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第八章
8.5　空间直线、平面的平行
立体几何初步
第2课时　直线与平面平行
学习 目标 1．理解并掌握直线与平面平行的判定定理．
2．理解并掌握直线与平面平行的性质定理．
3．能够应用直线与平面平行的判定定理和性质定理证明相关问题．
新知初探·基础落实
复习：判断两条直线平行有几种方法？
(1) 三角形中位线定理；(2) 平行四边形的对边；(3) 成比例线段；(4) 平行公理．
一、 概念生成
直线和平面平行的定义：直线和平面没有公共点．
如图(1)，门扇的两边是平行的，当门扇绕着一边转动时，另一边与墙面有公共点吗？此时门扇转动的一边与墙面平行吗？
可以发现，无论门扇转动到什么位置，因为转动的一边与固定的一边总是平行的，所以它与墙面是平行的．
图(1)
如图(2)，将一块矩形硬纸板ABCD平放在桌面上，把这块纸板绕DC转动．在转动的过程中(AB离开桌面)，DC的对边AB与桌面有公共点吗？边AB与桌面平行吗？
图(2)
硬纸板的边AB与DC平行，只要边DC紧贴着桌面，边AB转动时就不可能与桌面有公共点，所以它与桌面平行．
请同学阅读课本P135—P138，完成下列填空．
二、 概念表述
1．直线与平面平行的判定定理
文字语言 如果__________一条直线与____________的一条直线平行，那么该直线与此平面平行
符号语言 _____________________ a∥α
图形语言
平面外
此平面内
a α，b α，且a∥b
2．直线与平面平行的性质定理
文字语言 一条直线与一个平面平行，如果过该直线的平面与此平面相交，那么__________与________平行
符号语言 a∥α，a β，α∩β＝b a∥b
图形语言
该直线
交线
三、 概念辨析(判断正误：正确的画“√”，错误的画“×”)
(1) 已知两条直线a，b，且a∥b，则a平行于经过b的任何一个平面． (　　)
(2) 若a∥b，a α，则a∥α． (　　)
(3) 若l与α内任何一条直线都没有公共点，则l与平面α平行． (　　)
(4) 若a∥b，b α，则a∥α． (　　)
(5) 如果直线a和平面α满足a∥α，那么a与平面α内的任何一条直线平行． (　　)
×
×
√
×
×
典例精讲·能力初成
探究
1
线面平行的判定定理
　　　(课本P137例2)求证：空间四边形相邻两边中点的连线平行于经过另外两边的平面．
已知：如图，在空间四边形ABCD中，E，F分别是AB，AD的
中点．求证：EF∥平面BCD．
1
【解答】
　　　　因为AE＝EB，AF＝FD，所以EF∥BD．又EF 平面BCD，BD 平面BCD，所以EF∥平面BCD．
利用直线与平面平行的判定定理证明线面平行的步骤
上面的第一步“找”是证题的关键，其常用方法有：利用三角形、梯形中位线的性质；利用平行四边形的性质；利用平行线分线段成比例定理．
变式　如图，S是平行四边形ABCD所在平面外一点，M，N分别是SA，BD上的点，且＝，求证：MN∥平面SBC．
【解答】
　　　　如图，连接AN并延长交BC于点P，连接SP．因为AD∥BC，所以＝．又因为＝，所以＝，所以MN ∥SP．又MN 平面SBC，SP 平面SBC，所以MN∥平面SBC．
探究
2
线面平行的性质定理
　　　(课本P138例3)如图所示的一块木料中，棱BC平行于平面A'C'．
(1) 要经过面A'C'内的一点P和棱BC将木料锯开，在木料表面应该怎样画线？
2
【解答】
　　　　如图，在平面A'C'内，过点P作直线EF，使EF∥ B'C'，并分别交棱A'B'，D'C'于点E，F，连接BE，CF，则EF，BE，CF就是应画的线．
