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第八章
8.5　空间直线、平面的平行
立体几何初步
第3课时　平面与平面平行
学习 目标 1．理解并掌握平面与平面平行的判定定理，并能运用定理证明平面与平面平行．
2．理解并掌握平面与平面平行的性质定理，能在线线平行、线面平行与面面平行之间相互转化．
新知初探·基础落实
问题1：观察教室的前后墙面、左右墙面、墙面与地面之间的位置关系是怎样的？
一、 概念生成
如图(1)，a和b分别是数学课本的两条对边所在直线，它们都与桌面平行(转动一下课本，仍可保持a，b都与桌面平行)，直观感受一下，课本与桌面平行吗？
如图(2)，c和d分别是三角尺相邻两边所在直线，它们都与桌面平行，直观感受一下，三角尺与桌面平行吗？
图(1)
图(2)
问题2：上述实验中的a，b有什么样的位置关系？c，d有什么样的位置关系？两个实验说明了什么问题？
a与b平行，c与d相交．通过实验说明：(1)如果一个平面内有两条平行直线与另一个平面平行，这两个平面不一定平行；(2)如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行．
请同学阅读课本P139—P142，完成下列填空．
二、 概念表述
1．平面与平面的位置关系
位置关系 图形表示 符号表示 公共点
两平面 平行 __________ 没有
公共点
两平面 相交 ______________ 有一条
公共直线
α∥β
α∩β＝a
2．平面与平面平行的判定定理
β∥α
文字语言 图形语言 符号语言
线面平行 面面平行　 如果一个平面内的________ ________与另一个平面平行，那么这两个平面平行 __________
__________
__________
__________
两条相
交直线
b β
a b=P
a∥α
b∥α
3．平面与平面平行的性质定理
文字语言 图形语言 符号语言
面面平行 线线平行　 两个平面平行，如果________ ______与这两个平面相交，那么两条交线平行 __________
__________
__________
β∥α
另一个
平面
α∥β
α γ=a
β γ=b
三、 概念辨析(判断正误：正确的画“√”，错误的画“×”)
(1) 若一个平面内有无数条直线都与另一个平面平行，则这两个平面平行．(　　)
(2) 若一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面，则这两个平面平行．(　　)
(3) 若平面α内不共线的三点A，B，C到平面β的距离相等，则α与β平行． (　　)
(4) 若两个平面都平行于同一条直线，则这两个平面平行． (　　)
×
√
×
×
典例精讲·能力初成
探究
1
面面平行判定定理的理解
　　　已知α，β是两个不重合的平面，则下列说法正确的是 (　　)
A．若 α，β都平行于直线l，m，则α∥β
B．若直线a∥α，a∥β，且直线a不在α内，也不在β内，则α∥β
C．若α，β没有公共点，则α∥β
D．若直线a在α内，直线b在β内，且a∥β，b∥α，则α∥β
1
【解析】
　　　　A中，当α∩β＝a，l∥m∥a时，不能推出α∥β，故A错误；B中，当直线平行于两平面交线时，符合命题叙述，但平面α与平面β相交，故B错误；C中，α，β没有公共点，根据平面与平面平行的定义，故C正确；D中，当两平面相交，直线a，直线b都跟交线平行且符合命题叙述时，得不到平面α与平面β平行，故D错误．
C
平面与平面平行的判定定理
(1) 前提1：平面α内存在两条相交直线(相交是关键)；(2) 前提2：两条直线都与平面β平行(即两个线面平行)；(3) 结论：平面α∥平面β．
变式　已知a，b，c为三条不重合的直线，α，β，γ为三个不重合的平面，现给出四个命题：
① α∥β；　② α∥β；　③ a∥α；　④ a∥β．
其中真命题是 (　　)
A．①②③　 B．①④
C．②　 D．①③④
【解析】
　　　　①α与β有可能相交；②正确；③还可能a α；④还可能a β．
C
探究
2
平面与平面平行的证明
　　　(课本P140例4)已知正方体ABCD A1B1C1D1(如图)，求证：平面AB1D1∥平面BC1D．
2
【解答】
　　　　因为ABCD A1B1C1D1为正方体，所以D1C1綉A1B1，AB綉A1B1，所以D1C1綉AB，所以四边形D1C1BA为平行四边形，所以D1A∥C1B．又D1A 平面BC1D，C1B 平面BC1D，所以D1A∥平面BC1D．同理D1B1∥平面BC1D．又D1A∩D1B1＝D1，所以平面AB1D1∥平面BC1D．
平面与平面平行的判定方法
(1) 定义法：两个平面没有公共点．
(2) 判定定理：一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面．
