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2026春人教八下数学阶段测试卷
第二十一章学业质量评价
考试时间：120分钟　　满分：120分
一、选择题(每小题3分，共30分)
1.正方形具有而矩形不具有的性质是(D)
A.对边相等 B.对角相等
C.对角线相等 D.对角线互相垂直
2.若一个多边形的每个外角都等于72°，则这个多边形的边数为(A)
A.5 B.6 C.7 D.8
3.如图，在△ABC中，D，E分别是边AB，BC的中点.若△DBE的周长是7，则△ABC的周长是(D)
A.8 B.10 C.12 D.14第3题图　第4题图 　第5题图
4.如图，a，b是两条平行线，则甲、乙两平行四边形的面积关系是(C)
A.S甲＞S乙 B.S甲＜S乙 C.S甲＝S乙 D.无法确定
5.如图，在 ABCD中，AB＝6，BC＝8，∠BCD的平分线交AD于点E，交BA的延长线于点F，则AF的长为(A)
A.2 B.3 C.4 D.6
6.如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O.若AO＝3，∠ABC＝60°，则菱形ABCD的面积是(B)
A.18 B.18 C.36 D.36第6题图　　第7题图　　第8题图
7.如图，正方形ABCD的对角线BD是菱形BEFD的一边，菱形BEFD的对角线交正方形ABCD的边CD于点P，则∠FPC的度数是(C)
A.135° B.120° C.112.5° D.67.5°
8.如图，在△ABC中，D，E分别是边AB，BC的中点，点F在DE的延长线上，连接CF.添加一个条件，使得四边形ADFC为平行四边形，则这个条件可以是(B)
A.∠B＝∠F B.DE＝EF C.AC＝CF D.AD＝CF
9.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中点，过点D作AB的垂线，交BC于点E，连接CD，AE.若CD＝4，AE＝5，则AC的长为(B)
A.3 B. C.5 D.第9题图　　第10题图　　第12题图
10.如图，折叠正方形ABCD的边BC，使点C落在BD上的点F处，折痕BE交AC于点G.若DE＝2，则CG的长是(B)
A. B.2 C.＋1 D.2－1
二、填空题(每小题3分，共15分)
11.在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且AC⊥BD，请添加一个条件：　∠BAD＝90°(答案不唯一)　，使得 ABCD为正方形.
12.如图，BD是菱形ABCD的一条对角线，点E在BC的延长线上.若∠ADB＝32°，则∠DCE的度数为　64°　.
13.如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，若△ABC的周长比△AOB的周长长10，则BC的长是　10　.第13题图　　　第14题图　　　第15题图
14.如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，E为BC上一点，CE＝5，F为DE的中点.若△CEF的周长为18，则OF的长为　.
15.如图，在菱形ABCD中，DE，BF分别垂直AB，AD于点E，F，DE，BF相交于点G，连接BD，CG. 若BD＝BC，则CG∶FG＝　4∶1 　.
三、解答题(共75分)
16.(8分)如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在边AB，CD上，且∠DAF＝∠BCE.求证：AF＝CE.
证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D＝∠B，AD＝BC.
在△ADF和△CBE中，
∴△ADF≌△CBE(ASA)，
∴AF＝CE.
17.(9分)一个多边形的每一个内角都比相邻的外角的3倍还多20°，求这个多边形的内角和.
解：设多边形的边数为n.
由题意，得(n－2)·180°＝3×360°＋20°n，
解得n＝9，
则这个多边形的内角和为(9－2)×180°＝1 260°.
18.(9分)如图，在Rt△ABC中，D为斜边AC的中点，E为BD上一点，且AE＝AD，F为CE的中点.
(1)求证：∠ADE＝∠EDF；
(2)若DF＝2，求BD的长.
(1)证明：∵D为斜边AC的中点，F为CE的中点，∴DF是△CAE的中位线，∴DF∥AE，∴∠FDE＝∠AED.∵AE＝AD，∴∠AED＝∠ADE，
∴∠ADE＝∠EDF.
(2)解：由(1)知DF是△CAE的中位线，
∴AE＝2DF＝2×2＝4，∴AD＝AE＝4.
∵D是斜边AC的中点，△ABC是直角三角形，
∴BD＝AC＝AD＝4.