　　　(课本P138例3)如图所示的一块木料中，棱BC平行于平面A'C'．
(2) 所画的线与平面AC是什么位置关系？
2
【解答】
　　　　因为棱BC平行于平面A'C'，平面BC'与平面A'C'相交于B'C'，所以BC∥B'C'．由(1)知，EF∥B'C'，所以EF∥BC．而BC在平面AC内，EF在平面AC外，所以EF∥平面AC．显然，BE，CF都与平面AC相交．
(1) 利用线面平行的性质定理解题的步骤
(2) 运用线面平行的性质定理时，应先确定线面平行，再寻找过已知直线的平面与这个平面相交的交线，然后确定线线平行．
变式　如图，在四棱锥P ABCD中，底面ABCD是平行四边形，AC与BD交于点O，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和AP作平面交平面BDM于GH，求证：AP∥GH．
【解答】
　　　　如图，连接MO．因为四边形ABCD是平行四边形，所以O是AC的中点．因为M是PC的中点，所以AP∥OM．又因为AP 平面BDM，OM 平面BDM，所以AP∥平面BDM．又因为AP 平面APGH，平面APGH∩平面BDM＝GH，所以AP∥GH．
探究
3
线面平行判定、性质定理的综合应用
　　　如图，已知四边形ABCD为梯形，AB∥CD，CD＝2AB，M为线段PC上一点．
(1) 设平面PAB∩平面PDC＝l，求证：AB∥l．
3
【解答】
　　　　因为AB∥CD，AB 平面PCD，CD 平面PCD，所以AB∥平面PCD．又因为平面PAB∩平面PDC＝l，且AB 平面PAB，所以AB∥l．
　　　如图，已知四边形ABCD为梯形，AB∥CD，CD＝2AB，M为线段PC上一点．
(2) 在棱PC上是否存在点M，使得PA∥平面MBD？若存在，请确定点M的位置；若不存在，请说明理由．
3
【解答】
　　　　存在点M，使得PA∥平面MBD，此时＝．证明如下：如图，连接AC交BD于点O，连接MO．因为AB∥CD，且CD＝2AB，所以＝＝．又因为＝，PC∩AC＝C，所以PA∥ MO．因为PA 平面MBD，MO 平面MBD，所以PA∥平面MBD．
直线与平面平行的判定定理的实质是将线线平行转化为线面平行；直线与平面平行的性质定理的实质是将线面平行转化为线线平行；直线与平面的判定定理与性质定理可实现线线平行与线面平行的相互转化．
变式　如图，在棱长为10的正方体ABCD A1B1C1D1中，P为左侧面ADD1A1上一点，已知点P到A1D1的距离为2，点P到AA1的距离为3，若过点P且与A1C平行的直线交正方体于P，Q两点，则点Q所在的平面是 (　　)
A．AA1B1B　 B．BB1C1C
C．CC1D1D　 D．ABCD
【解析】
　　　　如图，由条件可知直线A1P交线段DD1于点M，连接MC，过点P作A1C的平行线，必与MC相交，那么也与平面CC1D1D相交．
【答案】C
随堂内化·及时评价
1．若直线l不平行于平面α，且l α，则 (　　)
A．α内的所有直线与l异面
B．α内不存在与l平行的直线
C．α与直线l至少有两个公共点
D．α内的直线与l都相交
【解析】
　　　　因为l α，直线l不平行于平面α，所以直线l只能与平面α相交，于是直线l与平面α只有一个公共点，所以平面α内不存在与l平行的直线．
B
2．有一木块如图所示，点P在平面A'B'C'D'内，棱BC平行于平面A'B'C'D'，要经过P和棱BC将木料锯开，锯开的面必须平整，则锯法有 (　　)
A．0种　 B．1种
C．2种　 D．无数种
【解析】
　　　　因为BC∥平面A'B'C'D'，所以BC∥B'C'，如图，在平面A'B'C'D'上过点P作EF∥B'C'，则EF∥BC，所以过EF，BC所确定的平面锯开即可，由于此平面唯一确定，所以只有一种方法．
