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(共19张PPT)
第八章
微专题5　空间距离的计算
立体几何初步
典例剖析·素养初现
拓展
1
点面距的计算
视角1　直接法求点面距
　　　　　如图，正方体ABCD A'B'C'D'的棱长为a，求点A'到平面AB'D'的距离．
【解答】
　　　　如图，连接A'C'，交B'D'于点E，连接AE，过点A'作A'H⊥AE，垂足为H．因为AA'⊥平面A'B'C'D'，所以B'D'⊥AA'．在正方形A'B'C'D'中，B'D'⊥A'C'，又AA'∩A'C'＝A'，AA' 平面AA'E，A'C' 平面AA'E，所以B'D'⊥平面AA'E．
1－1
因为A'H 平面AA'E，所以A'H⊥B'D'．因为A'H⊥AE，B'D'∩AE＝E，B'D' 平面AB'D'，AE 平面AB'D'，所以A'H⊥平面AB'D'．根据点到平面距离定义，A'H的长度即为点A'到平面AB'D'的距离．在△AB'D'中，AB'＝B'D'＝D'A＝a，从而△AB'D'为正三角形，∠AB'D'＝60°，所以AE＝AB'sin∠AB'D'＝asin 60°＝a．由S△AA'E＝AA'×A'E＝AE×A'H，得A'H＝＝＝a，从而点A'到平面AB'D'的距离为a．
变式　在四面体PABC中，PA，PB，PC两两垂直，设PA＝PB＝PC＝a，则点P到平面ABC的距离为 (　　)
A．a　 B．a C．　 D．a
【解析】
　　　　因为在四面体PABC中，PA，PB，PC两两垂直，PA＝PB＝PC＝a，所以AB＝AC＝BC＝a，如图，取BC的中点D，连接AD，作PO⊥平面ABC，则O在AD上，O为等边三角形
ABC的中心，则AD＝＝a，所以AO＝a＝a，所以点P到平面ABC的距离PO＝＝a．
B
视角2　等积法求点面距
　　　　　如图，在三棱锥P ABC中，PA⊥平面ABC，∠ABC＝，若PA＝a，AB＝c，PB＝10，BC＝2，当ac取最大值时，求点A到平面PBC的距离．
1－2
【解答】
　　　　因为PA⊥平面ABC，AB 平面ABC，所以PA⊥AB．又PA＝a，AB＝c，PB＝10，所以a2＋c2＝102＝100≥2ac，所以ac≤50(当且仅当a＝c＝5时等号成立)，所以当ac取最大值时，a＝c＝5．因为PA⊥平面ABC，BC 平面ABC，所以PA⊥BC，又BC⊥AB，且PA∩AB＝A，PA，AB 平面PAB，所以BC⊥平面PAB，又PB 平面PAB，所以BC⊥PB．设点A到平面PBC的距离为h，由VA PBC＝VP ABC，得S△PBC·h＝S△ABC·PA，即×10×2h＝×5×2×5，解得h＝5，故点A到平面PBC的距离为5．
变式　如图，在长方体ABCD A1B1C1D1中，AD＝AA1＝1，AB＝2，E为AB的中点，求点E到平面ACD1的距离．
【解答】
　　　　设点E到平面ACD1的距离为h．在△ACD1中，AD1＝，AC＝CD1＝，故＝＝，而S△ACE＝·AE·BC＝，由＝，得S△AEC·DD1＝·h，所以×1＝×h，解得h＝．
(1) 定义法求点到平面的距离：直接作出或者寻找出点与平面间的垂线段，进而根据平面几何的知识计算垂线段长度而求得点到平面的距离．
(2) 用等体积法求点到平面的距离主要是一个转换的思想，即要将所要求的垂线段置于一个四面体中，其中四面体的一个顶点为所给点，另外三点位于所给点的射影平面上，这里不妨将射影平面上的三点构成的三角形称为底面三角形．先用简单的方法求出四面体的体积，然后计算出底面三角形的面积，再根据四面体体积公式V＝Sh求出点到平面的距离h．
拓展
2
直线与平面间距离的计算
　　　如图，在三棱锥P ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥BC，AB＝BC＝PA＝1，E，F分别为BC，PB的中点．
(1) 证明：平面AEF⊥平面PBC；
2
【解答】
