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微专题4　线线角、线面角、二面角的计算
一、 单项选择题
1．在正方体ABCD A1B1C1D1中，异面直线AD1与BD所成的角为(　　)
A．30° B．45°
C．60° D．90°
2．在正三棱锥P ABC中，PA＝2，AB＝，则侧棱PA与底面ABC所成的角为(　　)
A．90° B．60°
C．45° D．30°
3．如图，边长为2的两个等边三角形ABC，DBC，若点A到平面BCD的距离为，则二面角A BC D的大小为(　　)
(第3题)
A． B．
C． D．
4．如图，三棱柱ABC A1B1C1中，底面三角形A1B1C1是正三角形，E是BC的中点，则下列叙述正确的是(　　)
(第4题)
A．CC1与B1E是异面直线
B．C1C与AE共面
C．AE与B1C1是异面直线
D．AE与B1C1所成的角为60°
二、 多项选择题
5．如图，在正方体ABCD A1B1C1D1中，下列说法正确的是(　　)
(第5题)
A．A1C1⊥BD
B．B1C与BD所成的角为30°
C．二面角A1 BC D的平面角为45°
D．AC1与平面ABCD所成的角为45°
6．已知正三棱锥S ABC的底面边长为6，侧棱长为4，则下列说法正确的有(　　)
A．侧棱SA与底面ABC所成的角为
B．侧面SAB与底面ABC所成的角的正切值为2
C．正三棱锥S ABC外接球的表面积为64π
D．正三棱锥S ABC内切球的半径为－1
三、 填空题
7．在四棱锥P ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD是正方形，且PA＝AB＝4，则直线PB与平面PAC所成的角为________．
8．在单位正方体ABCD A1B1C1D1中，AC∩BD＝O，BG＝DH＝BD，则平面A1DH与平面C1BG所成的二面角的余弦值为________．
四、 解答题
9．如图，四棱锥P ABCD的底面是边长为2的菱形，PD⊥底面ABCD.
(1) 求证：AC⊥平面PBD；
(2) 若PD＝2，直线PB与平面ABCD所成的角为45°，求四棱锥P ABCD的体积.
(第9题)
10．如图，在三棱台ABC A1B1C1中，平面ABB1A1⊥平面AB1C，BB1⊥AB1，AB＝4，AA1＝AB1＝2，∠BAC＝.
(1) 求证：AC⊥平面ABB1A1；
(2) 若直线BC与B1C1的距离为3，求平面ABB1A1与平面BCC1B1所成角的余弦值.
(第10题)
微专题4　线线角、线面角、二面角的计算
1．C　【解析】 由题意，作正方体ABCD A1B1C1D1，如图所示，连接BC1，DC1.因为AD1∥BC1，所以∠DBC1即为异面直线AD1与BD所成的角.由题可得△DBC1为等边三角形，所以∠DBC1＝60°，所以异面直线AD1与BD所成的角为60°.
(第1题)
(第3题)
2．B　
3．A　【解析】 如图，设BC的中点为E，连接AE，DE，过点A作AF⊥ED，垂足为F.因为△ABC，△DBC均为等边三角形，所以AE⊥BC，DE⊥BC，故∠AED为二面角A BC D的平面角.又AE∩DE＝E，AE，DE 平面AED，所以BC⊥平面AED.又AF 平面AED，所以BC⊥AF.又AF⊥ED，DE∩BC＝E，DE，BC 平面BCD，所以AF⊥平面BCD，则点A到平面BCD的距离为AF＝.又△ABC为等边三角形，边长为2，所以AE＝2×sin＝.在Rt△AFE中，sin∠AEF＝＝＝，则∠AEF＝，即∠AED＝，故二面角A BC D的大小为.
4．C　【解析】 由于CC1与B1E都在平面C1B1BC内，故CC1与B1E共面，A错误；由于C1C在平面C1B1BC内，而AE与平面C1B1BC相交于点E，点E不在C1C上，故C1C与AE是异面直线，B错误；同理，AE与B1C1是异面直线，C正确；AE与B1C1所成的角就是AE与BC所成的角，而E为BC中点，△ABC为正三角形，所以AE⊥BC，即AE与B1C1所成的角为90°，D错误.
