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第八章
8.6　空间直线、平面的垂直
立体几何初步
第3课时　直线与平面垂直的性质
学习 目标 1．理解直线与平面垂直的性质定理，并能够证明．
2．能运用性质定理证明一些空间位置关系的简单命题，会求简单的点面距离、线面距离和面面距离．
新知初探·基础落实
下面我们研究直线与平面垂直的性质，即探究在直线a与平面α垂直的条件下能推出哪些结论．
根据已有经验，我们可以探究直线a与平面α内的直线的关系．但由定义，a与α内的所有直线都垂直．所以，可以探究a，α与其他直线或平面的关系．
我们知道，在平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行，在空间中是否有类似的性质呢？
一、 概念生成
(1) 如图(1)，在长方体ABCD A'B'C'D'中，棱AA'，BB'，CC'，DD'所在直线都垂直于平面ABCD，它们之间具有什么位置关系？
(2) 如图(2)，已知直线a，b和平面α，如果a⊥α，b⊥α，那么直线a，b一定平行吗？
图(1)
图(2)
可以发现，这些直线相互平行．不失一般性，我们以(2)为例加以证明．如图，假设b与a不平行，且b∩α＝O．显然点O不在直线a上，所以点O与直线a可确定一个平面，在该平面内过点O作直线b'∥a，则直线b与b'是相交于点O的两条不同直线，所以直线b与b'可确定平面β．设α∩β＝c，则O∈c．因为a⊥α，b⊥α，
所以a⊥c，b⊥c．又因为b'∥a，所以b'⊥c．这样在平面β内，经过直线c上同一点O就有两条直线b，b'与c垂直，显然不可能．因此b∥a．
由于无法把两条直线a，b归入到一个平面内，所以在定理的证明中，无法应用平行直线的判定知识，也无法应用基本事实4．在这种情况下我们采用了“反证法”．
这样，我们得到了直线与平面垂直的一条性质定理：垂直于同一个平面的两条直线平行．
请同学阅读课本P153—P155，完成下列填空．
二、 概念表述
1．直线与平面垂直的性质定理
文字语言 垂直于同一个平面的两条直线________
符号语言
图形语言
作用 证明两条直线________
平行
a∥b
平行
2．空间距离
(1) 点到平面的距离
过一点作垂直于已知平面的直线，则该点与垂足间的线段，叫做这个点到该平面的垂线段，垂线段的长度叫做这个点到该平面的距离．
(2) 平行于平面的直线到平面的距离
一条直线与一个平面平行时，这条直线上任意一点到这个平面的距离，叫做这条直线到这个平面的距离．
(3) 两个平行平面间的距离
如果两个平面平行，那么其中一个平面内的任意一点到另一个平面的距离都相等，我们把它叫做这两个平行平面间的距离．
三、 概念辨析(判断正误：正确的画“√”，错误的画“×”)
(1) 如果两条平行线中的一条与一个平面垂直，那么另一条直线与这个平面也垂直． (　　)
(2) 对于直线a，b，平面α，若a⊥α，a⊥b，则b∥α． (　　)
(3) 对于直线a，平面α，β，若a⊥α，α∥β，则a⊥β． (　　)
(4) 对于直线a，平面α，β，若a⊥α，a⊥β，则α∥β． (　　)
√
×
√
√
典例精讲·能力初成
探究
1
线面垂直有关性质的理解
　　　(多选)已知a，b，c为三条不同的直线，α，β为两个不重合的平面，下列推理中不正确的是 (　 　)
A．a⊥α，b∥β，且α∥β a⊥b B．a⊥b，a⊥α b∥α
C．a⊥α，b⊥α，a∥c b∥c D．a⊥α，β⊥α a∥β
1
【解析】
　　　　A正确；B中，还可能b α，故B不正确；C正确；D中，还可能a β，故D不正确．
BD
变式　已知△ABC所在的平面为α，直线l⊥AB，l⊥AC，直线m⊥BC，m⊥AC，则直线l，m的位置关系是 (　　)
A．相交　 B．异面
C．平行　 D．不确定
【解析】
　　　　因为l⊥AB，l⊥AC，AB∩AC＝A，所以l⊥平面ABC，同理m⊥平面ABC，所以l∥m．
C
探究
2
直线与平面垂直性质的应用
　　　(课本P154例5)如图，直线l平行于平面α，求证：直线l上各点到平面α的距离相等．
2
【解答】