　　　　因为PA⊥平面ABC，BC 平面ABC，所以PA⊥BC，又AB⊥BC，AB∩PA＝A，AB，PA 平面PAB，所以BC⊥平面PAB．又AF 平面PAB，所以BC⊥AF．因为AB＝PA，F为PB的中点，所以AF⊥PB，又PB∩BC＝B，PB，BC 平面PBC，所以AF⊥平面PBC，又AF 平面AEF，所以平面AEF⊥平面PBC．
　　　如图，在三棱锥P ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥BC，AB＝BC＝PA＝1，E，F分别为BC，PB的中点．
(2) 证明PC∥平面AEF，并求直线PC到平面AEF的距离．
2
【解答】
　　　　因为E，F分别为BC，PB中点，所以EF∥PC，又PC 平面AEF，EF 平面AEF，所以PC∥平面AEF．则直线PC到平面AEF的距离为点C到平面AEF的距离
dC AEF．又E为BC的中点，所以dC AEF＝dB AEF，记为d，则VB AEF＝d·S△AEF．又VB AEF＝VA BEF＝dA BEF·S△BEF，所以d·S△AEF＝dA BEF·S△BEF．由(1)知，AF⊥平面PBC，故dA BEF＝AF＝，AF⊥EF，所以S△AEF＝AF·EF．由题知AC＝，PC＝＝，EF＝PC＝，所以S△AEF＝＝，而S△BEF＝BE·BF＝＝，所以d＝＝＝．
拓展
3
平行平面间距离的计算
　　　用六个完全相同的正方形围成的立体图形叫正六面体．已知正六面体ABCD
A1B1C1D1的棱长为4，则平面AB1D1与平面BC1D间的距离为______．
3
【解析】
　　　　如图，由题意知，正六面体ABCD A1B1C1D1是棱长为4的正方体，有AD∥B1C1且AD＝B1C1，则四边形ADC1B1为平行四边形，所以AB1∥C1D，又AB1 平面BC1D，C1D 平面BC1D，则有AB1∥平面BC1D，同理B1D1∥平面BC1D．又AB1∩B1D1＝B1，AB1，B1D1 平面AB1D1，所以平面AB1D1∥平面BC1D．
连接A1C，因为B1D1⊥A1C1，B1D1⊥AA1，A1C1∩AA1＝A1，A1C1，AA1 平面AA1C1C，所以B1D1⊥平面AA1C1C，又A1C 平面AA1C1C，所以B1D1⊥A1C，同理AD1⊥A1C，又B1D1，AD1 平面AB1D1，B1D1∩AD1＝D1，所以A1C⊥平面AB1D1，所以A1C⊥平面BC1D，设垂足分别为E，F，则平面AB1D1与平面BC1D间的
距离为EF．正方体的体对角线长为＝4．在三棱锥A1 AB1D1中，＝，易知AB1＝AD1＝B1D1＝4，则由等体积法求得A1E＝＝，所以平面AB1D1与平面BC1D间的距离为4＝．
【答案】
1．利用图形特征，找出或作出表示距离的线段；
2．转化成点到平面的距离问题．
随堂内化·及时评价
1．已知正方体ABCD A1B1C1D1的棱长为1，P为线段AC1上一点，PA＝1，则点P到平面ABCD的距离为 (　　)
A．2　 B． C．3　 D．4
【解析】
　　　　如图，连接AC，过点P作PO⊥AC于点O，设∠C1AC＝θ．因为正方体ABCD A1B1C1D1的棱长为1，所以AC＝，AC1＝．因为C1C⊥平面ABCD，PO∥C1C，所以PO⊥平面ABCD，所以点P到平面ABCD的距离为PO的长度．因为sin θ＝＝，所以PO＝APsin θ＝1×＝．
B
2．如图，在长方体ABCD A1B1C1D1中，AB＝2，BC＝1，则直线AA1与平面BDD1B1的距离为 (　　)
A．　 B． C．　 D．2
【解析】
　　　　因为ABCD A1B1C1D1为长方体，所以平面BDD1B1⊥平面ABCD，平面BDD1B1∩平面ABCD＝BD，过A作AE⊥BD于E，则AE⊥平面BDD1B1，又AA1∥平面BDD1B1，所以直线AA1与平面BDD1B1的距离为AE．在Rt△ABD中，由等面积法可得AE＝＝＝．　
C
3．在三棱锥S ABC中，SA⊥底面ABC，SA＝4，AB＝3，D为AB的中点，∠ABC＝90°，则点D到平面BCS的距离等于 (　　)
A．　 B． C．　 D．
【解析】