B
3．如图，在四棱锥P ABCD中，M，N分别为AC，PC上的点，且MN∥平面PAD，则 (　　)
A．MN∥PD　 B．MN∥PA
C．MN∥AD　 D．以上均有可能
【解析】
　　　　在四棱锥P ABCD中，M，N分别为AC，PC上的点，且MN∥平面PAD，MN 平面PAC，平面PAC∩平面PAD＝PA，由直线与平面平行的性质定理可得MN∥ PA．
B
4．如图，在直三棱柱ABC A1B1C1中，D为AA1的中点，点P在侧面BCC1B1上运动，当点P满足条件_______________时，A1P∥平面BCD．(答案不唯一，填一个满足题意的条件即可)
【解析】
　　　　如图，取CC1的中点P，连接A1P．因为在直三棱柱ABC A1B1C1中，D为AA1的中点，点P在侧面BCC1B1上运动，所以当点P是CC1的中点时，A1P∥CD．因为A1P 平面BCD，CD 平面BCD，所以A1P∥平面BCD．
P是CC1的中点
5．(课本P139练习2)如图，在正方体ABCD A1B1C1D1中，E为DD1的中点，判断BD1与平面AEC的位置关系，并说明理由．
【解答】
　　　　BD1∥平面AEC．理由如下：如图，在正方体ABCD A1B1C1D1中，连接BD交AC于点O，则O为BD中点．连接EO，又因为E为DD1的中点，所以EO是△BDD1的中位线，所以EO∥BD1．因为BD1 平面AEC，EO 平面AEC，所以BD1∥平面AEC．第2课时　直线与平面平行
一、 单项选择题
1．若直线l∥平面α，则过l作一组平面与α相交，记所得的交线分别为a，b，c，…，那么这些交线的位置关系为(　　)
A．都平行
B．都相交且一定交于同一点
C．都相交但不一定交于同一点
D．都平行或交于同一点
2．如图，四边形ABDC是梯形，AB∥CD，且AB∥平面α，M是AC的中点，AC，BD分别与平面α交于点M，N，AB＝4，CD＝6，则MN＝(　　)
(第2题)
A．4.5 B．5
C．5.4 D．5.5
3．如图，已知四棱锥P ABCD的底面是菱形，AC交BD于点O，E为AD的中点，F在PA上，AP＝λAF，PC∥平面BEF，则λ的值为(　　)
(第3题)
A．1 B．
C．3 D．2
4．如图，在长方体ABCD A1B1C1D1中，E，F分别是棱AA1和BB1的中点，过EF的平面EFGH分别交BC和AD于点G，H，则GH与AB的位置关系是(　　)
(第4题)
A．平行 B．相交
C．异面 D．平行或异面
二、 多项选择题
5．如图，A，B，C，M，N是正方体的顶点或所在棱的中点，则满足MN∥平面ABC的有(　　)
A B
C D
6．如图，在平行六面体ABCD A1B1C1D1中，M，P，Q分别为棱AB，CD，BC的中点，若平行六面体的各棱长均相等，则以下说法正确的是(　　)
(第6题)
A．A1M∥D1P
B．A1M∥B1Q
C．A1M∥平面DCC1D1
D．A1M∥平面D1PQB1
三、 填空题
7．如图，在五面体A BCC1B1中，AB1＝4，底面ABC是正三角形，AB＝2，四边形BCC1B1是矩形，点D在AC上运动，则当点D是________时，有AB1∥平面BDC1．
(第7题)
(第8题)
8．如图，E，F分别是空间四边形ABCD中边BC和AD的中点，过EF且平行于AB的平面与AC交于点G.若＝λ，则λ＝________．
四、 解答题
9．如图，在四棱锥P ABCD中，底面四边形ABCD为长方形，E，F分别为AD，PC的中点.设平面PDC∩平面PBE＝l.
(1) 求证：DF∥平面PBE；
(2) 求证：DF∥l.