5．AC　
6．BC　【解析】 如图，设△ABC的中心为O，连接SO，则SO⊥底面ABC.连接AO并延长，交BC于点E，取AB的中点F，连接SF，OF.易知∠SAO为侧棱SA与底面ABC所成的角，AO＝AE＝2，SA＝4，所以cos∠SAO＝＝，所以∠SAO＝，故A错误.侧面SAB与底面ABC所成的角为∠SFO，易得SO＝6，OF＝，则tan∠SFO＝＝2，故B正确.设外接球的球心为O1，半径为R，如图，则R＝＝，解得R＝4，所以正三棱锥S ABC外接球的表面积为4πR2＝64π，故C正确.易知VS ABC＝18，SF＝，设内切球的半径为r，则＝18，又S△SAB＝S△SAC＝S△SBC＝3，S△ABC＝9，则r＝，故D错误.
(第6题)
(第7题)
7．　【解析】 如图，连接BD，AC，设BD∩AC＝O，连接PO.因为PA⊥平面ABCD，底面ABCD是正方形，所以BD⊥AC，BD⊥PA.由线面垂直的判定定理可得BD⊥平面PAC，则∠BPO是直线PB与平面PAC所成的角.因为PA＝AB＝4，所以PB＝4，BO＝2，所以sin∠BPO＝＝，所以∠BPO＝.
8．　【解析】 如图，易知O为DB的中点，连接OC1，OA1.在单位正方体中，AC⊥BD，CC1⊥平面ABCD.又因为BD 平面ABCD，所以CC1⊥BD.又CC1∩AC＝C，CC1，AC 平面ACC1A1，所以BD⊥平面ACC1A1.又C1O，A1O 平面ACC1A1，所以C1O⊥DB，A1O⊥DB，显然平面A1OD与平面C1BO所成的角即为平面A1DH与平面C1BG所成的角，根据二面角定义可得∠A1OC1即为两平面所成的角.易知A1O＝C1O＝，A1C1＝，由余弦定理可得cos∠A1OC1＝＝，因此所求的二面角的余弦值为.
(第8题)
(第10题)
9．【解答】 (1) 因为四边形ABCD是菱形，所以AC⊥BD.因为PD⊥平面ABCD，AC 平面ABCD，所以PD⊥AC.又PD∩BD＝D，PD，BD 平面PBD，所以AC⊥平面PBD.
(2) 因为PD⊥平面ABCD，所以∠PBD是直线PB与平面ABCD所成的角，于是∠PBD＝45°，因此BD＝PD＝2.又AB＝ AD＝2，所以菱形ABCD的面积S＝AB·AD·sin 60°＝2，故四棱锥P ABCD的体积V＝S·PD＝.
10．【解答】 (1) 由于平面ABB1A1⊥平面AB1C，且交线为AB1，又BB1⊥AB1，BB1 平面ABB1A1，所以BB1⊥平面AB1C.又AC 平面AB1C，所以BB1⊥AC.又AB⊥AC，AB∩BB1＝B，AB，BB1 平面ABB1A1，所以AC⊥平面ABB1A1.
