资源简介

专题培优 将军饮马模型
【模型一】两定一动模型
理论依据 基本解题步骤
两点之间，线段最短 （1）找对称轴：利用四边形性质确定动点所在直线为对称轴； （2）作对称点：任选一个定点，作它关于对称轴的对称点； （3）连对称点与另一定点，所得线段长即为最小值，交点即为所求动点位置。
【题型 1】特殊四边形与“将军饮马”——两定一动模型
【例题1】（24-25八年级下·江苏盐城·月考）如图，菱形 的边长为 2，， E 为的中点， P 为上一动点，则的最小值为_________．
【变式1】（24-25八年级下·江苏连云港·月考）如图，在正方形中，，点E在边上，且，点P是对角线上的一个动点，则的最小值是（ ）
A． B． C．3 D．
【变式2】（24-25八年级下·山东聊城·期末）如图，中，，，，点为直线上一动点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．7
【变式3】（24-25九年级上·四川成都·期中）如图，在周长为的菱形中，，，若为对角线上一动点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【模型二】两动一定模型（1）
理论依据 基本解题步骤
点线之间，垂线段最短 （1）利用对称转化借助特殊四边形对角线对称性，把两条动线段之和转化为一条线段； （2）确定最短模型最小值为定点到直线的垂线段，依据垂线段最短； （3）利用几何直角三角形性质或勾股定理算出垂线段，即为最小值。
【题型 2】特殊四边形与“将军饮马”——两动一定模型（垂线段最短）
【例题2】（2025·河南新乡·二模）如图，在菱形中，点P是对角线上一动点，点E是边上一动点，连接．若，，则的最小值为（ ）
A．6 B． C．5 D．
【变式1】（25-26八年级上·江苏南通·月考）如图，在四边形中，，，面积为，的垂直平分线分别交，于点，，若点和点分别是线段和边上的动点，则的最小值为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【变式2】（24-25八年级上·陕西西安·期末）如图，在中，，，，点是边上两动点，连接，CE．若，则周长的最小值为______．
【变式3】（24-25九年级上·江苏南京·开学考试）如图，菱形的边长为2，，点是边上一动点（不与，重合），点是边上一动点，若，则面积的最小值为（　　）
A． B． C． D．
【模型三】两动一定模型（2）
理论依据 基本解题步骤
两点之间，线段最短； 点线之间，垂线段最短。 （1）等量代换利用特殊四边形性质、折叠性质、直角三角形斜边中线性质，把所求线段和转化为一条可求最值的折线； （2）确定最短位置作对称点或找临界位置（如点重合、垂直、共线），根据两点之间线段最短确定最小值状态； （3）勾股计算构造直角三角形，利用边长、角度列方程或直接用勾股定理算出最小值。
【题型 3】特殊四边形与“将军饮马”——两动一定模型
【例题3】（24-25八年级下·江苏南京·期末）如图，在中，点是定点，点、是直线和上两动点，，且点到直线和的距离分别是1和4，则对角线长度的最小值是_____．
【变式1】（24-25九年级上·江苏扬州·期中）如图，正方形的边长是2，点E是边上一动点，连接，过点A作于点F，点P是边上另一动点，则的最小值为（ ）
A． B． C．3 D．
【变式2】（24-25九年级下·辽宁抚顺·月考）如图，在矩形中，，，是边上一动点，是对角线上一动点，且，则的最小值为（ ）
A．3 B． C．4 D．
【变式3】（24-25八年级上·黑龙江七台河·期末）如图，点A在y轴上，G、B两点在x轴上，且，，与关于y轴对称，，P、Q分别是上的动点，则的最小值是___．
【模型四】造桥选扯模型
理论依据 基本解题步骤
点线之间，垂线段最短 （1）平移定点将其中一个定点，按动线段方向平移动线段长度，构造平行四边形； （2）作对称或直接连线利用对称或直接连接平移后的点与另一定点，依据两点之间线段最短； （3）勾股求长构造直角三角形，用勾股定理算出线段长度，即为最小值。
【题型 4】特殊四边形与“将军饮马”—架桥选扯模型（平移法）
【例题4】（24-25八年级下·江苏南京·期中）如图，在平面直角坐标系中，点、的坐标分别为，．若轴上有两个动点、（在的左侧），且，则的最小值为________．
【变式1】（24-25九年级上·广东广州·开学考试）如图，点O是菱形ABCD对角线交点，M是OD中点，E、F为对角线AC上的两动点，连接ME、BF，若AB＝4，EF＝，∠ADC＝120°，则ME+BF的最小值为 _____．
【变式2】（24-25八年级下·江苏南京·月考）如图，在边长为2的菱形中，，将沿射线的方向平移得到，分别连接，，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【变式3】（24-25八年级下·江苏南通·月考）如图，在边长为3的正方形中，将沿射线平移，得到，连接，．则的最小值为（ ）
A． B． C． D．10
【变式4】（23-24七年级下·江苏南通·期中）如图，平面直角坐标系中，点 的坐标分别为，是轴上的两个动点，且 为线段上一动点，则的最小值为_________________
【模型五】两动两定模型
理论依据 基本解题步骤
点线之间，垂线段最短 （1）利用对称转化借助特殊四边形对角线对称性，把两条动线段之和转化为一条线段； （2）确定最短模型最小值为定点到直线的垂线段，依据垂线段最短； （3）利用几何直角三角形性质或勾股定理算出垂线段，即为最小值。
【题型 5】特殊四边形与“将军饮马”——两动两定模型
【例题5】（24-25八年级下·江苏常州·期中）阅读：如果两个动点到一个定点的距离的比为定值，且这两个动点与定点连线所成角的度数也为定值，那么这两动点的运动路径相同．
应用：如图，点O是矩形的对角线AC的中点，，以O为直角顶点的的顶点P在边上，，当P在上运动时，的最大值为（ ）

A．1 B． C．2 D．
【变式1】（24-25九年级下·江苏南通·期中）如图，在中，，，，，为斜边上两动点，且，连接，，则的最小值为______．
【变式2】（24-25八年级下·贵州遵义·期末）如图，在中，，，．点，分别是线段，上的两动点，且，连接，，则的最小值为________．

