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第八章
8.6　空间直线、平面的垂直
立体几何初步
第4课时　平面与平面垂直的判定
学习 目标 1．理解二面角、二面角的平面角的概念并掌握二面角的平面角的一般作法，会求简单的二面角的平面角．
2．理解两个平面互相垂直的概念，并能用定义和判定定理证明相关的简单命题．
新知初探·基础落实
问题：在平面几何中，“角”是如何定义的？
从平面内一点引出的两条射线所组成的图形叫做角．
如图，从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面．棱为AB，面分别为α，β的二面角记作二面角α AB β．有时为了方便，也可在α，β内(棱以外的半平面部分)分别取点P，Q，将这个二面角记作二面角P AB Q．如果棱记作l，那么这个二面角记作二面角α l β或P l Q．
一、 概念生成
如图，在日常生活中，我们常说“把门开大一些”，是指哪个角大一些？受此启发，你认为应该怎样刻画二面角的大小呢？
请同学阅读课本P155—P158，完成下列填空．
二、 概念表述
1．二面角
(1) 定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形．
(2) 记作：二面角α AB β；二面角α l β；二面角P AB Q；二面角P l Q．
2．二面角的平面角
(1) 定义：在二面角α l β的棱l上任取一点O，以点O为垂足，在半平面α和β内分别作________于棱l的射线OA和OB，则射线OA和OB构成的∠AOB叫做二面角的平面角．
(2) 图形：
(3) 范围：0°≤α≤180°．
垂直
3．平面与平面垂直的定义
一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是____________，就说这两个平面互相________．平面α与β垂直，记作________．
4．平面与平面垂直的判定定理
文字语言 图形语言 符号语言
如果一个平面过另一个平面的_______，那么这两个平面________ _________，
b β β⊥α
该定理可简记为“若线面垂直，则面面垂直” 直二面角
垂直
α⊥β
垂线
垂直
b⊥α
三、 概念辨析(判断正误：正确的画“√”，错误的画“×”)
(1) 对于确定的二面角而言，平面角的大小与二面角的大小相等． (　　)
(2) 二面角的平面角的大小，与角的顶点在棱上的位置有关． (　　)
(3) 二面角θ的取值范围是0°＜θ≤90°． (　　)
(4) 由组成二面角的平面角的两边所在直线确定的平面与二面角的棱垂直．(　　)
√
×
×
√
典例精讲·能力初成
探究
1
二面角及其平面角的概念的理解
　　　(多选)下列说法正确的是 (　 　)
A．两个相交平面组成的图形叫做二面角
B．异面直线a，b分别和一个二面角的两个面垂直，则a，b所成的角与这个二面角的平面角相等或互补
C．二面角的平面角是从棱上一点出发，分别在两个面内作射线所成的角的最小角
D．二面角的大小与其平面角的顶点在棱上的位置没有关系
1
【解析】
　　　　由二面角的定义“从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角”知A错误；由a，b分别垂直于两个面，则a，b都垂直于二面角的棱，故B正确；C中所作的射线不一定垂直于二面角的棱，故C错误；由定义知D正确．
BD
作二面角的平面角的方法
方法一：(定义法)在二面角的棱上任取一个点为垂足，在两个半平面内分别作垂直于棱的射线．如图(1)所示，∠AOB为二面角α l β的平面角．
方法二：(垂线法)过二面角的一个面内一点作另一个平面的垂线，过垂足作棱的垂线，利用线面垂直可找到二面角的平面角或其补角．如图(2)所示，∠AFE为二面角A BC D的平面角．
图(1)
图(2)
