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(共30张PPT)
第八章
8.6　空间直线、平面的垂直
立体几何初步
第2课时　直线与平面垂直的判定
学习 目标 1．了解直线与平面垂直的定义和直线与平面所成的角的概念．
2．理解直线与平面垂直的判定定理，并会用定理判定线面垂直，能解决简单的线面角问题．
新知初探·基础落实
观察学校操场上竖立的旗杆与地面的位置关系，可以发现，它给我们以直线与平面垂直的形象．在阳光下，还可以发现旗杆AB所在直线与地面内任意一条过点B的影子所在直线垂直．事实上，旗杆AB与地面内任意一条直线垂直(如图所示)，如何来判定直线与平面垂直呢？
一、 概念生成
1．直线与平面垂直的定义：如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l与平面α互相垂直，记作l⊥α．
注意：直线与平面垂直的画法：通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直．
2．(1) 思考：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．将这一结论推广到空间，过一点垂直于已知平面的直线有几条？为什么？
(2) 点到平面距离的定义：过点P作直线PO垂直于平面α，垂足为O，垂线段PO的长度就是点P到平面α的距离．
请同学阅读课本P149—P152，完成下列填空．
二、 概念表述
1．直线与平面垂直的定义及画法
定义 一般地，如果直线l与平面α内的____________直线都垂直，我们就说直线l与平面α互相垂直
记法 __________
有关 概念 直线l叫做平面α的________，平面α叫做直线l的________，它们唯一的公共点P叫做________
图示
画法 画直线与平面垂直时，通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直
任意一条
l⊥α
垂线
垂面
垂足
2．直线与平面垂直的判定定理
文字语言 如果一条直线与一个平面内的________________垂直，那么该直线与此平面垂直
符号语言 m α，n α，_______＝P，l⊥m，l⊥n l⊥α
图形语言
两条相交直线
m∩n
三、 概念辨析(判断正误：正确的画“√”，错误的画“×”)
(1) 如果α∩β＝m，m⊥n，n α，那么n⊥β． (　　)
(2) 过一点有且只有一个平面与已知直线垂直． (　　)
(3) 若直线l垂直于平面α，则l与平面α内的直线可能相交，可能异面，也可能平行． (　　)
(4) 如果l⊥m，m α，则l⊥α． (　　)
×
√
×
×
典例精讲·能力初成
探究
1
线面垂直概念的理解
　　　(多选)下列说法正确的是 (　 　)
A．若直线l与平面α内的一条直线垂直，则l⊥α
B．若直线l不垂直于平面α，则α内没有与l垂直的直线
C．若直线l不垂直于平面α，则α内也可以有无数条直线与l垂直
D．过一点和已知平面垂直的直线有且只有一条
1
【解析】
　　　　当l与α内的一条直线垂直时，不能保证l与平面α垂直，所以A不正确；当l与α不垂直时，l可能与α内的无数条平行直线垂直，所以B不正确，C正确；过一点有且只有一条直线垂直于已知平面，所以D正确．
CD
(1) 直线和平面垂直的定义是描述性定义，对直线的任意性要注意理解．实际上，“任何一条”与“所有”表达的含义相同．当直线与平面垂直时，该直线就垂直于这个平面内的任何直线．由此可知，如果一条直线与一个平面内的一条直线不垂直，那么这条直线就一定不与这个平面垂直．
(2) 由定义可得线面垂直 线线垂直，即若a⊥α，b α，则a⊥b．
变式　设l，m是两条不同的直线，α是一个平面，则下列说法正确的是 (　　)