【变式3】（2025·安徽合肥·二模）如图，正方形的边长为8，点E，P在边上运动，点F在边上运动，，连接交于点G，过点C作于点H，连接，下列结论中错误的是（ ）
A． B．的面积有最大值为16
C．有最大值为 D．的最小值为
【模型六】特殊四边形与胡不归模型
理论依据 基本解题步骤
两点之间，线段最短； 点线之间，垂线段最短。 （1）利用角度转化线段根据 30°、60°、正方形对角线等特殊条件，把带系数的线段转化为垂线段； （2）将式子变为“点到直线”距离把PA+kPD转化为 PA+PQ，最小值转化为定点到某条边的垂线段长度； （3）确定最小值位置当动点、定点、垂足三点共线且垂直时，和最小，即垂线段最短； （4）计算垂线段长度结合菱形、等边三角形、勾股定理求出垂线段，即为最小值。
【题型 6】特殊四边形与“胡不归”模型
【例题6】（24-25八年级下·陕西西安·月考）如图，已知平行四边形的面积为16，，，点P为边上的一个动点，则的最小值为（ ）
A．4 B． C． D．8
【变式1】（24-25九年级上·四川达州·期末）如图，等边中，，E、F分别是边上的动点，且，则的最小值为_______．
【变式2】（24-25八年级下·湖北武汉·月考）如图，平行四边形中，，，，P为边CD上的一动点，则的最小值等于（ ）

A． B． C． D．
【变式3】（23-24九年级上·四川成都·期末）如图，等边三角形中，，、分别是边、上的动点，且，则的最小值为______．
同步专练
（一）单选题（7题）
1．（24-25九年级上·安徽宣城·月考）如图，矩形中，，，是的中点，线段在上左右滑动，若，则的最小值是（ ）
A．5 B． C．6 D．
2．（24-25八年级下·山东济南·期中）如图，在平行四边形中，，，点E是对角线上一动点，点F是边上一动点，连接，则的最小值为（ ）

A． B． C．2 D．
3．（22-23八年级下·浙江宁波·期中）如图，在矩形中，，，点为上一点，连接，将沿折叠，点落在处，连接，若分别为的中点，则的最小值为（ ）

A． B． C． D．
4．（2025·安徽滁州·一模）已知正方形边长为，，为正方形对角线上的动点，，则周长的最小值为（　　）
A．6 B．8 C． D．10
5．（20-21八年级下·海南省直辖县级单位·期中）如图，正方形的面积是8，N，M，P分别是，，上的动点，则的最小值等于（ ）．
A． B． C． D．
6．（24-25八年级下·广西桂林·期中）如图，菱形的边长为，，点为边上的中点，点为对角线上一动点，则的最小值为（ ）
A．2 B． C． D．1
7．（25-26九年级上·四川内江·期末）如图，在矩形中，，动点分别在对角线上（点在点左侧），连接，若，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
（二）填空题（8题）
8．（2026八年级下·全国·专题练习） 如图，在边长为2的菱形中，，E为的中点，F是上的一动点，则的最小值为______．
9．（25-26九年级上·陕西渭南·月考）如图，正方形边长为2，E、F分别是边上的点，交于点P，当时，的最小值为______．
10．（2025九年级下·全国·专题练习）如图，正方形的边长为2，是的中点，是上的动点，过点作分别交，于点，．

（1）的长为_____；
（2）的最小值为_____．
11．（23-24八年级上·江苏苏州·期中）如图，在四边形中，，点在上，且，则的最小值为_______．
12．（2026·江苏无锡·一模）如图，矩形中，，点E是边上的动点，点F在边上，．连接，则的最小值为__．
13．（25-26九年级上·四川达州·期中）如图所示，四边形是正方形，边长为6，点分别在x轴、y轴的正半轴上，点D在上，且D点的坐标为，P是上一动点，则的最小值为__________．
14．（23-24九年级上·安徽合肥·期末）如图，在边长为1的正方形中，点E，F分别是边上的动点，且，连接，交于点G．
（1）连接，则线段的最小值是 ___________；
（2）取的中点H，连接，则线段的最小值是 ___________．
15．（25-26九年级上·北京石景山·期末）如图，边长为的正方形内有一动点，满足，为边上的动点，连接，．
（1）当点为边的中点时，长的最小值为___________；
（2）的最小值为___________．
（三）解答题（2题）
16．（23-24九年级上·山东青岛·期中）几何模型：
条件：如图1，A、B是直线l同旁的两个顶点．
问题：在直线l上确定一点P，使的值最小．
方法：作点关于直线的对称点，连接交于点，则的值最小（不必证明）
模型应用：
（1）如图2，已知平面直角坐标系中两定点和，P为x轴上一动点，则当的值最小时，点P的横坐标是___________，此时___________．
（2）如图3，正方形的边长为2，为的中点，是上一动点，连接，由正方形对称性可知，与关于直线对称，则的最小值是___________．
（3）如图4，正方形的面积为，是等边三角形，点在正方形内，在对角线上有一动点，则的最小值为___________．
（4）如图5，在菱形中，，，点是边边的中点，点，分别是，上的两个动点，则的最小值是___________．
17．（23-24九年级上·河南平顶山·期中）如图，在正方形中，点E在对角线上，点F在射线上，且四边形是正方形，连接．
（1）求证：．
（2）______．
（3）著，当点E在上移动时，是否有最小值？若有最小值，求出最小值．专题培优 将军饮马模型
【模型一】两定一动模型
理论依据 基本解题步骤
两点之间，线段最短 （1）找对称轴：利用四边形性质确定动点所在直线为对称轴； （2）作对称点：任选一个定点，作它关于对称轴的对称点； （3）连对称点与另一定点，所得线段长即为最小值，交点即为所求动点位置。
【题型 1】特殊四边形与“将军饮马”——两定一动模型
【例题1】（24-25八年级下·江苏盐城·月考）如图，菱形 的边长为 2，， E 为的中点， P 为上一动点，则的最小值为_________．
【答案】
【分析】本题考查了轴对称中的最短问题，等边三角形的判定和性质，菱形的性质等知识，解题的关键是利用轴对称解决最短问题．
如图，连接、交于点，连接，证明，推出，求出的长即可得出结论．
解：如图，连接、交于点，连接，