方法三：(垂面法)过棱上一点作棱的垂直平面，该平面与二面角的两个半平面产生交线，这两条交线所成的角，即为二面角的平面角．如图(3)所示，∠AOB为二面角α l β的平面角．
图(2)
变式　如图，α，β，γ为平面，α∩β＝l，α∩γ＝a，β∩γ＝b，l⊥γ．若∠AOB＝70°，指出图中二面角α l β，α a γ，β b γ的平面角及其大小，并说明理由．
【解答】
　　　　由二面角的平面角的定义知∠AOB为二面角α l β的平面角，所以二面角 α l β 的平面角是70°．因为l⊥γ，l α，l β，所以α⊥γ，β⊥γ，即二面角α a γ，β b γ的平面角均为90°．
探究
2
求二面角的大小
　　　如图，在长方体ABCD A1B1C1D1中，AD＝AA1＝1，AB＝2，E是棱AB的中点．求二面角D1 EC D的正切值．
2
【解答】
　　　　在△CED中，CD＝2，DE＝＝，CE＝＝，所以DE2＋CE2＝CD2，故CE⊥DE．因为D1D⊥平面ABCD，CE 平面ABCD，所以CE⊥D1D．因为D1D 平面D1DE，DE 平面D1DE，D1D∩DE＝D，所以CE⊥平面D1DE．又因为D1E 平面D1DE，所以CE⊥D1E，所以∠D1ED是二面角D1 EC D的平面角．在△D1ED中，因为∠D1DE＝90°，D1D＝1，DE＝，所以tan∠D1ED＝＝＝，所以二面角D1 EC D的正切值为．
求二面角的平面角的大小的步骤
(1) 作：作出平面角，一般在交线上找一特殊点，分别在两个半平面内向交线作垂线．
(2) 证：证明所作的角满足定义，并指出二面角的平面角．
(3) 求：将作出的角放到三角形中，利用解三角形求出角的大小．
变式　如图，四边形ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，且PA＝AB．
(1) 求二面角A PD C的平面角的度数；
【解答】
　　　　因为PA⊥平面ABCD，CD 平面ABCD，所以PA⊥CD．又四边形ABCD为正方形，所以CD⊥AD．因为PA∩AD＝A，PA，AD 平面PAD，所以CD⊥平面PAD．又CD 平面PCD，所以平面PAD⊥平面PCD，所以二面角A PD C的平面角的度数为90°．
变式　如图，四边形ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，且PA＝AB．
(2) 求二面角B PA D的平面角的度数；
【解答】
　　　　因为PA⊥平面ABCD，AB，AD 平面ABCD，所以AB⊥PA，AD⊥PA，所以∠BAD为二面角B PA D的平面角．又由题意知∠BAD＝90°，所以二面角B PA D的平面角的度数为90°．
变式　如图，四边形ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，且PA＝AB．
(3) 求二面角B PA C的平面角的度数．
【解答】
　　　　因为PA⊥平面ABCD，AB，AC 平面ABCD，所以AB⊥PA，AC⊥PA，所以∠BAC为二面角B PA C的平面角．又四边形ABCD为正方形，所以∠BAC＝45°，即二面角B PA C的平面角的度数为45°．
探究
3
平面与平面垂直的证明
　　　(课本P158例7)如图所示，在正方体ABCD A'B'C'D'中，求证：平面A'BD⊥平面ACC'A'．
3
【解答】
　　　　因为ABCD A'B'C'D'是正方体，所以AA'⊥平面ABCD，又BD 平面ABCD，所以AA'⊥BD．又BD⊥AC，AC∩AA'＝A，AC，AA' 平面ACC'A'，所以BD⊥平面ACC'A'，又BD 平面A'BD，所以平面A'BD⊥平面ACC'A'．
证明面面垂直的方法
(1) 利用定义，即证明二面角的平面角为直角；
(2) 利用平面与平面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直，即把证明面面垂直转化为证明线面垂直，其关键是在其中一个平面内寻找一条直线与另一个平面垂直．
