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(共28张PPT)
第八章
8.6　空间直线、平面的垂直
立体几何初步
第5课时　平面与平面垂直的性质
学习 目标 掌握平面与平面垂直的性质定理，并能够证明；能用性质定理证明一些空间位置关系的简单命题．
新知初探·基础落实
下面我们研究平面与平面垂直的性质，也就是在两个平面互相垂直的条件下，能推出哪些结论．
如果两个平面互相垂直，根据已有的研究经验，我们可以先研究其中一个平面内的直线与另一个平面具有什么位置关系．
一、 概念生成
如图，设α⊥β，α∩β＝a，则β内任意一条直线b与a有什么位置关系？相应地，b与α有什么位置关系？为什么？
显然，b与a平行或相交．当b∥a时，b∥α；当b与a相交时，b与α也相交．
由此我们得到平面与平面垂直的性质定理：两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直．
特别地，当b⊥a时，如图，设b与a的交点为A，过点A在α内作直线c⊥a，则直线b，c所成的角就是二面角α a β的平面角．由α⊥β，知b⊥c，又因为b⊥a，a和c是α内的两条相交直线，所以b⊥α．
请同学阅读课本P159—P161，完成下列填空．
二、 概念表述
1．平面与平面垂直的性质定理
(1) 文字语言：两个平面垂直，_____________________________________________ _____，那么这条直线与另一个平面垂直．
(2) 图形语言：
(3) 符号语言：________________________________．
(4) 作用：①面面垂直 线面垂直；②作面的垂线．
如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交
线
α⊥β，α∩β＝l，a α，a⊥l a⊥β
2．平面与平面垂直的其他性质
(1) 如果两个平面互相垂直，那么经过第一个平面内一点垂直于第二个平面的直线在第一个平面内，即α⊥β，A∈α，A∈b，b⊥β b α；
(2) 如果两个平面互相垂直，那么与其中一个平面平行的平面垂直于另一个平面，即α⊥β，γ∥β γ⊥α；
(3) 如果两个平面互相垂直，那么其中一个平面的垂线平行于另一个平面或在另一个平面内，即α⊥β，b⊥β b∥α或b α；
(4) 如果两个相交平面都垂直于第三个平面，那么它们的交线垂直于第三个平面，即α∩β＝l，α⊥γ，β⊥γ l⊥γ；
(5) 三个两两垂直的平面的交线也两两垂直，即α⊥β，α∩β＝l，β⊥γ，β∩γ＝m，γ⊥α，γ∩α＝n l⊥m，m⊥n，l⊥n．
3．垂直问题转化关系如下图所示
三、 概念辨析(判断正误：正确的画“√”，错误的画“×”)
(1) 若平面α⊥平面β，则平面α内所有直线都垂直于平面β． (　　)
(2) 若平面α⊥平面β，则平面α内一定存在直线平行于平面β． (　　)
(3) 若平面α不垂直于平面β，则平面α内一定不存在直线垂直于平面β． (　　)
(4) 如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么l⊥平面γ． (　　)
×
√
√
√
典例精讲·能力初成
探究
1
面面垂直性质定理及其应用
　　　(课本P161例10)如图，已知PA⊥平面ABC，平面PAB⊥平面PBC，求证：BC⊥平面PAB．
1
【解答】
　　　　如图，过点A作AE⊥PB，垂足为E．因为平面PAB⊥平面PBC，平面PAB∩平面PBC＝PB，所以AE⊥平面PBC．因为BC 平面PBC，所以AE⊥BC．因为PA⊥平面ABC，BC 平面ABC，所以PA⊥BC．又PA∩AE＝A，PA，AE 平面PAB，所以BC⊥平面PAB．
1．证明线面垂直，一种方法是利用线面垂直的判定定理，另一种方法是利用面面垂直的性质定理．本题已知面面垂直，故可考虑面面垂直的性质定理．
2．利用面面垂直的性质定理，证明线面垂直的问题时，要注意以下三点：(1) 两个平面垂直；(2) 直线必须在其中一个平面内；(3) 直线必须垂直于它们的交线．