(2) 由(1)知BB1⊥平面AB1C，又CB1 平面AB1C，所以BB1⊥CB1.又BB1⊥AB1，AB1 平面ABB1A1，CB1 平面BCC1B1，所以∠AB1C即为平面ABB1A1与平面BCC1B1所成的角或其补角.如图，过点B1作B1D⊥BC于D，由于直线BC与B1C1的距离为3，故B1D＝3.由于BB1⊥AB1，AB＝4，AB1＝2，故BB1＝＝2.在Rt△BB1D中，sin∠DBB1＝＝，故∠DBB1＝.在Rt△BB1C中，B1C＝BB1tan∠DBB1＝2×＝6.由(1)知AC⊥平面ABB1A1，AB1 平面ABB1A1，故AB1⊥AC，所以在Rt△AB1C中，cos∠AB1C＝＝＝.微专题4　线线角、线面角、二面角的计算
典例剖析素养初现
拓展1　异面直线所成角的计算
例1　如图，在直三棱柱ABC A1B1C1中，∠ACB＝90°，AA1＝，AC＝BC＝1，则异面直线A1B与AC所成的角的大小是(　C　)
A．30°　 B．45°
C．60°　 D．90°
【解析】如图，连接BC1．因为A1C1∥AC，所以异面直线A1B与AC所成的角为∠BA1C1．因为∠ACB＝90°，AA1＝，AC＝BC＝1，所以BC1＝＝，A1B＝＝2，A1C1＝AC＝1．在△A1BC1中，cos∠BA1C1＝＝．又因为0°＜∠BA1C1＜180°，所以∠BA1C1＝60°，所以异面直线A1B与AC所成的角的大小为60°．
1．求异面直线所成的角的一般步骤
①平移：选择适当的点，线段的中点或端点，平移异面直线中的一条或两条成为相交直线．
②证明：证明所作的角是异面直线所成的角．
③寻找：在立体图形中，寻找或作出含有此角的三角形，并解之．
④取舍：因为异面直线所成的角θ的取值范围是，所以所作的角为钝角时，应取它的补角作为异面直线所成的角．
2．求异面直线所成的角的三种平移法
①直接平移法(可利用图中已有的平行线)；
②中位线平移法；
③补形平移法(在已知图形中，补作一个相同的几何体，以便找到平行线)．
变式　《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部不朽之作，其第十一卷中称轴截面为等腰直角三角形的圆锥为直角圆锥．如图，在直角圆锥P ABC中，AB为底面圆的直径，C在底面圆周上且为的中点，则异面直线PA与BC所成的角的大小为(　C　)
A．30°　 B．45°
C．60°　 D．90°
【解析】如图，取AB的中点O，连接PO，再分别取AC，PC的中点E，F，连接OE，EF，OF，则EF∥PA，OE∥BC，∠FEO即为异面直线PA与BC所成的角．设PA＝PB＝2，则EF＝1，AB＝2，易得AC＝BC＝2，OE＝1，OF＝PC＝PA＝1，可得△OEF为等边三角形，即∠FEO＝60°．
拓展2　垂线法求线面角(直接法)
例2　已知正方体ABCD A1B1C1D1的体积为16，点P在正方形A1B1C1D1上，且点A1，C到点P的距离分别为2，2，则直线CP 与平面BDD1B1所成的角的正切值为(　A　)
A．　 B．
C．　 D．
【解析】由正方体的体积为16，得AB＝2．如图，连接C1P，在Rt△CC1P中，C1P＝＝2．又A1P＝2，A1C1＝4，所以点P是A1C1的中点．如图，连接AC，与BD交于点O，连接PO，易证AC⊥平面BDD1B1，直线CP在平面BDD1B1内的射影是OP，所以∠CPO就是直线CP与平面BDD1B1所成的角．在Rt△CPO中，tan∠CPO＝＝．
拓展3　二面角问题
视角1　定义法求二面角
例3 1　在三棱锥V ABC中，VA＝AB＝VB＝AC＝BC＝2，VC＝，求二面角V AB C的大小．