(3) 转化为线线平行：平面α内的两条相交直线与平面β内的两条相交直线分别平行．
(4) 利用平行平面的传递性：若α∥β，β∥γ，则α∥γ．
变式　如图，在多面体ABCDEF中，底面ABCD是平行四边形，G和H分别是CE和CF的中点，求证：平面BDGH∥平面AEF．
【解答】
　　　　在△CEF中，因为G，H分别是CE，CF的中点，所以GH∥EF．又因为GH 平面AEF，EF 平面AEF，所以GH∥平面AEF．如图，设AC∩BD＝O，连接OH．在△ACF中，因为OA＝OC，CH＝HF，所以OH∥AF．又因为OH 平面AEF，AF 平面AEF，所以OH∥平面AEF．又因为OH∩GH＝H，OH，GH 平面BDGH，所以平面BDGH∥平面AEF．
探究
3
面面平行的性质定理及应用
　　　(课本P142例5)求证：夹在两个平行平面间的平行线段相等．
如图，α∥β，AB∥CD，且A∈α，C∈α，B∈β，D∈β，
求证：AB＝CD．
3
【解答】
　　　　过平行线AB，CD作平面γ，与平面α和β分别相交于AC和BD．因为α∥β，所以BD∥AC．又AB∥CD，所以四边形ABDC是平行四边形，所以AB＝CD．
(1) 利用面面平行的性质定理证明线线平行的关键是把要证明的直线看作是平面的交线，往往需要有三个平面，即有两平面平行，再构造第三个面与两平行平面都相交．
(2) 面面平行 线线平行，体现了转化思想与判定定理的交替使用，可实现线线、线面及面面平行的相互转化．
变式　如图，平面四边形ABCD的四个顶点A，B，C，D均在平行四边形A'B'C'D'外，且AA'，BB'，CC'，DD'互相平行，求证：四边形ABCD是平行四边形．
【解答】
　　　　因为四边形A'B'C'D'是平行四边形，所以A'D'∥B'C'．因为A'D' 平面BB'C'C，B'C' 平面BB'C'C，所以A'D'∥平面BB'C'C．同理AA'∥平面BB'C'C．因为A'D' 平面AA'D'D，AA' 平面AA'D'D，且A'D'∩AA'＝A'，所以平面AA'D'D∥平面BB'C'C．又因为平面ABCD∩平面AA'D'D＝AD，平面ABCD∩平面BB'C'C＝BC，所以AD∥BC，同理可证AB∥CD，所以四边形ABCD是平行四边形．
探究
4
平面与平面平行的探究性问题
　　　如图，在三棱柱ABC A1B1C1中，E，F分别为线段AC1，A1C1的中点．
(1) 求证：EF∥平面BCC1B1；
4
【解答】
　　　　因为E，F分别为线段AC1，A1C1的中点，所以EF∥A1A．因为B1B∥A1A，所以EF∥B1B．又因为EF 平面BCC1B1，B1B 平面BCC1B1，所以EF∥平面BCC1B1．
　　　如图，在三棱柱ABC A1B1C1中，E，F分别为线段AC1，A1C1的中点．
(2) 在线段BC1上是否存在一点G，使平面EFG∥平面ABB1A1？请说明理由．
4
【解答】
　　　　如图，取BC1的中点G，连接GE，GF．因为E为AC1的中点，所以GE∥AB．因为GE 平面ABB1A1，AB 平面ABB1A1，所以GE∥平面ABB1A1，同理可得，EF∥平面ABB1A1．又因为EF∩GE＝E，GE，EF 平面EFG，所以平面EFG∥平面ABB1A1. 故在线段BC1上存在一点G，且G为BC1的中点，使平面EFG∥平面ABB1A1．
三种平行关系的转化
要灵活运用线线平行、线面平行和面面平行的相互联系、相互转化．在解决立体几何中的平行问题时，一般都要用到平行关系的转化．转化思想是解决这类问题的最有效的方法．
随堂内化·及时评价
1．已知AB，CD是夹在两个平行平面间的线段，且AB∥CD，则AB与CD长度的关系是 (　　)
A．AB＝CD　 B．AB＞CD
C．AB＜CD　 D．不确定
A
2．设α，β是两个不同的平面，m是直线，且m α，m∥β，若使α∥β成立，则需增加的条件是 (　　)
A．n是直线且n α，n∥β B．n，m是异面直线且n∥β
C．n，m是相交直线且n α，n∥β D．n，m是平行直线且n α，n∥β
【解析】
　　　　要使α∥β成立，需要其中一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，当m，n是相交直线，且n α，n∥β，m α，m∥β时，由平面与平面平行的判定定理可得α∥β．
C
3．如图，在三棱锥P ABC中，D，E，F分别是棱PA，PB，PC的中点，则平面DEF与平面ABC的位置关系是________．
【解析】
　　　　在△PAB中，因为D，E分别是PA，PB的中点，所以DE∥AB．又DE 平面ABC，AB 平面ABC，所以DE∥平面ABC．同理可证EF∥平面ABC．又DE∩EF＝E，DE，EF 平面DEF，所以平面DEF∥平面ABC．
平行