变式　(1) 如图，在长方体ABCD A1B1C1D1中，AB＝AD＝1，AA1＝2，M是棱CC1的中点．求证：平面ABM⊥平面A1B1M．
【解答】
　　　　由长方体的性质可知A1B1⊥平面BCC1B1，又BM 平面BCC1B1，所以A1B1⊥BM．又CC1＝2，M为CC1的中点，所以C1M＝CM＝1．在Rt△B1C1M中，B1M＝＝．同理BM＝＝．又B1B＝2，所以B1M2＋BM2＝B1B2，从而BM⊥B1M．又A1B1∩B1M＝B1，A1B1，B1M 平面A1B1M，所以BM⊥平面A1B1M．因为BM 平面ABM，所以平面ABM⊥平面A1B1M．
变式　(2) (课本P158例8)如图，AB是圆O的直径，PA垂直于圆O所在的平面，C是圆周上不同于A，B的任意一点．求证：平面PAC⊥平面PBC．
【解答】
　　　　因为PA⊥平面ABC，BC 平面ABC，所以PA⊥BC．因为C是圆周上不同于A，B的任意一点，AB是圆O的直径，所以∠BCA＝90°，即BC⊥AC．又PA∩AC＝A，PA 平面PAC，AC 平面PAC，所以BC⊥平面PAC．又BC 平面PBC，所以平面PAC⊥平面PBC．
随堂内化·及时评价
1．对于直线m，n和平面α，β，一定能得出α⊥β的一组条件是 (　　)
A．m⊥n，m∥α，n∥β B．m⊥n，α∩β＝m，n β
C．m∥n，n⊥β，m α D．m∥n，m⊥α，n⊥β
【解析】
　　　　A中，α也可与β平行或斜交；B中，不一定有α⊥β；C中，因为m∥n，n⊥β，所以m⊥β，又m α，所以α⊥β；D中，α∥β．
C
2．已知AB是平面α的垂线，B是垂足，AC是平面α的斜线，CD 平面α，CD⊥AC，则平面ABC、平面ACD、平面ABD、平面BCD中，互相垂直的有(　　)
A．3对　 B．4对
C．5对　 D．6对
【解析】
　　　　如图，AB是平面α的垂线，AB 平面ABD，AB 平面ABC，所以平面ABD⊥平面BCD，平面ABC⊥平面BCD．因为CD 平面α，所以AB⊥CD，又CD⊥AC，AB∩AC＝A，AB，AC 平面ABC，所以CD⊥平面ABC．因为CD 平面ACD，所以平面ABC⊥平面ACD．故互相垂直的有3对．
A
3．(多选)已知直线m，n和平面α，β，下列说法正确的有 (　 　)
A．若m⊥α，n⊥β，且m⊥n，则α⊥β B．若m∥α，α∩β＝n，则m∥n
C．若m⊥α，n∥β，且m⊥n，则α⊥β D．若m⊥α，n∥β，且m∥n，则α⊥β
【解析】
　　　　对于A，因为m⊥α，m⊥n，所以n∥α或n α，又n⊥β，所以α⊥β，故A正确；对于B，如图所示，在正方体中，FH＝m，BC＝n，平面ABCD＝α，平面BCHG＝β，显然m∥α，α∩β＝n，而FH与BC不平行，故B错误；对于C，如图所示，在正方体中，GB＝m，平面ABCD＝α，AB＝n，平面FEHG＝β，显然符合
条件，而α∥β，故C错误；对于D，因为m⊥α，m∥n，所以n⊥α，又n∥β，所以α⊥β，故D正确．
AD
4．如图，三棱台ABC A1B1C1的下底面是正三角形，AB⊥ BB1，B1C1⊥BB1，则二面角A BB1 C 的大小是 (　　)
A．30°　 B．45°
C．60°　 D．90°
【解析】
　　　　在三棱台ABC A1B1C1中，B1C1∥BC，且B1C1⊥BB1，则BC⊥BB1．又AB⊥BB1，且AB∩BC＝B，所以B1B⊥平面ABC，所以∠ABC为二面角A BB1 C的平面角．因为△ABC为等边三角形，所以∠ABC＝60°．
C
5．(课本P159练习4)如图，在正三棱柱ABC A'B'C'中，D为棱AC的中点．求证：平面BDC'⊥平面ACC'A'．
【解答】
　　　　因为在正三棱柱ABC A'B'C'中，D为AC的中点，△ABC为正三角形，所以BD⊥AC．又在正三棱柱ABC A'B'C'中，AA'⊥平面ABC，BD 平面ABC，所以AA'⊥BD．因为AC∩AA'＝A，AC 平面ACC'A'，AA' 平面ACC'A'，所以BD⊥平面ACC'A'．因为BD 平面BDC'，所以平面BDC'⊥平面ACC'A'．第4课时　平面与平面垂直的判定
