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第八章
8.6　空间直线、平面的垂直
立体几何初步
第1课时　直线与直线垂直
学习 目标 1．理解异面直线所成的角和异面直线互相垂直的概念．
2．掌握求任意两条异面直线所成的角的方法，会证明两异面直线互相垂直．
新知初探·基础落实
如图所示，在正方体ABCD A1B1C1D1中，AB与B1C1异面，AB与B1D1也异面．
(1) 直观上，你认为这两种异面有什么区别？
(2) 如果要利用角的大小来区分这两种异面，你认为应该怎样做？
一、 概念生成
问题：我们知道两条相交直线所成角的大小可以度量，那么两条异面直线所成角的大小该如何定义呢？
可以利用等角定理，平移为两相交直线所成的角．
请同学阅读课本P146—P148，完成下列填空．
二、 概念表述
1．异面直线所成的角
定 义 前提 两条异面直线a，b
作法 经过空间任一点O分别作直线________________
结论 我们把_____________________叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)
范围 记异面直线a与b所成的角为α，则________________
a'∥a，b'∥b
直线a'与b'所成的角
0°＜α≤90°
注意：(1) 任意性与无关性：在定义中，空间一点O是任取的，根据等角定理，可以断定异面直线所成的角与a'，b'所成的锐角(或直角)相等，而与点O的位置无关．
(2) 转化求角：异面直线所成的角是刻画两条异面直线相对位置的一个重要的量，通过转化为相交直线所成的角，将空间角转化为平面角来计算．
(3) 异面直线所成的角的大小不能是0°，若两条直线所成的角是0°，则这两条直线平行，不可能异面．
2．两条异面直线垂直的定义
如果两条异面直线所成的角是________，那么我们就说这两条异面直线互相垂直．直线a与直线b垂直，记作_________．
直角
a⊥b
三、 概念辨析(判断正误：正确的画“√”，错误的画“×”)
(1) 异面直线a与b所成的角可以是0°． (　　)
(2) 异面直线所成的角的大小与O点的位置有关，即O点位置不同时，角的大小也不同． (　　)
(3) 若∠AOB＝110°，则分别和边OA，OB平行的两条异面直线所成的角为110°． (　　)
(4) 异面直线所成的角的大小与O点的位置无关，即O点位置不同时，角的大小相等． (　　)
×
×
×
√
典例精讲·能力初成
探究
1
异面直线所成的角
视角1　异面直线所成的角的概念理解
　　　　　已知异面直线a，b所成的角为70°，过空间一点P作直线l，使l与a，b所成的角均为35°，则这样的直线的条数为 (　　)
A．1　 B．2
C．3　 D．4
1－1
【解析】
　　　　如图，过点P作直线a'，b'，使a'∥a，b'∥b，则a'与b'的夹角为70°，所以与a'，b'的夹角相等的直线的射影落在70°或110°的角平分线上．70°的角平分线与a'，b'的夹角为35°，则其他射影落在角平分线上的直线与a'，b'的夹角都大于35°；110°的角平分线与a'，b'的夹角为55°，则其他射影落在角平分线上的直线与a'，b'的夹角都大于55°．所以只有1条直线l与a'，b'所成的角均为35°，也即只有1条直线l与a，b所成的角均为35°．
【答案】A
视角2　求异面直线所成的角
　　　　　(课本P147例1)如图，已知正方体ABCD A'B'C'D'．
(1) 哪些棱所在的直线与直线AA'垂直？
1－2
【解答】
　　　　棱AB，BC，CD，DA，A'B'，B'C'，C'D'，D'A'所在直线分别与直线AA'垂直．
　　　　　(课本P147例1)如图，已知正方体ABCD A'B'C'D'．
(2) 求直线BA'与CC'所成的角的大小．
1－2
【解答】
　　　　因为ABCD A'B'C'D'是正方体，所以BB'∥CC'，因此∠A'BB'为直线BA'与CC'所成的角．又因为∠A'BB'＝45°，所以直线BA'与CC'所成的角等于45°．
　　　　　(课本P147例1)如图，已知正方体ABCD A'B'C'D'．
(3) 求直线BA'与AC所成的角的大小．
1－2
【解答】
　　　　如图，连接A'C'．因为ABCD A'B'C'D'是正方体，所以AA'綉CC'．从而四边形AA'C'C是平行四边形，所以AC∥A'C'．于是∠BA'C'为异面直线BA'与AC所成的角．连接BC'，易知△A'BC'是等边三角形，所以∠BA'C'＝60°．从而异面直线BA'与AC所成的角等于60°．