3．解题时，要抓住几何图形自身的特点，如等腰(边)三角形的三线合一、中位线定理、菱形的对角线互相垂直等．还可以通过解三角形，产生一些题目所需要的条件，对于一些较复杂的问题，注意应用转化思想解决问题．
变式　如图，在四棱锥P ABCD中，PD＝PC，∠DPC＝∠DCB＝90°，平面PDC⊥平面ABCD．求证：PD⊥平面PBC．
【解答】
　　　　由题设知BC⊥CD，又平面PDC⊥平面ABCD，平面PDC∩平面ABCD＝CD，BC 平面ABCD，所以BC⊥平面PDC．因为PD 平面PDC，所以BC⊥PD．由∠DPC＝90°得PC⊥PD．又BC∩PC＝C，BC，PC 平面PBC，所以PD⊥平面PBC．
探究
2
与面面垂直有关的计算
　　　如图，在棱长为1的正方体ABCD A1B1C1D1中，E为BC的中点，点P在线段D1E上，则点P到直线CC1的距离的最小值为
______．
2
【解析】
　　　　点P到直线CC1距离的最小值是异面直线D1E与CC1的距离．如图，取B1C1的中点F，连接EF，ED1，则CC1∥EF．又EF 平面D1EF，CC1 平面D1EF，所以CC1∥平面D1EF，所以直线C1C上任一点到平面D1EF的距离即为两条异面直线D1E与CC1的距离．
过点C1作C1M⊥D1F，垂足为M．因为平面D1EF⊥平面A1B1C1D1，平面D1EF∩平面A1B1C1D1＝D1F，且C1M 平面A1B1C1D1，所以C1M⊥平面D1EF，则C1M即为所求．过点M作MQ∥EF交D1E于点Q，则MQ∥C1C．取C1N＝MQ，连接QN，则四边形MQNC1是矩形，可得NQ⊥平面D1EF．在Rt△D1C1F中，由C1M·D1F＝D1C1·C1F，得C1M＝＝＝．故点P到直线CC1的
距离的最小值为．
与面面垂直有关的计算问题的解决方法
(1) 计算问题一般在三角形中求解．所给条件中的面面垂直首先转化为线面垂直，然后转化为线线垂直．往往把计算问题归结为一个直角三角形中的计算问题．
(2) 求几何体的体积时要注意应用转换顶点法，求线段的长度或点到平面的距离时往往也应用几何体中的转换顶点(等体积)法．
变式　如图，平面α⊥平面β，在α与β的交线l上取线段AB＝4 cm，AC，BD分别在平面α和平面β内，AC⊥l，BD⊥l，AC＝3 cm，BD＝12 cm，求线段CD的长．
【解答】
　　　　因为α⊥β，α∩β＝l，BD⊥l，所以BD⊥α，又BC α，所以BD⊥BC．因为AC⊥AB，所以BC＝＝5(cm)．在Rt△BCD中，CD＝＝13(cm)．
探究
3
折叠问题
　　　如图(1)，在矩形ABCD中，AD＝1，AB＝3，M为CD上一点，且CM＝2MD．将△ADM沿AM折起，使得平面ADM⊥平面ABCM，如图(2)，E是线段AM的中点．
(1) 求四棱锥D ABCM的体积．
3
【解答】
　　　　由题知DA＝DM，又E是AM的中点，所以DE⊥AM．因为平面ADM⊥平面ABCM，平面ADM∩平面ABCM＝AM，所以DE⊥平面ABCM，故四棱锥D ABCM的体积V＝S梯形ABCM·DE＝＝．
图(1)
图(2)
　　　如图(1)，在矩形ABCD中，AD＝1，AB＝3，M为CD上一点，且CM＝2MD．将△ADM沿AM折起，使得平面ADM⊥平面ABCM，如图(2)，E是线段AM的中点．
(2) 求证：平面BDE⊥平面ABCM．
3
【解答】
　　　　由(1)可得，DE⊥平面ABCM，因为DE 平面BDE，所以平面BDE⊥平面ABCM．
图(1)
图(2)
　　　如图(1)，在矩形ABCD中，AD＝1，AB＝3，M为CD上一点，且CM＝2MD．将△ADM沿AM折起，使得平面ADM⊥平面ABCM，如图(2)，E是线段AM的中点．
3
【解答】
　　　　过点B存在直线l满足题意．理由如下：在平面ABCM中，过点B作直线l，使l⊥AM．因为平面ADM⊥平面ABCM，平面ABCM∩平面ADM＝AM，所以l⊥平面ADM．又AD 平面ADM，所以l⊥AD．
图(1)
图(2)
(3) 过点B是否存在一条直线l，同时满足以下两个条件：①l 平面ABCM；②l⊥ AD？请说明理由．