19.(9分)如图，将 ABCD的边DA延长到点F，使AF＝AD，连接CF，交边AB于点E，连接BF.
(1)求证：BE＝AE；
(2)若2∠D＝∠BEF，求证：四边形ACBF是矩形.
证明：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC.
∵AF＝AD，∴AF＝BC，
∴四边形ACBF是平行四边形，∴BE＝AE.
(2)∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠D＝∠ABC.
∵2∠D＝∠BEF，且∠BEF＝∠ABC＋∠ECB，
∴2∠ABC＝∠ABC＋∠ECB，
∴∠ECB＝∠ABC，∴CE＝BE.
由(1)知四边形ACBF是平行四边形，
∴AE＝BE，CE＝EF，∴AB＝CF，
∴平行四边形ACBF是矩形.
20.(9分)如图，在△ABC中，AB＝AC，AH⊥BC，E是AH上一点，延长AH至点F，使FH＝EH，连接BF，CF.
(1)求证：四边形EBFC是菱形；
(2)若∠BAC＝∠ECF，求∠ACF的度数.
(1)证明：∵AB＝AC，AH⊥BC，∴BH＝HC.
∵FH＝EH，∴四边形EBFC是平行四边形.
∵AH⊥BC，∴平行四边形EBFC是菱形.
(2)解：由(1)知四边形EBFC是菱形，
∴∠ECB＝∠FCB＝∠ECF.
∵AB＝AC，AH⊥BC，
∴∠CAH＝∠BAC，∠AHC＝90°，∴∠CAH＋∠ACH＝90°.
∵∠BAC＝∠ECF，∴∠CAH＝∠FCB，
∴∠FCB＋∠ACH＝90°，即∠ACF＝90°.
21.(9分)将正方形ABCD和菱形EFGH按如图所示摆放，顶点D与顶点H重合，菱形EFGH的对角线HF经过点B，点E，G分别在AB，BC上.
(1)求证：△ADE≌△CDG；
(2)若AE＝BE＝2，求BF的长.
(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，四边形EFGH是菱形，
∴AD＝CD，ED＝GD，∠ADB＝∠CDB，∠EHB＝∠GHB，
∴∠ADB－∠EHB＝∠CDB－∠GHB，
即∠ADE＝∠CDG，
∴△ADE≌△CDG(SAS).
(2)解：过点E作EQ⊥DF于点Q，则∠EQB＝90°.
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A＝90°，AD＝AB＝AE＋BE＝2＋2＝4，∠EBQ＝∠CBD＝45°，
∴∠QEB＝45°＝∠EBQ，∴EQ＝BQ.
∵EQ2＋BQ2＝BE2，∴2EQ2＝22，∴EQ＝BQ＝(负值已舍去).
在Rt△DAE中，由勾股定理，得DE＝＝＝2.
∵四边形EFGH是菱形，∴EF＝DE＝2，
∴QF＝＝＝3，
∴BF＝QF－BQ＝3－＝2.
22.(10分)如图1，在平行四边形ABCD中，O是对角线AC，BD的交点，以AC为斜边作直角三角形ACE，∠BED＝90°.
(1)求证：四边形ABCD是矩形；
(2)如图2，若△BCE是等边三角形，∠AOB＝60°，四边形AODE是什么特殊四边形？请说明理由.
图1　　　图2
(1)证明：连接EO.∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD.
∵∠BED＝90°，∴OE＝BD.
∵△AEC为直角三角形，∴OE＝AC，∴AC＝BD，
∴平行四边形ABCD是矩形.
(2)解：四边形AODE是菱形.理由如下：
由(1)知四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC＝90°，AB＝CD，OA＝OC＝OB＝OD.
∵△BCE是等边三角形，∴∠EBC＝∠BEC＝60°，
∴∠ABE＝∠ABC－∠EBC＝30°.
由题意，得∠AEC＝90°，
∴∠AEB＝∠AEC－∠BEC＝30°＝∠ABE，∴AE＝AB.
同理可得DE＝DC，∴AE＝DE.
∵∠AOB＝60°，∴△AOB是等边三角形，
∴OA＝AB，∴OA＝OD＝AE＝DE，
∴四边形AODE是菱形.
23.(12分)【问题情境】
如图1，四边形ABCD是正方形，M是BC边上的一点，E是CD边的中点，AE平分∠DAM.