一、 单项选择题
1．对于直线m，n和平面α，β，能得出α⊥β的一个条件是(　　)
A．m⊥n，m∥α，n∥β
B．m⊥n，m β，n β
C．m∥n，n⊥β，m α
D．m∥n，m⊥α，n⊥β
2．如图，在正方体ABCD A1B1C1D1中，截面C1D1AB与底面ABCD所成二面角的大小为(　　)
(第2题)
A．30° B．45°
C．60° D．90°
3．如图，在三棱锥P ABC中，PA⊥平面ABC，∠BAC＝90°，则二面角B PA C的大小为(　　)
(第3题)
A．90° B．60°
C．45° D．30°
4．如图，在四棱锥P ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面ABCD为菱形，M是PC上的一个动点，若要使得平面MBD⊥平面PCD，则应补充的一个条件可以是(　　)
(第4题)
A．MD⊥MB
B．MD⊥PC
C．AB⊥AD
D．M是棱PC的中点
二、 多项选择题
5．如图，已知PA垂直于矩形ABCD所在的平面，则下列结论正确的有(　　)
(第5题)
A．平面PAD⊥平面PAB B．平面PAD⊥平面PCD
C．平面PBC⊥平面PAB D．平面PBC⊥平面PCD
6．如图，在正四面体P ABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，下列结论正确的是(　　)
(第6题)
A．BC∥平面PDF B．DF⊥平面PAE
C．平面PDE⊥平面PBC D．平面PDF⊥平面PAE
三、 填空题
7．如图，PA⊥平面ABCD，且四边形ABCD为菱形，M是PC上的一动点，当点M满足条件________时，平面MBD⊥平面PCD.(注：只要填写一个你认为正确的条件即可)
(第7题)
8．如图，二面角α l β的大小是60°，线段AB α，B∈l，AB与l所成的角为30°，则AB与平面β所成的角的正弦值是________．
(第8题)
四、 解答题
9．如图，在四棱锥P ABCD中，AB∥CD，AP＝AD，E是棱PD的中点，且AE⊥AB.求证：平面ABE⊥平面PCD.
(第9题)
10．如图，正方体ABCD A1B1C1D1的棱长为1.
(1) 求证：AC⊥平面B1BDD1；
(2) 求二面角B1 AC B的平面角的正弦值.
(第10题)
11．如图所示，在四面体S ABC中，△ABC和△SBC都是等边三角形，且SA＝BC＝，则二面角S BC A的大小为(　　)
(第11题)
A． B．
C． D．
12．已知腰长为2的等腰直角三角形ABC，现沿斜边BC上的高AD翻折，使得二面角B AD C的大小为60°，则点B到AC的距离为________．
13．如图，在四棱锥P ABCD中，四边形ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，且PA＝AB．
(1) 求二面角A PD C的平面角的度数；
(2) 求二面角B PA C的平面角的度数.
(第13题)
第4课时　平面与平面垂直的判定
基础打底·熟练掌握
1．C　【解析】 在A中，m⊥n，m∥α，n∥β，则α与β相交或平行，故A错误；在B中，m⊥n，m β，n β，则α与β相交或平行，故B错误；在C中，m∥n，n⊥β，则m⊥β，且m α，由面面垂直的判定定理得α⊥β，故C正确；在D中，m∥n，m⊥α，n⊥β，由面面平行的判定定理得α∥β，故D错误.
2．B　3．A　
4．B　【解析】 连接AC(图略).因为在四棱锥P ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面ABCD为菱形，所以BD⊥PA，BD⊥AC.因为PA∩AC＝A，PA，AC 平面PAC，所以BD⊥平面PAC.因为PC 平面PAC，所以BD⊥PC，所以当DM⊥PC(或BM⊥PC)时，即有PC⊥平面MBD.又PC 平面PCD，所以平面MBD⊥平面PCD.