4．如图所示是长方体被一平面截得的几何体，截面为四边形EFGH，则四边形EFGH的形状为______________．
【解析】
　　　　因为平面ABFE∥平面DCGH，平面EFGH∩平面ABFE＝EF，平面EFGH∩平面DCGH＝HG，所以EF∥HG．同理，EH∥FG，所以四边形EFGH是平行四边形．
平行四边形
5．(课本P143练习4)如图，平面α∥β，γ∩α＝a，γ∩β＝b，c β，c∥b．判断c与a，c与α的位置关系，并说明理由．
【解答】
　　　　c∥a，c∥α．理由如下：因为平面α∥β，γ∩α＝a，γ∩β＝b，所以a∥b．又c∥b，所以c∥a．又a α，c α，所以c∥α．第3课时　平面与平面平行
练习1
一、 单项选择题
1．设m，n为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，且m α，n α，则“α∥β”是“m∥β且n∥β”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件
2．已知两个不同的平面α，β和两条不同的直线m，n，则下面四个命题为真命题的是(　　)
A．若m∥n，n α，则m∥α
B．若m∥α，n∥α且m β，n β，则α∥β
C．若m∥α，n α，则m∥n
D．若α∥β，m α，则m∥β
3．已知AB，CD是夹在两个平行平面间的线段，若两线段的长度相等，则直线AB，CD的位置关系是(　　)
A．平行 B．相交
C．异面 D．以上均有可能
4．如图，P是△ABC所在平面外一点，平面α∥平面ABC，α分别交线段PA，PB，PC于A'，B'，C'，若PA'∶AA'＝2∶3，则S△A'B'C'∶S△ABC＝(　　)
(第4题)
A．2∶25 B．4∶25
C．2∶5 D．4∶5
二、 多项选择题
5．如图，在正方体ABCD A1B1C1D1中，E，F，G分别是棱A1B1，B1C1，BB1的中点，则(　　)
(第5题)
A．FG∥平面AA1D1D
B．EF∥平面BC1D1
C．FG∥平面BC1D1
D．平面EFG∥平面BC1D1
6．如图所示是四棱锥的平面展开图，其中四边形ABCD为正方形，E，F，G，H分别为PA，PD，PC，PB的中点，则在原四棱锥中(　　)
(第6题)
A．平面EFGH∥平面ABCD
B．平面PAD∥平面PAB
C．BC∥平面PAD
D．AB∥平面PCD
三、 填空题
7．如图，平面四边形ABCD所在的平面与平面α平行，且四边形ABCD在平面α内的平行投影A1B1C1D1是一个平行四边形，则四边形ABCD的形状一定是________．
(第7题)
8．在棱长为2的正方体ABCD A1B1C1D1中，M是棱A1D1的中点，过C1，B，M作正方体的截面，则这个截面的形状是________，截面的面积是________．
四、 解答题
9．如图，在正方体ABCD A1B1C1D1中，O1为底面A1B1C1D1的中心，求证：
(1) 平面AB1D1∥平面C1BD；
(2) AO1⊥BD.
(第9题)
10．在三棱柱ABC A1B1C1中.
(1) 如图，若E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点，求证：平面EFA1∥平面BCHG；
(2) 若点D，D1分别是AC，A1C1上的点，且平面BC1D∥平面AB1D1，试求的值.
(第10题)
11．在棱长为1的正方体ABCD A1B1C1D1中，M，N分别为A1D1，A1B1的中点，过直线BD的平面α∥平面AMN，则平面α截该正方体所得截面为(　　)
A．三角形 B．五边形
C．平行四边形 D．等腰梯形
12．如图(1)，△ABC是边长为3的等边三角形，点D，E分别在线段AC，AB上，且AE＝1，AD＝2，沿DE将△ADE翻折到△PDE的位置，使得PB＝，如图(2).在线段PB上是否存在点M，使得EM∥平面PCD？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
图(1)
图(2)
(第12题)
第3课时　平面与平面平行
基础打底·熟练掌握
1．A　【解析】 由m α，n α，α∥β，得m∥β且n∥β；反之，当m∥β且n∥β时，若m∥n，则α∥β或α与β相交，所以“α∥β”是“m∥β且n∥β”的充分不必要条件.
2．D　【解析】 对于A，若m∥n，n α，则m∥α或m α，故A错误；对于B，当m∥α，n∥α，m β，n β且m与n相交时，α∥β，故B错误；对于C，若m∥α，n α，则m∥n或m与n异面，故C错误；对于D，若α∥β，m α，根据面面平行的性质定理可得m∥β，故D正确.
3．D　
4．B　【解析】 因为平面α∥平面ABC，平面PAB与它们的交线分别为A'B'，AB，所以AB∥A'B'，同理B'C'∥BC，易得△ABC∽△A'B'C'，所以＝＝＝.