解决折叠问题需要把握的两个关键点
(1) 搞清折叠前后的变化量和不变量．一般情况下，折线同一侧的线段的长度是不变量，位置关系可能会发生变化，抓住两个“不变性”：①与折线垂直的线段，折叠前后垂直关系不改变；②与折线平行的线段，折叠前后平行关系不改变．
(2) 解决问题时，要综合考虑翻折前后的图形，既要分析折叠后的图形，也要分析折叠前的图形．
变式　如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°，将△ABD沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，构成三棱锥A BCD，则在三棱锥A BCD中，下列结论正确的是 (　　)
A．平面ABD⊥平面ABC
B．平面ADC⊥平面BDC
C．平面ABC⊥平面BDC
D．平面ADC⊥平面ABC
【解析】
　　　　如图(1)，因为AD∥BC，∠BAD＝90°，AD＝AB，所以四边形ABCD为直角梯形，所以∠ABD＝∠ADB＝∠DBC＝45°．又因为∠BCD＝45°，所以∠CDB＝90°，即CD⊥ BD．如图(2)，因为平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD＝BD，CD 平面BCD，CD⊥BD，所以CD⊥平面ABD．若平面ABC⊥平面ABD，则CD 平面ABC，显然不成立，故A错误．因为CD⊥平面ABD，AB 平面ABD，所以CD⊥AB．又AB⊥AD，AD∩CD＝D，AD，CD 平面ADC，所以AB⊥平面ADC．又因为AB 平面ABC，所以平面ABC⊥平面ADC，故D正确．因为平面ABD⊥平面BCD，过点A作平面BCD的垂线AE，垂足落在BD上，显然垂线不在平面ABC内，所以平面ABC与平面BDC不垂直，故C错误，同理B也错误．
图(1)
图(2)
【答案】D
随堂内化·及时评价
1．已知直线m，n是平面α，β外的两条直线，且m∥α，n⊥β，α⊥β，则 (　　)
A．m∥n　 B．m⊥n
C．n∥α　 D．n⊥α
【解析】
　　　　因为n⊥β，α⊥β，所以n∥α或n α，又n α，所以n∥α．又m∥α，所以m与n可相交、异面或平行．
C
2．已知P是△ABC 所在平面外的一点，且 PA⊥平面 ABC，平面 PAC⊥平面 PBC，下列直线中与AC垂直的是 (　　)
A．直线BA　 B．直线BC
C．直线BP　 D．直线PC
【解析】
　　　　在平面 PAC 内作 AD⊥PC 于点 D．因为平面 PAC⊥平面 PBC，平面PAC∩平面PBC＝PC，AD 平面 PAC，且 AD⊥PC，所以 AD⊥平面 PBC．又 BC 平面 PBC，所以 AD⊥BC．因为 PA⊥平面 ABC，BC 平面 ABC，所以PA⊥BC．因为AD∩PA＝A，AD，PA 平面PAC，所以BC⊥平面PAC．又AC 平面PAC，所以BC⊥AC．
B
3．如图，在三棱锥P ABC 中，侧面 PAC⊥底面 ABC，且∠PAC＝90°，PA＝1，AB＝2，则PB＝______．
【解析】
　　　　因为侧面PAC⊥底面ABC，侧面PAC∩底面ABC＝AC，∠PAC＝90°(即PA⊥AC)，PA 平面PAC，所以PA⊥平面ABC．又AB 平面ABC，所以PA⊥AB，从而PB＝＝＝．
4．如图，在三棱柱中，已知四边形ABCD和四边形AA'B'B为矩形，平面AA'B'B⊥平面ABCD．若AA'＝AD＝2，则直线AB到平面DA'C的距离为______．
【解析】
　　　　如图，取B'C的中点E，连接BE．因为四边形ABCD和四边形AA'B'B为矩形，所以AB⊥BC，AB⊥BB'，又BC∩BB'＝B，BC，BB' 平面BCB'，所以AB⊥平面BCB'．又BE 平面BCB'，所以AB⊥BE．因为AB∥CD，所以CD⊥BE．因为AA'＝AD，所以BC＝BB'．又E为B'C的中点，所以B'C⊥BE．又CD⊥