5．ABC　【解析】 由题意可得CD⊥平面PAD，AB⊥平面PAD，BC⊥平面PAB，所以平面PCD⊥平面PAD，平面PAB⊥平面PAD，平面PBC⊥平面PAB.
6．ABD　【解析】 因为D，F分别为AB，AC的中点，所以BC∥DF.因为DF 平面PDF，BC 平面PDF，所以BC∥平面PDF，故A正确；在正四面体中，易知AE⊥BC，PE⊥BC，且AE∩PE＝E，AE，PE 平面PAE，所以BC⊥平面PAE，因为DF∥BC，所以DF⊥平面PAE，故B正确；又DF 平面PDF，从而平面PDF⊥平面PAE，故D正确；若平面PDE⊥平面PBC，因为PE⊥BC，平面PDE∩平面PBC＝PE，所以DE⊥BC，显然不合题意，故C错误.
7．BM⊥PC(答案不唯一)　【解析】 根据面面垂直的判定定理可得，当PC⊥平面MBD时，平面MBD⊥平面PCD，故可以考虑PC⊥平面MBD，此时BM⊥PC.当BM⊥PC时，根据对称性可得DM⊥PC，又BM∩DM＝M，BM，DM 平面MBD，此时PC⊥平面MBD，满足题意.
8．　【解析】 如图，作AO⊥β于点O，AC⊥l于点C，连接OB，OC，则OC⊥l，∠ACO为二面角α l β的平面角，∠ABC为AB与l所成的角，故∠ACO＝60°，∠ABC＝30°.设AB与β所成的角为θ，则∠ABO＝θ.由图得sin θ＝＝·＝sin∠ABC·sin∠ACO＝.
(第8题)
(第10题)
9．【解答】 因为AP＝AD，E是棱PD的中点，所以AE⊥PD.因为AB∥CD，AE⊥AB，所以AE⊥CD.因为PD∩CD＝D，PD，CD 平面PDC，所以AE⊥平面PDC.因为AE 平面ABE，所以平面ABE⊥平面PCD.
10．【解答】 (1) 因为在正方体ABCD A1B1C1D1中，BB1⊥平面ABCD，且AC 平面ABCD，所以BB1⊥AC.因为AC⊥BD，BB1⊥AC，BD∩BB1＝B，BD，BB1 平面B1BDD1，所以AC⊥平面B1BDD1.
(2) 如图，设AC∩BD＝O，连接B1O.因为B1A＝B1C，所以B1O⊥AC.又BO⊥AC，B1O 平面B1AC，BO 平面BAC，所以∠B1OB为二面角B1 AC B的平面角.在Rt△B1OB中，B1B＝1，OB＝，所以OB1＝＝，所以sin∠B1OB＝＝＝.
能力进阶·融会贯通
11．C　【解析】 如图，取BC的中点O，连接AO，SO.因为△ABC和△SBC都是等边三角形，则SO⊥BC，AO⊥BC，所以∠SOA为二面角S BC A的平面角，又SA＝BC＝，则BC＝2，SO＝AO＝，所以∠SOA＝，所以二面角S BC A的大小为.
(第11题)
12．　【解析】 如图(1)，由题意，AB＝AC＝2，∠BAC＝90°，所以BC＝2BD＝2CD＝4.因为BD⊥AD，CD⊥AD，所以∠BDC为二面角B AD C的平面角，即∠BDC＝60°，所以图(2)中BC＝2.设点B到AC的距离为h，由等面积法可知BC·＝AC·h，即h＝＝.
图(1)
图(2)
(第12题)
13．【解答】 (1) 因为PA⊥平面ABCD，CD 平面ABCD，所以PA⊥CD.又四边形ABCD为正方形，所以CD⊥AD.因为PA∩AD＝A，PA，AD 平面PAD，所以CD⊥平面PAD.又CD 平面PCD，所以平面PAD⊥平面PCD，所以二面角A PD C的平面角的度数为90°.