四边形是菱形且边长为2，，
，
，，
和都是等边三角形，
E为的中点，
，
是的中垂线，
，
，
四边形是菱形，，
，，
，
，
，
，
的最小值是 ．
故答案为：．
【变式1】（24-25八年级下·江苏连云港·月考）如图，在正方形中，，点E在边上，且，点P是对角线上的一个动点，则的最小值是（ ）
A． B． C．3 D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了正方形的性质，轴对称的性质以及勾股定理的应用，熟练掌握正方形的性质是解题的关键．利用正方形对角线的对称性，将转化为，将的最小值转化成即可得到答案．
解：连接，设与交于点，
正方形，
点与点关于对称，
，
，
即在与的交点上时，最小，为的长度，
中，，，，
．
故选B．
【变式2】（24-25八年级下·山东聊城·期末）如图，中，，，，点为直线上一动点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．7
【答案】C
【分析】本题考查了平行四边形的性质，勾股定理，轴对称的性质.作关于直线的对称点，连接交于，则，，，当重合时，最小，最小值为，再进一步结合勾股定理求解即可.
解：如图，作关于直线的对称点，连接交于，则，，，
∴当重合时，最小，最小值为，
∵，，在中，
∴，，
∴，，
∵，
∴，
即的最小值为.
故选：C.
【变式3】（24-25九年级上·四川成都·期中）如图，在周长为的菱形中，，，若为对角线上一动点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了菱形的性质，平行四边形的判定和性质，轴对称的性质，作点关于的对称点，则，，连接交于点，得到，可知当在一条直线上时，的值最小，
此时，再证明四边形是平行四边形即可求解，根据轴对称找到点的位置是解题的关键．
解：作点关于的对称点，则，，连接交于点，
∴，
由两点之间线段最短可知，当在一条直线上时，的值最小，
此时，
∵四边形为菱形，周长为，
∴，，
∵，
∴，
∴
∵，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴的最小值为，
故选：．
【模型二】两动一定模型（1）
理论依据 基本解题步骤
点线之间，垂线段最短 （1）利用对称转化借助特殊四边形对角线对称性，把两条动线段之和转化为一条线段； （2）确定最短模型最小值为定点到直线的垂线段，依据垂线段最短； （3）利用几何直角三角形性质或勾股定理算出垂线段，即为最小值。
【题型 2】特殊四边形与“将军饮马”——两动一定模型（垂线段最短）
【例题2】（2025·河南新乡·二模）如图，在菱形中，点P是对角线上一动点，点E是边上一动点，连接．若，，则的最小值为（ ）
A．6 B． C．5 D．
【答案】B
【分析】连接，记与交于点O，当C，P，E三点共线且时，的值最小，最小值为的长．
解：如解图所示，由菱形的性质，可知与互相垂直平分，
∴，，，
∴，
∴，
∵，
∴当C，P，E三点共线且时，的值最小，最小值为的长，
∵，
∴，
∴的最小值为，
故选：B.
【点拨】本题考查菱形的性质，垂线段最短、等面积法，掌握这些是本题关键．
【变式1】（25-26八年级上·江苏南通·月考）如图，在四边形中，，，面积为，的垂直平分线分别交，于点，，若点和点分别是线段和边上的动点，则的最小值为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】C
【分析】本题考查轴对称最短问题，平行线的性质，三角形的面积，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是把最短问题转化为垂线段最短．连接，过点作于,利用三角形的面积公式求出，由题意，求出的最小值，可得结论．
解：连接，过点作于．
面积为，，
，
，
垂直平分线段，
，
，
当的值最小时，的值最小，
根据垂线段最短可知，当时，的值最小，
，
，
的最小值为．
故选：C．
【变式2】（24-25八年级上·陕西西安·期末）如图，在中，，，，点是边上两动点，连接，CE．若，则周长的最小值为______．
【答案】/7.2
【分析】作点C关于线段AB的对称点交于点H，连接和，过点作，且，连接，则，根据轴对称得和，那么，周长为，当点C、点E和点F三点共线时，周长最小为，利用勾股定理求得，等面积法求得，则有，在中求得即可．
解：作点C关于线段AB的对称点交于点H，连接和，过点作，且，连接，如图，
则四边形为平行四边形，
∴，
∵点C关于线段AB的对称点，
∴，，
∴，
则周长为，
当点C、点E和点F三点共线时，周长最小为，
∵，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴
在中，，
则，周长最小为，
故答案为：．
【点拨】本题主要考查勾股定理、轴对称的性质、平行四边形的判定和性质和三角形三边关系的应用，解题的关键是熟悉轴对称的性质和平行四边形的性质．
【变式3】（24-25九年级上·江苏南京·开学考试）如图，菱形的边长为2，，点是边上一动点（不与，重合），点是边上一动点，若，则面积的最小值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质等知识．连接，可证得，从而，，进而证得是等边三角形，进一步得出结果．
解：如图，连接，过点作，
菱形边长为2，，
，，
与为正三角形，
，，
，
，
，
，，
，
是等边三角形，则，
∴，则，
∴，
当时，等边三角形的边最短，此时的面积最小，
则，
∴，
面积的最小值为，
故选：B．
【模型三】两动一定模型（2）
理论依据 基本解题步骤
两点之间，线段最短； 点线之间，垂线段最短。 （1）等量代换利用特殊四边形性质、折叠性质、直角三角形斜边中线性质，把所求线段和转化为一条可求最值的折线； （2）确定最短位置作对称点或找临界位置（如点重合、垂直、共线），根据两点之间线段最短确定最小值状态； （3）勾股计算构造直角三角形，利用边长、角度列方程或直接用勾股定理算出最小值。
【题型 3】特殊四边形与“将军饮马”——两动一定模型
【例题3】（24-25八年级下·江苏南京·期末）如图，在中，点是定点，点、是直线和上两动点，，且点到直线和的距离分别是1和4，则对角线长度的最小值是_____．
【答案】5
【分析】过点D作DM⊥l1于点M，延长DM交l2于点H，过点B作BN⊥l2于点N，连接MN，设CD与l1交于点E，AB与l2交于点F，证明△ADE≌△CBF（AAS），可得BN=DM=1，根据垂线段最短、两点之间线段最短可得，当MN⊥l1时，MN最短，此时BD的长度是最小值，最小值为DM+BN+MH的长，进而可以解决问题．
解：如图，过点D作DM⊥l1于点M，延长DM交l2于点H，过点B作BN⊥l2于点N，连接MN，设CD与l1交于点E，AB与l2交于点F，
∵DM⊥l1，l1∥l2，
∴DM⊥l2，∠AED=∠DCF，
∵点D是定点，且点D到直线l1和l2的距离分别是1和4，
∴DM=1，DH=4，
∴MH=DH-DM=4-1=3，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AD=BC，∠ADC=∠CBA，
∴∠BFC=∠DCF，
∴∠AED=∠BFC，
在△ADE和△CBF中，
，
∴△ADE≌△CBF（AAS），
∴BN=DM=1，
根据垂线段最短、两点之间线段最短可得，
当MN⊥l1时，MN最短，BD的长度有最小值，最小值为DM+BN+MH的长，
∴对角线BD长度的最小值是1+3+1=5，
故答案为：5．
【点拨】本题考查了平行线的性质，平行线之间的距离，解决本题的关键是掌握垂线段最短、两点之间线段最短．
【变式1】（24-25九年级上·江苏扬州·期中）如图，正方形的边长是2，点E是边上一动点，连接，过点A作于点F，点P是边上另一动点，则的最小值为（ ）
A． B． C．3 D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了正方形的性质，轴对称的性质，勾股定理，矩形的性质与判定，直角三角形的性质，作点C关于直线的对称点G，过点G作交延长线于H，取的中点O，连接，由直角三角形的性质可得，由轴对称的性质可得，根据，可得当O、F、P、G四点共线时，有最小值，即此时有最小值，最小值为的值，证明四边形是矩形，得到，则，据此可得答案．
解：如图所示，作点C关于直线的对称点G，过点G作交延长线于H，取的中点O，连接，
∵，O为的中点，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，
由轴对称的性质可得，
∴，
∵，
∴当O、F、P、G四点共线时，有最小值，即此时有最小值，最小值为的值，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，
∴，
∴，
∴的最小值为，即的最小值为．
故选：B．