【解答】如图，取AB的中点D，连接VD，CD．在△VAB中，VA＝VB＝AB＝2，所以△VAB为等边三角形，所以VD⊥AB且VD＝．同理CD⊥AB，CD＝，所以∠VDC为二面角V AB C的平面角．又VC＝，所以△VDC是等边三角形，即∠VDC＝60°，所以二面角V AB C的大小为60°．
变式　如图，已知三棱锥A BCD的各棱长均为2，求二面角A CD B的余弦值．
【解答】如图，取CD的中点M，连接AM，BM，则AM⊥CD，BM⊥CD．由二面角的定义可知∠AMB为二面角A CD B的平面角．设H是△BCD的重心，则AH⊥平面BCD，且点H在BM上．在Rt△AMH中，AM＝×2＝，HM＝×2×＝，则cos∠AMB＝＝，即二面角A CD B的余弦值为．
视角2　三垂线法求二面角
例3 2　如图，在三棱锥S ABC中，∠SAB＝∠SAC＝∠ABC＝90°，AS＝AB，BS＝BC．求二面角A SC B的平面角的正弦值．
【解答】如图，取BS的中点D，连接AD，则AD⊥BS，垂足为D．因为∠SAB＝∠SAC＝90°，所以SA⊥平面ABC，又BC 平面ABC，所以SA⊥BC．又∠ABC＝90°，所以BC⊥AB．又SA∩AB＝A，所以BC⊥平面ABS．因为BC 平面BCS，所以平面BCS⊥平面ABS．因为平面BCS∩平面ABS＝BS，AD 平面ABS，所以AD⊥平面BCS，又SC 平面BCS，所以AD⊥SC．作AE⊥SC，垂足为E，连接DE．又因为AD⊥SC，AD∩AE＝A，AD，AE 平面ADE，所以SC⊥平面ADE，所以∠AED为二面角A SC B的平面角．设SA＝AB＝2，则BS＝BC＝2，AD＝，AC＝2，SC＝4．由题意得AE＝，在Rt△ADE中，sin∠AED＝＝＝，所以二面角A SC B的平面角的正弦值为．
视角3　垂面法求二面角
例3 3　如图，在三棱锥S ABC中，SA⊥底面ABC，AB⊥BC，DE垂直平分SC且分别交AC，SC于点D，E，又SA＝AB，BS＝BC，求二面角E BD C的大小．
【解答】因为BS＝BC且E是SC的中点，所以SC⊥BE．又因为SC⊥DE，BE∩DE＝E，BE，DE 平面BDE，所以SC⊥平面BDE，因为BD 平面BDE，所以SC⊥BD．又SA⊥平面ABC，BD 平面ABC，所以SA⊥BD，而SC∩SA＝S，SC，SA 平面SAC，所以BD⊥平面SAC，所以BD⊥DE，BD⊥DC，所以∠EDC是二面角E BD C的平面角．因为SA⊥底面ABC，所以SA⊥AB，SA⊥AC．设SA＝2，则AB＝2，BC＝BS＝2．因为AB⊥BC，所以AC＝2，所以∠ACS＝30°．又DE⊥SC，所以∠EDC＝60°．故二面角E BD C的大小为60°．
1．垂线法求线面角(也称直接法)
①先确定斜线与平面，找到线面的交点B为斜足；找线在面外的一点A，过点A向平面α作垂线，确定垂足O；
②连接斜足与垂足为斜线AB在平面α上的投影；投影BO与斜线AB之间的夹角为线面角；
③把投影BO与斜线AB归到一个三角形中进行求解(可利用余弦定理或者直角三角形)．
2．求二面角的三种常规方法
①利用二面角的平面角的定义，在二面角的棱上取一点，过该点在两个半平面内作垂直于棱的射线，两射线所成的角就是二面角的平面角，这是最基本的方法．
②利用三垂线定理及其逆定理来证明线线垂直，来找到二面角的平面角的方法．这种方法关键是找垂直于二面角的面的垂线，此方法较常用．
三垂线定理：在平面内的一条直线如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直．
三垂线定理的逆定理：在平面内的一条直线如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它和这条斜线的射影垂直．
③作与棱垂直的平面，该垂面与二面角两半平面相交，得到交线，交线所成的角为二面角的平面角．此方法的关键为找与二面角的棱垂直且与二面角两半平面都有交线的平面．
随堂内化及时评价