(2) 因为PA⊥平面ABCD，AB，AC 平面ABCD，所以AB⊥PA，AC⊥PA，所以∠BAC为二面角B－PA－C的平面角.又四边形ABCD为正方形，所以∠BAC＝45°，即二面角B PA C的平面角的度数为45°.第4课时　平面与平面垂直的判定
学习 目标 1．理解二面角、二面角的平面角的概念并掌握二面角的平面角的一般作法，会求简单的二面角的平面角． 2．理解两个平面互相垂直的概念，并能用定义和判定定理证明相关的简单命题．
新知初探基础落实
问题：在平面几何中，“角”是如何定义的？
从平面内一点引出的两条射线所组成的图形叫做角．
如图，从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面．棱为AB，面分别为α，β的二面角记作二面角α AB β．有时为了方便，也可在α，β内(棱以外的半平面部分)分别取点P，Q，将这个二面角记作二面角P AB Q．如果棱记作l，那么这个二面角记作二面角α l β或P l Q．
一、 概念生成
如图，在日常生活中，我们常说“把门开大一些”，是指哪个角大一些？受此启发，你认为应该怎样刻画二面角的大小呢？
请同学阅读课本P155—P158，完成下列填空．
二、 概念表述
1．二面角
(1) 定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形．
(2) 记作：二面角α AB β；二面角α l β；二面角P AB Q；二面角P l Q．
2．二面角的平面角
(1) 定义：在二面角α l β的棱l上任取一点O，以点O为垂足，在半平面α和β内分别作__垂直__于棱l的射线OA和OB，则射线OA和OB构成的∠AOB叫做二面角的平面角．
(2) 图形：
(3) 范围：0°≤α≤180°．
3．平面与平面垂直的定义
一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是__直二面角__，就说这两个平面互相__垂直__．平面α与β垂直，记作__α⊥β__．
4．平面与平面垂直的判定定理
文字语言 图形语言 符号语言
如果一个平面过另一个平面的__垂线__，那么这两个平面__垂直__ __b⊥α__， b β β⊥α
该定理可简记为“若线面垂直，则面面垂直”
三、 概念辨析(判断正误：正确的画“√”，错误的画“×”)
(1) 对于确定的二面角而言，平面角的大小与二面角的大小相等．(　√　)
(2) 二面角的平面角的大小，与角的顶点在棱上的位置有关．(　×　)
(3) 二面角θ的取值范围是0°＜θ≤90°．(　×　)
(4) 由组成二面角的平面角的两边所在直线确定的平面与二面角的棱垂直．(　√　)
典例精讲能力初成
探究1　二面角及其平面角的概念的理解
例1　(多选)下列说法正确的是(　BD　)
A．两个相交平面组成的图形叫做二面角
B．异面直线a，b分别和一个二面角的两个面垂直，则a，b所成的角与这个二面角的平面角相等或互补
C．二面角的平面角是从棱上一点出发，分别在两个面内作射线所成的角的最小角
D．二面角的大小与其平面角的顶点在棱上的位置没有关系
【解析】由二面角的定义“从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角”知A错误；由a，b分别垂直于两个面，则a，b都垂直于二面角的棱，故B正确；C中所作的射线不一定垂直于二面角的棱，故C错误；由定义知D正确．
作二面角的平面角的方法
方法一：(定义法)在二面角的棱上任取一个点为垂足，在两个半平面内分别作垂直于棱的射线．如图(1)所示，∠AOB为二面角α l β的平面角．
图(1)
图(2)
方法二：(垂线法)过二面角的一个面内一点作另一个平面的垂线，过垂足作棱的垂线，利用线面垂直可找到二面角的平面角或其补角．如图(2)所示，∠AFE为二面角A BC D的平面角．