BE，CD∩B'C＝C，CD，B'C 平面DCB'A'，所以BE⊥平面DCB'A'，所以直线AB到平面DA'C的距离即为BE．因为平面AA'B'B⊥平面ABCD，且平面AA'B'B∩平面ABCD＝AB，BC⊥AB，所以BC⊥平面AA'B'B．又BB' 平面AA'B'B，所以BC⊥BB'．在Rt△BCB'中，BC＝BB'＝2，所以BE＝．第5课时　平面与平面垂直的性质
一、 单项选择题
1．已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列说法正确的是(　　)
A．若α⊥β，α∩β＝m，n⊥m，则n⊥α
B．若α⊥β，m∥α，则m⊥β
C．若m α，m∥β，α∩β＝n，则m∥n
D．若m α，n β，m∥β，n∥α，则α∥β
2．如图，在平行四边形ABCD中，AB⊥BD，沿BD将△ABD折起，使平面ABD⊥平面BCD，连接AC，则在四面体ABCD的四个面中，互相垂直的平面的对数为(　　)
(第2题)
A．1 B．2
C．3 D．4
3．如图，在四面体ABCD中，AB＝AC，BC⊥BD，平面ABC⊥平面BCD，O为线段BC的中点，则下列判断错误的是(　　)
(第3题)
A．AC⊥BD B．BD⊥平面ABC
C．AB⊥CD D．AO⊥平面BCD
4．如图，平面α⊥平面β，A∈α，B∈β，AB与两平面α，β所成的角分别为和.过A，B分别作两平面交线的垂线，垂足为A'，B'，则AB∶A'B'＝(　　)
(第4题)
A．2∶1 B．3∶1
C．3∶2 D．4∶3
二、 多项选择题
5．已知a，b为空间中两条不同的直线，α，β为空间中两个不同的平面，则下列命题一定成立的是(　　)
A．α∥β，a α，b⊥β a⊥b
B．α∥β，a⊥α，b⊥β a∥b
C．α⊥β，α∩β＝a，b∥β a∥b
D．α⊥β，a⊥α，b⊥β a⊥b
6．如图，在四棱锥P ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，PA＝PD，E为AD的中点，则下列结论成立的是(　　)
(第6题)
A．PE⊥AC
B．PE⊥BC
C．平面PBE⊥平面ABCD
D．平面PBE⊥平面PAD
三、 填空题
7．已知α，β是两个不同的平面，m，n是平面α及β之外的两条不同的直线，给出四个论断：①m⊥n；②α⊥β；③n⊥β；④m⊥α.以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题________.(答案不唯一，写出一个即可)
8．如图，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，AB＝AC＝1，将△ABC沿斜边BC上的高AD折叠，使平面ABD⊥平面ACD，则BC＝________．
(第8题)
四、 解答题
9．如图，在四棱锥P ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD＝2AB，平面PAD⊥底面ABCD，E和F分别是CD和PC的中点，求证：
(1) BE∥平面PAD；
(2) CD⊥平面BEF.
(第9题)
10．如图(1)，在平行四边形ABCD中，已知AD＝2AB＝2a，BD＝a，AC∩BD＝E，将其沿对角线BD折成直二面角，如图(2).
(1) 求证：AB⊥平面BCD；
(2) 求证：平面ACD⊥平面ABD.
图(1) 图(2)
(第10题)
11．如图，已知四边形ABCD为长方形，平面PDC⊥平面ABCD，PD＝PC＝4，AB＝6，BC＝3.
(1) 证明：BC⊥PD；
(2) 求点C到平面PDA的距离.
(第11题)
第5课时　平面与平面垂直的性质
基础打底·熟练掌握
1．C　【解析】 对于A，由面面垂直的性质定理知缺少条件n β，A错误；对于B，α⊥β，m∥α，此时m和β的位置关系可能为m⊥β，m β，m∥β或m与β斜交，B错误；对于C，由线面平行的性质定理知C正确；对于D，只有当m，n为异面直线时，才有α∥β，D错误.
2．C　【解析】 因为平面ABD⊥平面BCD，AB⊥BD，平面ABD∩平面BCD＝BD，所以AB⊥平面BCD.又AB 平面ABC，所以平面ABC⊥平面BCD.同理，平面ACD⊥平面ABD.故四面体ABCD中互相垂直的平面有3对.