1．在空间四边形ABCD中，E，F分别为AC，BD的中点，若CD＝2AB，EF⊥AB，则EF与CD所成的角为(　A　)
A．30°　 B．45°
C．60°　 D．90°
【解析】如图，取AD的中点H，连接FH，EH，则FH∥AB，FH＝AB，EH∥CD，EH＝CD，所以∠FEH为EF与CD所成的角．因为EF⊥AB，CD＝2AB，即EF⊥FH，EH＝2FH，所以在Rt△EFH中，∠FEH＝30°．
2．如图，已知AB是圆的直径，PA垂直于圆所在的平面，C是圆上一点(不同于A，B)且PA＝AC，则二面角P BC A的大小为(　C　)
A．60°　 B．30°
C．45°　 D．15°
【解析】因为PA⊥平面ABC，BC 平面ABC，所以PA⊥BC．易得BC⊥AC，而PA∩AC＝A，PA，AC 平面PAC，所以BC⊥平面PAC，又PC 平面PAC，所以BC⊥PC，所以∠PCA为二面角P BC A的平面角．在Rt△PAC中，PA＝AC，所以∠PCA＝45°．
3．如图，在正三棱柱ABC A1B1C1中，AB＝1，A1A＝，D是侧棱BB1的中点，则直线C1D与平面ABC所成的角的余弦值为____．
【解析】因为平面ABC∥平面A1B1C1，所以直线C1D与平面ABC所成的角即是直线C1D与平面A1B1C1所成的角．因为BB1⊥平面A1B1C1，所以∠DC1B1即是直线C1D与平面A1B1C1所成的角，则tan∠DC1B1＝＝＝，所以cos∠DC1B1＝＝．
4．如图，三棱柱ABC A1B1C1的底面是边长为2的正三角形，AA1＝3，AA1⊥AC，D为A1C1的中点，BD＝3，则二面角A1 AC B的正切值为__ __．
【解析】如图，取AC的中点E，连接ED，EB．因为D为A1C1的中点，△ABC是边长为2的正三角形，所以DE＝AA1＝3，BE＝3，DE⊥AC，BE⊥AC，所以∠BED为二面角A1 AC B 的平面角．在△BED中，DE＝3，BE＝3，BD＝3，所以由余弦定理得cos∠BED＝＝ ，所以∠BED＝120°，所以tan∠BED＝ ．(共22张PPT)
第八章
微专题4　线线角、线面角、二面角的计算
立体几何初步
典例剖析·素养初现
拓展
1
异面直线所成角的计算
　　　如图，在直三棱柱ABC A1B1C1中，∠ACB＝90°，AA1＝，AC＝BC＝1，则异面直线A1B与AC所成的角的大小是 (　　)
A．30°　 B．45°
C．60°　 D．90°
1
【解析】
　　　　如图，连接BC1．因为A1C1∥AC，所以异面直线A1B与AC所成的角为∠BA1C1．因为∠ACB＝90°，AA1＝，AC＝BC＝1，所以BC1＝＝，A1B＝＝2，A1C1＝AC＝1．在△A1BC1中，cos∠BA1C1＝＝．又因为0°＜∠BA1C1＜180°，所以∠BA1C1＝60°，所以异面直线A1B与AC所成的角的大小为60°．
C
1．求异面直线所成的角的一般步骤
①平移：选择适当的点，线段的中点或端点，平移异面直线中的一条或两条成为相交直线．
②证明：证明所作的角是异面直线所成的角．
③寻找：在立体图形中，寻找或作出含有此角的三角形，并解之．
④取舍：因为异面直线所成的角θ的取值范围是，所以所作的角为钝角时，应取它的补角作为异面直线所成的角．
2．求异面直线所成的角的三种平移法
①直接平移法(可利用图中已有的平行线)；
②中位线平移法；
③补形平移法(在已知图形中，补作一个相同的几何体，以便找到平行线)．
变式　《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部不朽之作，其第十一卷中称轴截面为等腰直角三角形的圆锥为直角圆锥．如图，在直角圆锥P ABC中，AB为底面圆的直径，C在底面圆周上且为的中点，则异面直线PA与BC所成的角的大小为
(　　)
A．30°　 B．45°