求两异面直线所成的角的步骤
(1) 作：根据异面直线的定义，通过作平行线或平移平行线，作出异面直线所成的角．
(2) 证：证明作出的角就是要求的角．
(3) 计算：利用所给条件，求角的大小，常利用解三角形得出，注意异面直线所成的角的取值范围．
可用“一作、二证、三计算”来概括，同时注意异面直线所成的角的范围是
(4) 结论：若求出的角是锐角或直角，则它就是所求异面直线所成的角；若求出的角是钝角，则它的补角就是所求异面直线所成的角．
变式　如图，在正方体ABCD EFGH中，O为侧面ADHE的中心．
(1) 求BE与CG所成的角；
【解答】
　　　　因为CG∥FB，所以∠EBF是异面直线BE与CG所成的角．在Rt△EFB中，EF＝FB，所以∠EBF＝45°，所以BE与CG所成的角为45°．
变式　如图，在正方体ABCD EFGH中，O为侧面ADHE的中心．
(2) 求FO与BD所成的角．
【解答】
　　　　如图，连接AH，AF，FH．因为FB∥AE，FB＝AE，AE∥HD，AE＝HD，所以FB＝HD，FB∥HD，所以四边形FBDH是平行四边形，所以BD∥FH，所以∠HFO(或其补角)是FO与BD所成的角．易得△AFH是等边三角形，又O是AH的中点，所以∠HFO＝30°，所以FO与BD所成的角为30°．
探究
2
直线与直线垂直的判定与证明
　　　(课本P147例2)如图，在正方体ABCD A1B1C1D1中，O1为底面A1B1C1D1的中心．求证：AO1⊥BD．
2
【解答】
　　　　如图，连接B1D1．因为ABCD A1B1C1D1是正方体，所以BB1綉DD1，所以四边形BB1D1D是平行四边形，所以B1D1∥BD，所以直线AO1与B1D1所成的角即为直线AO1与BD所成的角．连接AB1，AD1，易证AB1＝AD1．又O1为底面A1B1C1D1的中心，所以O1为B1D1的中点，所以AO1⊥B1D1，所以AO1⊥BD．
证明异面直线垂直的步骤
(1) 作出两异面直线所成的角；
(2) 求出两异面直线所成的角的余弦值或在特殊三角形中说明垂直关系；
(3) 得出结论．
变式　如图，在正三棱柱ABC A'B'C'中，E为棱AC的中点，AB＝BB'＝2．求证：BE⊥AC'．
【解答】
　　　　如图，取CC'的中点F，连接EF，BF．因为E为AC的中点，F为CC'的中点，所以EF∥AC'，所以BE和EF所成的角∠BEF即为异面直线BE与AC'所成的角，且EF＝AC'．在正三
棱柱ABC A'B'C'中，AC'＝2，所以EF＝．在等边三角形ABC中，BE＝＝．在Rt△BCF中，BF＝＝．在△BEF中，BE2＋EF2＝BF2，所以BE⊥EF，所以BE⊥AC'．
探究
3
异面直线所成的角的应用
　　　如图，在四面体ABCD中，E，F分别是AB，CD的中点．若BD与AC所成的角为60°，且BD＝AC＝2，求EF的长度．
3
【解答】
　　　　如图，取BC的中点M，连接ME，MF，则ME∥AC，MF∥BD，所以ME与MF所成的锐角(或直角)即为AC与BD所成的角，而AC与BD所成的角为60°，所以∠EMF＝60°或∠EMF＝120°．当∠EMF＝60°时，EF＝ME＝MF＝BD＝1；当∠EMF＝120°时，取EF的中点N，则MN⊥EF，所以EF＝2EN＝2EMsin∠EMN＝2×1×＝．故EF的长度为1或．
利用异面直线所成的角求线段长度，可先通过作平行线或平移平行线，作出异面直线夹角的相关角，然后再解三角形即可．
变式　如图，在直三棱柱ABC A1B1C1中，底面是边长为2的等边三角形，异面直线AB1与A1C1所成角的余弦值为，则该三棱柱的高为_____．
【解析】
　　　　如图，连接B1C．在直三棱柱ABC A1B1C1中，AC∥A1C1，则∠B1AC(或其补角)是异面直线AB1与A1C1所成的角，所以cos∠B1AC＝．设三棱柱的高为h，在Rt△ABB1和Rt△CBB1中，AB1＝CB1＝，所以△B1AC是等腰三角形，所以cos∠B1AC＝＝＝，所以h＝2，所以该三棱柱的高为2．
2
随堂内化·及时评价
1．已知三条直线l1，l2，l3满足l1∥l2且l2⊥l3，则l1与l3 (　　)
A．平行　 B．垂直
C．共面　 D．异面
B
2．已知空间三条直线l，m，n，若l与m垂直，l与n垂直，则 (　　)