3．C　【解析】 因为平面ABC⊥平面BCD，平面ABC∩平面BCD＝BC，BC⊥BD，所以BD⊥平面ABC，即B正确；因为AC 平面ABC，所以BD⊥AC，即A正确；因为AB＝AC，O为线段BC的中点，所以BC⊥AO，同理可得AO⊥平面BCD，即D正确；若AB⊥CD，因为BD⊥平面ABC，AB 平面ABC，所以BD⊥AB，且BD∩CD＝D，BD，CD 平面BCD，则AB⊥平面BCD，显然B，O不重合，故C错误.
4．A　【解析】 连接AB'，A'B(图略).由已知条件可知∠BAB'＝，∠ABA'＝.设AB＝2a，则BB'＝2asin ＝a，A'B＝2acos ＝a.在Rt△BB'A'中，得A'B'＝a，所以AB∶A'B'＝2∶1.
5．ABD　
6．ABC　【解析】 因为PA＝PD，E为AD的中点，所以PE⊥AD.又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，PE 平面PAD，所以PE⊥平面ABCD，又AC，BC 平面ABCD，所以PE⊥AC，PE⊥BC，所以A，B成立；又PE 平面PBE，所以平面PBE⊥平面ABCD，所以C成立；若平面PBE⊥平面PAD，且PE⊥AD，而平面PBE∩平面PAD＝PE，AD 平面PAD，所以AD⊥平面PBE，又BE 平面PBE，则AD⊥BE，但此关系不一定成立，故D错误.
7．①③④ ②(或②③④ ①)　【解析】 若①m⊥n，②α⊥β，③n⊥β成立，则m与α可能平行也可能相交，即④m⊥α不一定成立；若①m⊥n，②α⊥β，④m⊥α成立，则n与β可能平行也可能相交，即③n⊥β不一定成立；若①m⊥n，③n⊥β，④m⊥α成立，则②α⊥β一定成立；若②α⊥β，③n⊥β，④m⊥α成立，则①m⊥n一定成立.所以①③④ ②或②③④ ①.
8．1　【解析】 因为AD⊥BC，所以AD⊥BD，AD⊥CD，所以∠BDC是二面角B AD C的平面角.因为平面ABD⊥平面ACD，所以∠BDC＝90°.在△BCD中，∠BDC＝90°，又AB＝AC＝1，所以BD＝CD＝，所以BC＝＝1.
(第9题)
9．【解答】 (1) 因为E是CD的中点，CD＝2AB，所以AB＝DE，因为AB∥CD，所以AB∥DE，所以四边形ABED为平行四边形，所以BE∥AD.又BE 平面PAD，AD 平面PAD，所以BE∥平面PAD.
(2) 因为平面PAD⊥底面ABCD，平面PAD∩底面ABCD＝AD，AB⊥AD，AB 底面ABCD，所以AB⊥平面PAD，又AB∥CD，所以CD⊥平面PAD.因为AD，PD 平面PAD，所以CD⊥AD，CD⊥PD.因为BE∥AD，所以CD⊥BE.因为E和F分别是CD和PC的中点，所以EF∥PD，又CD⊥PD，所以CD⊥EF.又BE∩EF＝E，BE，EF 平面BEF，所以CD⊥平面BEF.
10．【解答】 (1) 在△ABD中，AB＝a，AD＝2a，BD＝a，所以AB2＋BD2＝AD2，所以∠ABD＝90°，AB⊥BD.又因为平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD＝BD，AB 平面ABD，所以AB⊥平面BCD.
(2) 因为折叠前四边形ABCD是平行四边形，且AB⊥BD，所以CD⊥BD.因为AB⊥平面BCD，CD 平面BCD，所以AB⊥CD.因为AB∩BD＝B，AB，BD 平面ABD，所以CD⊥平面ABD.因为CD 平面ACD，所以平面ACD⊥平面ABD.
能力进阶·融会贯通
(第11题)
11．【解答】 (1) 因为四边形ABCD是长方形，所以BC⊥CD.因为平面PDC⊥平面ABCD，平面PDC∩平面ABCD＝CD，BC 平面ABCD，所以BC⊥平面PDC.因为PD 平面PDC，所以BC⊥PD.
