱体的高是20 cm,正方体铁块的高
是10 cm,圆柱体一半注满水需要28-2=16(秒),
故注满水后将正方体铁块取出,还需要经过16-12=4(秒)恰好
将水槽注满.故答案为4.(共15张PPT)
第十九章　函数
第2课时　自变量的取值范围
19.2　函数
　函数的自变量的取值范围
1.(2025四川内江中考)在函数y= 中,自变量x的取值范围
是 ( )
A.x≥2　　 B.x≤2　　 C.x>2　　 D.x<2
A
解析　根据题意得x-2≥0,解得x≥2,故选A.
2.(2025黑龙江龙东地区中考)在函数y= 中,自变量x的取值
范围是____________.
x≠-3
解析　由题意得x+3≠0,解得x≠-3,故答案为x≠-3.
3.(2025甘肃定西临洮期末)汽车由定西驶往相距大约108 km
的兰州,它的平均速度是72 km/h,则汽车距兰州的路程s(单位:
km)与行驶时间t(单位:h)的函数关系式及自变量t的取值范围
是__________________________.
s=108-72t(0≤t≤1.5)
解析　根据题意可知,汽车距兰州的路程s=108-72t.
∵时间是非负数,剩余路程是非负数,
∴ 解得0≤t≤1.5,
∴汽车距兰州的路程s(单位:km)与行驶时间t(单位:h)的函数
关系式为s=108-72t(0≤t≤1.5).
4.(2025河北石家庄第九中学期中)等腰三角形的周长为30
cm,它的腰长y(cm)与底边长x(cm)的函数关系式是__________
____,自变量的取值范围是______________.
0 y=
解析　由题意得30=2y+x,∴y= ,
由题意知 ∴
∴0故答案为y= ;05.求下列函数中自变量的取值范围.
(1)y= x+3. (2)y= .
(3)y= . (4)y= .
(5)y= .
解析 (1)自变量x的取值范围是全体实数.
(2)解2x-1≠0,得x≠ ,所以自变量的取值范围是x≠ .
(3)解3-x≥0,得x≤3,所以自变量的取值范围是x≤3.
(4)解x+1≥0且x-1≠0,得x≥-1且x≠1,所以自变量的取值范围
是x≥-1且x≠1.
(5)解x-2≥0且2- ≠0,得x≥2且x≠6,所以自变量的取值
范围是x≥2且x≠6.
6.【学科特色·教材变式】(2024黑龙江齐齐哈尔中考,★★☆)
在函数y= + 中,自变量x的取值范围是_____________
____.
x>-3且x≠-2
解析　由题意得3+x>0且x+2≠0,解得x>-3且x≠-2.
7.(2025江苏盐城三模,★★☆)在函数y= 中,自变量x的
取值范围是_______________.
x> 且x≠2
解析　由题意可得 ∴x> 且x≠2.
8.【新考向·现实生活】(★★☆)某市的市内电话的月收费包
括月租费22元和打电话计时费,打电话计时费按每分钟0.1元
收取.月收费y(元)是打电话分钟数x的函数.
(1)写出y与x的关系式,并写出自变量x的取值范围.
(2)某月打电话时间是50分钟,求该月的收费.
(3)某月的收费是42元,求该月的打电话时间.
解析 (1)根据题意得,y=0.1x+22,自变量x的取值范围是x≥0.
(2)当x=50时,y=0.1×50+22=5+22=27.
故该月的收费为27元.
(3)当y=42时,0.1x+22=42,解得x=200.
故该月的打电话时间是200分钟.
9.(2025安徽蚌埠怀远期中,★★☆)如图,在△ABC中,BC=15,
高AD=8.动点C'由点C沿CB向点B移动(不与点B重合).设CC'
的长为x,△ABC'的面积为S.
(1)请写出S与x之间的函数关系式,并指出自变量x的取值范围.
(2)当x分别取10,5,3时,请计算出相应的S的值.