A．若l⊥m，m α，则l⊥α B．若l⊥α，l∥m，则m⊥α
C．若l∥α，m α，则l∥m D．若l∥α，m∥α，则l∥m
【解析】
　　　　对于A，直线l⊥m，m并不能代表平面α内任意一条直线，所以不能判定线面垂直；对于B，因为l⊥α，则l垂直于α内任意一条直线，又l∥m，由异面直线所成角的定义知，m与平面α内任意一条直线所成的角都是90°，即m⊥α，故B正确；对于C，也有可能是l，m异面；对于D，l，m还可能相交或异面．
B
探究
2
直线与平面垂直的判定定理的应用
　　　(课本P151例3)求证：如果两条平行直线中的一条直线垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于这个平面．
已知：如图，a∥b，a⊥α，求证：b⊥α．
2
【解答】
　　　　如图，在平面α内取两条相交直线m，n．因为直线a⊥α，所以a⊥m，a⊥n．因为b∥a，所以b⊥m，b⊥n．又m α，n α，m，n是两条相交直线，所以b⊥α．
证明线面垂直的方法
(1) 线面垂直的定义．
(2) 线面垂直的判定定理．
(3) 如果两条平行直线中的一条直线垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于这个平面．
(4) 如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，那么它也垂直于另一个平面．
变式　如图，Rt△ABC所在平面外有一点S，且AS＝BS＝CS，D为斜边AC的中点．
(1) 求证：SD⊥平面ABC；
【解答】
　　　　因为AS＝CS，D为AC的中点，所以SD⊥AC．在Rt△ABC中，AD＝DC＝BD．又AS＝BS，所以△ADS≌△BDS，所以SD⊥BD．又AC∩BD＝D，AC，BD 平面ABC，所以SD⊥平面ABC．
变式　如图，Rt△ABC所在平面外有一点S，且AS＝BS＝CS，D为斜边AC的中点．
(2) 若AB＝BC，求证：BD⊥平面SAC．
【解答】
　　　　因为AB＝BC，D为AC的中点，所以BD⊥AC．由(1)知SD⊥BD，又AC∩SD＝D，AC，SD 平面SAC，所以BD⊥平面SAC．
探究
3
直线与平面所成的角
　　　(课本P152例4)如图，在正方体ABCD A1B1C1D1中，求直线A1B和平面A1DCB1所成的角．
3
【解答】
　　　　如图，连接BC1，BC1与B1C相交于点O，连接A1O．设正方体的棱长为a．因为A1B1⊥B1C1，A1B1⊥B1B，B1C1∩B1B＝B1，所以A1B1⊥平面BCC1B1，所以A1B1⊥BC1．又BC1⊥B1C，所以BC1⊥平面A1DCB1，所以A1O为斜线A1B在平面A1DCB1上的射影，∠BA1O为A1B和平面A1DCB1所成的角．在Rt△A1BO中，A1B＝
a，BO＝a，所以BO＝A1B，所以∠BA1O＝30°．所以直线A1B和平面A1DCB1所成的角为30°．
求直线与平面所成的角的步骤
(1) 作图：作(或找)出斜线在平面内的射影，将空间角(斜线与平面所成的角)转化为平面角(两条相交直线所成的锐角)，作射影要过斜线上一点作平面的垂线，再过垂足和斜足(有时可以是两垂足)作直线，注意斜线上点的选取以及垂足的位置要与问题中的已知量有关，才能便于计算．
(2) 证明：证明某平面角就是斜线与平面所成的角．
(3) 计算：通常在垂线段、斜线和射影所组成的直角三角形中计算．
变式　(1) 如图，在正方体ABCD A1B1C1D1中．
①求A1B与平面AA1D1D所成的角；
【解答】
　　　　①因为AB⊥平面AA1D1D，所以∠AA1B就是A1B与平面AA1D1D所成的角．在Rt△AA1B中，∠BAA1＝90°，AB＝AA1，所以∠AA1B＝45°，所以A1B与平面AA1D1D所成的角是45°．
变式　(1) 如图，在正方体ABCD A1B1C1D1中．