　　　　如图，过直线l上任意两点A，B分别作平面α的垂线AA1，BB1，垂足分别为A1，B1．因为AA1⊥α，BB1⊥α，所以AA1∥BB1．设直线AA1，BB1确定的平面为β，β∩α＝A1B1．因为l∥α，所以l∥A1B1，所以四边形AA1B1B是矩形，所以AA1＝BB1．由A，B是直线l上任取的两点，可知直线l上各点到平面α的距离相等．
证明直线与平面垂直，利用直线与平面垂直的性质定理可构造平行线，即使这些直线都垂直于同一个平面．直线与平面垂直的其他性质：①如果一条直线和一个平面垂直，那么这条直线和这个平面内的任意一条直线垂直；②若两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面；③垂直于同一条直线的两个平面平行；④如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个，则它必垂直于另一个平面．
变式　如图，在正方体ABCD A1B1C1D1中，EF与异面直线AC，A1D都垂直相交．求证：EF∥BD1．
【解答】
　　　　如图，连接AB1，B1D1，B1C，BD．因为DD1⊥平面ABCD，AC 平面ABCD，所以DD1⊥AC．又AC⊥BD，DD1∩BD＝D，DD1，BD 平面BDD1B1，所以AC⊥平面BDD1B1．又BD1 平面BDD1B1，所以AC⊥BD1．同理可证BD1⊥B1C，又AC∩B1C＝C，AC，B1C 平面AB1C，所以BD1⊥平面AB1C．因为EF⊥A1D，A1D∥B1C，所以EF⊥B1C．又因为EF⊥AC，AC∩B1C
＝C，AC，B1C 平面AB1C，所以EF⊥平面AB1C，所以EF∥BD1．
探究
3
空间中的距离问题
视角1　点到平面的距离
　　　　　如图，棱长为2的正方体ABCD A1B1C1D1中，E是D1C1的中点，F是侧面ADD1A1的中心，则点F到平面EB1C的距离为 (　　)
A．　　 B．
C．　　 D．
3－1
【解析】
　　　　如图，连接A1D．因为F是侧面ADD1A1的中心，所以F∈A1D．由正方体的性质知A1B1∥CD，A1B1＝CD，所以四边形A1B1CD是平行四边形，所以A1D∥CB1．因为A1D 平面CEB1，CB1 平面CEB1，所以A1D∥平面CEB1，所以点F到平面EB1C的距离与点D到平面EB1C的距离相等．设点D到平面EB1C的距离为h，在△CEB1中，EB1＝CE＝，B1C＝2，
＝×2＝．因为＝，即·h＝S△CED·B1C1，所以h＝×23＝，解得h＝，所以点F到平面EB1C的距离为．
【答案】A
视角2　线到平面的距离
　　　　　如图，在正三棱柱ABC A1B1C1中，D是BC的中点，AA1＝AB＝1．
(1) 求证：A1C∥平面AB1D；
【解答】
　　　　如图，连接A1B．设A1B∩AB1＝E，连接DE．在正三棱柱ABC A1B1C1中，因为AA1＝AB，所以四边形A1ABB1是正方形，所以E是A1B的中点．又D是BC的中点，所以DE∥A1C．因为DE 平面AB1D，A1C 平面AB1D，所以A1C∥平面AB1D．
3－2
　　　　　如图，在正三棱柱ABC A1B1C1中，D是BC的中点，AA1＝AB＝1．
(2) 求A1C到平面AB1D的距离．
【解答】
　　　　由(1)知A1C∥平面AB1D，所以点C到平面AB1D的距离就是A1C到平面AB1D的距离．在平面B1BCC1内作CH⊥B1D交B1D的延长线于点H．依题意得AD⊥BB1，AD⊥BC，又BB1∩BC＝B，BB1，BC 平面B1BCC1，所以AD⊥平面B1BCC1．因为CH 平面B1BCC1，所以AD⊥CH．因为AD∩B1D＝D，AD，B1D 平面AB1D，所以CH⊥平面AB1D，则CH的长度就是点C到平面AB1D的距离．由△CDH∽△B1DB，且AA1＝AB＝1，得CH＝＝，即点C到平面AB1D的距离是．故A1C到平面AB1D的距离是．
3－2
视角3　平面到平面的距离
　　　　　如图，在直三棱柱ABC A1B1C1中，∠ABC＝90°，BC＝2，CC1＝4，E是BB1上的一点，且EB1＝1，D，F，G分别是CC1，B1C1，A1C1的中点，EF与B1D相交于点H．