解析 (1)因为CC'的长为x,所以BC'=15-x,
所以S= ×(15-x)×8=60-4x(0≤x<15).
(2)当x=10时,S=60-4×10=20.
当x=5时,S=60-4×5=40.
当x=3时,S=60-4×3=48.(共24张PPT)
第十九章　函数
19.4　函数的初步应用
　函数表达式的应用
1.已知火车站托运行李的费用C(元)和托运行李的质量P(kg)
(P为整数)的对应关系如下表所示:
P/kg 1 2 3 4 5 …
C/元 2 2.5 3 3.5 4 …
则C与P之间的关系式为 ( )
A.C=0.5(P-1)　　 B.C=2P-0.5
C.C=2P+0.5　　 D.C=2+0.5(P-1)
D
解析　根据题表可以得到当P=1时,C=2;当P>1 时,P每增加1,
对应的C增加0.5,则C与P之间的关系式为 C=2+0.5(P-1).故选
D.
2.【跨物理·滑块】有一段长度为1 m的金属滑块在笔直的轨
道AB上滑动.如图,滑块沿AB方向从左向右匀速滑动,滑动速
度为9 m/s,滑动开始前滑块左端与点A重合,滑动到右端与点B
重合时停止.设运动时间为t(s)时,滑块左端离点A的距离为l1
(m),右端离点B的距离为l2(m),记d=l1-l2.已知滑块在从左向右
滑动的过程中,当t=4和t=5时,与之对应的d的两个值互为相反
数,则d与t的函数关系式为________________.
d=18t-81
解析　设轨道AB的长度为a m,当t=4时,d=9×4-(a-9×4-1)=73
-a,当t=5时,d=9×5-(a-9×5-1)=91-a,∵当t=4和t=5时,与之对应
的d的两个值互为相反数,∴73-a+(91-a)=0,∴a=82,∴d=9t-(82
-9t-1)=18t-81.
3.【学科特色·数形结合思想】(2025江西吉安期末)如图,直线
l与x轴、y轴的正半轴分别交于A,B两点,P在线段AB上(不包
括端点),过点P作PD⊥x轴于点D,PE⊥y轴于点E,四边形
PDOE的周长为8,则直线l的函数表达式是______________.

y=-x+4
解析　由题意得,四边形PDOE是长方形,设P(x,y),则PD=y,PE
=x,∵四边形PDOE的周长为8,∴2(x+y)=8,整理得y=-x+4.∴直
线l的函数表达式为y=-x+4.
　函数图象的应用
4.(2025广西中考改编)大草履虫种群数量y(个)随时间t(天)的
变化情况用如图所示的“S”形曲线表示.下列说法正确的是
( )
B
A.第5天的种群数量为300个
B.前3天种群数量持续增长
C.第3天的种群数量达到最大
D.每天增加的种群数量相同
解析 A.第5天的种群数量为400个,说法错误,该选项不符合
题意;
B.前3天种群数量持续增长,说法正确,该选项符合题意;
C.第5天的种群数量达到最大,原说法错误,该选项不符合题
意;
D.每天增加的种群数量不相同,原说法错误,该选项不符合题
意.故选B.
5.某机动车出发前油箱内有42 L油,行驶若干小时后,途中在
加油站加了若干升油.油箱中剩余油量Q(L)与行驶时间t(h)之
间的关系如图所示,根据图象回答问题:
(1)机动车行驶途中加油______L.
(2)求该机动车在加油前每小时耗油多少升.
(3)如果加油站距目的地还有500 km,车速为70 km/h,那么要到
达目的地,油箱中的油是否
够用 请说明理由.
解析 (1)机动车行驶途中加油36-12=24(L).
(2)该机动车在加油前每小时耗油(42-12)÷5=6(L).
(3)不够用.理由:由题图可知,加油后油箱中的油可行驶6 h,故
加油后可行驶70×6=420(km).
因为500>420,所以油箱中的油不够用.
6.(2024广西中考,★★☆)激光测距仪L发出的激光束以3×105
km/s的速度射向目标M,t s后测距仪L收到M反射回的激光束,
则L到M的距离d km与时间t s的关系式为 ( )
A.d= t　　 B.d=3×105t
C.d=2×3×105t　　 D.d=3×106t
A
解析　激光束由L到M所用的时间为 s,光速为3×105 km/s,则d
= ×3×105= t.故选A.
7.(2025河北保定唐县期末,★★☆)随着人工智能的发展,智能
机器人送餐成为时尚.某餐厅的机器人聪聪和慧慧从厨房门
口出发,准备给客人送餐,聪聪比慧慧先出发,且速度保持不变,
慧慧出发一段时间后将速度提高到原来的2倍.设聪聪行走的
时间为x(s),聪聪和慧慧行走的路程分别为y1(cm),y2(cm),y1,y2关
于x的函数图象如图所示,则下列说法错误的是 ( )
D