②求A1B与平面BB1D1D所成的角．
【解答】
②如图，连接A1C1交B1D1于点O，连接BO．因为A1O⊥B1D1，BB1⊥A1O，BB1∩B1D1＝B1，BB1，B1D1 平面BB1D1D，所以A1O⊥平面BB1D1D，所以∠A1BO就是A1B与平面BB1D1D所成的角．设正方体的棱长为1，则A1B＝，A1O＝
又因为∠A1OB＝90°，所以sin∠A1BO＝＝，又0°≤ ∠A1BO≤90°，所以∠A1BO＝30°，所以A1B与平面BB1D1D所成的角是30°．
变式　(2) 如图，在正三棱柱ABC A1B1C1中，AB＝AA1＝2，则AB1与平面AA1C1C所成角的余弦值为 (　　)
A．　 B．
C．　 D．
【解析】
　　　　如图，取A1C1的中点D，连接B1D，AD．在正三棱柱ABC A1B1C1中，△A1B1C1是正三角形，所以B1D⊥A1C1．因为CC1⊥底面A1B1C1，B1D 底面A1B1C1，所以CC1⊥B1D．又CC1∩A1C1＝C1，CC1，A1C1 平面AA1C1C，所以B1D⊥平面AA1C1C，所以∠B1AD为AB1与平面AA1C1C所成的角．因为B1D⊥平面AA1C1C，AD 平面AA1C1C，所以B1D⊥AD．由题意，AD＝＝，AB1＝＝2，在Rt△B1AD中，cos∠B1AD＝＝＝．
【答案】A
随堂内化·及时评价
1．在正方体ABCD A1B1C1D1的六个面中，与AA1垂直的平面的个数是 (　　)
A．1　 B．2
C．3　 D．6
【解析】
　　　　在正方体ABCD A1B1C1D1的六个面中，与AA1垂直的平面是平面ABCD和平面A1B1C1D1，共2个．
B
2．如图，在四棱锥P ABCD中，底面ABCD为矩形，若PA⊥平面ABCD，则图中共有_____个直角三角形．
【解析】
　　　　因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥AB，PA⊥AD，所以△PAB，△PAD都是直角三角形．因为BC⊥AB，BC⊥PA，所以BC⊥平面PAB，所以BC⊥PB，所以△PBC为直角三角形．同理得CD⊥PD，所以△PCD是直角三角形．
4
3．若过平面α外一点P的斜线段是过这点的垂线段的倍，则斜线段与平面α所成
的角的大小是______．
【解析】
　　　　如图，连接AB，由PB⊥α，知∠PAB是线段PA与平面α所成的角．在Rt△PAB中，因为PA＝PB，所以sin∠PAB＝＝，又∠PAB∈，所以∠PAB＝，即斜线段PA与平面α所成的角为．
4．如图，在三棱柱ABC A1B1C1中，已知AA1⊥平面ABC，BC＝CC1，当底面A1B1C1满足条件_____________时，有AB1⊥BC1．(注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情况)
【解析】
　　　　当底面A1B1C1满足条件A1C1⊥B1C1时，有AB1⊥BC1．理由如下：因为AA1⊥平面ABC，BC 平面ABC，所以AA1⊥BC．因为CC1∥AA1，所以BC⊥CC1．又BC＝CC1，所以□BCC1B1是正方形，所以BC1⊥B1C．易知AA1⊥A1C1，因为CC1∥AA1，所以CC1⊥A1C1．又A1C1⊥B1C1，CC1∩B1C1＝C1，CC1，B1C1 平面BCC1B1，所以A1C1⊥平面BCC1B1．因为AC∥A1C1，所以AC⊥平面BCC1B1．因为BC1 平面BCC1B1，所以BC1⊥AC．因为AC，B1C 平面ACB1，AC∩B1C＝C，所以BC1⊥平面ACB1．又AB1 平面ACB1，所以AB1⊥BC1．故当底面A1B1C1满足条件A1C1⊥B1C1时，有AB1⊥BC1．
【答案】A1C1⊥B1C1
5．(课本P152练习2)如图，四棱锥S ABCD的底面是正方形，SD⊥平面ABCD，求证：AC⊥平面SDB．
【解答】