A．m与n异面 B．m与n相交
C．m与n平行 D．m与n平行、相交、异面均有可能
【解析】
　　　　因为m⊥l，n⊥l，所以m与n既可以相交，也可以异面，还可以平行，如图．
D
3．(多选)如图，在正四棱柱ABCD A1B1C1D1中，E，F分别是AB1，BC1的中点，则下列结论中成立的是 (　　　)
A．EF与BB1垂直 B．EF与BD垂直
C．EF与CD异面 D．EF与A1C1异面
【解析】
　　　　如图，连接A1B，易知E为A1B的中点，由三角形中位线定理可得EF∥A1C1，所以EF，A1C1确定一个平面，D错误；显然EF与CD异面，BB1⊥AC，所以EF⊥BB1，故A，C正确；连接B1D1，则A1C1⊥B1D1，易知BD∥B1D1，所以A1C1⊥BD，又EF∥A1C1，所以EF⊥BD，B正确．
ABC
4．在如图所示的正方体ABCD A1B1C1D1中，异面直线A1B与B1C所成的角的大小为 (　　)
A．30°　 B．45°
C．60°　 D．90°
【解析】
　　　　如图，连接A1D，BD．因为在正方体中，A1D∥B1C，所以∠BA1D或其补角就是A1B与B1C所成的角．在△BA1D中，A1D＝A1B＝BD，则△A1BD为正三角形，所以∠BA1D＝60°．　
C
5．(课本P148练习3)如图，在长方体ABCD A'B'C'D'中，AB＝AD＝2，AA'＝2．求：
(1) 直线BC和A'C'所成的角的大小；
【解答】
　　　　如图，连接A'C'．因为BC∥B'C'，所以异面直线BC和A'C'所成角即为直线B'C'和A'C'所成角，即∠A'C'B'．在Rt△A'B'C'中，A'B'＝AB＝2，B'C'＝AD＝2，所以tan∠A'C'B'＝1，所以∠A'C'B'＝45°，即异面直线BC和A'C'所成角为45°．
5．(课本P148练习3)如图，在长方体ABCD A'B'C'D'中，AB＝AD＝2，AA'＝2．求：
(2) 直线AA'和BC'所成的角的大小．
【解答】
　　　　如图，连接BC'．因为AA'∥BB'，所以异面直线AA'和BC'所成角即为直线BB'和BC'所成角，即∠B'BC'．在Rt△BB'C'中，B'C'＝AD＝2，BB'＝AA'＝2，所以tan∠B'BC'＝，所以∠B'BC'＝60°，即异面直线AA'和BC'所成角为60°．8.6　空间直线、平面的垂直
第1课时　直线与直线垂直
一、 单项选择题
1．在正方体ABCD A1B1C1D1中，M，N分别为棱AD，D1D的中点，则异面直线MN与AC所成的角的大小为(　　)
A．30° B．60°
C．75° D．90°
2．如图，在直三棱柱ABC A1B1C1中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，AB＝BB1，则异面直线A1B与B1C1所成的角的余弦值为(　　)
(第2题)
A． B．
C． D．
3．如图，在正四面体ABCD中，E是线段AD上靠近点D的四等分点，则异面直线EC与BD所成角的余弦值为(　　)
(第3题)
A． B．
C． D．
4．若两异面直线a，b所成的角为70°，过空间内一点P作与直线a，b所成的角均为70°的直线l，则所作直线l的条数为(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
二、 多项选择题
5．在正四面体ABCD中，E，F分别为AB，CD的中点，则下列结论正确的是(　　)
A．EF⊥AB
B．EF⊥CD
C．EF与BD所成的角为
D．EF与AC所成的角为
6．如图所示是正四面体的平面展开图，G，H，M，N分别为DE，BE，EF，EC的中点，在这个正四面体中，下列结论正确的是(　　)
(第6题)
A．GH与EF平行
B．BD与MN为异面直线
C．GH与MN成60°角
D．DE与MN垂直
三、 填空题
7．如图，S为等边三角形ABC所在平面外一点，且SA＝SB＝SC＝AB，E，F分别为SC，AB的中点，则异面直线EF与AC所成的角的正切值为________．
(第7题)
8．如图为正方体ABCD A1B1C1D1切去一个三棱锥B1 A1BC1后得到的几何体，若点O为底面ABCD的中心，则直线D1O与平面A1BC1的位置关系是________，D1O与A1B的夹角为________．
(第8题)
四、 解答题
9．如图，已知正四棱锥P ABCD的所有棱长均相等，E是PC的中点，求异面直线BE与PA所成的角的余弦值.