5．AC　【解析】 因为在正方体ABCD A1B1C1D1中，E，F，G分别是棱A1B1，B1C1，BB1的中点，所以FG∥BC1.因为BC1∥AD1，所以FG∥AD1，又因为FG 平面AA1D1D，AD1 平面AA1D1D，所以FG∥平面AA1D1D，故A正确；因为EF∥A1C1，A1C1与平面BC1D1相交，所以EF与平面BC1D1相交，故B错误；因为FG∥BC1，FG 平面BC1D1，BC1 平面BC1D1，所以FG∥平面BC1D1，故C正确；因为EF与平面BC1D1相交，所以平面EFG与平面BC1D1相交，故D错误.
6．ACD　【解析】
(第6题)
把平面展开图还原为四棱锥如图所示，则EH∥AB，又EH 平面ABCD，AB 平面ABCD，所以EH∥平面ABCD.同理可证EF∥平面ABCD，又EF∩EH＝E，EF，EH 平面EFGH，所以平面EFGH∥平面ABCD，故A正确.平面PAD，平面PBC，平面PAB，平面PDC是四棱锥的四个侧面，则它们两两相交，故B错误.因为AB∥CD，AB 平面PCD，CD 平面PCD，所以AB∥平面PCD，同理BC∥平面PAD，故C，D正确.
7．平行四边形
8．等腰梯形　　【解析】 如图，取AA1的中点N，连接MN，NB，MC1，BC1，AD1.易知MN∥AD1，AD1∥BC1，所以MN∥BC1，且MN＝BC1＝，则截面MNBC1为梯形，且为等腰梯形，MC1＝BN＝，可得梯形的高为，所以梯形的面积为×(＋2)×＝.
(第8题)
9．【解答】 (1) 在正方体ABCD A1B1C1D1中，DD1∥BB1，且DD1＝BB1，所以四边形BDD1B1为平行四边形，则B1D1∥BD，同理，AD1∥BC1.又BD 平面C1BD，B1D1 平面C1BD，所以B1D1∥平面C1BD，同理，AD1∥平面C1BD，且B1D1∩AD1＝D1，所以平面AB1D1∥平面C1BD.
(2) 在正方体ABCD A1B1C1D1中，AD1＝AB1，O1为B1D1的中点，所以AO1⊥B1D1，又B1D1∥BD，所以AO1⊥BD.
10．【解答】 (1) 因为E，F分别是AB，AC的中点，所以EF∥BC.因为EF 平面BCHG，BC 平面BCHG，所以EF∥平面BCHG.因为A1G∥EB，A1G＝EB，所以四边形A1EBG是平行四边形，所以A1E∥GB.又因为A1E 平面BCHG，GB 平面BCHG，所以A1E∥平面BCHG.因为A1E∩EF＝E，A1E，EF 平面EFA1，所以平面EFA1∥平面BCHG.
(2) 如图，连接A1B交AB1于点O，连接OD1.因为平面BC1D∥平面AB1D1，且平面A1BC1∩平面BC1D＝BC1，平面A1BC1∩平面AB1D1＝D1O，所以BC1∥D1O.同理可得AD1∥DC1，所以＝＝1，即D1为线段A1C1的中点，所以D为线段AC的中点，即＝1.
(第10题)
能力进阶·融会贯通
11．D　【解析】 如图，根据题意，取B1C1的中点E，C1D1的中点F，连接EF，BE，DF，B1D1，则EF∥B1D1，B1D1∥BD，所以EF∥BD，且EF＝B1D1＝BD，故B，D，F，E在同一平面内.连接ME，因为M，E分别为A1D1，B1C1的中点，所以ME∥A1B1∥AB，且ME＝AB，所以四边形ABEM是平行四边形，所以AM∥BE，又因为BE 平面BDFE，AM 平面BDFE，所以AM∥平面BDFE，同理可得AN∥平面BDFE，因为AM∩AN＝A，AM，AN 平面AMN，所以平面AMN∥平面BDFE，即平面α截该正方体所得截面为梯形BDFE.又在梯形BDFE中，BE＝DF＝＝，即平面α截该正方体所得截面为等腰梯形.
(第11题)
12．【解答】 存在，＝.理由如下：在平面BCDE中，过点E作EF∥CD，交BC于F，在平面PBC中，过点F作FM∥PC，交PB于M，连接ME，如图(1)所示.因为EF∥CD，CD 平面PCD，EF 平面PCD，所以EF∥平面PCD，同理可得MF∥平面PCD，又因为EF∩MF＝F，EF，MF 平面MEF，所以平面PCD∥平面MEF.又ME 平面MEF，所以ME∥平面PCD，即M为所求的点.因为MF∥平面PCD，MF 平面PBC，平面PBC∩平面PCD＝PC，所以MF∥PC.如图(2)，在△ABC中，EF∥CD，即EF∥AC，所以＝＝，在△PBC中，FM∥PC，所以＝＝，即此时＝.