　　　　因为底面ABCD是正方形，所以AC⊥BD．因为SD⊥平面ABCD，AC 平面ABCD，所以SD⊥AC．又因为BD∩SD＝D，BD 平面SDB，SD 平面SDB，所以AC⊥平面SDB．第2课时　直线与平面垂直的判定
一、 单项选择题
1．已知α，β，γ是三个不同的平面，l，m，n是三条不同的直线，且α∩β＝l，m，n γ，在下列条件中，能推出l⊥γ的是(　　)
A．n⊥l，m⊥l B．m⊥l，n⊥α
C．n⊥α，m⊥α D．m⊥α，n⊥β
2．如图，在棱长为a的正方体ABCD A1B1C1D1中，M为BC的中点，则直线D1M与平面ABCD所成的角的正切值为(　　)
(第2题)
A． B．
C． D．
3．若一个正四棱锥的侧棱和底面边长相等，则该正四棱锥的侧棱和底面所成的角为(　　)
A．30° B．45°
C．60° D．90°
4．如图，在直三棱柱ABC A1B1C1中，∠BAC＝90°，以下能使A1C⊥BC1的是(　　)
(第4题)
A．AB＝AC B．AA1＝AC
C．BB1＝AB D．CC1＝BC
二、 多项选择题
5．下列说法中正确的是(　　)
A．若直线l与平面α内的一条直线垂直，则l⊥α
B．若直线l与平面α内的两条直线垂直，则l⊥α
C．若直线l与平面α内的两条相交直线垂直，则l⊥α　
D．若直线l与平面α内的任意一条直线垂直，则l⊥α　
6．如图，在以下四个正方体中，直线AB与平面CDE垂直的有(　　)
A B
C D
三、 填空题
7．棱长为1的正四面体P ABC中，PA与平面ABC所成角的正弦值是________．
(第8题)
8．如图，P是棱长为2的正方体ABCD A1B1C1D1表面上的一个动点，若直线AP与平面ABCD所成的角为45°，则点P的轨迹长度为________．
四、 解答题
9．如图，在底面是矩形的四棱锥P ABCD中，PA⊥底面ABCD，E，F分别是PC，PD的中点.
(1) 求证：EF∥平面PAB；
(2) 求证：DC⊥平面PAD.
(第9题)
10．如图，在三棱柱ABC A1B1C1中，C1C⊥平面ABC，AC⊥BC，CA＝CC1＝CB＝1.
(1) 求证：AC1⊥平面A1BC；
(2) 求直线C1C与平面A1BC所成的角的大小.
(第10题)
11．在三棱锥A BCD中，CA＝CD，BA＝BD，E是边AD上的一点，当AD＝________AE时，AD⊥平面BCE．
12．中国古代数学名著《九章算术·商功》中，阐述：“斜解立方，得两堑堵.斜解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑，阳马居二，鳖臑居一”.若称为“阳马”的某四棱锥如图所示，底面ABCD为矩形，PD⊥平面ABCD，PD＝AD＝3，AB＝4，则PA与BC所成的角的大小为________；PB与平面PDC所成的角的正弦值为________.　
(第12题)
13．已知PA，PB，PC是从点P出发的三条射线，若PA⊥PB，∠APC＝∠BPC＝60°，则直线PC与平面PAB所成角的正弦值是(　　)
A． B．
C． D．
第2课时　直线与平面垂直的判定
基础打底·熟练掌握
1．D　【解析】 当m∥n时(如图所示)，由n⊥l，m⊥l推不出l⊥γ，即A错误；同理可知，B，C错误；若m⊥α，n⊥β，可知m与n交于一点，且n⊥l，m⊥l，所以l⊥γ，即D正确.
(第1题)
(第4题)
2．C　3．B　
4．B　【解析】 如图，连接AC1.在直三棱柱ABC A1B1C1中，∠BAC＝90°，即AB⊥AC.又AA1⊥AB，AA1∩AC＝A，AA1，AC 平面AA1C，所以AB⊥平面AA1C.又A1C 平面AA1C，所以AB⊥A1C.若AA1＝AC，则矩形AA1C1C为正方形，可得A1C⊥AC1.又AB∩AC1＝A，AB，AC1 平面ABC1，所以A1C⊥平面ABC1.又BC1 平面ABC1，所以A1C⊥BC1.