C．60°　 D．90°
【解析】
　　　　如图，取AB的中点O，连接PO，再分别取AC，PC的中点E，F，连接OE，EF，OF，则EF∥PA，OE∥BC，∠FEO即为异面直线PA与BC所成的角．设PA＝PB＝2，则EF＝1，AB＝2，易得AC＝BC＝2，OE＝1，OF＝PC＝PA＝1，可得△OEF为等边三角形，即∠FEO＝60°．
【答案】C
拓展
2
垂线法求线面角(直接法)
　　　已知正方体ABCD A1B1C1D1的体积为16，点P在正方形A1B1C1D1上，且点A1，C到点P的距离分别为2，2，则直线CP 与平面BDD1B1所成的角的正切值为 (　　)
A．　 B．
C．　 D．
2
【解析】
　　　　由正方体的体积为16，得AB＝2．如图，连接C1P，在Rt△CC1P中，C1P＝＝2．又A1P＝2，A1C1＝4，所以点P是A1C1的中点．如图，连接AC，与BD交于点O，连接PO，易证AC⊥平面BDD1B1，直线CP在平面BDD1B1内的射影是OP，所以∠CPO就是直线CP与平面BDD1B1所成的角．在Rt△CPO中，tan∠CPO＝＝．
【答案】A
拓展
3
二面角问题
视角1　定义法求二面角
　　　　　在三棱锥V ABC中，VA＝AB＝VB＝AC＝BC＝2，VC＝，求二面角V AB C的大小．
【解答】
　　　　如图，取AB的中点D，连接VD，CD．在△VAB中，VA＝VB＝AB＝2，所以△VAB为等边三角形，所以VD⊥AB且VD＝．同理CD⊥AB，CD＝，所以∠VDC为二面角V AB C的平面角．又VC＝，所以△VDC是等边三角形，即∠VDC＝60°，所以二面角V AB C的大小为60°．
3－1
变式　如图，已知三棱锥A BCD的各棱长均为2，求二面角A CD B的余弦值．
【解答】
　　　　如图，取CD的中点M，连接AM，BM，则AM⊥CD，BM⊥CD．由二面角的定义可知∠AMB为二面角A CD B的平面角．设H是△BCD的重心，则AH⊥平面BCD，且点H在BM上．在Rt△AMH中，AM＝×2＝，HM＝×2×＝，则cos∠AMB＝＝，即二面角A CD B的余弦值为．
视角2　三垂线法求二面角
　　　　　如图，在三棱锥S ABC中，∠SAB＝∠SAC＝∠ABC＝90°，AS＝AB，BS＝BC．求二面角A SC B的平面角的正弦值．
【解答】
　　　　如图，取BS的中点D，连接AD，则AD⊥BS，垂足为D．因为∠SAB＝∠SAC＝90°，所以SA⊥平面ABC，又BC 平面ABC，所以SA⊥BC．又∠ABC＝90°，所以BC⊥AB．又SA∩AB＝A，所以BC⊥平面ABS．因为BC 平面BCS，所以平面BCS⊥平面ABS．
3－2
因为平面BCS∩平面ABS＝BS，AD 平面ABS，所以AD⊥平面BCS，又SC 平面BCS，所以AD⊥SC．作AE⊥SC，垂足为E，连接DE．又因为AD⊥SC，AD∩AE＝A，AD，AE 平面ADE，所以SC⊥平面ADE，所以∠AED为二面角A SC B的平面角．设SA＝AB＝2，则BS＝BC＝2，AD＝，AC＝2，SC＝4．由题意得AE
＝，在Rt△ADE中，sin∠AED＝＝＝，所以二面角A SC B的平面角的正弦值为．
视角3　垂面法求二面角
　　　　　如图，在三棱锥S ABC中，SA⊥底面ABC，AB⊥BC，DE垂直平分SC且分别交AC，SC于点D，E，又SA＝AB，BS＝BC，求二面角E BD C的大小．
【解答】
　　　　因为BS＝BC且E是SC的中点，所以SC⊥BE．又因为SC⊥DE，BE∩DE＝E，BE，DE 平面BDE，所以SC⊥平面BDE，因为BD 平面BDE，所以SC⊥BD．又SA⊥平面ABC，BD 平面ABC，所以SA⊥BD，而SC∩SA＝S，SC，SA 平面SAC，所以BD⊥平面SAC，所以BD⊥DE，BD⊥DC，所以∠EDC是二面角E BD C的平面角．因为SA⊥底面ABC，所以SA⊥AB，SA⊥AC．设SA＝2，则AB＝2，BC＝BS＝2．因为AB⊥BC，所以AC＝2，所以∠ACS＝30°．又DE⊥SC，所以∠EDC＝60°．故二面角E BD C的大小为60°．