(第9题)
10．如图，在三棱柱ABC A1B1C1中，E，F分别是棱CC1，BB1上的点，M是线段AC上的动点，EC＝2FB＝2，若MB∥平面AEF，试判断点M的位置.
(第10题)
11．如图，四棱锥P ABCD的底面ABCD是平行四边形，M，N分别为线段PC，PB上一点，若PM∶MC＝4∶1，且AN∥平面BDM，则PN∶NB＝ ________．
(第11题)
(第12题)
12．如图，在由透明塑料盒制成的长方体容器ABCD A1B1C1D1内灌进一些水，将容器底面一边BC固定于地面上，再将容器倾斜(不考虑水流出).随着倾斜度的不同，有下列三个说法：①水的部分始终呈棱柱形；②水面EFGH的面积不改变；③棱A1D1始终与水面EFGH平行.其中说法正确的是________.(填序号)
13．如图，已知E，F分别是菱形ABCD的边BC，CD的中点，EF与AC交于点O，点P在平面ABCD外，M是线段PA上一动点，若PC∥平面MEF，试确定点M的位置.
(第13题)
第2课时　直线与平面平行
基础打底·熟练掌握
1．A　
2．B　【解析】 因为AB∥平面α，AB 平面ABDC，平面α∩平面ABDC＝MN，所以AB∥MN.又M是AC的中点，所以MN是梯形ABDC的中位线，故MN＝(AB＋CD)＝5.
(第3题)
3．C　【解析】 设AO与BE交于点G，连接FG，如图.因为E为AD的中点，则AE＝AD＝BC.由四边形ABCD是菱形，可得AD∥BC，则△AEG∽△CBG，所以＝＝，所以＝.又因为PC∥平面BEF，PC 平面PAC，平面BEF∩平面PAC＝GF，所以GF∥PC，所以λ＝＝＝3.
4．A　【解析】 由长方体性质知EF∥平面ABCD，因为EF 平面EFGH，平面EFGH∩平面ABCD＝GH，所以EF∥GH.又因为EF∥AB，所以GH∥AB.
5．AD　【解析】 对于A，连接ED，如图(1)，可知MN∥DE∥AC，MN 平面ABC，AC 平面ABC，所以MN∥平面ABC，A正确；对于B，设H是EG的中点，A是DF的中点，如图(2)，结合正方体的性质可知，AB∥NH，MN∥AH∥BC，AM∥CH，故六边形MNHCBA为正六边形，所以A，B，C，H，N，M六点共面，B错误；对于C，如图(3)，根据正方体的性质可知MN∥AD，由于AD与平面ABC相交，所以MN与平面ABC不平行，C错误；对于D，如图(4)，设AC∩NE＝D，易知四边形AECN是矩形，所以D是NE的中点，由于B是ME的中点，所以MN∥BD，由于MN 平面ABC，BD 平面ABC，所以MN∥平面ABC，D正确.
图(1)
图(2)
图(3)
图(4)
(第5题)
6．ACD　【解析】 连接MP(图略).因为M，P分别为棱AB，CD的中点，所以MP∥AD且MP＝AD.在平行六面体ABCD A1B1C1D1中，AD∥A1D1且AD＝A1D1，所以MP＝A1D1且MP∥A1D1，故四边形MA1D1P为平行四边形，A1M∥D1P，故A正确.因为D1P 平面DCC1D1，A1M 平面DCC1D1，所以A1M∥平面DCC1D1.同理，A1M∥平面D1PQB1，故C，D正确.因为A1M与平面ADD1A1相交，且平面BCC1B1∥平面ADD1A1，所以A1M与平面BCC1B1相交.又因为B1Q 平面BCC1B1，所以A1M与B1Q不平行，故B错误.
7．AC的中点　【解析】 当D为AC的中点时，AB1∥平面BDC1.理由如下：如图，连接B1C与BC1交于点O，连接OD.当D为AC的中点时，OD∥AB1，且OD 平面BDC1，AB1 平面BDC1，根据直线与平面平行的判定定理可知，AB1∥平面BDC1.