(1) 求证：B1D⊥平面ABD；
【解答】
　　　　由直三棱柱的性质得平面ABC⊥平面BB1C1C．又AB⊥BC，平面ABC∩平面BB1C1C＝BC，AB 平面ABC，所以AB⊥平面BB1C1C．又B1D 平面BB1C1C，所以AB⊥B1D．因为BC＝CD＝DC1＝B1C1＝2，所以在Rt△DCB和Rt△DC1B1中，∠BDC＝∠B1DC1＝45°，所以∠BDB1＝90°，即B1D⊥BD．又AB∩BD＝B，AB，BD 平面ABD，所以B1D⊥平面ABD．
3－3
　　　　　如图，在直三棱柱ABC A1B1C1中，∠ABC＝90°，BC＝2，CC1＝4，E是BB1上的一点，且EB1＝1，D，F，G分别是CC1，B1C1，A1C1的中点，EF与B1D相交于点H．
(2) 求平面EGF与平面ABD的距离．
【解答】
　　　　由题意知EB1＝B1F＝1，所以在Rt△EB1F中，∠FEB1＝45°，又∠DBB1＝45°，所以EF∥BD．因为BD 平面ABD，EF 平面ABD．所以EF∥平面ABD．因为G，F分别为A1C1，B1C1的中点，所以GF∥A1B1．又A1B1∥AB，所以GF∥AB．因为AB 平面ABD，GF 平面ABD，所以GF∥平面ABD．又因为EF 平面EGF，GF 平面EGF，EF∩GF＝F，所以平面EGF∥平面ABD．因为B1D⊥平面ABD，平面EGF∥平面ABD，所以B1D⊥平面EGF，所以HD为平行平面EGF与ABD之间的距离，所以
HD＝B1D B1H＝2＝，即平面EGF与ABD之间的距离为．
3－3
空间中距离的转化
(1) 利用线面、面面平行转化：利用线面距离、面面距离的定义，转化为直线或平面上的某一点到平面的距离．
(2) 利用中点转化：如果条件中具有中点条件，将一个点到平面的距离，借助中点(等分点)，转化为另一点到平面的距离．
(3) 通过换底转化：一是直接换底，以方便求几何体的高；二是将底面扩展(分割)，以方便求底面积和高．
随堂内化·及时评价
1．在四面体ABCD中，AB⊥平面BCD，BC⊥CD，则△ACD的形状为 (　　)
A．等腰三角形　 B．等边三角形
C．直角三角形　 D．等腰直角三角形
【解析】
　　　　因为AB⊥平面BCD，CD 平面BCD，所以AB⊥CD．因为BC⊥CD，BC∩AB＝B，AB，BC 平面ABC，所以CD⊥平面ABC．因为AC 平面ABC，所以CD⊥AC，即△ACD为直角三角形．
C
2．在正方体ABCD A1B1C1D1中，直线l(与直线BB1不重合)⊥平面ABCD，则有 (　　)
A．BB1⊥l　 B．BB1∥l
C．BB1与l异面　 D．BB1与l相交
【解析】
　　　　因为l⊥平面ABCD，且BB1⊥平面ABCD，直线l与直线BB1不重合，所以BB1∥l．
B
3．已知P是△ABC所在平面外一点，过点P作PO⊥平面ABC，垂足为O，连接PA，PB，PC．若PA＝PB＝PC，则O为△ABC的______心．
【解析】
　　　　如图，因为PO⊥平面ABC，OA，OB，OC 平面ABC，所以PO⊥OA，PO⊥OB，PO⊥OC．因为PA＝PB＝PC，则△POA，△POB，△POC均为直角三角形且全等，所以OA＝OB＝OC，因此O为△ABC的外心．
外
4．如图，在四棱锥P ABCD中，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD为正方形，PA＝AB，E为AP的中点，则异面直线PC与DE所成的角的正弦值为 (　　)
A．　 B．
C．　 D．
【解析】
　　　　如图，连接AC，BD，设AC与BD相交于点O，连接OE，BE．因为E为AP的中点，O为AC的中点，所以PC∥OE，可得∠OED为异面直线PC与DE所成的角．不妨设AB＝2，则PA＝2，由PA⊥平面ABCD，可得PA⊥AB，PA⊥AD，则BE＝DE＝，OD＝BD＝．因为BE＝DE，O为BD的中点，所以∠EOD＝90°，sin∠OED＝＝＝．
【答案】D第3课时　直线与平面垂直的性质
一、 单项选择题
1．若直线l⊥平面α，则下列说法正确的是(　　)
A．l仅垂直平面α内的一条直线
B．l仅垂直平面α内与l相交的直线