　　　　如图，在△SAB中，过点A作AE⊥BS交BS于点E．因为SA⊥底面ABC，BC 平面ABC，所以SA⊥BC，又AB⊥ BC，SA∩AB＝A，SA，AB 平面SAB，所以BC⊥平面SAB. 因为AE 平面SAB，所以BC⊥AE，而AE⊥BS，且BC ∩BS＝B，
BC，BS 平面BCS，所以AE⊥平面BCS．在△SAB中，由勾股定理易得BS＝5，则由等面积法可得AE＝．因为D为AB的中点，所以点D到平面BCS的距离为．
C
4．在长方体ABCD A1B1C1D1中，有一过AD且与平面A1D1CB平行的平面α，棱AA1
＝5，AB＝12，则平面α与平面A1D1CB间的距离是______．
【解析】
　　　　因为平面α∥平面A1D1CB，AD 平面α，所以AD到平面A1D1CB的距离即为平面α与平面A1D1CB间的距离．易知AD∥平面A1D1CB，从而点A到平面A1D1CB的距离即为所求的距离．如图，过点A作AH⊥A1B于点H．因为A1D1⊥平面A1B1BA，A1D1 平
面A1D1CB，所以平面A1B1BA⊥平面A1D1CB，又平面A1B1BA∩平面A1D1CB＝A1B，所以AH⊥平面A1D1CB，则AH即为所求距离．在Rt△BAA1中，AB＝12，AA1＝5，则A1B＝＝13，所以AH＝＝．故平面α与平面A1D1CB间的距离为．微专题5　空间距离的计算
一、 单项选择题
1．在四面体ABCD中，AB⊥平面BCD，AB＝CD＝2，BC＝，∠BCD＝45°，则点B到平面ACD的距离为(　　)
A．　 B．　
C．　 D．
2．在三棱柱ABC A1B1C1中，A1ABC是棱长为2的正四面体，则点A到平面BCC1B1的距离为(　　)
A．　 B．　
C．　 D．1
3．在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，若PA⊥平面ABCD，且PA＝1，则点A到平面PBD的距离为(　　)
A．　 B．　
C．　 D．
二、 多项选择题
4．如图，在棱长为1的正方体ABCD A1B1C1D1中，O是线段A1C1的中点，以下关于直线BO的结论正确的有(　　)
(第4题)
A．与平面ACD1平行
B．与直线AC垂直
C．与直线AD1所成角为
D．与平面ACD1的距离为
5．如图所示，已知三棱锥D ABC的外接球的半径为3，O为球心，F为△ABD的外心，E为线段AB的中点，若AB＝2，AC⊥BC，∠ADB＝，则(　　)
(第5题)
A．线段FA的长度为2
B．球心O到平面ABD的距离为2
C．球心O到直线AB的距离为2
D．直线OE与平面ABD所成角的正弦值为
三、 填空题
6．已知正方体ABCD A1B1C1D1的棱长为2，E是A1B1的中点，则点E到平面ABC1D1的距离为 ________．
7．已知正三棱柱ABC A1B1C1中，AB＝1，则点A到平面BCC1B1的距离等于________．
8．如图，已知正方体ABCD A1B1C1D1的棱长为1，则：
(1) 点A到平面BB1C1C的距离为________；
(2) 直线B1D1和平面ABCD的距离为________；
(3) 直线A1B1和平面ABC1D1的距离为________．
(第8题)
四、 解答题
9．如图，在长方体ABCD A1B1C1D1中，AA1＝3 cm，AB＝4 cm，AD＝5 cm.
(1) 求点A1和点C的距离；
(2) 求点A1到棱BC的距离；
(3) 求棱A1B1和平面ABCD的距离.
(第9题)
10．如图，四边形ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，PA∥BE，且PA＝AB＝3.
(1) 求平面PAD与平面EBC的距离；
(2) 若PA＝3BE，求直线PD与直线CE所成的角的余弦值.
(第10题)
11．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，DE∥BC，BD＝2AD＝4，DE＝1，将△ADE沿DE折起到△PDE的位置，使平面PDE⊥平面BCED，点M满足＝2.