【变式2】（24-25九年级下·辽宁抚顺·月考）如图，在矩形中，，，是边上一动点，是对角线上一动点，且，则的最小值为（ ）
A．3 B． C．4 D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等．依据题意，延长到，使，连接，，由四边形是矩形，从而，，，，先证，进而，故，所以当点、、共线时，最小，最小值为，最后利用勾股定理进行计算可以得解．
解：延长到，使，连接，，
四边形是矩形，
∴，，，．
．
，，
．
，
，
当点、、共线时，最小，最小值为．
最小值为．
，
．
在中，，，
．
最小值为4．
故选：C．
【变式3】（24-25八年级上·黑龙江七台河·期末）如图，点A在y轴上，G、B两点在x轴上，且，，与关于y轴对称，，P、Q分别是上的动点，则的最小值是___．
【答案】7
【分析】作B点关于的对称点，作C点关于的对称点，连接，，交于点P、Q，过作轴于D，过点作轴于E，的值最小为，由已知可证为等边三角形， 由B，G坐标和与的对称可得，，证明，可得轴，由，得四边形是平行四边形，得,证明是等边三角形，得，得即得的最小值是7．
解：作B点关于的对称点，作C点关于的对称点，连接，，交于点P、Q，过作轴于D，过点作轴于E．
则，，，．
与关于y轴对称，
∴．
，
为等边三角形．
∴．
，，
，．
，．
∵，
∴．
同理，．
∴．
∴．
∴．
∴轴．
∵，
∴．
∴四边形是平行四边形．
∴．
∵轴．
∴，
∴是等边三角形．
∴．
∴．
∵，
的最小值是7．
故答案为：
【点拨】本题考查轴对称求最短距离，熟练掌握平面内点的坐标特点、轴对称性质，两点之间线段最短，全等三角形判定和性质，等边三角形判定和性质，平行四边形判定和性质，添加辅助线，是解题的关键．
【模型四】造桥选扯模型
理论依据 基本解题步骤
点线之间，垂线段最短 （1）平移定点将其中一个定点，按动线段方向平移动线段长度，构造平行四边形； （2）作对称或直接连线利用对称或直接连接平移后的点与另一定点，依据两点之间线段最短； （3）勾股求长构造直角三角形，用勾股定理算出线段长度，即为最小值。
【题型 4】特殊四边形与“将军饮马”—架桥选扯模型（平移法）
【例题4】（24-25八年级下·江苏南京·期中）如图，在平面直角坐标系中，点、的坐标分别为，．若轴上有两个动点、（在的左侧），且，则的最小值为________．
【答案】
【分析】将点向左平移1个单位得到点，连接，连接交轴于点，推出的最小值是，求出即可．
【详解】解：将点向左平移1个单位得到点，连接，连接交轴于点，
，，
四边形是平行四边形，
，
，
的最小值是，此时位于位置，
此时
故答案为：．
【点睛】本题考查最短路线问题，涉及平面直角坐标系，勾股定理、平移，平行四边形的判定和性质，两点之间线段最短，熟练掌握平移的性质是关键．
【变式1】（24-25九年级上·广东广州·开学考试）如图，点O是菱形ABCD对角线交点，M是OD中点，E、F为对角线AC上的两动点，连接ME、BF，若AB＝4，EF＝，∠ADC＝120°，则ME+BF的最小值为 _____．
【答案】2
【分析】取CD中点N，连接MN、BN，证明四边形NMEF是平行四边形，所以NF=EM，因此ME+BF=NF+BF≥NB，即ME+BF的最小值为NB．
解：取CD中点N，连接MN、BN，NF．
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝CD=4，AC⊥BD，
∵∠ADC＝120°，
∴∠ACD=30°，
∴OD=CD=2，
∴OC＝=，
∵M是OD中点，N是CD中点，
∴MN＝OC＝，，
∵EF＝，
∴EF＝＝MN，
∴四边形NMEF是平行四边形，
∴NF＝EM，
∴ME+BF＝NF+BF≥NB，
∴当N、F、B三点共线时ME+BF的值最小，最小值是线段BN的长．
∵∠ADC＝120°，
∴∠ODC＝60°，
∴△BCD是等边三角形，
∴BN⊥CD，BD＝BC＝CD＝4，
∴∠DBN＝30°，
∴DN＝＝2，
∴BN＝2，
即ME+BF的最小值为2，
故答案为：2．
【点拨】本题考查了平行四边形的判定与性质，三角形三条边的关系，菱形的性质，含30°角的直角三角形的性质，以及勾股定理等知识，熟练运用菱形的性质是解题的关键．
【变式2】（24-25八年级下·江苏南京·月考）如图，在边长为2的菱形中，，将沿射线的方向平移得到，分别连接，，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据菱形的性质得到，，得出，根据平移的性质得到，，推出四边形是平行四边形，得到，于是得到的最小值为的最小值，根据平移的性质得到点在过点D且平行于的定直线上，作点C关于定直线的对称点E，连接交定直线于，则的长度即为的最小值，求得，得到，于是得到结论．
解：在边长为2的菱形中，，
∴，，
将沿射线的方向平移得到，
∴，，
∵四边形是菱形，
∴，，
∴，
∴，，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴的最小值的最小值，
∵点在过点且平行于的定直线上，
∴作点关于定直线的对称点，连接交定直线于，设交与点G，
则的长度即为的最小值，
在中，，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
，
，
，
∴．
故选：D．
【点拨】本题考查了轴对称－最短路线问题，菱形的性质，含的直角三角形的性质，勾股定理，平移的性质，正确地理解题意是解题的关键．
【变式3】（24-25八年级下·江苏南通·月考）如图，在边长为3的正方形中，将沿射线平移，得到，连接，．则的最小值为（ ）
A． B． C． D．10
【答案】B
【分析】首先证明B，A，T共线，求出，证明四边形是平行四边形，推出，推出，根据即可解决问题．
解：如图，连接，作点D关于直线的对称点T，连接，，
∵四边形是正方形，边长为3，
∴，，，
∵，
∴，
∵D，T关于对称，
∴，，
∴，
∵，
∴B，A，T共线，
∴，
∵，，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴的最小值为，
故选：B．
【点拨】本题考查了轴对称，正方形的性质，平行四边形的判定和性质，平移的性质等知识，解题关键是掌握正方形的性质求解．
【变式4】（23-24七年级下·江苏南通·期中）如图，平面直角坐标系中，点 的坐标分别为，是轴上的两个动点，且 为线段上一动点，则的最小值为_________________
【答案】4
【分析】本题主要考查了坐标与图形，平移的性质，如图所示，把点C向右平移2个单位长度得到点H，连接，则，据此可得可以看做是平移得到的，则，即可得到，故当且时，有最小值，即此时有最小值，最小值为的长，据此利用等面积法求出的长即可得到答案．
【详解】解：如图所示，把点C向右平移2个单位长度得到点H，连接，
∵，
∴，
∴，
∴可以看做是平移得到的，
∴，
∴，
∴当且时，有最小值，即此时有最小值，最小值为的长，
∴此时有，
∴，
∴，
∴的最小值为4，
故答案为：4．
【模型五】两动两定模型
理论依据 基本解题步骤
点线之间，垂线段最短 （1）利用对称转化借助特殊四边形对角线对称性，把两条动线段之和转化为一条线段； （2）确定最短模型最小值为定点到直线的垂线段，依据垂线段最短； （3）利用几何直角三角形性质或勾股定理算出垂线段，即为最小值。
【题型 5】特殊四边形与“将军饮马”——两动两定模型
【例题5】（24-25八年级下·江苏常州·期中）阅读：如果两个动点到一个定点的距离的比为定值，且这两个动点与定点连线所成角的度数也为定值，那么这两动点的运动路径相同．
应用：如图，点O是矩形的对角线AC的中点，，以O为直角顶点的的顶点P在边上，，当P在上运动时，的最大值为（ ）