(2) 如图，取CD的中点E，连接AE，PE.因为PD＝PC，所以PE⊥CD，在Rt△PED中，PE＝＝.因为平面PDC⊥平面ABCD，平面PDC∩平面ABCD＝CD，PE 平面PDC，所以PE⊥平面ABCD.由(1)知，BC⊥平面PDC，因为四边形ABCD是长方形，所以BC∥AD，所以AD⊥平面PDC.因为PD 平面PDC，所以AD⊥PD.设点C到平面PDA的距离为h.连接AC，由VC PDA＝VP ACD，得h＝＝，所以点C到平面PDA的距离是.第5课时　平面与平面垂直的性质
学习 目标 掌握平面与平面垂直的性质定理，并能够证明；能用性质定理证明一些空间位置关系的简单命题．
新知初探基础落实
下面我们研究平面与平面垂直的性质，也就是在两个平面互相垂直的条件下，能推出哪些结论．
如果两个平面互相垂直，根据已有的研究经验，我们可以先研究其中一个平面内的直线与另一个平面具有什么位置关系．
一、 概念生成
如图，设α⊥β，α∩β＝a，则β内任意一条直线b与a有什么位置关系？相应地，b与α有什么位置关系？为什么？
显然，b与a平行或相交．当b∥a时，b∥α；当b与a相交时，b与α也相交．
特别地，当b⊥a时，如图，设b与a的交点为A，过点A在α内作直线c⊥a，则直线b，c所成的角就是二面角α a β的平面角．由α⊥β，知b⊥c，又因为b⊥a，a和c是α内的两条相交直线，所以b⊥α．
由此我们得到平面与平面垂直的性质定理：两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直．
请同学阅读课本P159—P161，完成下列填空．
二、 概念表述
1．平面与平面垂直的性质定理
(1) 文字语言：两个平面垂直，__如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线__，那么这条直线与另一个平面垂直．
(2) 图形语言：
(3) 符号语言：__α⊥β，α∩β＝l，a α，a⊥l a⊥β__．
(4) 作用：①面面垂直 线面垂直；②作面的垂线．
2．平面与平面垂直的其他性质
(1) 如果两个平面互相垂直，那么经过第一个平面内一点垂直于第二个平面的直线在第一个平面内，即α⊥β，A∈α，A∈b，b⊥β b α；
(2) 如果两个平面互相垂直，那么与其中一个平面平行的平面垂直于另一个平面，即α⊥β，γ∥β γ⊥α；
(3) 如果两个平面互相垂直，那么其中一个平面的垂线平行于另一个平面或在另一个平面内，即α⊥β，b⊥β b∥α或b α；
(4) 如果两个相交平面都垂直于第三个平面，那么它们的交线垂直于第三个平面，即α∩β＝l，α⊥γ，β⊥γ l⊥γ；
(5) 三个两两垂直的平面的交线也两两垂直，即α⊥β，α∩β＝l，β⊥γ，β∩γ＝m，γ⊥α，γ∩α＝n l⊥m，m⊥n，l⊥n．
3．垂直问题转化关系如下图所示
三、 概念辨析(判断正误：正确的画“√”，错误的画“×”)
(1) 若平面α⊥平面β，则平面α内所有直线都垂直于平面β．(　×　)
(2) 若平面α⊥平面β，则平面α内一定存在直线平行于平面β．(　√　)
(3) 若平面α不垂直于平面β，则平面α内一定不存在直线垂直于平面β．(　√　)
(4) 如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么l⊥平面γ．(　√　)
典例精讲能力初成
探究1　面面垂直性质定理及其应用
例1　(课本P161例10)如图，已知PA⊥平面ABC，平面PAB⊥平面PBC，求证：BC⊥平面PAB．
【解答】如图，过点A作AE⊥PB，垂足为E．因为平面PAB⊥平面PBC，平面PAB∩平面PBC＝PB，所以AE⊥平面PBC．因为BC 平面PBC，所以AE⊥BC．因为PA⊥平面ABC，BC 平面ABC，所以PA⊥BC．又PA∩AE＝A，PA，AE 平面PAB，所以BC⊥平面PAB．
1．证明线面垂直，一种方法是利用线面垂直的判定定理，另一种方法是利用面面垂直的性质定理．本题已知面面垂直，故可考虑面面垂直的性质定理．