C．l仅垂直平面α内的两条直线
D．l与平面α内的任意一条直线垂直
2．如图，如果MC垂直于菱形ABCD所在的平面，那么MA与BD的位置关系是(　　)
(第2题)
A．平行 B．垂直相交
C．垂直但不相交 D．相交但不垂直
3．如图所示，在棱长为2的正方体ABCD A1B1C1D1中，直线B1C1到平面A1BCD1的距离是(　　)
(第3题)
A．2 B．
C．2 D．2
4．如图，若正四棱柱ABCD A1B1C1D1的底面边长为1，AB1与底面ABCD成60°角，则A1C1到底面ABCD的距离为(　　)
(第4题)
A． B．1
C．2 D．
二、 多项选择题
5．下列命题正确的是(　　)
A． b⊥α B． b∥α
C． a⊥b D． a∥b
6．如图，四棱锥S ABCD的底面为正方形，SD⊥底面ABCD，下列结论正确的是(　　)
(第6题)
A．AC⊥BS
B．AB∥平面SCD
C．AS与平面ABD所成的角等于BS与平面ABD所成的角
D．AC⊥SO
三、 填空题
7．若一条直线和三角形的两边同时垂直，则这条直线和三角形的第三边关系是________．
8．如图，∠BCA＝90°，PC⊥平面ABC，在△ABC，△PAC的边所在的直线中：
(第8题)
(1) 与PC垂直的直线有________；
(2) 与AP垂直的直线有________．
四、 解答题
9．如图，α∩β＝l，PA⊥α，PB⊥β，垂足分别为A，B，a α，a⊥AB.求证：a∥l.
(第9题)
10．如图，在三棱柱ABC A1B1C1中，侧面BB1C1C为菱形，B1C的中点为O，且AO⊥平面BB1C1C.
(1) 求证：B1C⊥AB；
(2) 若AC⊥AB1，∠CBB1＝60°，BC＝1，求三棱柱ABC A1B1C1的高.
(第10题)
11．如图所示，在棱长为2的正方体ABCD A1B1C1D1中，点P在棱C1D1上，且BP＝3，则点A，C到平面BB1P的距离之和为(　　)
(第11题)
A． B．
C． D．2
12．《九章算术·商功》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑.如图，在鳖臑ABCD中，AB⊥平面BCD，AC⊥CD，AC＝BC＋CD＝2，当△BCD的面积最大时，鳖臑ABCD的表面积为(　　)
(第12题)
A． B．
C． D．
13．已知正方体ABCD A1B1C1D1的棱长为1，则在正方体的顶点中，满足到平面A1DB的距离为的一个顶点为________．
第3课时　直线与平面垂直的性质
基础打底·熟练掌握
1．D
2．C　【解析】 因为四边形ABCD是菱形，所以BD⊥AC.因为MC⊥平面ABCD，BD 平面ABCD，所以BD⊥MC.又因为AC∩MC＝C，AC，MC 平面AMC，所以BD⊥平面AMC.又MA 平面AMC，所以MA⊥BD.显然MA与BD不共面，因此MA与BD的位置关系是垂直但不相交.
3．B　【解析】 如图，连接AB1交A1B于点E，在正方体ABCD A1B1C1D1中，B1C1∥BC，因为B1C1 平面A1BCD1，BC 平面A1BCD1，所以B1C1∥平面A1BCD1，则直线B1C1到平面A1BCD1的距离即为点B1到平面A1BCD1的距离.因为BC⊥平面AA1B1B，AB1 平面AA1B1B，所以BC⊥AB1，又A1B⊥AB1，且A1B∩BC＝B，A1B，BC 平面A1BCD1，所以AB1⊥平面A1BCD1，则点B1到平面A1BCD1的距离即为B1E，而A1B1＝BB1＝2，则A1B＝2，所以B1E＝A1B＝.
(第3题)
4．D　【解析】 因为AB1与底面ABCD成60°角，所以∠B1AB＝60°，所以B1B＝AB·tan 60°＝.又A1C1∥平面ABCD，A1C1 平面A1B1C1D1，所以A1C1到底面ABCD的距离为A1A＝B1B＝.
5．ACD　【解析】 对于A，a∥b，a⊥α，则b⊥α，A正确；对于B，a⊥b，a⊥α，则b α或b∥α，B错误；对于C，b∥α，则存在过直线b与平面α相交的平面，令交线为c，于是b∥c，由a⊥α，得a⊥c，因此a⊥b，C正确；对于D，a⊥α，b⊥α，则a∥b，D正确.　