A.从慧慧出发直至送餐结束,共需16 s
B.慧慧比聪聪晚出发15 s
C.聪聪的速度为10 cm/s
D.客人距离厨房门口400 cm
解析 A.从慧慧出发直至送餐结束,共需31-15=16(s),故A正
确,不符合题意;
B.慧慧比聪聪晚出发15 s,故B正确,不符合题意;
C.聪聪的速度为310÷31=10(cm/s),故C正确,不符合题意;
D.慧慧一开始的速度为30÷(17-15)=15(cm/s),当速度提高到原
来的2倍时,为30 cm/s,则后一段行走了30×(31-17)=420(cm),所
以客人距离厨房门口420+30=450(cm),故D错误,符合题意.故
选D.
8.【学科特色·动点问题】(2025河南漯河三模改编,★★☆)如
图,等边△ABC的边长为1,点D从点A出发,沿A→C→B的路径
运动,过D作AB边的垂线,交AB于G,连接AD,设线段AG的长度
为x,Rt△AGD的面积为y,则当0__________;当 ____.
y=- x2+ x
y= x2
解析　当0当 ∴y= AG·DG= ·x· (1-x)=- x2+ x.
9.(2025河北石家庄栾城期末,★★☆)如图1,B地在A地的正东
方向,某一时刻,乙车从B地开往A地,1小时后,甲车从A地开往B
地,当甲车到达B地的同时乙车也到达A地.如图2,横轴x(小时)
表示乙车的行驶时间,纵轴y(千米)表示两车与A地的距离.
问题:
(1)A,B两地相距______千米.
(2)l1和l2两线段分别表示两车距A地的距离y(千米)与行驶时间
x(小时)之间的关系,请问哪一段表示甲车,哪一段表示乙车
(3)两车相遇时距A地______千米.
　
解析 (1)400.
(2)随着x的增加,甲车与A地的距离越来越大,乙车与A地的距
离逐渐减小,因此l1表示甲车,l2表示乙车.
(3) .
详解:由图象可知,甲车行驶4小时,行驶的路程是400千米,故甲
车的速度是400÷4=100(千米/时),
乙车行驶5小时,行驶的路程是400千米,故乙车的速度是400÷5
=80(千米/时).
由两车相遇时与A地的距离相等可列等式
100(x-1)=400-80x,解得x= ,
∴两车相遇时距A地400-80× = (千米).
10.【新课标·几何直观】(2025河北承德兴隆期末)如图,在正
方形ABCD的边长为6,点E在AD上,DE=2,点P为对角线BD上
一动点,连接PA,PE.设PD=x,PE+PA=y,图2是点P从点D运动到
点B的过程中y与x之间的函数图象,K为最低点.甲、乙、丙三
名同学分别对点M,N,K进行了如下研究:
甲:点M的纵坐标为6;
乙:点N的纵坐标为6+2 ;
丙:点K的纵坐标为2 .
则下列判断正确的为 ( )
A
　
A.只有甲错　　 B.只有甲对
C.甲、乙、丙都对　　 D.甲、乙、丙都错
解析 M点表示点P与点D重合,此时PA=DA=6,PE=DE=2,∴y
=PE+PA=2+6=8,
∴点M的纵坐标为6+2=8,故甲错;
N点表示点P与点B重合,此时PA=AB=6,
∵AB=6,AE=AD-DE=6-2=4,∴PE= = =2 ,
∴y=PE+PA=6+2 ,∴点N的纵坐标为6+2 ,故乙对;
如图,作点E关于BD的对称点F,连接AF,PF,

则DF=DE=2,∠FDA=90°,易得PE+PA=PF+PA,∴y的最小值为
AF的长,
在Rt△AFD中,AF= = =2 ,∴函数图象最
低点K的纵坐标为2 ,故丙对.故选A.(共15张PPT)
第十九章　函数
第1课时　函数与自变量
19.2　函数
　函数的相关概念
1.(2025北京四中期末)下列式子中,y不是x的函数的是 ( )
A.y=3x+1　　 B.y=
C.y2=x　　 D.y=x2-3