2．利用面面垂直的性质定理，证明线面垂直的问题时，要注意以下三点：(1) 两个平面垂直；(2) 直线必须在其中一个平面内；(3) 直线必须垂直于它们的交线．
3．解题时，要抓住几何图形自身的特点，如等腰(边)三角形的三线合一、中位线定理、菱形的对角线互相垂直等．还可以通过解三角形，产生一些题目所需要的条件，对于一些较复杂的问题，注意应用转化思想解决问题．
变式　如图，在四棱锥P ABCD中，PD＝PC，∠DPC＝∠DCB＝90°，平面PDC⊥平面ABCD．求证：PD⊥平面PBC．
【解答】由题设知BC⊥CD，又平面PDC⊥平面ABCD，平面PDC∩平面ABCD＝CD，BC 平面ABCD，所以BC⊥平面PDC．因为PD 平面PDC，所以BC⊥PD．由∠DPC＝90°得PC⊥PD．又BC∩PC＝C，BC，PC 平面PBC，所以PD⊥平面PBC．
探究2　与面面垂直有关的计算
例2　如图，在棱长为1的正方体ABCD A1B1C1D1中，E为BC的中点，点P在线段D1E上，则点P到直线CC1的距离的最小值为____．
【解析】点P到直线CC1距离的最小值是异面直线D1E与CC1的距离．如图，取B1C1的中点F，连接EF，ED1，则CC1∥EF．又EF 平面D1EF，CC1 平面D1EF，所以CC1∥平面D1EF，所以直线C1C上任一点到平面D1EF的距离即为两条异面直线D1E与CC1的距离．过点C1作C1M⊥D1F，垂足为M．因为平面D1EF⊥平面A1B1C1D1，平面D1EF∩平面A1B1C1D1＝D1F，且C1M 平面A1B1C1D1，所以C1M⊥平面D1EF，则C1M即为所求．过点M作MQ∥EF交D1E于点Q，则MQ∥C1C．取C1N＝MQ，连接QN，则四边形MQNC1是矩形，可得NQ⊥平面D1EF．在Rt△D1C1F中，由C1M·D1F＝D1C1·C1F，得C1M＝＝＝．故点P到直线CC1的距离的最小值为．
与面面垂直有关的计算问题的解决方法
(1) 计算问题一般在三角形中求解．所给条件中的面面垂直首先转化为线面垂直，然后转化为线线垂直．往往把计算问题归结为一个直角三角形中的计算问题．
(2) 求几何体的体积时要注意应用转换顶点法，求线段的长度或点到平面的距离时往往也应用几何体中的转换顶点(等体积)法．
变式　如图，平面α⊥平面β，在α与β的交线l上取线段AB＝4 cm，AC，BD分别在平面α和平面β内，AC⊥l，BD⊥l，AC＝3 cm，BD＝12 cm，求线段CD的长．
【解答】因为α⊥β，α∩β＝l，BD⊥l，所以BD⊥α，又BC α，所以BD⊥BC．因为AC⊥AB，所以BC＝＝5(cm)．在Rt△BCD中，CD＝＝13(cm)．
探究3　折叠问题
例3　如图(1)，在矩形ABCD中，AD＝1，AB＝3，M为CD上一点，且CM＝2MD．将△ADM沿AM折起，使得平面ADM⊥平面ABCM，如图(2)，E是线段AM的中点．
图(1)
图(2)
(1) 求四棱锥D ABCM的体积．
【解答】由题知DA＝DM，又E是AM的中点，所以DE⊥AM．因为平面ADM⊥平面ABCM，平面ADM∩平面ABCM＝AM，所以DE⊥平面ABCM，故四棱锥D ABCM的体积V＝S梯形ABCM·DE＝＝．
(2) 求证：平面BDE⊥平面ABCM．
【解答】由(1)可得，DE⊥平面ABCM，因为DE 平面BDE，所以平面BDE⊥平面ABCM．
(3) 过点B是否存在一条直线l，同时满足以下两个条件：①l 平面ABCM；②l⊥AD？请说明理由．
【解答】过点B存在直线l满足题意．理由如下：在平面ABCM中，过点B作直线l，使l⊥AM．因为平面ADM⊥平面ABCM，平面ABCM∩平面ADM＝AM，所以l⊥平面ADM．又AD 平面ADM，所以l⊥AD．
解决折叠问题需要把握的两个关键点
(1) 搞清折叠前后的变化量和不变量．一般情况下，折线同一侧的线段的长度是不变量，位置关系可能会发生变化，抓住两个“不变性”：①与折线垂直的线段，折叠前后垂直关系不改变；②与折线平行的线段，折叠前后平行关系不改变．