3－3
1．垂线法求线面角(也称直接法)
①先确定斜线与平面，找到线面的交点B为斜足；找线在面外的一点A，过点A向平面α作垂线，确定垂足O；
②连接斜足与垂足为斜线AB在平面α上的投影；投影BO与斜线AB之间的夹角为线面角；
③把投影BO与斜线AB归到一个三角形中进行求解(可利用余弦定理或者直角三角形)．
2．求二面角的三种常规方法
①利用二面角的平面角的定义，在二面角的棱上取一点，过该点在两个半平面内作垂直于棱的射线，两射线所成的角就是二面角的平面角，这是最基本的方法．
②利用三垂线定理及其逆定理来证明线线垂直，来找到二面角的平面角的方法．这种方法关键是找垂直于二面角的面的垂线，此方法较常用．
三垂线定理：在平面内的一条直线如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直．
三垂线定理的逆定理：在平面内的一条直线如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它和这条斜线的射影垂直．
③作与棱垂直的平面，该垂面与二面角两半平面相交，得到交线，交线所成的角为二面角的平面角．此方法的关键为找与二面角的棱垂直且与二面角两半平面都有交线的平面．
随堂内化·及时评价
1．在空间四边形ABCD中，E，F分别为AC，BD的中点，若CD＝2AB，EF⊥AB，则EF与CD所成的角为 (　　)
A．30°　 B．45°
C．60°　 D．90°
【解析】
　　　　如图，取AD的中点H，连接FH，EH，则FH∥AB，FH＝AB，EH∥CD，EH＝CD，所以∠FEH为EF与CD所成的角．因为EF⊥AB，CD＝2AB，即EF⊥FH，EH＝2FH，所以在Rt△EFH中，∠FEH＝30°．
A
2．如图，已知AB是圆的直径，PA垂直于圆所在的平面，C是圆上一点(不同于A，B)且PA＝AC，则二面角P BC A的大小为 (　　)
A．60°　 B．30°
C．45°　 D．15°
【解析】
　　　　因为PA⊥平面ABC，BC 平面ABC，所以PA⊥BC．易得BC⊥AC，而PA∩AC＝A，PA，AC 平面PAC，所以BC⊥平面PAC，又PC 平面PAC，所以BC⊥PC，所以∠PCA为二面角P BC A的平面角．在Rt△PAC中，PA＝AC，所以∠PCA＝45°．
C
3．如图，在正三棱柱ABC A1B1C1中，AB＝1，A1A＝，D是侧
棱BB1的中点，则直线C1D与平面ABC所成的角的余弦值为_____．
【解析】
　　　　因为平面ABC∥平面A1B1C1，所以直线C1D与平面ABC所成的角即是直线C1D与平面A1B1C1所成的角．因为BB1⊥平面A1B1C1，所以∠DC1B1即是直线C1D与平面A1B1C1所成的角，则tan∠DC1B1＝＝＝，所以cos∠DC1B1＝＝．
4．如图，三棱柱ABC A1B1C1的底面是边长为2的正三角形，AA1＝3，AA1⊥AC，D为A1C1的中点，BD＝3，则二面角A1 AC B的正切值为________．
【解析】
　　　　如图，取AC的中点E，连接ED，EB．因为D为A1C1的中点，△ABC是边长为2的正三角形，所以DE＝AA1＝3，BE＝3，DE⊥AC，BE⊥AC，所以∠BED为二面角A1 AC B 的平
面角．在△BED中，DE＝3，BE＝3，BD＝3，所以由余弦定理得cos∠BED＝＝ ，所以∠BED＝120°，所以tan∠BED＝ ．

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