A．1 B． C．2 D．
【答案】C
【分析】根据题意，确定出点的轨迹为一条线段，确定出点在两点时，点的位置，即可求解．
解：由题意可得：点的轨迹为一条线段，，
∴
又∵，
∴
中，，
设，则，由勾股定理可得：
解得
∴，，
∴
当与重合时，过点作交于点如下图：

∵，
∴在线段上，
∴点与点重合
由勾股定理可得：，
当与重合时，过点作交于点，连接，，如下图：

由题意可得：，
∴为等边三角形，即，
∵，，
∴
∴，此时，点在射线上
∴，则点与点重合，
∴点的轨迹为线段
由此可得，当与重合时，最大，为的长度
在中，，，
可得：，
即最大为，
故选：C
【点拨】此题考查了矩形的性质，勾股定理，含直角三角形的性质，等边三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握相关基础性质，确定出点的轨迹．
【变式1】（24-25九年级下·江苏南通·期中）如图，在中，，，，，为斜边上两动点，且，连接，，则的最小值为______．
【答案】
【分析】本题考查了几何最值问题，涉及直角三角形的性质、坐标系的应用，以及求最短路径，正确做出辅助线是解题的关键．建立如图所示的直角坐标系，找一点H，使得四边形是矩形，作点C关于的对称点D，连接，取的中点G，链接，，作于点I，求出点G的坐标，从而求出，证明，从而得到从而的解．
【详解】建立如图所示的直角坐标系，找一点H，使得四边形是矩形，
作点C关于的对称点D，连接，取的中点G，链接，，作于点I，
∵在中，，，，
∴，
∵点C关于的对称点D，
∴，，
∵四边形是矩形，
∴，，
∴，，
又∵，，
∴，
∴，
又∵的中点为点G，，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴垂直平分，
∴，
∴，
∴，即
∴，
∴，当且仅当点C、F、G三点共线时取最小值，
故答案为：．
【变式2】（24-25八年级下·贵州遵义·期末）如图，在中，，，．点，分别是线段，上的两动点，且，连接，，则的最小值为________．

【答案】
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定及性质，勾股定理，两点之间，线段最短，过点B作且使，连接，，证明，得进而可得，再由两点之间线段最短可得：，所以当点在上时，有最小值为，利用勾股定理计算即可，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
【详解】解：过点B作且使，连接，，

∵，
∴，，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
由两点之间线段最短可得： ，所以当点在上时，有最小值, 即有最小值为，
∵，，
∴，
∴，
∴中，，
∴最小值为：，
故答案为：．
【变式3】（2025·安徽合肥·二模）如图，正方形的边长为8，点E，P在边上运动，点F在边上运动，，连接交于点G，过点C作于点H，连接，下列结论中错误的是（ ）
A． B．的面积有最大值为16
C．有最大值为 D．的最小值为
【答案】D
【分析】先证明得到，根据即可判断A；取中点G，连接，证明，得到，设点G到的距离为h，根据，得到，据此可判断B；证明，得到，则；设，由勾股定理得，再由三角形面积计算公式得到，即，则可求出，据此可判断C；作点C关于的对称点N，连接，则当四点共线时，有最小值，即此时有最小值，最小值为；过点O作于M，则四边形是矩形，可得，利用勾股定理求出的长即可判断D．
解：∵四边形是正方形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，故A结论正确，不符合题意；
如图所示，取中点O，连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
设点G到的距离为h，
由垂线段最短可知，
∴，
∴的面积有最大值为16，故B结论正确，不符合题意；
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴；
设，
在中，由勾股定理得，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴的最大值为，的最大值为，故C结论正确，不符合题意；
如图所示，作点C关于的对称点N，连接，
∴，
∴，
∴当四点共线时，有最小值，即此时有最小值，最小值为；
如图所示，过点O作于M，则四边形是矩形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴的最小值为，故D结论错误，符合题意；
故选：D．
【点拨】本题主要考查了正方形的性质，矩形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，勾股定理，直角三角形的性质等等，通过证明三角形全等转换线段之间的关系是解题的关键．
【模型六】特殊四边形与胡不归模型
理论依据 基本解题步骤
两点之间，线段最短； 点线之间，垂线段最短。 （1）利用角度转化线段根据 30°、60°、正方形对角线等特殊条件，把带系数的线段转化为垂线段； （2）将式子变为“点到直线”距离把PA+kPD转化为 PA+PQ，最小值转化为定点到某条边的垂线段长度； （3）确定最小值位置当动点、定点、垂足三点共线且垂直时，和最小，即垂线段最短； （4）计算垂线段长度结合菱形、等边三角形、勾股定理求出垂线段，即为最小值。
【题型 6】特殊四边形与“胡不归”模型
【例题6】（24-25八年级下·陕西西安·月考）如图，已知平行四边形的面积为16，，，点P为边上的一个动点，则的最小值为（ ）
A．4 B． C． D．8
【答案】D
【分析】本题考查了平行四边形的性质，垂线段最短和含30度的直角三角形性质，熟练应用相关性质是解题的关键．过点于H，作，交的延长线于点，先求出，可得，即，则当点，点，点三点共线且时，有最小值，由可求最小值为．
解：如图，过点作于H，作，交的延长线于点，
平行四边形的面积为16，，，
，
设，则，，
，
解得：（负值已舍），
，
，
，
，
，
当点，点，点三点共线且时，有最小值，即最小值为，
在中，，
．
故选：D．
【变式1】（24-25九年级上·四川达州·期末）如图，等边中，，E、F分别是边上的动点，且，则的最小值为_______．
【答案】
【分析】取、的中点、，连接、，则可得，，因此转而求的最小值；过作，且，连接、，可证明，则有，进而转化为求的最小值，当点在线段上时，取得最小值，在中由勾股定理即可求得最小值，从而求得的最小值．
解：如图，取、的中点、，连接、，则，为的中位线，
∴，
∴，
在等边三角形中，，为的中点，
∴，，
，，，
∴，
，，
，
；
过作，且，连接、，则，
，
，
，
当点在线段上时，取得最小值，且最小值为线段的长，
在中，由勾股定理得：，
的最小值．
故答案为：．
【点拨】本题考查了求线段和的最小值问题，等边三角形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，三角形中位线定理，把求的最小值转化为求的最小值，进而转化为求的最小值，是本题的难点与关键所在．
【变式2】（24-25八年级下·湖北武汉·月考）如图，平行四边形中，，，，P为边CD上的一动点，则的最小值等于（ ）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】延长，过点B作交于点P，根据平行四边形的性质得出，结合勾股定理可得，，最后根据即可求解．
解：延长，过点B作交于点P，
∵四边形为平行四边形，
∴，
∴，
∵，
∴，
则，则，
同理可得：，
∴，
∴当点E、P、B在同一条直线上时，的值最小，
∵，
∴．
故选：A．