5．CD　【解析】 由线面垂直的判定定理知，当直线l与平面α内的两条相交直线垂直时，直线l与平面α垂直，所以C正确；再由线面垂直的定义知，当直线l与平面α内的任意一条直线垂直时，直线l与平面α垂直，所以D正确.
6．BD　
7．　【解析】 如图，过P作PO⊥平面ABC于点O，连接AO，则∠PAO即为PA与平面ABC所成角.因为正四面体P ABC的棱长为1，则O为△ABC的外心，则AO＝ABcos 30°＝，PO＝＝，则sin∠PAO＝＝，所以PA与平面ABC所成角的正弦值为.
(第7题)
(第8题)
8．π＋4　【解析】 若直线AP与平面ABCD所成的角为45°，则∠A1PA＝45°，可得A1P＝2，AP＝2，点P的轨迹为以A为顶点，AP为母线的圆锥的侧面与正方体的表面的交线.在平面ABB1A1内，点P的轨迹为对角线AB1(除掉点A)；在平面ADD1A1内，点P的轨迹为对角线AD1(除掉点A)；在平面A1B1C1D1内，点P的轨迹是以点A1为圆心、2为半径的圆弧.如图，点P的轨迹长度为π＋4.
9．【解答】 (1) 因为E，F分别是PC，PD的中点，所以EF∥CD，又因为AB∥CD，所以EF∥AB，且EF 平面PAB，AB 平面PAB，所以EF∥平面PAB.
(2) 因为PA⊥底面ABCD，CD 底面ABCD，所以PA⊥CD，又因为四边形ABCD为矩形，所以AD⊥CD，且PA∩AD＝A，PA，AD 平面PAD，所以DC⊥平面PAD.
10．【解答】 (1) 因为C1C⊥平面ABC，AC 平面ABC，所以C1C⊥AC.又因为AC＝CC1，所以平行四边形ACC1A1为正方形，所以AC1⊥A1C.因为C1C⊥平面ABC，BC 平面ABC，所以C1C⊥BC.又因为BC⊥AC，AC∩CC1＝C，AC 平面ACC1A1，CC1 平面ACC1A1，所以BC⊥平面ACC1A1.因为AC1 平面ACC1A1，所以AC1⊥BC.又因为BC∩A1C＝C，BC 平面A1BC，A1C 平面A1BC，所以AC1⊥平面A1BC.
(2) 记AC1与A1C的交点为D.由(1)知AC1⊥平面A1BC，所以C1D⊥平面A1BC，故直线C1C与平面A1BC所成的角为∠C1CA1.由(1) 知平行四边形ACC1A1为正方形，所以∠C1CA1＝45°，故直线C1C与平面A1BC所成的角为45°.
能力进阶·融会贯通
(第11题)
11．2　【解析】 当AD＝2AE时，AD⊥平面BCE.证明如下：如图，因为AD＝2AE，所以E是AD中点，因为CA＝CD，BA＝BD，所以AD⊥BE，AD⊥CE，又BE∩CE＝E，BE，CE 平面BCE，所以AD⊥平面BCE.
12．45°　　【解析】 易知PA与BC所成的角等于PA与AD所成的角，即为∠PAD＝45°.因为BC⊥平面PDC，所以PB与平面PDC所成的角为∠BPC.因为sin∠BPC＝＝＝，所以PB与平面PDC所成的角的正弦值为.