(第9题)
10．如图，在正方体ABCD A1B1C1D1中，O是AC的中点.
(1) 求证：AD1∥平面DOC1；
(2) 求异面直线AD1和OC1所成的角的大小.
(第10题)
11．(多选)如图，在正方体ABCD A1B1C1D1中，P为四边形BCC1B1内(含边界)的一个动点，且BD1⊥AP，则(　　)
(第11题)
A．AP与DC1一定是异面直线
B．三棱锥A1 ADP的体积为定值
C．AP∥平面A1DC1
D．异面直线AP与A1D所成角的范围为
12．在我国古代数学名著《九章算术·商功》中刘徽注解“斜解立方得两堑堵”.如图，在正方体ABCD A1B1C1D1中“邪解”得到一堑堵ABCDC1B1，E为C1D的中点，则异面直线AB1与BE所成的角为________．
(第12题)
13．在四棱柱ABCD A1B1C1D1中，侧面都是矩形，底面ABCD是菱形且AB＝BC＝2，∠ABC＝120°，若异面直线A1B和AD1所成的角为90°，则AA1＝________．
第1课时　直线与直线垂直
基础打底·熟练掌握
1．B　【解析】 如图，连接AD1.由M，N分别为棱AD，D1D的中点，得MN∥AD1，所以∠D1AC即为异面直线MN与AC所成的角.连接D1C，则△AD1C为等边三角形，可得∠D1AC＝60°.所以异面直线MN与AC所成的角的大小为60°.
(第1题)
(第2题)
2．C　【解析】 如图，连接A1C.在直三棱柱ABC A1B1C1中，BC∥B1C1，所以∠A1BC就是异面直线A1B与B1C1所成的角.因为A1B＝＝＝5，A1C＝＝＝，所以cos∠A1BC＝＝＝.
3．A　【解析】 如图，过点E作直线BD的平行线，交AB于点F，连接CF，则∠CEF为异面直线EC与BD所成角或其补角，不妨设AB＝4，易得EF＝3，CF＝CE＝＝.在△CEF中，由余弦定理得cos∠CEF＝＝，所以异面直线EC与BD所成角的余弦值为.
(第3题)
(第4题)
4．D　【解析】 在空间取一点M，经过点M分别作a'∥a，b'∥b，设直线a'，b'确定平面α，当直线MP满足它的投影MQ在a'，b'所成角的平分线上时，MP与a'所成的角等于MP与b'所成的角.因为直线a，b所成的角为70°，所以a'，b'所成的角等于70°，所以当MP的投影MQ在a'，b'所成锐角的平分线上时，MP与a'，b'所成的角θ的范围是35°≤θ<90°，此时过点M有两条直线与a'，b'所成的角是70°.当MP的投影MQ在a'，b'所成钝角的平分线上时，MP与a'，b'所成的角θ的范围是55°≤θ<90°，此时过点M有两条直线与a'，b'所成的角是70°.综上所述，过空间任意一点M可作与a，b所成的角都是70°的直线有4条.
5．ABD　【解析】 如图，将正四面体ABCD放入正方体中，则正四面体的每一条棱都是正方体的面对角线，E，F分别是上、下底面的中心，所以EF与正方体的侧棱平行，所以EF⊥AB，EF⊥CD，且EF与AC，EF与BD所成的角都是.