方法三：(垂面法)过棱上一点作棱的垂直平面，该平面与二面角的两个半平面产生交线，这两条交线所成的角，即为二面角的平面角．如图(3)所示，∠AOB为二面角α l β的平面角．
变式　如图，α，β，γ为平面，α∩β＝l，α∩γ＝a，β∩γ＝b，l⊥γ．若∠AOB＝70°，指出图中二面角α l β，α a γ，β b γ的平面角及其大小，并说明理由．
【解答】由二面角的平面角的定义知∠AOB为二面角α l β的平面角，所以二面角 α l β 的平面角是70°．因为l⊥γ，l α，l β，所以α⊥γ，β⊥γ，即二面角α a γ，β b γ的平面角均为90°．
探究2　求二面角的大小
例2　如图，在长方体ABCD A1B1C1D1中，AD＝AA1＝1，AB＝2，E是棱AB的中点．求二面角D1 EC D的正切值．
【解答】在△CED中，CD＝2，DE＝＝，CE＝＝，所以DE2＋CE2＝CD2，故CE⊥DE．因为D1D⊥平面ABCD，CE 平面ABCD，所以CE⊥D1D．因为D1D 平面D1DE，DE 平面D1DE，D1D∩DE＝D，所以CE⊥平面D1DE．又因为D1E 平面D1DE，所以CE⊥D1E，所以∠D1ED是二面角D1 EC D的平面角．在△D1ED中，因为∠D1DE＝90°，D1D＝1，DE＝，所以tan∠D1ED＝＝＝，所以二面角D1 EC D的正切值为．
求二面角的平面角的大小的步骤
(1) 作：作出平面角，一般在交线上找一特殊点，分别在两个半平面内向交线作垂线．
(2) 证：证明所作的角满足定义，并指出二面角的平面角．
(3) 求：将作出的角放到三角形中，利用解三角形求出角的大小．
变式　如图，四边形ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，且PA＝AB．
(1) 求二面角A PD C的平面角的度数；
【解答】因为PA⊥平面ABCD，CD 平面ABCD，所以PA⊥CD．又四边形ABCD为正方形，所以CD⊥AD．因为PA∩AD＝A，PA，AD 平面PAD，所以CD⊥平面PAD．又CD 平面PCD，所以平面PAD⊥平面PCD，所以二面角A PD C的平面角的度数为90°．
(2) 求二面角B PA D的平面角的度数；
【解答】因为PA⊥平面ABCD，AB，AD 平面ABCD，所以AB⊥PA，AD⊥PA，所以∠BAD为二面角B PA D的平面角．又由题意知∠BAD＝90°，所以二面角B PA D的平面角的度数为90°．
(3) 求二面角B PA C的平面角的度数．
【解答】因为PA⊥平面ABCD，AB，AC 平面ABCD，所以AB⊥PA，AC⊥PA，所以∠BAC为二面角B PA C的平面角．又四边形ABCD为正方形，所以∠BAC＝45°，即二面角B PA C的平面角的度数为45°．
探究3　平面与平面垂直的证明
例3　(课本P158例7)如图所示，在正方体ABCD A'B'C'D'中，求证：平面A'BD⊥平面ACC'A'．
【解答】因为ABCD A'B'C'D'是正方体，所以AA'⊥平面ABCD，又BD 平面ABCD，所以AA'⊥BD．又BD⊥AC，AC∩AA'＝A，AC，AA' 平面ACC'A'，所以BD⊥平面ACC'A'，又BD 平面A'BD，所以平面A'BD⊥平面ACC'A'．
证明面面垂直的方法
(1) 利用定义，即证明二面角的平面角为直角；
(2) 利用平面与平面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直，即把证明面面垂直转化为证明线面垂直，其关键是在其中一个平面内寻找一条直线与另一个平面垂直．
变式　(1) 如图，在长方体ABCD A1B1C1D1中，AB＝AD＝1，AA1＝2，M是棱CC1的中点．求证：平面ABM⊥平面A1B1M．