【探究展示】
(1)求证：AM＝AD＋MC；
(2)AM＝DE＋BM是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；
【拓展延伸】
(3)若四边形ABCD是长与宽不相等的矩形，其他条件不变，如图2，探究展示(1)(2)中的结论是否成立？请分别作出判断，不需要证明.
图1　　图2
(1)证明：延长AE，BC，相交于点N.
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD∥BC，∴∠DAE＝∠N.
∵AE平分∠DAM，∴∠DAE＝∠MAE，
∴∠N＝∠MAE，∴AM＝MN.
∵E是CD边的中点，∴DE＝CE.
在△ADE和△NCE中，
∴△ADE≌△NCE，∴AD＝NC，
∴AM＝MN＝NC＋MC＝AD＋MC.
(2)解：AM＝DE＋BM成立.证明如下：
过点A作AF⊥AE，交CB的延长线于点F.
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAD＝∠D＝∠ABC＝90°，AB＝AD，
∴∠DAE＋∠BAE＝90°，∠ABF＝180°－∠ABC＝90°＝∠D.
∵AF⊥AE，∴∠FAE＝∠BAF＋∠BAE＝90°，
∴∠BAF＝∠DAE.
在△ABF和△ADE中，
∴△ABF≌△ADE，
∴BF＝DE，∠AFB＝∠AED.
∵∠FAM＋∠MAE＝90°，∠DAE＋∠DEA＝90°，∠MAE＝∠DAE，
∴∠AED＝∠FAM＝∠AFB，
∴AM＝FM＝FB＋BM＝DE＋BM.
(3)解：(1)中的结论AM＝AD＋MC成立；
(2)中的结论AM＝DE＋BM不成立.
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2026春人教八下数学阶段测试卷
第二十一章学业质量评价
考试时间：120分钟　　满分：120分
一、选择题(每小题3分，共30分)
1.正方形具有而矩形不具有的性质是(D)
A.对边相等 B.对角相等
C.对角线相等 D.对角线互相垂直
2.若一个多边形的每个外角都等于72°，则这个多边形的边数为(A)
A.5 B.6 C.7 D.8
3.如图，在△ABC中，D，E分别是边AB，BC的中点.若△DBE的周长是7，则△ABC的周长是(D)
A.8 B.10 C.12 D.14第3题图　第4题图 　第5题图
4.如图，a，b是两条平行线，则甲、乙两平行四边形的面积关系是(C)
A.S甲＞S乙 B.S甲＜S乙 C.S甲＝S乙 D.无法确定
5.如图，在 ABCD中，AB＝6，BC＝8，∠BCD的平分线交AD于点E，交BA的延长线于点F，则AF的长为(A)
A.2 B.3 C.4 D.6
6.如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O.若AO＝3，∠ABC＝60°，则菱形ABCD的面积是(B)
A.18 B.18 C.36 D.36第6题图　　第7题图　　第8题图
7.如图，正方形ABCD的对角线BD是菱形BEFD的一边，菱形BEFD的对角线交正方形ABCD的边CD于点P，则∠FPC的度数是(C)
A.135° B.120° C.112.5° D.67.5°
8.如图，在△ABC中，D，E分别是边AB，BC的中点，点F在DE的延长线上，连接CF.添加一个条件，使得四边形ADFC为平行四边形，则这个条件可以是(B)
A.∠B＝∠F B.DE＝EF C.AC＝CF D.AD＝CF
9.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中点，过点D作AB的垂线，交BC于点E，连接CD，AE.若CD＝4，AE＝5，则AC的长为(B)
A.3 B. C.5 D.第9题图　　第10题图　　第12题图
10.如图，折叠正方形ABCD的边BC，使点C落在BD上的点F处，折痕BE交AC于点G.若DE＝2，则CG的长是(B)
A. B.2 C.＋1 D.2－1
二、填空题(每小题3分，共15分)
11.在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且AC⊥BD，请添加一个条件：　∠BAD＝90°(答案不唯一)　，使得 ABCD为正方形.
12.如图，BD是菱形ABCD的一条对角线，点E在BC的延长线上.若∠ADB＝32°，则∠DCE的度数为　64°　.
13.如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，若△ABC的周长比△AOB的周长长10，则BC的长是　10　.第13题图　　　第14题图　　　第15题图
14.如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，E为BC上一点，CE＝5，F为DE的中点.若△CEF的周长为18，则OF的长为　.