图(1)
图(2)
(第12题)第3课时　平面与平面平行
练习2
一、 单项选择题
1．已知直线a，b和平面α，则下列说法中正确的是(　　)
A．若a∥b，b∥α，则a∥α
B．若a∥b，b α，则a∥α
C．若a∥b，b α，a α，则a∥α
D．若a∥α，b∥α，则a∥b
2．已知两个不重合的平面α，β，三条不重合的直线a，b，c，则下列说法中正确的是(　　)
A．若a∥b，b α，则a α
B．若a∥α，b∥β，a∥b，则α∥β
C．若a∥β，b∥β，a α，b α，则α∥β
D．若a∥α，a β，α∩β＝b，则a∥b
3．如图，在棱长为2的正方体ABCD A1B1C1D1中，过A1B且与AC1平行的平面交B1C1于点P，则PC1的长为(　　)
(第3题)
A．2 B．
C． D．1
4．如图，在棱长为4的正方体ABCD A1B1C1D1中，E，F分别是棱A1D1，A1B1的中点，过直线BD的平面α∥平面AEF，则平面α截该正方体所得截面的面积为(　　)
(第4题)
A．16 B．16
C．18 D．18
二、 多项选择题
5．在空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA上的点，当BD∥平面EFGH时，下列结论中正确的是(　　)
A．E，F，G，H一定是各边的中点
B．G，H一定是CD，DA的中点
C．AE∶EB＝AH∶HD，且BF∶FC＝DG∶GC
D．四边形EFGH是平行四边形或梯形
6．如图，在棱长均为1的四棱锥P ABCD中，O为底面正方形的中心，M，N分别为侧棱PA，PB的中点，则(　　)
(第6题)
A．CD∥MN
B．平面PCD∥平面OMN
C．ON⊥PB
D．四棱锥P ABCD的体积为
三、 填空题
7．在正方体ABCD A1B1C1D1的12条棱中，与平面BC1D1平行的棱共有________条．
8．如图，平面α∥平面β，△PAB所在的平面与α，β分别交于CD，AB，若PC＝2，CA＝3，CD＝1，则AB＝________．
(第8题)
四、 解答题
9．如图，在三棱锥S ABC中，D，E分别是SA，SC的中点，平面BDE∩平面ABC＝l，求证：
(1) DE∥平面ABC；
(2) DE∥l.
(第9题)
10．如图所示，在长方体ABCD A1B1C1D1中，AB＝AA1＝3，BC＝2，E，F分别是平面ADD1A1，平面ABCD的中心，G，H分别是AD，D1C1的中点.
(1) 证明：平面A1C1B∥平面AEF；
(2) 证明：GH∥平面AA1C1C.
图(1)
图(2)
(第10题)
11．如图，四棱锥P ABCD的底面是平行四边形，PA＝PB＝AB＝2，E，F分别是AB，CD的中点，平面AGF∥平面PEC，PD∩平面AGF＝G，且PG＝λGD，则λ＝________，ED与AF相交于点H，则GH＝________．
(第11题)
12．如图所示，在正方体ABCD A1B1C1D1中，E，F，G，H分别是棱CC1，C1D1，D1D，CD的中点，N是BC的中点，点M在四边形EFGH的边上及其内部运动，则当M满足________时，有MN∥平面B1BDD1．
(第12题)
13．在长方体ABCD A1B1C1D1中，DA＝DC＝1，DD1＝2，分别在对角线A1D，CD1上取点M，N，使得直线MN∥平面A1ACC1，则线段MN长度的最小值为________．
直线与平面及平面与平面平行
基础打底·熟练掌握
1．C　【解析】 对于A，若a∥b，b∥α，则a∥α或a α，故A错误；对于B，若a∥b，b α，则a∥α或a α，故B错误；对于C，若a∥b，b α，a α，则a∥α，故C正确；对于D，若a∥α，b∥α，则a∥b或a与b相交或a与b异面，故D错误.
2．D　【解析】 当a∥b，b α时，a∥α或a α，不能推出a α，故A错误；当a∥α，b∥β，a∥b时，α，β可能相交，故B错误；当a∥β，b∥β，a α，b α时，若a，b不相交，则推不出α∥β，故C错误；当a∥α，a β，α∩β＝b时，由线面平行的性质定理知a∥b，故D正确.
3．D　【解析】 如图，连接AB1交A1B于点O，过点O作OP∥AC1交B1C1于点P，则O是AB1的中点.因为OP 平面A1PB，AC1 平面A1PB，所以AC1∥平面A1PB，即点P为所求的点.又在△AB1C1中，＝＝，而B1C1＝2，所以PC1＝1.
(第3题)
(第4题)
4．C　【解析】 如图，取B1C1的中点N，D1C1的中点M，连接MD，MN，BN，EN，B1D1，则MN∥B1D1∥BD，所以D，B，N，M四点共面.又MN∥EF，且MN 平面AEF，EF 平面AEF，所以MN∥平面AEF.因为EN∥A1B1∥AB，且EN＝A1B1＝AB，所以四边形ABNE是平行四边形，则AE∥BN，且AE 平面AEF，BN 平面AEF，所以BN∥平面AEF，且MN∩BN＝N，MN，BN 平面DBNM，所以平面AEF∥平面DBNM，所以四边形DBNM即为平面α截该正方体所得截面，易得MN＝2，DB＝4，DM＝BN＝2，所以四边形DBNM的面积S＝×(2＋4)×＝18.