(第7题)
8．1　【解析】 因为AB∥平面EFG，AB 平面ABC，平面ABC∩平面EFG＝EG，所以AB∥EG.又因为E是BC的中点，所以G是AC的中点，所以λ＝＝1.
9．【解答】 (1) 如图，取PB中点G，连接FG，EG.因为E，F分别为AD，PC的中点，所以FG∥CB，FG＝BC.因为四边形ABCD为长方形，所以BC∥AD，且BC＝AD，所以DE∥FG，DE＝FG，所以四边形DEGF为平行四边形，所以DF∥GE.因为DF 平面PBE，GE 平面PBE，所以DF∥平面PBE.
(2) 由(1)知DF∥平面PBE，又DF 平面PDC，平面PDC∩平面PBE＝l，所以DF∥l.
(第9题)
(第10题)
10．【解答】 如图，若MB∥平面AEF，过F，B，M作平面FBMN交AE于点N，连接MN，NF.因为BF∥平面AA1C1C，BF 平面FBMN，平面FBMN∩平面AA1C1C＝MN，所以BF∥MN.又MB∥平面AEF，MB 平面FBMN，平面FBMN∩平面AEF＝FN，所以MB∥FN，所以四边形BFNM是平行四边形，所以MN∥BF，MN＝BF＝1.又EC∥FB，EC＝2FB＝2，所以MN∥EC，MN＝EC＝1，故MN是△ACE的中位线，即M是AC的中点.
能力进阶·融会贯通
11．3∶1　【解析】 如图，连接AC交BD于点O，连接CN交BM于点G.由AN∥平面BDM，可得AN∥OG.因为OA＝OC，所以CG＝NG，所以G为CN的中点，作HN∥BM，所以CM＝HM.因为PM∶MC＝4∶1，则PH∶HM＝3∶1，所以PN∶NB＝PH∶HM＝3∶1.
(第11题)
12．①③　【解析】 根据题意，可得BC固定时，在倾斜的过程中，始终有AD∥EH∥FG∥BC，且平面AEFB∥平面DHGC，故水的形状成棱柱形，故①正确；水面EFGH的面积是改变的，因为EF的长度是变化的，而EH的长度是不变的，所以水面EFGH的面积是改变的，故②错误；因为A1D1∥AD∥EH，A1D1 水面EFGH，EH 水面EFGH，所以A1D1∥水面EFGH，故③正确.
13．【解答】 如图，连接BD交AC于点O1，连接OM.因为PC∥平面MEF，PC 平面PAC，平面PAC∩平面MEF＝OM，所以PC∥OM，所以＝.在菱形ABCD中，因为E，F分别为边BC，CD的中点，所以＝.又AO1＝O1C，所以＝＝，故PM∶MA＝1∶3，即点M为线段PA上靠近点P的四等分点.