15.如图，在菱形ABCD中，DE，BF分别垂直AB，AD于点E，F，DE，BF相交于点G，连接BD，CG. 若BD＝BC，则CG∶FG＝　4∶1 　.
三、解答题(共75分)
16.(8分)如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在边AB，CD上，且∠DAF＝∠BCE.求证：AF＝CE.
证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D＝∠B，AD＝BC.
在△ADF和△CBE中，
∴△ADF≌△CBE(ASA)，
∴AF＝CE.
17.(9分)一个多边形的每一个内角都比相邻的外角的3倍还多20°，求这个多边形的内角和.
解：设多边形的边数为n.
由题意，得(n－2)·180°＝3×360°＋20°n，
解得n＝9，
则这个多边形的内角和为(9－2)×180°＝1 260°.
18.(9分)如图，在Rt△ABC中，D为斜边AC的中点，E为BD上一点，且AE＝AD，F为CE的中点.
(1)求证：∠ADE＝∠EDF；
(2)若DF＝2，求BD的长.
(1)证明：∵D为斜边AC的中点，F为CE的中点，∴DF是△CAE的中位线，∴DF∥AE，∴∠FDE＝∠AED.∵AE＝AD，∴∠AED＝∠ADE，
∴∠ADE＝∠EDF.
(2)解：由(1)知DF是△CAE的中位线，
∴AE＝2DF＝2×2＝4，∴AD＝AE＝4.
∵D是斜边AC的中点，△ABC是直角三角形，
∴BD＝AC＝AD＝4.
19.(9分)如图，将 ABCD的边DA延长到点F，使AF＝AD，连接CF，交边AB于点E，连接BF.
(1)求证：BE＝AE；
(2)若2∠D＝∠BEF，求证：四边形ACBF是矩形.
证明：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC.
∵AF＝AD，∴AF＝BC，
∴四边形ACBF是平行四边形，∴BE＝AE.
(2)∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠D＝∠ABC.
∵2∠D＝∠BEF，且∠BEF＝∠ABC＋∠ECB，
∴2∠ABC＝∠ABC＋∠ECB，
∴∠ECB＝∠ABC，∴CE＝BE.
由(1)知四边形ACBF是平行四边形，
∴AE＝BE，CE＝EF，∴AB＝CF，
∴平行四边形ACBF是矩形.
20.(9分)如图，在△ABC中，AB＝AC，AH⊥BC，E是AH上一点，延长AH至点F，使FH＝EH，连接BF，CF.
(1)求证：四边形EBFC是菱形；
(2)若∠BAC＝∠ECF，求∠ACF的度数.
(1)证明：∵AB＝AC，AH⊥BC，∴BH＝HC.
∵FH＝EH，∴四边形EBFC是平行四边形.
∵AH⊥BC，∴平行四边形EBFC是菱形.
(2)解：由(1)知四边形EBFC是菱形，
∴∠ECB＝∠FCB＝∠ECF.
∵AB＝AC，AH⊥BC，
∴∠CAH＝∠BAC，∠AHC＝90°，∴∠CAH＋∠ACH＝90°.
∵∠BAC＝∠ECF，∴∠CAH＝∠FCB，
∴∠FCB＋∠ACH＝90°，即∠ACF＝90°.
21.(9分)将正方形ABCD和菱形EFGH按如图所示摆放，顶点D与顶点H重合，菱形EFGH的对角线HF经过点B，点E，G分别在AB，BC上.
(1)求证：△ADE≌△CDG；
(2)若AE＝BE＝2，求BF的长.
(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，四边形EFGH是菱形，
∴AD＝CD，ED＝GD，∠ADB＝∠CDB，∠EHB＝∠GHB，
∴∠ADB－∠EHB＝∠CDB－∠GHB，
即∠ADE＝∠CDG，
∴△ADE≌△CDG(SAS).
(2)解：过点E作EQ⊥DF于点Q，则∠EQB＝90°.
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A＝90°，AD＝AB＝AE＋BE＝2＋2＝4，∠EBQ＝∠CBD＝45°，
∴∠QEB＝45°＝∠EBQ，∴EQ＝BQ.
∵EQ2＋BQ2＝BE2，∴2EQ2＝22，∴EQ＝BQ＝(负值已舍去).