【点拨】本题主要考查了平行四边形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，解题的关键是掌握平行四边形对边互相平行，以及垂线段最短．
【变式3】（23-24九年级上·四川成都·期末）如图，等边三角形中，，、分别是边、上的动点，且，则的最小值为______．
【答案】
【分析】取中点，中点，，在的外侧作，的长度即为所求，本题考查了求线段和最小值问题，勾股定理解三角形，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形中位线，角的直角三角形，解题的关键是通过构造中位线和全等三角形，将进行转化．
解：取中点，中点，作，使，作，交延长线于点，
点是中点，点是中点，
，，
，
，
又等边三角形，
，
，
又，
，
，
，当点在线段上时取最小值，长度为线段的长，
，，
，，，
，
故答案为：．
同步专练
（一）单选题（7题）
1．（24-25九年级上·安徽宣城·月考）如图，矩形中，，，是的中点，线段在上左右滑动，若，则的最小值是（ ）
A．5 B． C．6 D．
【答案】B
【分析】作关于的对称点，在上截取，然后连接交于，在上截取，此时的值最小，结合平行四边形的判定和性质和勾股定理的运用解答即可．
解：如图，作关于的对称点，在上截取，然后连接交于，在上截取，此时的值最小，
， ，
四边形是平行四边形，
，
，
，，为边的中点，
，，
由勾股定理得：
即的最小值为．
故选：B．
【点拨】本题考查了矩形的性质、平行四边形的判定和性质和勾股定理的运用，解决本题的关键是正确的做出辅助线．
2．（24-25八年级下·山东济南·期中）如图，在平行四边形中，，，点E是对角线上一动点，点F是边上一动点，连接，则的最小值为（ ）

A． B． C．2 D．
【答案】A
【分析】过过点B作，交于点，则的最小值为的长，根据平行四边形的性质得出，，再由含30度角的直角三角形的性质及勾股定理求解即可．
解：过点B作，交于点，则的最小值为的长；

∵平行四边形
∴，，
∴在中，，，
∴
∴，
∴，
故选：A．
【点拨】本题考查最短距离问题及平行四边形的性质，勾股定理解三角形，利用垂线段最短将的最小值转化为垂线段的长是解题的关键．
3．（22-23八年级下·浙江宁波·期中）如图，在矩形中，，，点为上一点，连接，将沿折叠，点落在处，连接，若分别为的中点，则的最小值为（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】如图所示，连接，当点在线段上时，的值最小，则有最小值，根据矩形的性质，勾股定理的知识可求出的长，再根据题意可得是中位线，根据中位线的性质即可求解．
解：如图所示，连接，