5．CD　【解析】 由BD∥平面EFGH，及线面平行的性质定理，得BD∥EH，BD∥FG，则AE∶EB＝AH∶HD，且BF∶FC＝DG∶GC，所以EH∥FG，四边形EFGH是平行四边形或梯形.
6．ABC　【解析】 如图，对于A，由于M，N分别为侧棱PA，PB的中点，所以MN∥AB，又AB∥CD，故CD∥MN，故A正确；对于B，连接BD，AC，PO，由于O，N分别为BD，PB的中点，所以ON∥PD，又ON 平面OMN，PD 平面OMN，所以PD∥平面OMN，同理可得CD∥平面OMN，又CD∩PD＝D，CD，PD 平面PCD，所以平面PCD∥平面OMN，故B正确；对于C，由于PB＝PD＝1，BD＝，所以PD⊥PB，又ON∥PD，故ON⊥PB，故C正确；对于D，由于OP＝BD＝，所以VP ABCD＝OP×S正方形ABCD＝××1＝，故D错误.
(第6题)
7．2　【解析】 在正方体ABCD A1B1C1D1的12条棱中，与平面BC1D1平行的棱为CD，A1B1，共2条.
8．　【解析】 因为平面α∥平面β，且平面PAB∩平面α＝CD，平面PAB∩平面β＝AB，所以CD∥AB，所以△PCD∽△PAB，可得＝，所以AB＝＝＝.
9．【解答】 (1) 因为D，E分别是SA，SC的中点，所以DE∥AC.
因为DE 平面ABC，AC 平面ABC，所以DE∥平面ABC.
(2) 因为平面BDE∩平面ABC＝l，DE 平面BDE，DE∥平面ABC，所以DE∥l.
10．【解答】 (1) 如图(1)，连接AC，AD1，则F，E分别为AC，AD1的中点，则AD1∥BC1，又AD1 平面A1C1B，BC1 平面A1C1B，所以AD1∥平面A1C1B，同理可得，AC∥平面A1C1B.又AD1∩AC＝A，AD1，AC 平面AEF，所以平面A1C1B∥平面AEF.
图(1)
图(2)
(第10题)
(2) 如图(2)，连接GF，C1F.因为G，F分别是AD，AC的中点，所以GF∥DC，GF＝DC＝D1C1，所以GF∥HC1，且GF＝HC1，所以四边形GFC1H为平行四边形，则GH∥FC1，又GH 平面AA1C1C，FC1 平面AA1C1C，所以GH∥平面AA1C1C.
能力进阶·融会贯通
11．1　　【解析】 因为四边形ABCD是平行四边形，所以AB∥CD，且AB＝CD.又E，F分别是AB，CD的中点，所以AE＝FD，又∠EAH＝∠DFH，∠AEH＝∠FDH，所以△AEH≌△FDH，所以EH＝DH.因为平面AGF∥平面PEC，平面PED∩平面AGF＝GH，平面PED∩平面PEC＝PE，所以GH∥PE，则G是PD的中点，即PG＝GD，故λ＝1.因为PA＝AB＝PB＝2，所以PE＝，GH＝PE＝.
12．M在线段FH上　【解析】 如图，连接HN，FH，FN，BD，B1D1.由题易知HN∥DB，因为HN 平面B1BDD1，DB 平面B1BDD1，所以HN∥平面B1BDD1.又FH∥D1D，同理可得FH∥平面B1BDD1，又HN∩FH＝H，HN，FH 平面FHN，所以平面FHN∥平面B1BDD1.因为点M在四边形EFGH的边上及其内部运动，平面FHN∩平面EFGH＝FH，所以M∈FH.