(第13题)
13．B　【解析】 如图，过点C作CG⊥平面PAB于G，在平面PAB内过G作GH⊥PA，GE⊥PB，垂足分别为H，E，连接CH，CE，则∠CPG为直线PC与平面PAB所成的角.又CG⊥PA，CG∩GH＝G，GH，CG 平面CHG，则PA⊥平面CHG，又CH 平面CHG，所以PA⊥CH，同理可得PB⊥CE.由∠APC＝∠BPC＝60°，得PE＝PH＝PC，又PA⊥PB，因此四边形PEGH为正方形，PG＝PH＝PC，从而CG＝PC，所以直线PC与平面PAB所成角的正弦值sin∠CPG＝＝.第2课时　直线与平面垂直的判定
学习 目标 1．了解直线与平面垂直的定义和直线与平面所成的角的概念． 2．理解直线与平面垂直的判定定理，并会用定理判定线面垂直，能解决简单的线面角问题．
新知初探基础落实
观察学校操场上竖立的旗杆与地面的位置关系，可以发现，它给我们以直线与平面垂直的形象．在阳光下，还可以发现旗杆AB所在直线与地面内任意一条过点B的影子所在直线垂直．事实上，旗杆AB与地面内任意一条直线垂直(如图所示)，如何来判定直线与平面垂直呢？
一、 概念生成
1．直线与平面垂直的定义：如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l与平面α互相垂直，记作l⊥α．
注意：直线与平面垂直的画法：通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直．
2．(1) 思考：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．将这一结论推广到空间，过一点垂直于已知平面的直线有几条？为什么？
(2) 点到平面距离的定义：过点P作直线PO垂直于平面α，垂足为O，垂线段PO的长度就是点P到平面α的距离．
请同学阅读课本P149—P152，完成下列填空．
二、 概念表述
1．直线与平面垂直的定义及画法
定义 一般地，如果直线l与平面α内的__任意一条__直线都垂直，我们就说直线l与平面α互相垂直
记法 __l⊥α__
有关 概念 直线l叫做平面α的__垂线__，平面α叫做直线l的__垂面__，它们唯一的公共点P叫做__垂足__
图示
画法 画直线与平面垂直时，通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直
2．直线与平面垂直的判定定理
文字语言 如果一条直线与一个平面内的__两条相交直线__垂直，那么该直线与此平面垂直
符号语言 m α，n α，__m∩n__＝P，l⊥m，l⊥n l⊥α
图形语言
三、 概念辨析(判断正误：正确的画“√”，错误的画“×”)
(1) 如果α∩β＝m，m⊥n，n α，那么n⊥β．(　×　)
(2) 过一点有且只有一个平面与已知直线垂直．(　√　)
(3) 若直线l垂直于平面α，则l与平面α内的直线可能相交，可能异面，也可能平行．(　×　)
(4) 如果l⊥m，m α，则l⊥α．(　×　)
典例精讲能力初成
探究1　线面垂直概念的理解
例1　(多选)下列说法正确的是(　CD　)
A．若直线l与平面α内的一条直线垂直，则l⊥α
B．若直线l不垂直于平面α，则α内没有与l垂直的直线
C．若直线l不垂直于平面α，则α内也可以有无数条直线与l垂直
D．过一点和已知平面垂直的直线有且只有一条
【解析】当l与α内的一条直线垂直时，不能保证l与平面α垂直，所以A不正确；当l与α不垂直时，l可能与α内的无数条平行直线垂直，所以B不正确，C正确；过一点有且只有一条直线垂直于已知平面，所以D正确．
(1) 直线和平面垂直的定义是描述性定义，对直线的任意性要注意理解．实际上，“任何一条”与“所有”表达的含义相同．当直线与平面垂直时，该直线就垂直于这个平面内的任何直线．由此可知，如果一条直线与一个平面内的一条直线不垂直，那么这条直线就一定不与这个平面垂直．
(2) 由定义可得线面垂直 线线垂直，即若a⊥α，b α，则a⊥b．