6．ABD　【解析】 因为四棱锥S ABCD的底面为正方形，所以AC⊥BD.因为SD⊥底面ABCD，AC 底面ABCD，所以SD⊥AC.因为SD∩BD＝D，SD，BD 平面BDS，所以AC⊥平面BDS.因为BS，SO 平面BDS，所以AC⊥BS，AC⊥SO，故A，D正确.因为AB∥CD，AB 平面SCD，CD 平面SCD，所以AB∥平面SCD，故B正确.因为SD⊥底面ABCD，所以∠DAS和∠DBS分别是AS和BS与平面ABD所成的角，因为AD≠BD，SD＝SD，所以∠DAS≠∠DBS，故C错误.
7．垂直　
8．AC，BC，AB　BC　
9．【解答】 因为PA⊥α，l α，所以PA⊥l，同理可得PB⊥l.因为PA∩PB＝P，PA，PB 平面PAB，所以l⊥平面PAB.又因为PA⊥α，a α，所以PA⊥a，因为a⊥AB，PA∩AB＝A，PA，AB 平面PAB，所以a⊥平面PAB，所以a∥l.
10．【解答】 (1)
(第10题)
如图，连接BC1，则O为B1C与BC1的交点.因为侧面BB1C1C为菱形，所以B1C⊥BC1.因为AO⊥平面BB1C1C，B1C 平面BB1C1C，所以B1C⊥AO.又BC1∩AO＝O，BC1，AO 平面ABO，所以B1C⊥平面ABO.因为AB 平面ABO，所以B1C⊥AB.
(2) 方法一：如图，在平面BB1C1C内作OD⊥BC，垂足为D，连接AD.在平面AOD内作OH⊥AD，垂足为H.因为BC⊥AO，BC⊥OD，AO∩OD＝O，AO，OD 平面AOD，所以BC⊥平面AOD.因为OH 平面AOD，所以OH⊥BC.又OH⊥AD，AD∩BC＝D，AD，BC 平面ABC，所以OH⊥平面ABC.因为∠CBB1＝60°，所以△CBB1为等边三角形.由BC＝1，可得CB1＝1，OD＝.因为AC⊥AB1，所以OA＝B1C＝.由OH·AD＝OD·OA，且AD＝＝，得OH＝.又O为B1C的中点，所以点B1到平面ABC的距离为.故三棱柱ABC A1B1C1的高为.
方法二：由于侧面BB1C1C为菱形，∠CBB1＝60°，BC＝1，所以B1C＝1，BO＝.又AC⊥AB1，所以AO＝，AC＝，易得AB＝1.在△ABC中，易得AC边上的高h＝.设三棱柱ABC A1B1C1的高为h.由＝，得·AO＝S△ABC·h，所以×＝×××h，解得h＝.所以三棱柱ABC A1B1C1的高为.
能力进阶·融会贯通
11．B　【解析】 在棱长为2的正方体ABCD A1B1C1D1中，BB1⊥平面A1B1C1D1，B1P 平面A1B1C1D1，则BB1⊥B1P，由BP＝3，得B1P＝＝＝.在Rt△B1C1P中，∠B1C1P＝90°，则C1P＝＝1，即P为C1D1的中点.又AA1∥BB1，BB1 平面BB1P，AA1 平面BB1P，因此AA1∥平面BB1P，于是点A到平面BB1P的距离等于点A1到平面BB1P的距离，同理点C到平面BB1P的距离等于点C1到平面BB1P的距离.连接A1P，过A1，C1分别作B1P的垂线，垂足分别为O1，O，如图.由＝B1P·A1O1＝A1B1·A1D1，得A1O1＝2×2，解得A1O1＝，在Rt△B1C1P中，C1O＝＝＝，则A1O1＋C1O＝＋＝，所以点A，C到平面BB1P的距离之和为.
(第11题)
12．D　【解析】 因为AB⊥平面BCD，CD 平面BCD，所以AB⊥CD.又AC⊥CD，AC∩AB＝A，AB，AC 平面ABC，所以CD⊥平面ABC.因为BC 平面ABC，所以CD⊥BC，所以S△BCD＝BC·CD≤×＝，当且仅当BC＝CD＝1时取等号，此时BD＝＝.由AB⊥平面BCD，可知AB⊥BD，AB⊥BC，故AB＝ ＝＝，所以S△ABD＝ AB·BD＝，S△ABC＝AB·BC＝，S△BCD＝BC·CD＝，S△ACD＝AC·CD＝1，所以鳖臑ABCD的表面积为＋＋＋1＝.