C
解析　一般地,在某个变化过程中,有两个变量x与y,如果对于
x的每一个确定的值,y都有唯一确定的值与其对应,那么就说y
是x的函数.y=3x+1,y= ,y=x2-3,对于x的每一个确定的值,y都
有唯一确定的值与其对应,所以选项A,B,D都表示y是x的函数.
y2=x,当x>0时,y有两个值(y=± )与x对应,所以y不是x的函数.
2.(2025河北张家口宣化期末)下列各选项中,不能表示y是x的
函数的是 ( )

D
解析　若对于x的每一个确定的值,y都有唯一确定的值与其
对应,则y是x的函数,故A,B,C不符合题意;D选项,对于x的每一
个确定的值,y不一定有唯一的值与其对应,那么y不是x的函
数,符合题意.故选D.
3.【学科特色·易错题】(2025湖北武汉黄陂期末)下列关于变
量x,y的关系,其中y不是x的函数的是 ( )
　
C
解析　选项A,B,D,对于x的每一个值,y都有唯一确定的值与其
对应,所以选项A,B,D中,y是x的函数.选项C,对于x的每一个值,
y不是都有唯一的值与它对应,所以y不是x的函数.
4.【学科特色·教材变式】判断下列问题中的两个变量之间是
不是函数关系.如果是,指出其中的自变量和函数.
(1)一个长方体的体积一定,改变这个长方体的高h,长方体的
底面积S随h的变化而变化.
(2)向水池中注水时,注水量y随注水时间t的变化而变化.
解析 (1)是函数关系.h是自变量,S是h的函数.
(2)是函数关系.t是自变量,y是t的函数.
5.(2025湖南常德期末,★★☆)下列等式:①y=2x+1;②y= ;③|y
|=3x;④y2=5x-8;⑤y=± .其中y是x的函数的有 ( )
A.1个　　 B.2个　　 C.3个　　 D.4个
B
解析　①②满足:对于x在某一范围内的每一个确定值,y都有
唯一确定的值与其对应,符合函数的定义;③|y|=3x,当x=1时,y=
±3,不符合函数的定义;④y2=5x-8,当x=2时,y=± ,不符合函数
的定义;⑤y=± ,当x=1时,y=±1,不符合函数的定义.故选B.
6.(2025河北保定竞秀期末,★★☆)嘉嘉为了解某种搬运机器
人的工作效率,将一台机器人的搬运时间x(h)和搬运货物的质
量y(kg)记录如下表:
搬运时
间x/h 0.5 1 2 3 4 …
搬运货
物的质
量y/kg 120 160 240 320 400 …
下列说法错误的是 ( )
A.搬运货物的质量随搬运时间的变化而变化
B.当搬运货物的质量为440 kg时,搬运时间为5 h
C.y与x之间的关系式为y=80x+80
D.搬运时间每延长1 h,搬运货物的质量增加80 kg
B
解析　由题表可知搬运时间每延长1 h,搬运货物的质量增加8
0 kg,
∴y=160+80(x-1)=80x+80,
故A,C,D正确;
当搬运货物的质量为440 kg时,440=80x+80,解得x=4.5,故B错
误,故选B.
7.(2025河北邢台南宫月考,★★☆)下列关于两个变量关系的
表述中,正确的是 ( )
①圆的周长C是半径r的函数;
②表达式y= 中,y是x的函数;
③如表,n是m的函数;
C
m -3 -2 -1 1 2 3
n -2 -3 -6 6 3 2
④如图,曲线表示y是x的函数.

A.①③④　　 B.②④
C.①②③　　 D.①②③④
解析　①每一个半径r都只有一个周长C与之对应,圆的周长C
是半径r的函数,表述正确,故①符合题意;
②表达式y= 中,对于x的每一个确定的值,y都有唯一确定的
值与之对应,y是x的函数,表述正确,故②符合题意;
③由题表信息可得对于m的每一个值,n都有唯一确定的值与
之对应,故③符合题意;
对于④中的曲线,当x>0时的每一个值,y都有两个值与之对应,
故④不符合题意.故选C.

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