(第5题)
(第6题)
6．BCD　【解析】 如图，把平面展开图还原成正四面体，知GH与EF为异面直线，A不正确；BD与MN为异面直线，B正确；GH∥AD，MN∥AF，而∠DAF＝60°，所以∠GHM＝60°，所以GH与MN成60°角，C正确；连接AG，FG，AG⊥DE，FG⊥DE，所以DE⊥平面AFG，所以DE⊥AF，又MN∥AF，所以DE与MN垂直，D正确.
7．1　【解析】 如图，取AS的中点G，连接GE，GF，则GE∥AC，GF∥SB，则异面直线EF与AC所成的角为∠GEF(或其补角).设AB＝2，则GE＝1，GF＝1.取AC的中点M，连接MS，MB.因为SA＝SB＝SC＝AB，△ABC为等边三角形，所以SM⊥AC，BM⊥AC.又SM∩BM＝M，SM，BM 平面BMS，所以AC⊥平面BMS.又BS 平面BMS，所以AC⊥BS，从而EG⊥GF，可知∠GEF＝45°，故异面直线EF与AC所成的角的正切值等于1.
(第7题)
(第8题)
8．平行　30°　【解析】 如图，将其补成正方体ABCD A1B1C1D1，设B1D1和A1C1交于点O1，连接O1B，依题意可知D1O1∥OB，且D1O1＝OB，即四边形D1OBO1为平行四边形，则D1O∥O1B.因为O1B 平面A1BC1，D1O 平面A1BC1，所以直线D1O∥平面A1BC1.∠A1BO1为D1O与A1B的夹角，因为A1B＝BC1＝A1C1，即△A1BC1为等边三角形，所以∠A1BC1＝60°，故∠A1BO1＝30°.
(第9题)
9．【解答】 如图，连接AC，BD.设AC∩BD＝O，则O为AC的中点，连接OE.因为E是PC的中点，所以OE是△PAC的中位线，则OE∥PA，则∠OEB即为异面直线BE与PA所成的角.设正四棱锥的棱长为1，则OE＝PA＝，OB＝BD＝，BE＝，则cos∠OEB＝＝＝.
10．【解答】 (1) 如图，连接D1C交DC1于点O1，连接OO1.因为O，O1分别是AC和D1C的中点，所以OO1∥AD1.又OO1 平面DOC1，AD1 平面DOC1，所以AD1∥平面DOC1.
(第10题)
(2) 由(1)知，OO1∥AD1，所以∠O1OC1为异面直线AD1和OC1所成的角.设正方体ABCD A1B1C1D1的棱长为2，则O1C1＝O1O＝，OC1＝＝，所以cos∠O1OC1＝＝，所以∠O1OC1＝，即异面直线AD1和OC1所成角的大小为.
能力进阶·融会贯通
11．BCD　【解析】 对于A，如图(1)，连接AC，AB1，B1C，BD，因为四边形ABCD为正方形，则AC⊥BD，因为DD1⊥平面ABCD，AC 平面ABCD，所以AC⊥DD1，因为BD∩DD1＝D，BD，DD1 平面BDD1，所以AC⊥平面BDD1，因为BD1 平面BDD1，所以AC⊥BD1，同理可得BD1⊥AB1，因为AC∩AB1＝A，AC，AB1 平面AB1C，所以BD1⊥平面AB1C，因为P为四边形BCC1B1内(含边界)的一个动点，故当P∈B1C时，AP 平面AB1C，则AP⊥BD1，故点P的轨迹为线段B1C，当点P与点B1重合时，因为PC1∥AD且PC1＝AD，所以四边形ADC1P为平行四边形，此时AP∥DC1，A错误；对于B，连接A1D，PA，PD，PA1，在正方体ABCD A1B1C1D1中，平面BCC1B1∥平面ADD1A1，因为P∈平面BCC1B1，所以点P到平面ADD1A1的距离为定值，又因为△AA1D的面积为定值，故三棱锥P AA1D的体积为定值，即三棱锥A1 ADP的体积为定值，B正确；对于C，连接A1C1，因为AA1∥CC1且AA1＝CC1，故四边形AA1C1C为平行四边形，所以AC∥A1C1，因为AC 平面A1DC1，A1C1 平面A1DC1，所以AC∥平面A1DC1，同理可得AB1∥平面A1DC1，因为AC∩AB1＝A，AC，AB1 平面AB1C，所以平面AB1C∥平面A1DC1，因为AP 平面AB1C，所以AP∥平面A1DC1，C正确；对于D，因为B1C∥A1D，所以异面直线AP与A1D所成角等于直线AP与B1C所成的角，易知△AB1C为等边三角形，如图(2)所示，当P为B1C的中点时，AP⊥B1C，此时，直线AP与B1C所成的角取最大值，当点P与点B1或点C重合时，直线AP与B1C所成的角取最小值，因此，异面直线AP与A1D所成角的范围为，D正确.