在Rt△DAE中，由勾股定理，得DE＝＝＝2.
∵四边形EFGH是菱形，∴EF＝DE＝2，
∴QF＝＝＝3，
∴BF＝QF－BQ＝3－＝2.
22.(10分)如图1，在平行四边形ABCD中，O是对角线AC，BD的交点，以AC为斜边作直角三角形ACE，∠BED＝90°.
(1)求证：四边形ABCD是矩形；
(2)如图2，若△BCE是等边三角形，∠AOB＝60°，四边形AODE是什么特殊四边形？请说明理由.
图1　　　图2
(1)证明：连接EO.∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD.
∵∠BED＝90°，∴OE＝BD.
∵△AEC为直角三角形，∴OE＝AC，∴AC＝BD，
∴平行四边形ABCD是矩形.
(2)解：四边形AODE是菱形.理由如下：
由(1)知四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC＝90°，AB＝CD，OA＝OC＝OB＝OD.
∵△BCE是等边三角形，∴∠EBC＝∠BEC＝60°，
∴∠ABE＝∠ABC－∠EBC＝30°.
由题意，得∠AEC＝90°，
∴∠AEB＝∠AEC－∠BEC＝30°＝∠ABE，∴AE＝AB.
同理可得DE＝DC，∴AE＝DE.
∵∠AOB＝60°，∴△AOB是等边三角形，
∴OA＝AB，∴OA＝OD＝AE＝DE，
∴四边形AODE是菱形.
23.(12分)【问题情境】
如图1，四边形ABCD是正方形，M是BC边上的一点，E是CD边的中点，AE平分∠DAM.
【探究展示】
(1)求证：AM＝AD＋MC；
(2)AM＝DE＋BM是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；
【拓展延伸】
(3)若四边形ABCD是长与宽不相等的矩形，其他条件不变，如图2，探究展示(1)(2)中的结论是否成立？请分别作出判断，不需要证明.
图1　　图2
(1)证明：延长AE，BC，相交于点N.
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD∥BC，∴∠DAE＝∠N.
∵AE平分∠DAM，∴∠DAE＝∠MAE，
∴∠N＝∠MAE，∴AM＝MN.
∵E是CD边的中点，∴DE＝CE.
在△ADE和△NCE中，
∴△ADE≌△NCE，∴AD＝NC，
∴AM＝MN＝NC＋MC＝AD＋MC.
(2)解：AM＝DE＋BM成立.证明如下：
过点A作AF⊥AE，交CB的延长线于点F.
∵四边形ABCD是正方
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【原创】人教新版八下数学阶段测试卷 讲解课件
人教版八下数学第二十一章学业质量评价
河南等地适用
一、选择题(每小题3分，共30分)
1.正方形具有而矩形不具有的性质是(　　)
A.对边相等 B.对角相等
C.对角线相等 D.对角线互相垂直
2.若一个多边形的每个外角都等于72°，则这个多边形的边数为(　　)
A.5 B.6
C.7 D.8
D
A
3.如图，在△ABC中，D，E分别是边AB，BC的中点.若△DBE的周长是7，则△ABC的周长是(　　)
A.8
B.10
C.12
D.14
第3题图
D
4.如图，a，b是两条平行线，则甲、乙两平行四边形的面积关系是(　　)
A.S甲＞S乙
B.S甲＜S乙
C.S甲＝S乙
D.无法确定
第4题图
C
5.如图，在 ABCD中，AB＝6，BC＝8，∠BCD的平分线交AD于点E，交BA的延长线于点F，则AF的长为(　　)
A.2
B.3
C.4
D.6
第5题图
A
6.如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O.若AO＝3，∠ABC＝
60°，则菱形ABCD的面积是(　　)
A.18
B.18
C.36
D.36
第6题图
B
7.如图，正方形ABCD的对角线BD是菱形BEFD的一边，菱形BEFD的对角线交正方形ABCD的边CD于点P，则∠FPC的度数是(　　)
A.135°
B.120°
C.112.5°
D.67.5°
第7题图
C
8.如图，在△ABC中，D，E分别是边AB，BC的中点，点F在DE的延长线
上，连接CF.添加一个条件，使得四边形ADFC为平行四边形，则这个条件可以是(　　)
A.∠B＝∠F
B.DE＝EF
C.AC＝CF
D.AD＝CF
第8题图
B
9.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中点，过点D作AB的垂线，交BC于点E，连接CD，AE.若CD＝4，AE＝5，则AC的长为(　　)
A.3
B.