(1) 求证：BC⊥ME；
(2) 求点M到平面PBE的距离.
(第11题)
微专题5　空间距离的计算
1．D　【解析】 如图，在△BCD中，由余弦定理可得BD2＝BC2＋CD2－2BC·CDcos∠BCD＝2＋4－2××2×＝2，解得BD＝，所以BD2＋BC2＝CD2，即BC⊥BD.在△ACD中，易知AC＝，AD＝，CD＝2，则S△ACD＝×2×＝.设点B到平面ACD的距离为h.由VA BCD＝VB ACD可得×2×××＝×h×，解得h＝，即点B到平面ACD的距离为.
(第1题)
(第2题)
2．C　【解析】 如图，分别取BC，B1C1的中点M，N，连接AM，MN，A1N，A1M.因为四面体A1ABC是棱长为2的正四面体，所以△ABC是边长为2的等边三角形，则AM⊥BC，故AM＝ABsin 60°＝，同理可得A1M＝，A1M⊥BC.因为BB1∥CC1且BB1＝CC1，所以四边形BB1C1C为平行四边形，则BC∥B1C1且BC＝B1C1.因为M，N分别为BC，B1C1的中点，则BM∥B1N且BM＝B1N，所以四边形BB1NM为平行四边形，所以MN∥BB1且MN＝BB1.又因为BB1∥AA1且BB1＝AA1，所以MN∥AA1且MN＝AA1，所以四边形AA1NM为平行四边形，则MN＝AA1＝2，且A，A1，N，M四点共面.因为AM⊥BC，A1M⊥BC，AM∩A1M＝M，AM，A1M 平面AA1NM，所以BC⊥平面AA1NM.过点A1作A1H⊥MN，垂足为H.因为A1H 平面AA1NM，所以A1H⊥BC.又因为A1H⊥MN，MN∩BC＝M，MN，BC 平面BB1C1C，则A1H⊥平面BB1C1C.在△A1MN中，A1N＝AM＝，A1M＝，MN＝AA1＝2，则H为MN的中点，因此点A1到平面BB1C1C的距离为A1H＝＝.因为AA1∥BB1，AA1 平面BB1C1C，BB1 平面BB1C1C，所以AA1∥平面BB1C1C，所以点A到平面BB1C1C的距离等于A1H＝.
3．D　【解析】 如图，过点A作AE⊥BD于E，连接PE.因为PA⊥平面ABCD，BD 平面ABCD，所以PA⊥BD.又因为PA∩AE＝A，所以BD⊥平面PAE.又PE 平面PAE，所以BD⊥PE.在Rt△ABD中，则有AE·BD＝AB·AD，所以AE＝＝，而PE＝＝，所以S△PBD＝BD·PE＝.设点A到平面PBD的距离为h.由VP ABD＝VA PBD可得××3×4×1＝×S△PBD×h，解得h＝.
(第3题)
(第4题)
4．ABD　【解析】 因为AB∥C1D1且AB＝C1D1，所以四边形ABC1D1为平行四边形，所以AD1∥BC1，又AD1 平面ACD1，BC1 平面ACD1，所以BC1∥平面ACD1，同理可证A1C1∥平面ACD1，又A1C1∩BC1＝C1，A1C1，BC1 平面BA1C1，所以平面ACD1∥平面BA1C1，而BO 平面BA1C1，故BO∥平面ACD1，A正确；因为DD1⊥平面ABCD，AC 平面ABCD，所以DD1⊥AC，又AC⊥BD，BD∩DD1＝D，BD，DD1 平面BDD1B1，所以AC⊥平面BDD1B1，而BO 平面BDD1B1，故BO⊥AC，B正确；由于BC1∥AD1，所以BO与BC1所成的角就是直线BO与直线AD1所成的角，因为BC1＝＝，C1O＝A1C1＝＝，BO＝＝，所以cos∠OBC1＝＝＝，所以∠OBC1＝，即BO与直线AD1所成角为，C不正确；由A可知，BO与平面ACD1的距离就是点B到平面ACD1的距离，设点B到平面ACD1的距离为h，由＝，得×h＝S△ABC×1，即××()2×h＝××1×1×1，解得h＝，即BO与平面ACD1的距离为，D正确.