图(1)
图(2)
(第11题)
12．90°　【解析】 因为在正方体ABCD A1B1C1D1中，AB1∥DC1，所以异面直线AB1与BE所成的角等于DC1与BE所成的角.又因为△BDC1为正三角形，且E为DC1的中点，所以BE⊥DC1，即DC1与BE所成的角为90°，故异面直线AB1与BE所成的角为90°.
13．　【解析】
(第13题)
如图，连接CD1，AC.由题意得四棱柱ABCD A1B1C1D1中，A1D1∥BC，A1D1＝BC，所以四边形A1BCD1是平行四边形，所以A1B∥CD1，所以∠AD1C(或其补角)为A1B和AD1所成的角.因为异面直线A1B和AD1所成的角为90°，所以∠AD1C＝90°.因为四棱柱ABCD A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，所以△ACD1是等腰直角三角形，所以AD1＝AC.因为底面ABCD是菱形且AB＝BC＝2，∠ABC＝120°，所以AC＝2×sin 60°×2＝6，所以AD1＝AC＝3，所以AA1＝＝＝.8.6　空间直线、平面的垂直
第1课时　直线与直线垂直
学习 目标 1．理解异面直线所成的角和异面直线互相垂直的概念． 2．掌握求任意两条异面直线所成的角的方法，会证明两异面直线互相垂直．
新知初探基础落实
如图所示，在正方体ABCD A1B1C1D1中，AB与B1C1异面，AB与B1D1也异面．
(1) 直观上，你认为这两种异面有什么区别？
(2) 如果要利用角的大小来区分这两种异面，你认为应该怎样做？
一、 概念生成
问题：我们知道两条相交直线所成角的大小可以度量，那么两条异面直线所成角的大小该如何定义呢？
可以利用等角定理，平移为两相交直线所成的角．
请同学阅读课本P146—P148，完成下列填空．
二、 概念表述
1．异面直线所成的角
定 义 前提 两条异面直线a，b
作法 经过空间任一点O分别作直线__a'∥a，b'∥b__
结论 我们把__直线a'与b'所成的角__叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)
范围 记异面直线a与b所成的角为α，则__0°＜α≤90°__
注意：(1) 任意性与无关性：在定义中，空间一点O是任取的，根据等角定理，可以断定异面直线所成的角与a'，b'所成的锐角(或直角)相等，而与点O的位置无关．
(2) 转化求角：异面直线所成的角是刻画两条异面直线相对位置的一个重要的量，通过转化为相交直线所成的角，将空间角转化为平面角来计算．
(3) 异面直线所成的角的大小不能是0°，若两条直线所成的角是0°，则这两条直线平行，不可能异面．
2．两条异面直线垂直的定义
如果两条异面直线所成的角是__直角__，那么我们就说这两条异面直线互相垂直．直线a与直线b垂直，记作__a⊥b__．
三、 概念辨析(判断正误：正确的画“√”，错误的画“×”)
(1) 异面直线a与b所成的角可以是0°．(　×　)
(2) 异面直线所成的角的大小与O点的位置有关，即O点位置不同时，角的大小也不同．(　×　)
(3) 若∠AOB＝110°，则分别和边OA，OB平行的两条异面直线所成的角为110°．(　×　)
(4) 异面直线所成的角的大小与O点的位置无关，即O点位置不同时，角的大小相等．(　√　)
典例精讲能力初成
探究1　异面直线所成的角
视角1　异面直线所成的角的概念理解
例1 1　已知异面直线a，b所成的角为70°，过空间一点P作直线l，使l与a，b所成的角均为35°，则这样的直线的条数为(　A　)
A．1　 B．2
C．3　 D．4