(第13题)第2课时　直线与平面平行
学习 目标 1．理解并掌握直线与平面平行的判定定理． 2．理解并掌握直线与平面平行的性质定理． 3．能够应用直线与平面平行的判定定理和性质定理证明相关问题．
新知初探基础落实
复习：判断两条直线平行有几种方法？
(1) 三角形中位线定理；(2) 平行四边形的对边；(3) 成比例线段；(4) 平行公理．
一、 概念生成
直线和平面平行的定义：直线和平面没有公共点．
如图(1)，门扇的两边是平行的，当门扇绕着一边转动时，另一边与墙面有公共点吗？此时门扇转动的一边与墙面平行吗？
图(1)
可以发现，无论门扇转动到什么位置，因为转动的一边与固定的一边总是平行的，所以它与墙面是平行的．
如图(2)，将一块矩形硬纸板ABCD平放在桌面上，把这块纸板绕DC转动．在转动的过程中(AB离开桌面)，DC的对边AB与桌面有公共点吗？边AB与桌面平行吗？
图(2)
硬纸板的边AB与DC平行，只要边DC紧贴着桌面，边AB转动时就不可能与桌面有公共点，所以它与桌面平行．
请同学阅读课本P135—P138，完成下列填空．
二、 概念表述
1．直线与平面平行的判定定理
文字 语言 如果__平面外__一条直线与__此平面内__的一条直线平行，那么该直线与此平面平行
符号 语言 __a α，b α，且a∥b__ a∥α
图形 语言
2．直线与平面平行的性质定理
文字语言 一条直线与一个平面平行，如果过该直线的平面与此平面相交，那么__该直线__与__交线__平行
符号语言 a∥α，a β，α∩β＝b a∥b
图形语言
三、 概念辨析(判断正误：正确的画“√”，错误的画“×”)
(1) 已知两条直线a，b，且a∥b，则a平行于经过b的任何一个平面．(　×　)
(2) 若a∥b，a α，则a∥α．(　×　)
(3) 若l与α内任何一条直线都没有公共点，则l与平面α平行．(　√　)
(4) 若a∥b，b α，则a∥α．(　×　)
(5) 如果直线a和平面α满足a∥α，那么a与平面α内的任何一条直线平行．(　×　)
典例精讲能力初成
探究1　线面平行的判定定理
例1　(课本P137例2)求证：空间四边形相邻两边中点的连线平行于经过另外两边的平面．
已知：如图，在空间四边形ABCD中，E，F分别是AB，AD的中点．求证：EF∥平面BCD．
【解答】因为AE＝EB，AF＝FD，所以EF∥BD．又EF 平面BCD，BD 平面BCD，所以EF∥平面BCD．
利用直线与平面平行的判定定理证明线面平行的步骤
上面的第一步“找”是证题的关键，其常用方法有：利用三角形、梯形中位线的性质；利用平行四边形的性质；利用平行线分线段成比例定理．
变式　如图，S是平行四边形ABCD所在平面外一点，M，N分别是SA，BD上的点，且＝，求证：MN∥平面SBC．
【解答】如图，连接AN并延长交BC于点P，连接SP．因为AD∥BC，所以＝．又因为＝，所以＝，所以MN∥SP．又MN 平面SBC，SP 平面SBC，所以MN∥平面SBC．
探究2　线面平行的性质定理
例2　(课本P138例3)如图所示的一块木料中，棱BC平行于平面A'C'．
(1) 要经过面A'C'内的一点P和棱BC将木料锯开，在木料表面应该怎样画线？
【解答】如图，在平面A'C'内，过点P作直线EF，使EF∥B'C'，并分别交棱A'B'，D'C'于点E，F，连接BE，CF，则EF，BE，CF就是应画的线．
(2) 所画的线与平面AC是什么位置关系？
【解答】因为棱BC平行于平面A'C'，平面BC'与平面A'C'相交于B'C'，所以BC∥B'C'．由(1)知，EF∥B'C'，所以EF∥BC．而BC在平面AC内，EF在平面AC外，所以EF∥平面AC．显然，BE，CF都与平面AC相交．
(1) 利用线面平行的性质定理解题的步骤
(2) 运用线面平行的性质定理时，应先确定线面平行，再寻找过已知直线的平面与这个平面相交的交线，然后确定线线平行．
变式　如图，在四棱锥P ABCD中，底面ABCD是平行四边形，AC与BD交于点O，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和AP作平面交平面BDM于GH，求证：AP∥GH．