(第5题)
5．ACD　【解析】 如图，在△ABD中，F为△ABD的外心，AB＝2，∠ADB＝，则FA＝FB＝FD＝＝2，故A正确；连接OE，EF，OF，则由三棱锥D ABC的外接球的半径为3以及球的截面性质可得，球心O到平面ABD的距离为OF＝＝，故B错误；由E为AB的中点，知OE⊥AB，EA＝EB＝1，所以OE＝＝＝2，故C正确；由球的截面性质知OF⊥平面DAB，EF 平面DAB，所以OF⊥EF，且EF为OE在平面DAB上的投影，所以∠OEF为直线OE与平面ABD所成的角，且在Rt△OEF中，sin∠OEF＝＝＝，故D正确.
6．　7．
8．(1) 1　(2) 1　(3) 　【解析】 (1) 在正方体ABCD A1B1C1D1中，AB⊥平面BB1C1C，所以点A到平面BB1C1C的距离为AB＝1.
(2) 在正方体ABCD A1B1C1D1中，连接BD，B1D1，如图，BB1∥AA1∥DD1，BB1＝AA1＝DD1，则四边形BDD1B1是平行四边形，有BD∥B1D1，而BD 平面ABCD，B1D1 平面ABCD，则有B1D1∥平面ABCD，于是得直线B1D1和平面ABCD的距离等于点B1到平面ABCD的距离，因为BB1⊥平面ABCD，则点B1到平面ABCD的距离为BB1＝1，所以直线B1D1和平面ABCD的距离为1.
(3) 在正方体ABCD A1B1C1D1中，连接BC1，AD1，如图，AB∥A1B1∥D1C1，而AB 平面ABC1D1，A1B1 平面ABC1D1，则A1B1∥平面ABC1D1，因此直线A1B1和平面ABC1D1的距离等于点B1到平面ABC1D1的距离，连接B1C交BC1于点O，由正方形BCC1B1得B1O⊥BC1，而AB⊥平面BCC1B1，B1O 平面BCC1B1，因此B1O⊥AB，因为AB∩BC1＝B，AB，BC1 平面ABC1D1，所以B1O⊥平面ABC1D1，而B1O＝，所以直线A1B1和平面ABC1D1的距离为.
(第8题)
(第9题)
9．【解答】 (1) 如图，连接A1C，AC.因为AA1⊥平面ABCD，而AC 平面ABCD，所以AA1⊥AC，由勾股定理，得A1C＝＝＝5(cm).
(2) 如图，连接A1B.因为BC⊥平面ABB1A1，而A1B 平面ABB1A1，所以A1B⊥BC，所以A1B就是点A1到棱BC的距离，A1B＝＝＝5(cm).所以点A1到棱BC的距离是5 cm.
(3) 显然棱A1B1∥平面ABCD，A1A⊥平面ABCD，所以A1A就是棱A1B1和平面ABCD的距离，因为A1A＝3 cm，所以棱A1B1和平面ABCD的距离是3 cm.
10．【解答】 (1) 因为四边形ABCD是正方形，所以BC∥AD，又BC 平面EBC，AD 平面EBC，所以AD∥平面EBC.因为PA∥BE，同理可得PA∥平面EBC，又PA∩AD＝A，所以平面PAD∥平面EBC，所以点A到平面EBC的距离即为平面PAD与平面EBC的距离.因为AB＝3，且AB为点A到平面EBC的距离，所以平面PAD与平面EBC的距离为3.
(2) 如图，在PA上取一点F使得AF＝BE，连接EF，DF，则四边形ABEF为平行四边形，所以四边形DCEF为平行四边形，所以FD∥EC，则∠PDF为直线PD与直线CE所成的角.在△PDF中，PD＝3，PF＝2，DF＝＝，由余弦定理可得cos∠PDF＝＝，所以直线PD与直线CE所成的角的余弦值为.