【解析】如图，过点P作直线a'，b'，使a'∥a，b'∥b，则a'与b'的夹角为70°，所以与a'，b'的夹角相等的直线的射影落在70°或110°的角平分线上．70°的角平分线与a'，b'的夹角为35°，则其他射影落在角平分线上的直线与a'，b'的夹角都大于35°；110°的角平分线与a'，b'的夹角为55°，则其他射影落在角平分线上的直线与a'，b'的夹角都大于55°．所以只有1条直线l与a'，b'所成的角均为35°，也即只有1条直线l与a，b所成的角均为35°．
视角2　求异面直线所成的角
例1 2　(课本P147例1)如图，已知正方体ABCD A'B'C'D'．
(1) 哪些棱所在的直线与直线AA'垂直？
【解答】棱AB，BC，CD，DA，A'B'，B'C'，C'D'，D'A'所在直线分别与直线AA'垂直．
(2) 求直线BA'与CC'所成的角的大小．
【解答】因为ABCD A'B'C'D'是正方体，所以BB'∥CC'，因此∠A'BB'为直线BA'与CC'所成的角．又因为∠A'BB'＝45°，所以直线BA'与CC'所成的角等于45°．
(3) 求直线BA'与AC所成的角的大小．
【解答】如图，连接A'C'．因为ABCD A'B'C'D'是正方体，所以AA'綉CC'．从而四边形AA'C'C是平行四边形，所以AC∥A'C'．于是∠BA'C'为异面直线BA'与AC所成的角．连接BC'，易知△A'BC'是等边三角形，所以∠BA'C'＝60°．从而异面直线BA'与AC所成的角等于60°．
求两异面直线所成的角的步骤
(1) 作：根据异面直线的定义，通过作平行线或平移平行线，作出异面直线所成的角．
(2) 证：证明作出的角就是要求的角．
(3) 计算：利用所给条件，求角的大小，常利用解三角形得出，注意异面直线所成的角的取值范围．
可用“一作、二证、三计算”来概括，同时注意异面直线所成的角的范围是．
(4) 结论：若求出的角是锐角或直角，则它就是所求异面直线所成的角；若求出的角是钝角，则它的补角就是所求异面直线所成的角．
变式　如图，在正方体ABCD EFGH中，O为侧面ADHE的中心．
(1) 求BE与CG所成的角；
【解答】因为CG∥FB，所以∠EBF是异面直线BE与CG所成的角．在Rt△EFB中，EF＝FB，所以∠EBF＝45°，所以BE与CG所成的角为45°．
(2) 求FO与BD所成的角．
【解答】如图，连接AH，AF，FH．因为FB∥AE，FB＝AE，AE∥HD，AE＝HD，所以FB＝HD，FB∥HD，所以四边形FBDH是平行四边形，所以BD∥FH，所以∠HFO(或其补角)是FO与BD所成的角．易得△AFH是等边三角形，又O是AH的中点，所以∠HFO＝30°，所以FO与BD所成的角为30°．
探究2　直线与直线垂直的判定与证明
例2　(课本P147例2)如图，在正方体ABCD A1B1C1D1中，O1为底面A1B1C1D1的中心．求证：AO1⊥BD．
【解答】如图，连接B1D1．因为ABCD A1B1C1D1是正方体，所以BB1綉DD1，所以四边形BB1D1D是平行四边形，所以B1D1∥BD，所以直线AO1与B1D1所成的角即为直线AO1与BD所成的角．连接AB1，AD1，易证AB1＝AD1．又O1为底面A1B1C1D1的中心，所以O1为B1D1的中点，所以AO1⊥B1D1，所以AO1⊥BD．
证明异面直线垂直的步骤
(1) 作出两异面直线所成的角；
(2) 求出两异面直线所成的角的余弦值或在特殊三角形中说明垂直关系；
(3) 得出结论．
变式　如图，在正三棱柱ABC A'B'C'中，E为棱AC的中点，AB＝BB'＝2．求证：BE⊥AC'．
【解答】如图，取CC'的中点F，连接EF，BF．因为E为AC的中点，F为CC'的中点，所以EF∥AC'，所以BE和EF所成的角∠BEF即为异面直线BE与AC'所成的角，且EF＝AC'．在正三棱柱ABC A'B'C'中，AC'＝2，所以EF＝．在等边三角形ABC中，BE＝＝．在Rt△BCF中，BF＝＝．在△BEF中，BE2＋EF2＝BF2，所以BE⊥EF，所以BE⊥AC'．