变式　设l，m是两条不同的直线，α是一个平面，则下列说法正确的是(　B　)
A．若l⊥m，m α，则l⊥α
B．若l⊥α，l∥m，则m⊥α
C．若l∥α，m α，则l∥m
D．若l∥α，m∥α，则l∥m
【解析】对于A，直线l⊥m，m并不能代表平面α内任意一条直线，所以不能判定线面垂直；对于B，因为l⊥α，则l垂直于α内任意一条直线，又l∥m，由异面直线所成角的定义知，m与平面α内任意一条直线所成的角都是90°，即m⊥α，故B正确；对于C，也有可能是l，m异面；对于D，l，m还可能相交或异面．
探究2　直线与平面垂直的判定定理的应用
例2　(课本P151例3)求证：如果两条平行直线中的一条直线垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于这个平面．
已知：如图，a∥b，a⊥α，求证：b⊥α．
【解答】如图，在平面α内取两条相交直线m，n．因为直线a⊥α，所以a⊥m，a⊥n．因为b∥a，所以b⊥m，b⊥n．又m α，n α，m，n是两条相交直线，所以b⊥α．
证明线面垂直的方法
(1) 线面垂直的定义．
(2) 线面垂直的判定定理．
(3) 如果两条平行直线中的一条直线垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于这个平面．
(4) 如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，那么它也垂直于另一个平面．
变式　如图，Rt△ABC所在平面外有一点S，且AS＝BS＝CS，D为斜边AC的中点．
(1) 求证：SD⊥平面ABC；
【解答】因为AS＝CS，D为AC的中点，所以SD⊥AC．在Rt△ABC中，AD＝DC＝BD．又AS＝BS，所以△ADS≌△BDS，所以SD⊥BD．又AC∩BD＝D，AC，BD 平面ABC，所以SD⊥平面ABC．
(2) 若AB＝BC，求证：BD⊥平面SAC．
【解答】因为AB＝BC，D为AC的中点，所以BD⊥AC．由(1)知SD⊥BD，又AC∩SD＝D，AC，SD 平面SAC，所以BD⊥平面SAC．
探究3　直线与平面所成的角
例3　(课本P152例4)如图，在正方体ABCD A1B1C1D1中，求直线A1B和平面A1DCB1所成的角．
【解答】如图，连接BC1，BC1与B1C相交于点O，连接A1O．设正方体的棱长为a．因为A1B1⊥B1C1，A1B1⊥B1B，B1C1∩B1B＝B1，所以A1B1⊥平面BCC1B1，所以A1B1⊥BC1．又BC1⊥B1C，所以BC1⊥平面A1DCB1，所以A1O为斜线A1B在平面A1DCB1上的射影，∠BA1O为A1B和平面A1DCB1所成的角．在Rt△A1BO中，A1B＝a，BO＝a，所以BO＝A1B，所以∠BA1O＝30°．所以直线A1B和平面A1DCB1所成的角为30°．
求直线与平面所成的角的步骤
(1) 作图：作(或找)出斜线在平面内的射影，将空间角(斜线与平面所成的角)转化为平面角(两条相交直线所成的锐角)，作射影要过斜线上一点作平面的垂线，再过垂足和斜足(有时可以是两垂足)作直线，注意斜线上点的选取以及垂足的位置要与问题中的已知量有关，才能便于计算．
(2) 证明：证明某平面角就是斜线与平面所成的角．
(3) 计算：通常在垂线段、斜线和射影所组成的直角三角形中计算．
变式　(1) 如图，在正方体ABCD A1B1C1D1中．
①求A1B与平面AA1D1D所成的角；
②求A1B与平面BB1D1D所成的角．
【解答】①因为AB⊥平面AA1D1D，所以∠AA1B就是A1B与平面AA1D1D所成的角．在Rt△AA1B中，∠BAA1＝90°，AB＝AA1，所以∠AA1B＝45°，所以A1B与平面AA1D1D所成的角是45°．