C.5
D.
第9题图
B
10.如图，折叠正方形ABCD的边BC，使点C落在BD上的点F处，折痕BE交AC于点G.若DE＝2，则CG的长是(　　)
A.
B.2
C.＋1
D.2－1
第10题图
B
二、填空题(每小题3分，共15分)
11.在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且AC⊥BD，请添加一个条件：___________________________，使得 ABCD为正方形.
12.如图，BD是菱形ABCD的一条对角线，点E在BC的延长线上.若∠ADB＝32°，则∠DCE的度数为_______.
第12题图
∠BAD＝90°(答案不唯一)
64°
13.如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，若△ABC的周长比△AOB的周长长10，则BC的长是________.
第13题图
10
14.如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，E为BC上一点，CE＝5，F为DE的中点.若△CEF的周长为18，则OF的长为____.
第14题图
15.如图，在菱形ABCD中，DE，BF分别垂直AB，AD于点E，F，DE，BF相交于点G，连接BD，CG. 若BD＝BC，则CG∶FG＝___________.
第15题图
4∶1
三、解答题(共75分)
16.(8分)如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在边AB，CD上，且∠DAF＝∠BCE.求证：AF＝CE.
证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D＝∠B，AD＝BC.
在△ADF和△CBE中，
∴△ADF≌△CBE(ASA)，
∴AF＝CE.
17.(9分)一个多边形的每一个内角都比相邻的外角的3倍还多20°，求这个多边形的内角和.
解：设多边形的边数为n.
由题意，得(n－2)·180°＝3×360°＋20°n，
解得n＝9，
则这个多边形的内角和为(9－2)×180°＝1 260°.
18.(9分)如图，在Rt△ABC中，D为斜边AC的中点，E为BD上一点，且AE＝AD，F为CE的中点.
(1)求证：∠ADE＝∠EDF；
证明：∵D为斜边AC的中点，F为CE的中点，∴DF是△CAE的中位线，∴DF∥AE，∴∠FDE＝∠AED.∵AE＝AD，∴∠AED＝∠ADE，
∴∠ADE＝∠EDF.
(2)若DF＝2，求BD的长.
解：由(1)知DF是△CAE的中位线，
∴AE＝2DF＝2×2＝4，∴AD＝AE＝4.
∵D是斜边AC的中点，△ABC是直角三角形，
∴BD＝AC＝AD＝4.
19.(9分)如图，将 ABCD的边DA延长到点F，使AF＝AD，连接CF，交边AB于点E，连接BF.
(1)求证：BE＝AE；
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC.
∵AF＝AD，∴AF＝BC，
∴四边形ACBF是平行四边形，∴BE＝AE.
(2)若2∠D＝∠BEF，求证：四边形ACBF是矩形.
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠D＝∠ABC.
∵2∠D＝∠BEF，且∠BEF＝∠ABC＋∠ECB，
∴2∠ABC＝∠ABC＋∠ECB，
∴∠ECB＝∠ABC，∴CE＝BE.
由(1)知四边形ACBF是平行四边形，
∴AE＝BE，CE＝EF，∴AB＝CF，
∴平行四边形ACBF是矩形.
20.(9分)如图，在△ABC中，AB＝AC，AH⊥BC，E是AH上一点，延长AH至点F，使FH＝EH，连接BF，CF.
(1)求证：四边形EBFC是菱形；
证明：∵AB＝AC，AH⊥BC，∴BH＝HC.
∵FH＝EH，∴四边形EBFC是平行四边形.
∵AH⊥BC，∴平行四边形EBFC是菱形.
解：由(1)知四边形EBFC是菱形，
∴∠ECB＝∠FCB＝∠ECF.
∵AB＝AC，AH⊥BC，
∴∠CAH＝∠BAC，∠AHC＝90°，∴∠CAH＋∠ACH＝90°.
∵∠BAC＝∠ECF，∴∠CAH＝∠FCB，
∴∠FCB＋∠ACH＝90°，即∠ACF＝90°.
(2)若∠BAC＝∠ECF，求∠ACF的度数.