13．点A(A，B1，D1，C中任填一个即可)(答案不唯一)
【解析】 如图，在三棱锥A A1DB中，设点A到平面A1DB的距离为d.因为正方体ABCD A1B1C1D1的棱长为1，易得A1B＝，＝×()2＝，由等体积法可得＝，即××1×1×1＝×d，解得d＝，即点A到平面A1DB的距离为.连接AC交BD于点O，则O为AC的中点，且AC∩平面A1DB＝O，故点C到平面A1DB的距离等于点A到平面A1DB的距离，也是.由A1B1∥DC，A1B1＝DC，可得四边形DCB1A1是平行四边形，则CB1∥A1D，因为CB1 平面A1DB，A1D 平面A1DB，所以CB1∥平面A1DB，同理可得B1D1∥平面A1DB，又CB1∩B1D1＝B1，CB1，B1D1 平面B1D1C，所以平面B1D1C∥平面A1DB，即平面B1D1C内的任一点到平面A1DB的距离都是，故点A，B1，D1，C到平面A1DB的距离都是.
(第13题)第3课时　直线与平面垂直的性质
学习 目标 1．理解直线与平面垂直的性质定理，并能够证明． 2．能运用性质定理证明一些空间位置关系的简单命题，会求简单的点面距离、线面距离和面面距离．
新知初探基础落实
下面我们研究直线与平面垂直的性质，即探究在直线a与平面α垂直的条件下能推出哪些结论．
根据已有经验，我们可以探究直线a与平面α内的直线的关系．但由定义，a与α内的所有直线都垂直．所以，可以探究a，α与其他直线或平面的关系．
我们知道，在平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行，在空间中是否有类似的性质呢？
一、 概念生成
(1) 如图(1)，在长方体ABCD A'B'C'D'中，棱AA'，BB'，CC'，DD'所在直线都垂直于平面ABCD，它们之间具有什么位置关系？
图(1)
图(2)
(2) 如图(2)，已知直线a，b和平面α，如果a⊥α，b⊥α，那么直线a，b一定平行吗？
可以发现，这些直线相互平行．不失一般性，我们以(2)为例加以证明．如图，假设b与a不平行，且b∩α＝O．显然点O不在直线a上，所以点O与直线a可确定一个平面，在该平面内过点O作直线b'∥a，则直线b与b'是相交于点O的两条不同直线，所以直线b与b'可确定平面β．设α∩β＝c，则O∈c．因为a⊥α，b⊥α，所以a⊥c，b⊥c．又因为b'∥a，所以b'⊥c．这样在平面β内，经过直线c上同一点O就有两条直线b，b'与c垂直，显然不可能．因此b∥a．
由于无法把两条直线a，b归入到一个平面内，所以在定理的证明中，无法应用平行直线的判定知识，也无法应用基本事实4．在这种情况下我们采用了“反证法”．
这样，我们得到了直线与平面垂直的一条性质定理：垂直于同一个平面的两条直线平行．
请同学阅读课本P153—P155，完成下列填空．
二、 概念表述
1．直线与平面垂直的性质定理
文字语言 垂直于同一个平面的两条直线__平行__
符号语言 __a∥b__
图形语言
作用 证明两条直线__平行__
2．空间距离
(1) 点到平面的距离
过一点作垂直于已知平面的直线，则该点与垂足间的线段，叫做这个点到该平面的垂线段，垂线段的长度叫做这个点到该平面的距离．
(2) 平行于平面的直线到平面的距离
一条直线与一个平面平行时，这条直线上任意一点到这个平面的距离，叫做这条直线到这个平面的距离．
(3) 两个平行平面间的距离
如果两个平面平行，那么其中一个平面内的任意一点到另一个平面的距离都相等，我们把它叫做这两个平行平面间的距离．
三、 概念辨析(判断正误：正确的画“√”，错误的画“×”)
(1) 如果两条平行线中的一条与一个平面垂直，那么另一条直线与这个平面也垂直．(　√　)
(2) 对于直线a，b，平面α，若a⊥α，a⊥b，则b∥α．(　×　)
(3) 对于直线a，平面α，β，若a⊥α，α∥β，则a⊥β．(　√　)
(4) 对于直线a，平面α，β，若a⊥α，a⊥β，则α∥β．(　√　)
典例精讲能力初成
探究1　线面垂直有关性质的理解
例1　(多选)已知a，b，c为三条不同的直线，α，β为两个不重合的平面，下列推理中不正确的是(　BD　)
A．a⊥α，b∥β，且α∥β a⊥b
B．a⊥b，a⊥α b∥α