②如图，连接A1C1交B1D1于点O，连接BO．因为A1O⊥B1D1，BB1⊥A1O，BB1∩B1D1＝B1，BB1，B1D1 平面BB1D1D，所以A1O⊥平面BB1D1D，所以∠A1BO就是A1B与平面BB1D1D所成的角．设正方体的棱长为1，则A1B＝，A1O＝．又因为∠A1OB＝90°，所以sin∠A1BO＝＝，又0°≤∠A1BO≤90°，所以∠A1BO＝30°，所以A1B与平面BB1D1D所成的角是30°．
(2) 如图，在正三棱柱ABC A1B1C1中，AB＝AA1＝2，则AB1与平面AA1C1C所成角的余弦值为(　A　)
A．　 B．
C．　 D．
【解析】如图，取A1C1的中点D，连接B1D，AD．在正三棱柱ABC A1B1C1中，△A1B1C1是正三角形，所以B1D⊥A1C1．因为CC1⊥底面A1B1C1，B1D 底面A1B1C1，所以CC1⊥B1D．又CC1∩A1C1＝C1，CC1，A1C1 平面AA1C1C，所以B1D⊥平面AA1C1C，所以∠B1AD为AB1与平面AA1C1C所成的角．因为B1D⊥平面AA1C1C，AD 平面AA1C1C，所以B1D⊥AD．由题意，AD＝＝，AB1＝＝2，在Rt△B1AD中，cos∠B1AD＝＝＝．
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1．在正方体ABCD A1B1C1D1的六个面中，与AA1垂直的平面的个数是(　B　)
A．1　 B．2
C．3　 D．6
【解析】在正方体ABCD A1B1C1D1的六个面中，与AA1垂直的平面是平面ABCD和平面A1B1C1D1，共2个．
2．如图，在四棱锥P ABCD中，底面ABCD为矩形，若PA⊥平面ABCD，则图中共有__4__个直角三角形．
【解析】因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥AB，PA⊥AD，所以△PAB，△PAD都是直角三角形．因为BC⊥AB，BC⊥PA，所以BC⊥平面PAB，所以BC⊥PB，所以△PBC为直角三角形．同理得CD⊥PD，所以△PCD是直角三角形．
3．若过平面α外一点P的斜线段是过这点的垂线段的倍，则斜线段与平面α所成的角的大小是____．
【解析】如图，连接AB，由PB⊥α，知∠PAB是线段PA与平面α所成的角．在Rt△PAB中，因为PA＝PB，所以sin∠PAB＝＝，又∠PAB∈，所以∠PAB＝，即斜线段PA与平面α所成的角为．
4．如图，在三棱柱ABC A1B1C1中，已知AA1⊥平面ABC，BC＝CC1，当底面A1B1C1满足条件__A1C1⊥B1C1__时，有AB1⊥BC1．(注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情况)
【解析】当底面A1B1C1满足条件A1C1⊥B1C1时，有AB1⊥BC1．理由如下：因为AA1⊥平面ABC，BC 平面ABC，所以AA1⊥BC．因为CC1∥AA1，所以BC⊥CC1．又BC＝CC1，所以 BCC1B1是正方形，所以BC1⊥B1C．易知AA1⊥A1C1，因为CC1∥AA1，所以CC1⊥A1C1．又A1C1⊥B1C1，CC1∩B1C1＝C1，CC1，B1C1 平面BCC1B1，所以A1C1⊥平面BCC1B1．因为AC∥A1C1，所以AC⊥平面BCC1B1．因为BC1 平面BCC1B1，所以BC1⊥AC．因为AC，B1C 平面ACB1，AC∩B1C＝C，所以BC1⊥平面ACB1．又AB1 平面ACB1，所以AB1⊥BC1．故当底面A1B1C1满足条件A1C1⊥B1C1时，有AB1⊥BC1．
5．(课本P152练习2)如图，四棱锥S ABCD的底面是正方形，SD⊥平面ABCD，求证：AC⊥平面SDB．
【解答】因为底面ABCD是正方形，所以AC⊥BD．因为SD⊥平面ABCD，AC 平面ABCD，所以SD⊥AC．又因为BD∩SD＝D，BD 平面SDB，SD 平面SDB，所以AC⊥平面SDB．

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