(第10题)
(第11题)
11．【解答】 (1) 在Rt△ABC中，因为DE∥BC，AB⊥BC，所以DE⊥AB，即在四棱锥P DBCE中，DE⊥PD，DE⊥BD.又PD∩BD＝D，PD 平面PDB，BD 平面PDB，所以DE⊥平面PDB，从而BC⊥平面PDB.如图，在BC上取一点F，使得CF＝2BF，连接EF，MF.因为BD＝2AD，所以BC＝3DE＝3，所以BF＝1＝DE.又BF∥DE，所以四边形BFED是矩形，所以BD∥EF.又BD 平面MEF，EF 平面MEF，所以BD∥平面MEF.在△PBC中，CM＝2MP，CF＝2BF，所以MF∥PB.又MF 平面MEF，PB 平面MEF，所以PB∥平面MEF.又因为PB∩BD＝B，BD 平面PBD，PB 平面PBD，所以平面PBD∥平面MEF，所以BC⊥平面MEF.又ME 平面MEF，所以BC⊥ME.
(2) 连接BM.因为平面PDE⊥平面BCED，交线为DE，且PD⊥DE，所以PD⊥平面BCED，所以VP BCE＝×BC×BD×PD＝××3×4×2＝4，所以VM PBE＝VC PBE＝VP BCE＝.在△PBE中，计算可得PE＝，PB＝2，BE＝，由余弦定理得cos∠BPE＝，所以sin∠BPE＝，故S△PBE＝PE×PBsin∠BPE＝××2×＝.设点M到平面PBE的距离为d，则VM PBE＝S△PBEd，故d＝＝.故点M到平面PBE的距离为.微专题5　空间距离的计算
典例剖析素养初现
拓展1　点面距的计算
视角1　直接法求点面距
例1 1　如图，正方体ABCD A'B'C'D'的棱长为a，求点A'到平面AB'D'的距离．
【解答】如图，连接A'C'，交B'D'于点E，连接AE，过点A'作A'H⊥AE，垂足为H．因为AA'⊥平面A'B'C'D'，所以B'D'⊥AA'．在正方形A'B'C'D'中，B'D'⊥A'C'，又AA'∩A'C'＝A'，AA' 平面AA'E，A'C' 平面AA'E，所以B'D'⊥平面AA'E．因为A'H 平面AA'E，所以A'H⊥B'D'．因为A'H⊥AE，B'D'∩AE＝E，B'D' 平面AB'D'，AE 平面AB'D'，所以A'H⊥平面AB'D'．根据点到平面距离定义，A'H的长度即为点A'到平面AB'D'的距离．在△AB'D'中，AB'＝B'D'＝D'A＝a，从而△AB'D'为正三角形，∠AB'D'＝60°，所以AE＝AB'sin∠AB'D'＝asin 60°＝a．由S△AA'E＝AA'×A'E＝AE×A'H，得A'H＝＝＝a，从而点A'到平面AB'D'的距离为a．
变式　在四面体PABC中，PA，PB，PC两两垂直，设PA＝PB＝PC＝a，则点P到平面ABC的距离为(　B　)
A．a　 B．a
C．　 D．a
【解析】因为在四面体PABC中，PA，PB，PC两两垂直，PA＝PB＝PC＝a，所以AB＝AC＝BC＝a，如图，取BC的中点D，连接AD，作PO⊥平面ABC，则O在AD上，O为等边三角形ABC的中心，则AD＝＝a，所以AO＝a＝a，所以点P到平面ABC的距离PO＝＝a．
视角2　等积法求点面距
例1 2　如图，在三棱锥P ABC中，PA⊥平面ABC，∠ABC＝，若PA＝a，AB＝c，PB＝10，BC＝2，当ac取最大值时，求点A到平面PBC的距离．
【解答】因为PA⊥平面ABC，AB 平面ABC，所以PA⊥AB．又PA＝a，AB＝c，PB＝10，所以a2＋c2＝102＝100≥2ac，所以ac≤50(当且仅当a＝c＝5时等号成立)，所以当ac取最大值时，a＝c＝5．因为PA⊥平面ABC，BC 平面ABC，所以PA⊥BC，又BC⊥AB，且PA∩AB＝A，PA，AB 平面PAB，所以BC⊥平面PAB，又PB 平面PAB，所以BC⊥PB．设点A到平面PBC的距离为h，由VA PBC＝VP ABC，得S△PBC·h＝S△ABC·PA，即×10×2h＝×5×2×5，解得h＝5，故点A到平面PBC的距离为5．
变式　如图，在长方体ABCD A1B1C1D1中，AD＝AA1＝1，AB＝2，E为AB的中点，求点E到平面ACD1的距离．