C．a⊥α，b⊥α，a∥c b∥c
D．a⊥α，β⊥α a∥β
【解析】A正确；B中，还可能b α，故B不正确；C正确；D中，还可能a β，故D不正确．
变式　已知△ABC所在的平面为α，直线l⊥AB，l⊥AC，直线m⊥BC，m⊥AC，则直线l，m的位置关系是(　C　)
A．相交　 B．异面
C．平行　 D．不确定
【解析】因为l⊥AB，l⊥AC，AB∩AC＝A，所以l⊥平面ABC，同理m⊥平面ABC，所以l∥m．
探究2　直线与平面垂直性质的应用
例2　(课本P154例5)如图，直线l平行于平面α，求证：直线l上各点到平面α的距离相等．
【解答】如图，过直线l上任意两点A，B分别作平面α的垂线AA1，BB1，垂足分别为A1，B1．因为AA1⊥α，BB1⊥α，所以AA1∥BB1．设直线AA1，BB1确定的平面为β，β∩α＝A1B1．因为l∥α，所以l∥A1B1，所以四边形AA1B1B是矩形，所以AA1＝BB1．由A，B是直线l上任取的两点，可知直线l上各点到平面α的距离相等．
证明直线与平面垂直，利用直线与平面垂直的性质定理可构造平行线，即使这些直线都垂直于同一个平面．直线与平面垂直的其他性质：①如果一条直线和一个平面垂直，那么这条直线和这个平面内的任意一条直线垂直；②若两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面；③垂直于同一条直线的两个平面平行；④如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个，则它必垂直于另一个平面．
变式　如图，在正方体ABCD A1B1C1D1中，EF与异面直线AC，A1D都垂直相交．求证：EF∥BD1．
【解答】如图，连接AB1，B1D1，B1C，BD．因为DD1⊥平面ABCD，AC 平面ABCD，所以DD1⊥AC．又AC⊥BD，DD1∩BD＝D，DD1，BD 平面BDD1B1，所以AC⊥平面BDD1B1．又BD1 平面BDD1B1，所以AC⊥BD1．同理可证BD1⊥B1C，又AC∩B1C＝C，AC，B1C 平面AB1C，所以BD1⊥平面AB1C．因为EF⊥A1D，A1D∥B1C，所以EF⊥B1C．又因为EF⊥AC，AC∩B1C＝C，AC，B1C 平面AB1C，所以EF⊥平面AB1C，所以EF∥BD1．
探究3　空间中的距离问题
视角1　点到平面的距离
例3 1　如图，棱长为2的正方体ABCD A1B1C1D1中，E是D1C1的中点，F是侧面ADD1A1的中心，则点F到平面EB1C的距离为(　A　)
A．　　 B．
C．　　 D．
【解析】如图，连接A1D．因为F是侧面ADD1A1的中心，所以F∈A1D．由正方体的性质知A1B1∥CD，A1B1＝CD，所以四边形A1B1CD是平行四边形，所以A1D∥CB1．因为A1D 平面CEB1，CB1 平面CEB1，所以A1D∥平面CEB1，所以点F到平面EB1C的距离与点D到平面EB1C的距离相等．设点D到平面EB1C的距离为h，在△CEB1中，EB1＝CE＝，B1C＝2，＝×2＝．因为＝，即·h＝S△CED·B1C1，所以h＝×23＝，解得h＝，所以点F到平面EB1C的距离为．
视角2　线到平面的距离
例3 2　如图，在正三棱柱ABC A1B1C1中，D是BC的中点，AA1＝AB＝1．
(1) 求证：A1C∥平面AB1D；
【解答】如图，连接A1B．设A1B∩AB1＝E，连接DE．在正三棱柱ABC A1B1C1中，因为AA1＝AB，所以四边形A1ABB1是正方形，所以E是A1B的中点．又D是BC的中点，所以DE∥A1C．因为DE 平面AB1D，A1C 平面AB1D，所以A1C∥平面AB1D．
(2) 求A1C到平面AB1D的距离．
【解答】由(1)知A1C∥平面AB1D，所以点C到平面AB1D的距离就是A1C到平面AB1D的距离．在平面B1BCC1内作CH⊥B1D交B1D的延长线于点H．依题意得AD⊥BB1，AD⊥BC，又BB1∩BC＝B，BB1，BC 平面B1BCC1，所以AD⊥平面B1BCC1．因为CH 平面B1BCC1，所以AD⊥CH．因为AD∩B1D＝D，AD，B1D 平面AB1D，所以CH⊥平面AB1D，则CH的长度就是点C到平面AB1D的距离．由△CDH∽△B1DB，且AA1＝AB＝1，得CH＝＝，即点C到平面AB1D的距离是．故A1C到平面AB1D的距离是．