21.(9分)将正方形ABCD和菱形EFGH按如图所示摆放，顶点D与顶点H重
合，菱形EFGH的对角线HF经过点B，点E，G分别在AB，BC上.
(1)求证：△ADE≌△CDG；
证明：∵四边形ABCD是正方形，四边形EFGH是菱形，
∴AD＝CD，ED＝GD，∠ADB＝∠CDB，∠EHB
＝∠GHB，
∴∠ADB－∠EHB＝∠CDB－∠GHB，
即∠ADE＝∠CDG，
∴△ADE≌△CDG(SAS).
解：过点E作EQ⊥DF于点Q，则∠EQB＝90°.
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A＝90°，AD＝AB＝AE＋BE＝2＋2＝4，
∠EBQ＝∠CBD＝45°，
∴∠QEB＝45°＝∠EBQ，∴EQ＝BQ.
∵EQ2＋BQ2＝BE2，∴2EQ2＝22，∴EQ＝BQ＝(负值已舍去).
在Rt△DAE中，由勾股定理，得DE＝＝＝2.
(2)若AE＝BE＝2，求BF的长.
∵四边形EFGH是菱形，∴EF＝DE＝2，
∴QF＝＝＝3，
∴BF＝QF－BQ＝3－＝2.
22.(10分)如图1，在平行四边形ABCD中，O是对角线AC，BD的交点，以AC为斜边作直角三角形ACE，∠BED＝90°.
(1)求证：四边形ABCD是矩形；
证明：连接EO.∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD.
∵∠BED＝90°，∴OE＝BD.
∵△AEC为直角三角形，∴OE＝AC，∴AC＝BD，
∴平行四边形ABCD是矩形.
(2)如图2，若△BCE是等边三角形，∠AOB＝60°，四边形AODE是什么特殊四边形？请说明理由.
解：四边形AODE是菱形.理由如下：
由(1)知四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC＝90°，AB＝CD，OA＝OC＝OB＝OD.
∵△BCE是等边三角形，∴∠EBC＝∠BEC＝60°，
∴∠ABE＝∠ABC－∠EBC＝30°.
由题意，得∠AEC＝90°，
∴∠AEB＝∠AEC－∠BEC＝30°＝∠ABE，∴AE＝AB.
同理可得DE＝DC，∴AE＝DE.
∵∠AOB＝60°，∴△AOB是等边三角形，
∴OA＝AB，∴OA＝OD＝AE＝DE，
∴四边形AODE是菱形.
23.(12分)【问题情境】
如图1，四边形ABCD是正方形，M是BC边上的一点，E是CD边的中点，AE平分∠DAM.
【探究展示】
(1)求证：AM＝AD＋MC；
证明：延长AE，BC，相交于点N.
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD∥BC，∴∠DAE＝∠N.
∵AE平分∠DAM，∴∠DAE＝∠MAE，
∴∠N＝∠MAE，∴AM＝MN.
∵E是CD边的中点，∴DE＝CE.
在△ADE和△NCE中，
∴△ADE≌△NCE，∴AD＝NC，
∴AM＝MN＝NC＋MC＝AD＋MC.
(2)AM＝DE＋BM是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；
解：AM＝DE＋BM成立.证明如下：
过点A作AF⊥AE，交CB的延长线于点F.
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAD＝∠D＝∠ABC＝90°，AB＝AD，
∴∠DAE＋∠BAE＝90°，∠ABF＝180°－∠ABC＝90°＝∠D.
∵AF⊥AE，∴∠FAE＝∠BAF＋∠BAE＝90°，
∴∠BAF＝∠DAE.
在△ABF和△ADE中，
∴△ABF≌△ADE，
∴BF＝DE，∠AFB＝∠AED.
∵∠FAM＋∠MAE＝90°，∠DAE＋∠DEA＝90°，∠MAE＝∠DAE，
∴∠AED＝∠FAM＝∠AFB，
∴AM＝FM＝FB＋BM＝DE＋BM.
【拓展延伸】
(3)若四边形ABCD是长与宽不相等的矩形，其他条件不变，如图2，探究展示(1)(2)中的结论是否成立？请分别作出判断，不需要证明.
解：(1)中的结论AM＝AD＋MC成立；
(2)中的结论AM＝DE＋BM不成立.
Thanks!
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