(第12题)
(第13题)
13．　【解析】 如图，作MM1⊥AD于点M1，作NN1⊥CD于点N1，则MM1∥AA1∥DD1∥NN1，即M，M1，N1，N共面.又MM1 平面A1ACC1，AA1 平面A1ACC1，故MM1∥平面A1ACC1.因为MN∥平面A1ACC1，MM1∩MN＝M，MM1，MN 平面MNN1M1，故平面MNN1M1∥平面A1ACC1，又平面A1ACC1∩平面ABCD＝AC，平面MNN1M1∩平面ABCD＝M1N1，所以M1N1∥AC.由于DA＝DC＝1，DD1＝2，故△M1DN1为等腰直角三角形，由于MM1∥AA1，NN1∥DD1，则＝＝2，＝＝2.故设DM1＝DN1＝x，则MM1＝2x，NN1＝2－2x，在直角梯形MNN1M1中，M1N1＝x，故MN2＝(x)2＋(2－4x)2＝18＋，所以当x＝时，MN2取最小值，则MN的最小值为.第3课时　平面与平面平行
学习 目标 1．理解并掌握平面与平面平行的判定定理，并能运用定理证明平面与平面平行． 2．理解并掌握平面与平面平行的性质定理，能在线线平行、线面平行与面面平行之间相互转化．
新知初探基础落实
问题1：观察教室的前后墙面、左右墙面、墙面与地面之间的位置关系是怎样的？
一、 概念生成
如图(1)，a和b分别是数学课本的两条对边所在直线，它们都与桌面平行(转动一下课本，仍可保持a，b都与桌面平行)，直观感受一下，课本与桌面平行吗？
如图(2)，c和d分别是三角尺相邻两边所在直线，它们都与桌面平行，直观感受一下，三角尺与桌面平行吗？
图(1)
图(2)
问题2：上述实验中的a，b有什么样的位置关系？c，d有什么样的位置关系？两个实验说明了什么问题？
a与b平行，c与d相交．通过实验说明：(1)如果一个平面内有两条平行直线与另一个平面平行，这两个平面不一定平行；(2)如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行．
请同学阅读课本P139—P142，完成下列填空．
二、 概念表述
1．平面与平面的位置关系
位置关系 图形表示 符号表示 公共点
两平面 平行 __α∥β__ 没有 公共点
两平面 相交 __α∩β＝a__ 有一条 公共直线
2．平面与平面平行的判定定理
文字语言 图形语言 符号语言
线面平行 面面平行　 如果一个平面内的__两条相交直线__与另一个平面平行，那么这两个平面平行 β∥α
3．平面与平面平行的性质定理
文字语言 图形语言 符号语言
面面平行 线线平行　 两个平面平行，如果__另一个平面__与这两个平面相交，那么两条交线平行 a∥b
三、 概念辨析(判断正误：正确的画“√”，错误的画“×”)
(1) 若一个平面内有无数条直线都与另一个平面平行，则这两个平面平行．(　×　)
(2) 若一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面，则这两个平面平行．(　√　)
(3) 若平面α内不共线的三点A，B，C到平面β的距离相等，则α与β平行．(　×　)
(4) 若两个平面都平行于同一条直线，则这两个平面平行．(　×　)
典例精讲能力初成
探究1　面面平行判定定理的理解
例1　已知α，β是两个不重合的平面，则下列说法正确的是(　C　)
A．若 α，β都平行于直线l，m，则α∥β
B．若直线a∥α，a∥β，且直线a不在α内，也不在β内，则α∥β
C．若α，β没有公共点，则α∥β
D．若直线a在α内，直线b在β内，且a∥β，b∥α，则α∥β
【解析】A中，当α∩β＝a，l∥m∥a时，不能推出α∥β，故A错误；B中，当直线平行于两平面交线时，符合命题叙述，但平面α与平面β相交，故B错误；C中，α，β没有公共点，根据平面与平面平行的定义，故C正确；D中，当两平面相交，直线a，直线b都跟交线平行且符合命题叙述时，得不到平面α与平面β平行，故D错误．
平面与平面平行的判定定理
(1) 前提1：平面α内存在两条相交直线(相交是关键)；(2) 前提2：两条直线都与平面β平行(即两个线面平行)；(3) 结论：平面α∥平面β．
变式　已知a，b，c为三条不重合的直线，α，β，γ为三个不重合的平面，现给出四个命题：
① α∥β；　② α∥β；
③ a∥α；　④ a∥β．
其中真命题是(　C　)
A．①②③　 B．①④
C．②　 D．①③④
【解析】①α与β有可能相交；②正确；③还可能a α；④还可能a β．
探究2　平面与平面平行的证明
例2　(课本P140例4)已知正方体ABCD A1B1C1D1(如图)，求证：平面AB1D1∥平面BC1D．
【解答】因为ABCD A1B1C1D1为正方体，所以D1C1綉A1B1，AB綉A1B1，所以D1C1綉AB，所以四边形D1C1BA为平行四边形，所以D1A∥C1B．又D1A 平面BC1D，C1B 平面BC1D，所以D1A∥平面BC1D．同理D1B1∥平面BC1D．又D1A∩D1B1＝D1，所以平面AB1D1∥平面BC1D．
平面与平面平行的判定方法
(1) 定义法：两个平面没有公共点．
(2) 判定定理：一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面．
(3) 转化为线线平行：平面α内的两条相交直线与平面β内的两条相交直线分别平行．