在中，，
∴当点在线段上时，的值最小，则有最小值，
如图所示，点在线段上，
∵四边形是矩形，，，
∴，，
∴在中，，
∵沿折叠，点落在处，
∴，
∴，
∵分别为的中点，
∴在中，是中位线，
∴，
故选：．
【点拨】本题主要考查矩形的性质，折叠的性质，三角形三边的数量关系，勾股定理求线段长度，三角形中位线的性质等知识，掌握以上知识是解题的关键．
4．（2025·安徽滁州·一模）已知正方形边长为，，为正方形对角线上的动点，，则周长的最小值为（　　）
A．6 B．8 C． D．10
【答案】B
【分析】如图所示，连接，过点F作，过点D作交于点G，连接，证明出四边形是平行四边形，得到，，然后推出当点B，F，G三点共线时，周长取得最小值，即的长度，然后求出，利用勾股定理求出，，进而求解即可．
解：如图所示，连接，过点F作，过点D作交于点G，连接
∴四边形是平行四边形
∴，
∵四边形是正方形，，为正方形对角线上的动点
∴
∴
∴的周长
∴当点B，F，G三点共线时，周长取得最小值，即的长度
∵四边形是正方形，
∴
∵
∴
∴
∵正方形边长为，
∴，
∴
∴
∴
∴周长的最小值为8．
故选：B．
【点拨】此题考查了正方形的性质，平行四边形的性质和判定，轴对称最值问题，勾股定理等知识，解题的关键是得到当点B，F，G三点共线时，周长取得最小值．
5．（20-21八年级下·海南省直辖县级单位·期中）如图，正方形的面积是8，N，M，P分别是，，上的动点，则的最小值等于（ ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查正方形的性质及轴对称的性质，熟练掌握正方形的性质及轴对称的性质是解题的关键；由题意易得，设点M关于线段的对称点为E，连接，则有，根据三角形三边不等关系可知：，当且仅当点E、P、N三点共线时，取最小值，进而问题可求解．
解：∵四边形是正方形，且面积为8，
∴，
设点M关于线段的对称点为E，连接，如图所示：
∴，
∴，
根据三角形三边不等关系可知：，当且仅当点E、P、N三点共线时，取最小值，
根据点到直线垂线段最短可知：当时，取得最小值，即为线段与间的距离，
∵，
∴，
∴的最小值为；
故选B．
6．（24-25八年级下·广西桂林·期中）如图，菱形的边长为，，点为边上的中点，点为对角线上一动点，则的最小值为（ ）
A．2 B． C． D．1
【答案】B
【分析】本题主要考查轴对称 最短路线问题，菱形的性质，勾股定理等知识点，确定P点的位置是解答本题的关键．
找出点关于的对称点，连接交于，则就是的最小值，求出即可．
解：连接，交于，连接交于P，
由菱形的对角线互相垂直平分，可得B、D关于对称，则，
∴，
即就是的最小值．
∵四边形是菱形，
∴，，
∴是等边三角形，
∵，
∴（等腰三角形三线合一的性质）．
在中， ．
即的最小值为．
故选B．
7．（25-26九年级上·四川内江·期末）如图，在矩形中，，动点分别在对角线上（点在点左侧），连接，若，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】过点作，使得，连接交于点F，交于点H，连接交于点，易证四边形是平行四边形，推出，此时取得最小值，再根据矩形的性质证明，推出，再证明，进而证明，推出，利用勾股定理求出，结合，求出，证明，推出，由勾股定理求出，再根据，得到，即可求解．
解：如图，过点作，使得，连接交于点F，交于点H，连接交于点，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴，
此时取得最小值，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，，
∴，
∴，即，
∵，
∴，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，即的最小值为．
故选：D．
【点拨】本题考查矩形的性质，平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，合理作出辅助线，构造全等三角形是解题的关键．
（二）填空题（8题）
8．（2026八年级下·全国·专题练习） 如图，在边长为2的菱形中，，E为的中点，F是上的一动点，则的最小值为______．
【答案】
【分析】本题主要考查轴对称 最短路线问题，三角形三边关系，菱形的性质，勾股定理，等边三角形的性质与判定，确定F点位置在何处时，取得最小值是解答本题的关键．
连接，交于，连接交于，由菱形的对角线互相垂直平分，可得B、D关于对称，则，根据三角形三边关系，进而得到，由此得到当点与重合时，取得最小值，根据等腰三角形三线合一性质和勾股定理，即可求得．
解：连接，交于，连接交于，
由菱形的对角线互相垂直平分，可得B、D关于对称，则，
，
当点与重合时，取得最小值．
四边形是边长为2的菱形，，
，是等边三角形，
∵E为的中点，
∴，，
在中，，
的最小值为．
故答案为：．
9．（25-26九年级上·陕西渭南·月考）如图，正方形边长为2，E、F分别是边上的点，交于点P，当时，的最小值为______．
【答案】
【分析】本题主要考查了正方形的性质，勾股定理，全等三角形的性质与判定，直角三角形的性质，由正方形的性质可得
，证明可推出，取的中点O，连接，则，利用勾股定理可求出的长，再根据，可知当O、P、B三点共线时，有最小值，据此求解即可．
解：∵四边形是边长为2的正方形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
如图所示，取的中点O，连接，则，
在中，由勾股定理得；
∵，
∴当O、P、B三点共线时，有最小值，最小值为，
故答案为：．
10．（2025九年级下·全国·专题练习）如图，正方形的边长为2，是的中点，是上的动点，过点作分别交，于点，．