探究3　异面直线所成的角的应用
例3　如图，在四面体ABCD中，E，F分别是AB，CD的中点．若BD与AC所成的角为60°，且BD＝AC＝2，求EF的长度．
【解答】如图，取BC的中点M，连接ME，MF，则ME∥AC，MF∥BD，所以ME与MF所成的锐角(或直角)即为AC与BD所成的角，而AC与BD所成的角为60°，所以∠EMF＝60°或∠EMF＝120°．当∠EMF＝60°时，EF＝ME＝MF＝BD＝1；当∠EMF＝120°时，取EF的中点N，则MN⊥EF，所以EF＝2EN＝2EMsin∠EMN＝2×1×＝．故EF的长度为1或．
利用异面直线所成的角求线段长度，可先通过作平行线或平移平行线，作出异面直线夹角的相关角，然后再解三角形即可．
变式　如图，在直三棱柱ABC A1B1C1中，底面是边长为2的等边三角形，异面直线AB1与A1C1所成角的余弦值为，则该三棱柱的高为__2__．
【解析】如图，连接B1C．在直三棱柱ABC A1B1C1中，AC∥A1C1，则∠B1AC(或其补角)是异面直线AB1与A1C1所成的角，所以cos∠B1AC＝．设三棱柱的高为h，在Rt△ABB1和Rt△CBB1中，AB1＝CB1＝，所以△B1AC是等腰三角形，所以cos∠B1AC＝＝＝，所以h＝2，所以该三棱柱的高为2．
随堂内化及时评价
1．已知三条直线l1，l2，l3满足l1∥l2且l2⊥l3，则l1与l3(　B　)
A．平行　 B．垂直
C．共面　 D．异面
2．已知空间三条直线l，m，n，若l与m垂直，l与n垂直，则(　D　)
A．m与n异面
B．m与n相交
C．m与n平行
D．m与n平行、相交、异面均有可能
【解析】因为m⊥l，n⊥l，所以m与n既可以相交，也可以异面，还可以平行，如图．
3．(多选)如图，在正四棱柱ABCD A1B1C1D1中，E，F分别是AB1，BC1的中点，则下列结论中成立的是(　ABC　)
A．EF与BB1垂直 B．EF与BD垂直
C．EF与CD异面 D．EF与A1C1异面
【解析】如图，连接A1B，易知E为A1B的中点，由三角形中位线定理可得EF∥A1C1，所以EF，A1C1确定一个平面，D错误；显然EF与CD异面，BB1⊥AC，所以EF⊥BB1，故A，C正确；连接B1D1，则A1C1⊥B1D1，易知BD∥B1D1，所以A1C1⊥BD，又EF∥A1C1，所以EF⊥BD，B正确．
4．在如图所示的正方体ABCD A1B1C1D1中，异面直线A1B与B1C所成的角的大小为(　C　)
A．30°　 B．45°
C．60°　 D．90°
【解析】如图，连接A1D，BD．因为在正方体中，A1D∥B1C，所以∠BA1D或其补角就是A1B与B1C所成的角．在△BA1D中，A1D＝A1B＝BD，则△A1BD为正三角形，所以∠BA1D＝60°．　
5．(课本P148练习3)如图，在长方体ABCD A'B'C'D'中，AB＝AD＝2，AA'＝2．求：
(1) 直线BC和A'C'所成的角的大小；
【解答】如图，连接A'C'．因为BC∥B'C'，所以异面直线BC和A'C'所成角即为直线B'C'和A'C'所成角，即∠A'C'B'．在Rt△A'B'C'中，A'B'＝AB＝2，B'C'＝AD＝2，所以tan∠A'C'B'＝1，所以∠A'C'B'＝45°，即异面直线BC和A'C'所成角为45°．
(2) 直线AA'和BC'所成的角的大小．
【解答】如图，连接BC'．因为AA'∥BB'，所以异面直线AA'和BC'所成角即为直线BB'和BC'所成角，即∠B'BC'．在Rt△BB'C'中，B'C'＝AD＝2，BB'＝AA'＝2，所以tan∠B'BC'＝，所以∠B'BC'＝60°，即异面直线AA'和BC'所成角为60°．

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