【解答】由长方体的性质可知A1B1⊥平面BCC1B1，又BM 平面BCC1B1，所以A1B1⊥BM．又CC1＝2，M为CC1的中点，所以C1M＝CM＝1．在Rt△B1C1M中，B1M＝＝．同理BM＝＝．又B1B＝2，所以B1M2＋BM2＝B1B2，从而BM⊥B1M．又A1B1∩B1M＝B1，A1B1，B1M 平面A1B1M，所以BM⊥平面A1B1M．因为BM 平面ABM，所以平面ABM⊥平面A1B1M．
(2) (课本P158例8)如图，AB是圆O的直径，PA垂直于圆O所在的平面，C是圆周上不同于A，B的任意一点．求证：平面PAC⊥平面PBC．
【解答】因为PA⊥平面ABC，BC 平面ABC，所以PA⊥BC．因为C是圆周上不同于A，B的任意一点，AB是圆O的直径，所以∠BCA＝90°，即BC⊥AC．又PA∩AC＝A，PA 平面PAC，AC 平面PAC，所以BC⊥平面PAC．又BC 平面PBC，所以平面PAC⊥平面PBC．
随堂内化及时评价
1．对于直线m，n和平面α，β，一定能得出α⊥β的一组条件是(　C　)
A．m⊥n，m∥α，n∥β B．m⊥n，α∩β＝m，n β
C．m∥n，n⊥β，m α D．m∥n，m⊥α，n⊥β
【解析】A中，α也可与β平行或斜交；B中，不一定有α⊥β；C中，因为m∥n，n⊥β，所以m⊥β，又m α，所以α⊥β；D中，α∥β．
2．已知AB是平面α的垂线，B是垂足，AC是平面α的斜线，CD 平面α，CD⊥AC，则平面ABC、平面ACD、平面ABD、平面BCD中，互相垂直的有(　A　)
A．3对　 B．4对
C．5对　 D．6对
【解析】如图，AB是平面α的垂线，AB 平面ABD，AB 平面ABC，所以平面ABD⊥平面BCD，平面ABC⊥平面BCD．因为CD 平面α，所以AB⊥CD，又CD⊥AC，AB∩AC＝A，AB，AC 平面ABC，所以CD⊥平面ABC．因为CD 平面ACD，所以平面ABC⊥平面ACD．故互相垂直的有3对．
3．(多选)已知直线m，n和平面α，β，下列说法正确的有(　AD　)
A．若m⊥α，n⊥β，且m⊥n，则α⊥β
B．若m∥α，α∩β＝n，则m∥n
C．若m⊥α，n∥β，且m⊥n，则α⊥β
D．若m⊥α，n∥β，且m∥n，则α⊥β
【解析】对于A，因为m⊥α，m⊥n，所以n∥α或n α，又n⊥β，所以α⊥β，故A正确；对于B，如图所示，在正方体中，FH＝m，BC＝n，平面ABCD＝α，平面BCHG＝β，显然m∥α，α∩β＝n，而FH与BC不平行，故B错误；对于C，如图所示，在正方体中，GB＝m，平面ABCD＝α，AB＝n，平面FEHG＝β，显然符合条件，而α∥β，故C错误；对于D，因为m⊥α，m∥n，所以n⊥α，又n∥β，所以α⊥β，故D正确．
4．如图，三棱台ABC A1B1C1的下底面是正三角形，AB⊥BB1，B1C1⊥BB1，则二面角A BB1 C 的大小是(　C　)
A．30°　 B．45°
C．60°　 D．90°
【解析】在三棱台ABC A1B1C1中，B1C1∥BC，且B1C1⊥BB1，则BC⊥BB1．又AB⊥BB1，且AB∩BC＝B，所以B1B⊥平面ABC，所以∠ABC为二面角A BB1 C的平面角．因为△ABC为等边三角形，所以∠ABC＝60°．
5．(课本P159练习4)如图，在正三棱柱ABC A'B'C'中，D为棱AC的中点．求证：平面BDC'⊥平面ACC'A'．
【解答】因为在正三棱柱ABC A'B'C'中，D为AC的中点，△ABC为正三角形，所以BD⊥AC．又在正三棱柱ABC A'B'C'中，AA'⊥平面ABC，BD 平面ABC，所以AA'⊥BD．因为AC∩AA'＝A，AC 平面ACC'A'，AA' 平面ACC'A'，所以BD⊥平面ACC'A'．因为BD 平面BDC'，所以平面BDC'⊥平面ACC'A'．

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