（1）的长为_____；
（2）的最小值为_____．
【答案】
【分析】（1）根据正方形的性质求得与，再由勾股定理求得；
（2）过作于，证明得，再将沿方向平移至，连接，当、、三点共线时，的值最小，由勾股定理求出此时的的值便可．
解：（1）正方形的边长为2，
，，
是的中点，
，
，
故答案为：；
（2）过作于，则，，
，
，
，
，
，
将沿方向平移至，连接，则，，，
当、、三点共线时，的值最小，
此时，
的最小值为，
故答案为：．
【点拨】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理，平移的性质，两点之间线段最短性质，第（2）题难度较大，关键是通过平移变换确定取最小值的位置．
11．（23-24八年级上·江苏苏州·期中）如图，在四边形中，，点在上，且，则的最小值为_______．
【答案】
【分析】本题考查了轴对称性质，平行四边形的判定与性质，勾股定理等知识，连接，得到点与点关于对称，过点作，使得，连接交于点，连接，证明四边形是平行四边形，得到则当三点共线，即点与点重合时，取得最小值，即取得最小值，最小值为的长，求出，由勾股定理求出得出答案，掌握相关知识是解题的关键．
解：如图，连接，
，
点与点关于对称，
，
过点作，使得，连接交于点，连接，
，
，四边形是平行四边形，
，
当三点共线，即点与点重合时，取得最小值，即取得最小值，最小值为的长，
，，
是等边三角形，
，
在中，
的最小值为．
故答案为：．
12．（2026·江苏无锡·一模）如图，矩形中，，点E是边上的动点，点F在边上，．连接，则的最小值为__．
【答案】
【分析】在上取点，使得，连接，过点作于点，作点关于的对称点，连接，首先证明，由全等三角形的性质可得，再由轴对称的性质可得，易知，当点三点共线时，取最小值，即取最小值，然后证明四边形为矩形，结合矩形的性质以及勾股定理解得的值，即可获得答案．
解：如下图，在上取点，使得，连接，过点作于点，作点关于的对称点，连接，
∵四边形为矩形，，
∴，，
在和中，
，
∴，
∴，
∵点与点关于对称，
∴，，
∴，
当点三点共线时，取最小值，即取最小值，
此时∵，
∴四边形为矩形，
∴，，
∴，
∴，
∴此时，即的最小值为．
13．（25-26九年级上·四川达州·期中）如图所示，四边形是正方形，边长为6，点分别在x轴、y轴的正半轴上，点D在上，且D点的坐标为，P是上一动点，则的最小值为__________．
【答案】
【分析】本题主要考查了正方形的性质、轴对称的性质、勾股定理，连接，由正方形的性质可得点关于直线对称，，从而可得，推出，连接，交于点P，则当点在同一直线上时，最小，为，再由勾股定理计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
解：如图，连接，
四边形为正方形，
点关于直线对称，，
，
，
连接，交于点P，则当点在同一直线上时，最小，为，
点的坐标为，
，
，
的最小值为．
故答案为：．
14．（23-24九年级上·安徽合肥·期末）如图，在边长为1的正方形中，点E，F分别是边上的动点，且，连接，交于点G．
（1）连接，则线段的最小值是 ___________；
（2）取的中点H，连接，则线段的最小值是 ___________．
【答案】
【分析】（1）如图1，取的中点K，连接，则，，证明，可求，即，则，由勾股定理得，，由三角形三边关系可得，进而可求的最小值；
（2）如图2，取的中点K，过点K作于N，延长至M，使，连接，则四边形是矩形，， ，由勾股定理得，，由三角形三边关系可得，即的最小值，由D、H分别是的中点，可得，进而可得线段DH的最小值．
解：（1）解：如图1，取的中点K，连接，
∵四边形是正方形，
∴，
∵点K是的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，即，
∵点K是的中点，
∴，
由勾股定理得，，
∵，
∴的最小值为，
故答案为：；
（2）解：如图2，取的中点K，过点K作于N，延长至M，使，连接，则四边形是矩形，
∴，
∴ ，
由勾股定理得，，
∵，
∴的最小值，
∵D、H分别是的中点，
∴，
即线段DH的最小值是，
故答案为：．
【点拨】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，勾股定理，矩形的判定与性质，中位线，三角形三边关系等知识．熟练掌握正方形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，勾股定理，矩形的判定与性质，中位线，三角形三边关系是解题的关键．
15．（25-26九年级上·北京石景山·期末）如图，边长为的正方形内有一动点，满足，为边上的动点，连接，．
（1）当点为边的中点时，长的最小值为___________；
（2）的最小值为___________．
【答案】 / /
【分析】（1）取的中点，连接，，根据直角三角形的性质可得，为定值．由线段公理可得，，用勾股定理计算出即可；
（2）作点关于的对称点，连接、、，作，垂足为，根据轴对称的性质，，因此．由线段公理可得，，用勾股定理计算出即可．
解：（1）如图，取的中点，连接，，
在正方形中，，，
∵，
∴是直角三角形，
又∵点是的中点，
∴为定值，
∵点为边的中点，
∴，
在直角中，，
由线段公理可得，，
∴，当点、、三点共线时，取到最小值；
（2）如图，作点关于的对称点，连接、、，作，垂足为，
在正方形中，，，
由轴对称的性质可得，，，，
∴点、 、三点共线，
∵，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，，
∴，
在直角中，，
由线段公理可得，，
∴，当点、、、四点共线时，取到最小值，
∵，
∴，
∴的最小值为．
故答案为：；．
【点拨】本题考查正方形的性质，直角三角形的性质，线段最值问题，轴对称的性质以及勾股定理，根据动点的特征判断运动轨迹是解题关键．
（三）解答题（2题）
16．（23-24九年级上·山东青岛·期中）几何模型：
条件：如图1，A、B是直线l同旁的两个顶点．
问题：在直线l上确定一点P，使的值最小．
方法：作点关于直线的对称点，连接交于点，则的值最小（不必证明）
模型应用：
（1）如图2，已知平面直角坐标系中两定点和，P为x轴上一动点，则当的值最小时，点P的横坐标是___________，此时___________．
（2）如图3，正方形的边长为2，为的中点，是上一动点，连接，由正方形对称性可知，与关于直线对称，则的最小值是___________．
（3）如图4，正方形的面积为，是等边三角形，点在正方形内，在对角线上有一动点，则的最小值为___________．
（4）如图5，在菱形中，，，点是边边的中点，点，分别是，上的两个动点，则的最小值是___________．
【答案】（1）； （2） （3）（4）
【分析】（1）取点关于轴对称的点，连接，交轴于点，作轴于，则此时的值最小，根据点的坐标，得出，，，进而得出，，再根据“角角边”，得出，再根据全等三角形的性质，得出，进而得出点的横坐标，再根据平行线间的距离相等，得出，再根据勾股定理，计算即可得出答案；
（2）根据对称性和线段最短，得出的最小值是的长，再根据中点的定义，得出，再根据勾股定理，计算出，进而即可得出的最小值；
（3）设与交于点，连接，，根据对称性，得出，再根据线段最短，得出当点运动至点时，的最小值，此时最小值为的长，再根据正方形的面积，结合算术平方根的定义，得出，再根据等边三角形的性质，得出，进而得出的最小值；
（4）作垂足为与交于点，根据菱形的性质，得出，，再根据等边三角形的判定定理，得出是等边三角形，再根据三线合一的性质，得出，再根据线段最短，得出点关于的对称点在上，此时的最小，最小值为的长，再根据三线合一的性质，得出，再根据含角的直角三角形的性质，得出，再根据勾股定理，计算得出，进而即可得出答案．
解：（1）如图，取点关于轴对称的点，连接，交轴于点，作轴于，
则此时的值最小，
∵和，
∴，，，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴点的横坐标为，
∵轴，
∴，
∴，
∴，
∴当的值最小时，点的横坐标是，此时；
故答案为：；；
（2）解：∵点与关于直线对称，
∴的最小值是的长，
∵正方形的边长为，为的中点，
∴，
在中，
，
∴的最小值是；
故答案为：；
（3）解：如图，设与交于点，连接，，
∵点与关于直线对称，
∴，
∴当点运动至点时，的最小值，此时最小值为的长，
∵正方形的面积为，
∴，
又∵是等边三角形，
∴，
∴的最小值为；
故答案为：；
（4）解：如图，作垂足为与交于点，
∵四边形是菱形，
∴，
∵，
∴，
∴是等边三角形，
∵是中线，
∴，
∴点关于的对称点在上，此时的最小，最小值为的长，
在中，
∵，，，
∴，
∴，
∴的最小值是．
故答案为：．
【点拨】本题考查了坐标与图形、轴对称—最短路径问题、全等三角形的判定与性质、正方形的性质、菱形的性质、等边三角形的判定与性质、含角的直角三角形的性质，熟练掌握轴对称—最短路径的确定方法、并灵活运用勾股定理是解本题的关键．
17．（23-24九年级上·河南平顶山·期中）如图，在正方形中，点E在对角线上，点F在射线上，且四边形是正方形，连接．
（1）求证：．
（2）______．
（3）著，当点E在上移动时，是否有最小值？若有最小值，求出最小值．
【答案】（1）证明见分析（2）90°（3）有最小值，最小值为8
【分析】（1）证明可得结论；
（2）利用全等三角形的性质，正方形的性质解决问题；
（3）有最小值．连接， 是直角三角形，，推出，求出的最小值即可解决问题．
解：（1）证明：如图1中，
∵四边形，四边形都是正方形，
∴，，，
∴，
∴，
∴；
（2）；
证明：∵四边形是正方形，
，
，
，
；
（3）解：有最小值．连接 ，
是直角三角形，，
，
∵四边形是正方形，
,
的值最小时， 的值最小，
根据垂线段最短可知，
当 ，时，
的值最小，最小值为．
【点拨】本题主要考查正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，解题的关键是正确寻找全等三角形．

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