(4) 利用平行平面的传递性：若α∥β，β∥γ，则α∥γ．
变式　如图，在多面体ABCDEF中，底面ABCD是平行四边形，G和H分别是CE和CF的中点，求证：平面BDGH∥平面AEF．
【解答】在△CEF中，因为G，H分别是CE，CF的中点，所以GH∥EF．又因为GH 平面AEF，EF 平面AEF，所以GH∥平面AEF．如图，设AC∩BD＝O，连接OH．在△ACF中，因为OA＝OC，CH＝HF，所以OH∥AF．又因为OH 平面AEF，AF 平面AEF，所以OH∥平面AEF．又因为OH∩GH＝H，OH，GH 平面BDGH，所以平面BDGH∥平面AEF．
探究3　面面平行的性质定理及应用
例3　(课本P142例5)求证：夹在两个平行平面间的平行线段相等．
如图，α∥β，AB∥CD，且A∈α，C∈α，B∈β，D∈β，求证：AB＝CD．
【解答】过平行线AB，CD作平面γ，与平面α和β分别相交于AC和BD．因为α∥β，所以BD∥AC．又AB∥CD，所以四边形ABDC是平行四边形，所以AB＝CD．
(1) 利用面面平行的性质定理证明线线平行的关键是把要证明的直线看作是平面的交线，往往需要有三个平面，即有两平面平行，再构造第三个面与两平行平面都相交．
(2) 面面平行 线线平行，体现了转化思想与判定定理的交替使用，可实现线线、线面及面面平行的相互转化．
变式　如图，平面四边形ABCD的四个顶点A，B，C，D均在平行四边形A'B'C'D'外，且AA'，BB'，CC'，DD'互相平行，求证：四边形ABCD是平行四边形．
【解答】因为四边形A'B'C'D'是平行四边形，所以A'D'∥B'C'．因为A'D' 平面BB'C'C，B'C' 平面BB'C'C，所以A'D'∥平面BB'C'C．同理AA'∥平面BB'C'C．因为A'D' 平面AA'D'D，AA' 平面AA'D'D，且A'D'∩AA'＝A'，所以平面AA'D'D∥平面BB'C'C．又因为平面ABCD∩平面AA'D'D＝AD，平面ABCD∩平面BB'C'C＝BC，所以AD∥BC，同理可证AB∥CD，所以四边形ABCD是平行四边形．
探究4　平面与平面平行的探究性问题
例4　如图，在三棱柱ABC A1B1C1中，E，F分别为线段AC1，A1C1的中点．
(1) 求证：EF∥平面BCC1B1；
【解答】因为E，F分别为线段AC1，A1C1的中点，所以EF∥A1A．因为B1B∥A1A，所以EF∥B1B．又因为EF 平面BCC1B1，B1B 平面BCC1B1，所以EF∥平面BCC1B1．
(2) 在线段BC1上是否存在一点G，使平面EFG∥平面ABB1A1？请说明理由．
【解答】如图，取BC1的中点G，连接GE，GF．因为E为AC1的中点，所以GE∥AB．因为GE 平面ABB1A1，AB 平面ABB1A1，所以GE∥平面ABB1A1，同理可得，EF∥平面ABB1A1．又因为EF∩GE＝E，GE，EF 平面EFG，所以平面EFG∥平面ABB1A1．故在线段BC1上存在一点G，且G为BC1的中点，使平面EFG∥平面ABB1A1．
三种平行关系的转化
要灵活运用线线平行、线面平行和面面平行的相互联系、相互转化．在解决立体几何中的平行问题时，一般都要用到平行关系的转化．转化思想是解决这类问题的最有效的方法．
随堂内化及时评价
1．已知AB，CD是夹在两个平行平面间的线段，且AB∥CD，则AB与CD长度的关系是(　A　)
A．AB＝CD　 B．AB＞CD
C．AB＜CD　 D．不确定
2．设α，β是两个不同的平面，m是直线，且m α，m∥β，若使α∥β成立，则需增加的条件是(　C　)
A．n是直线且n α，n∥β
B．n，m是异面直线且n∥β
C．n，m是相交直线且n α，n∥β
D．n，m是平行直线且n α，n∥β
【解析】要使α∥β成立，需要其中一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，当m，n是相交直线，且n α，n∥β，m α，m∥β时，由平面与平面平行的判定定理可得α∥β．
3．如图，在三棱锥P ABC中，D，E，F分别是棱PA，PB，PC的中点，则平面DEF与平面ABC的位置关系是__平行__．
【解析】在△PAB中，因为D，E分别是PA，PB的中点，所以DE∥AB．又DE 平面ABC，AB 平面ABC，所以DE∥平面ABC．同理可证EF∥平面ABC．又DE∩EF＝E，DE，EF 平面DEF，所以平面DEF∥平面ABC．
4．如图所示是长方体被一平面截得的几何体，截面为四边形EFGH，则四边形EFGH的形状为__平行四边形__．
【解析】因为平面ABFE∥平面DCGH，平面EFGH∩平面ABFE＝EF，平面EFGH∩平面DCGH＝HG，所以EF∥HG．同理，EH∥FG，所以四边形EFGH是平行四边形．
5．(课本P143练习4)如图，平面α∥β，γ∩α＝a，γ∩β＝b，c β，c∥b．判断c与a，c与α的位置关系，并说明理由．
【解答】c∥a，c∥α．理由如下：因为平面α∥β，γ∩α＝a，γ∩β＝b，所以a∥b．又c∥b，所以c∥a．又a α，c α，所以c∥α．

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