视角3　平面到平面的距离
例3 3　如图，在直三棱柱ABC A1B1C1中，∠ABC＝90°，BC＝2，CC1＝4，E是BB1上的一点，且EB1＝1，D，F，G分别是CC1，B1C1，A1C1的中点，EF与B1D相交于点H．
(1) 求证：B1D⊥平面ABD；
【解答】由直三棱柱的性质得平面ABC⊥平面BB1C1C．又AB⊥BC，平面ABC∩平面BB1C1C＝BC，AB 平面ABC，所以AB⊥平面BB1C1C．又B1D 平面BB1C1C，所以AB⊥B1D．因为BC＝CD＝DC1＝B1C1＝2，所以在Rt△DCB和Rt△DC1B1中，∠BDC＝∠B1DC1＝45°，所以∠BDB1＝90°，即B1D⊥BD．又AB∩BD＝B，AB，BD 平面ABD，所以B1D⊥平面ABD．
(2) 求平面EGF与平面ABD的距离．
【解答】由题意知EB1＝B1F＝1，所以在Rt△EB1F中，∠FEB1＝45°，又∠DBB1＝45°，所以EF∥BD．因为BD 平面ABD，EF 平面ABD．所以EF∥平面ABD．因为G，F分别为A1C1，B1C1的中点，所以GF∥A1B1．又A1B1∥AB，所以GF∥AB．因为AB 平面ABD，GF 平面ABD，所以GF∥平面ABD．又因为EF 平面EGF，GF 平面EGF，EF∩GF＝F，所以平面EGF∥平面ABD．因为B1D⊥平面ABD，平面EGF∥平面ABD，所以B1D⊥平面EGF，所以HD为平行平面EGF与ABD之间的距离，所以HD＝B1D B1H＝2＝，即平面EGF与ABD之间的距离为．
空间中距离的转化
(1) 利用线面、面面平行转化：利用线面距离、面面距离的定义，转化为直线或平面上的某一点到平面的距离．
(2) 利用中点转化：如果条件中具有中点条件，将一个点到平面的距离，借助中点(等分点)，转化为另一点到平面的距离．
(3) 通过换底转化：一是直接换底，以方便求几何体的高；二是将底面扩展(分割)，以方便求底面积和高．
随堂内化及时评价
1．在四面体ABCD中，AB⊥平面BCD，BC⊥CD，则△ACD的形状为(　C　)
A．等腰三角形　 B．等边三角形
C．直角三角形　 D．等腰直角三角形
【解析】因为AB⊥平面BCD，CD 平面BCD，所以AB⊥CD．因为BC⊥CD，BC∩AB＝B，AB，BC 平面ABC，所以CD⊥平面ABC．因为AC 平面ABC，所以CD⊥AC，即△ACD为直角三角形．
2．在正方体ABCD A1B1C1D1中，直线l(与直线BB1不重合)⊥平面ABCD，则有(　B　)
A．BB1⊥l　 B．BB1∥l
C．BB1与l异面　 D．BB1与l相交
【解析】因为l⊥平面ABCD，且BB1⊥平面ABCD，直线l与直线BB1不重合，所以BB1∥l．
3．已知P是△ABC所在平面外一点，过点P作PO⊥平面ABC，垂足为O，连接PA，PB，PC．若PA＝PB＝PC，则O为△ABC的__外__心．
【解析】如图，因为PO⊥平面ABC，OA，OB，OC 平面ABC，所以PO⊥OA，PO⊥OB，PO⊥OC．因为PA＝PB＝PC，则△POA，△POB，△POC均为直角三角形且全等，所以OA＝OB＝OC，因此O为△ABC的外心．
4．如图，在四棱锥P ABCD中，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD为正方形，PA＝AB，E为AP的中点，则异面直线PC与DE所成的角的正弦值为(　D　)
A．　 B．
C．　 D．
【解析】如图，连接AC，BD，设AC与BD相交于点O，连接OE，BE．因为E为AP的中点，O为AC的中点，所以PC∥OE，可得∠OED为异面直线PC与DE所成的角．不妨设AB＝2，则PA＝2，由PA⊥平面ABCD，可得PA⊥AB，PA⊥AD，则BE＝DE＝，OD＝BD＝．因为BE＝DE，O为BD的中点，所以∠EOD＝90°，sin∠OED＝＝＝．

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