【解答】如图，连接MO．因为四边形ABCD是平行四边形，所以O是AC的中点．因为M是PC的中点，所以AP∥OM．又因为AP 平面BDM，OM 平面BDM，所以AP∥平面BDM．又因为AP 平面APGH，平面APGH∩平面BDM＝GH，所以AP∥GH．
探究3　线面平行判定、性质定理的综合应用
例3　如图，已知四边形ABCD为梯形，AB∥CD，CD＝2AB，M为线段PC上一点．
(1) 设平面PAB∩平面PDC＝l，求证：AB∥l．
【解答】因为AB∥CD，AB 平面PCD，CD 平面PCD，所以AB∥平面PCD．又因为平面PAB∩平面PDC＝l，且AB 平面PAB，所以AB∥l．
(2) 在棱PC上是否存在点M，使得PA∥平面MBD？若存在，请确定点M的位置；若不存在，请说明理由．
【解答】存在点M，使得PA∥平面MBD，此时＝．证明如下：如图，连接AC交BD于点O，连接MO．因为AB∥CD，且CD＝2AB，所以＝＝．又因为＝，PC∩AC＝C，所以PA∥MO．因为PA 平面MBD，MO 平面MBD，所以PA∥平面MBD．
直线与平面平行的判定定理的实质是将线线平行转化为线面平行；直线与平面平行的性质定理的实质是将线面平行转化为线线平行；直线与平面的判定定理与性质定理可实现线线平行与线面平行的相互转化．
变式　如图，在棱长为10的正方体ABCD A1B1C1D1中，P为左侧面ADD1A1上一点，已知点P到A1D1的距离为2，点P到AA1的距离为3，若过点P且与A1C平行的直线交正方体于P，Q两点，则点Q所在的平面是(　C　)
A．AA1B1B　 B．BB1C1C
C．CC1D1D　 D．ABCD
【解析】如图，由条件可知直线A1P交线段DD1于点M，连接MC，过点P作A1C的平行线，必与MC相交，那么也与平面CC1D1D相交．
随堂内化及时评价
1．若直线l不平行于平面α，且l α，则(　B　)
A．α内的所有直线与l异面
B．α内不存在与l平行的直线
C．α与直线l至少有两个公共点
D．α内的直线与l都相交
【解析】因为l α，直线l不平行于平面α，所以直线l只能与平面α相交，于是直线l与平面α只有一个公共点，所以平面α内不存在与l平行的直线．
2．有一木块如图所示，点P在平面A'B'C'D'内，棱BC平行于平面A'B'C'D'，要经过P和棱BC将木料锯开，锯开的面必须平整，则锯法有(　B　)
A．0种　 B．1种
C．2种　 D．无数种
【解析】因为BC∥平面A'B'C'D'，所以BC∥B'C'，如图，在平面A'B'C'D'上过点P作EF∥B'C'，则EF∥BC，所以过EF，BC所确定的平面锯开即可，由于此平面唯一确定，所以只有一种方法．
3．如图，在四棱锥P ABCD中，M，N分别为AC，PC上的点，且MN∥平面PAD，则(　B　)
A．MN∥PD　 B．MN∥PA
C．MN∥AD　 D．以上均有可能
【解析】在四棱锥P ABCD中，M，N分别为AC，PC上的点，且MN∥平面PAD，MN 平面PAC，平面PAC∩平面PAD＝PA，由直线与平面平行的性质定理可得MN∥PA．
4．如图，在直三棱柱ABC A1B1C1中，D为AA1的中点，点P在侧面BCC1B1上运动，当点P满足条件__P是CC1的中点__时，A1P∥平面BCD．(答案不唯一，填一个满足题意的条件即可)
【解析】如图，取CC1的中点P，连接A1P．因为在直三棱柱ABC A1B1C1中，D为AA1的中点，点P在侧面BCC1B1上运动，所以当点P是CC1的中点时，A1P∥CD．因为A1P 平面BCD，CD 平面BCD，所以A1P∥平面BCD．
5．(课本P139练习2)如图，在正方体ABCD A1B1C1D1中，E为DD1的中点，判断BD1与平面AEC的位置关系，并说明理由．
【解答】BD1∥平面AEC．理由如下：如图，在正方体ABCD A1B1C1D1中，连接BD交AC于点O，则O为BD中点．连接EO，又因为E为DD1的中点，所以EO是△BDD1的中位线，所以EO∥BD1．因为BD1 平面AEC，EO 平面AEC，所以BD1∥平面AEC．

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