(2) 解决问题时，要综合考虑翻折前后的图形，既要分析折叠后的图形，也要分析折叠前的图形．
变式　如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°，将△ABD沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，构成三棱锥A BCD，则在三棱锥A BCD中，下列结论正确的是(　D　)
A．平面ABD⊥平面ABC
B．平面ADC⊥平面BDC
C．平面ABC⊥平面BDC
D．平面ADC⊥平面ABC
【解析】如图(1)，因为AD∥BC，∠BAD＝90°，AD＝AB，所以四边形ABCD为直角梯形，所以∠ABD＝∠ADB＝∠DBC＝45°．又因为∠BCD＝45°，所以∠CDB＝90°，即CD⊥BD．如图(2)，因为平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD＝BD，CD 平面BCD，CD⊥BD，所以CD⊥平面ABD．若平面ABC⊥平面ABD，则CD 平面ABC，显然不成立，故A错误．因为CD⊥平面ABD，AB 平面ABD，所以CD⊥AB．又AB⊥AD，AD∩CD＝D，AD，CD 平面ADC，所以AB⊥平面ADC．又因为AB 平面ABC，所以平面ABC⊥平面ADC，故D正确．因为平面ABD⊥平面BCD，过点A作平面BCD的垂线AE，垂足落在BD上，显然垂线不在平面ABC内，所以平面ABC与平面BDC不垂直，故C错误，同理B也错误．
图(1)
图(2)
随堂内化及时评价
1．已知直线m，n是平面α，β外的两条直线，且m∥α，n⊥β，α⊥β，则(　C　)
A．m∥n　 B．m⊥n
C．n∥α　 D．n⊥α
【解析】因为n⊥β，α⊥β，所以n∥α或n α，又n α，所以n∥α．又m∥α，所以m与n可相交、异面或平行．
2．已知P是△ABC 所在平面外的一点，且 PA⊥平面 ABC，平面 PAC⊥平面 PBC，下列直线中与AC垂直的是(　B　)
A．直线BA　 B．直线BC
C．直线BP　 D．直线PC
【解析】在平面 PAC 内作 AD⊥PC 于点 D．因为平面 PAC⊥平面 PBC，平面PAC∩平面PBC＝PC，AD 平面 PAC，且 AD⊥PC，所以 AD⊥平面 PBC．又 BC 平面 PBC，所以 AD⊥BC．因为 PA⊥平面 ABC，BC 平面 ABC，所以PA⊥BC．因为AD∩PA＝A，AD，PA 平面PAC，所以BC⊥平面PAC．又AC 平面PAC，所以BC⊥AC．
3．如图，在三棱锥P ABC 中，侧面 PAC⊥底面 ABC，且∠PAC＝90°，PA＝1，AB＝2，则 PB＝____．
【解析】因为侧面PAC⊥底面ABC，侧面PAC∩底面ABC＝AC，∠PAC＝90°(即PA⊥AC)，PA 平面PAC，所以PA⊥平面ABC．又AB 平面ABC，所以PA⊥AB，从而PB＝＝＝．
4．如图，在三棱柱中，已知四边形ABCD和四边形AA'B'B为矩形，平面AA'B'B⊥平面ABCD．若AA'＝AD＝2，则直线AB到平面DA'C的距离为____．
【解析】如图，取B'C的中点E，连接BE．因为四边形ABCD和四边形AA'B'B为矩形，所以AB⊥BC，AB⊥BB'，又BC∩BB'＝B，BC，BB' 平面BCB'，所以AB⊥平面BCB'．又BE 平面BCB'，所以AB⊥BE．因为AB∥CD，所以CD⊥BE．因为AA'＝AD，所以BC＝BB'．又E为B'C的中点，所以B'C⊥BE．又CD⊥BE，CD∩B'C＝C，CD，B'C 平面DCB'A'，所以BE⊥平面DCB'A'，所以直线AB到平面DA'C的距离即为BE．因为平面AA'B'B⊥平面ABCD，且平面AA'B'B∩平面ABCD＝AB，BC⊥AB，所以BC⊥平面AA'B'B．又BB' 平面AA'B'B，所以BC⊥BB'．在Rt△BCB'中，BC＝BB'＝2，所以BE＝．

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