【解答】设点E到平面ACD1的距离为h．在△ACD1中，AD1＝，AC＝CD1＝，故＝＝，而S△ACE＝·AE·BC＝，由＝，得S△AEC·DD1＝·h，所以×1＝×h，解得h＝．
(1) 定义法求点到平面的距离：直接作出或者寻找出点与平面间的垂线段，进而根据平面几何的知识计算垂线段长度而求得点到平面的距离．
(2) 用等体积法求点到平面的距离主要是一个转换的思想，即要将所要求的垂线段置于一个四面体中，其中四面体的一个顶点为所给点，另外三点位于所给点的射影平面上，这里不妨将射影平面上的三点构成的三角形称为底面三角形．先用简单的方法求出四面体的体积，然后计算出底面三角形的面积，再根据四面体体积公式V＝Sh求出点到平面的距离h．
拓展2　直线与平面间距离的计算
例2　如图，在三棱锥P ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥BC，AB＝BC＝PA＝1，E，F分别为BC，PB的中点．
(1) 证明：平面AEF⊥平面PBC；
【解答】因为PA⊥平面ABC，BC 平面ABC，所以PA⊥BC，又AB⊥BC，AB∩PA＝A，AB，PA 平面PAB，所以BC⊥平面PAB．又AF 平面PAB，所以BC⊥AF．因为AB＝PA，F为PB的中点，所以AF⊥PB，又PB∩BC＝B，PB，BC 平面PBC，所以AF⊥平面PBC，又AF 平面AEF，所以平面AEF⊥平面PBC．
(2) 证明PC∥平面AEF，并求直线PC到平面AEF的距离．
【解答】因为E，F分别为BC，PB中点，所以EF∥PC，又PC 平面AEF，EF 平面AEF，所以PC∥平面AEF．则直线PC到平面AEF的距离为点C到平面AEF的距离dC AEF．又E为BC的中点，所以dC AEF＝dB AEF，记为d，则VB AEF＝d·S△AEF．又VB AEF＝VA BEF＝dA BEF·S△BEF，所以d·S△AEF＝dA BEF·S△BEF．由(1)知，AF⊥平面PBC，故dA BEF＝AF＝，AF⊥EF，所以S△AEF＝AF·EF．由题知AC＝，PC＝＝，EF＝PC＝，所以S△AEF＝＝，而S△BEF＝BE·BF＝＝，所以d＝＝＝．
拓展3　平行平面间距离的计算
例3　用六个完全相同的正方形围成的立体图形叫正六面体．已知正六面体ABCD A1B1C1D1的棱长为4，则平面AB1D1与平面BC1D间的距离为____．
【解析】如图，由题意知，正六面体ABCD A1B1C1D1是棱长为4的正方体，有AD∥B1C1且AD＝B1C1，则四边形ADC1B1为平行四边形，所以AB1∥C1D，又AB1 平面BC1D，C1D 平面BC1D，则有AB1∥平面BC1D，同理B1D1∥平面BC1D．又AB1∩B1D1＝B1，AB1，B1D1 平面AB1D1，所以平面AB1D1∥平面BC1D．连接A1C，因为B1D1⊥A1C1，B1D1⊥AA1，A1C1∩AA1＝A1，A1C1，AA1 平面AA1C1C，所以B1D1⊥平面AA1C1C，又A1C 平面AA1C1C，所以B1D1⊥A1C，同理AD1⊥A1C，又B1D1，AD1 平面AB1D1，B1D1∩AD1＝D1，所以A1C⊥平面AB1D1，所以A1C⊥平面BC1D，设垂足分别为E，F，则平面AB1D1与平面BC1D间的距离为EF．正方体的体对角线长为＝4．在三棱锥A1 AB1D1中，＝，易知AB1＝AD1＝B1D1＝4，则由等体积法求得A1E＝＝，所以平面AB1D1与平面BC1D间的距离为4＝．
1．利用图形特征，找出或作出表示距离的线段；
2．转化成点到平面的距离问题．
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1．已知正方体ABCD A1B1C1D1的棱长为1，P为线段AC1上一点，PA＝1，则点P到平面ABCD的距离为(　B　)
A．2　 B．
C．3　 D．4
【解析】如图，连接AC，过点P作PO⊥AC于点O，设∠C1AC＝θ．因为正方体ABCD A1B1C1D1的棱长为1，所以AC＝，AC1＝．因为C1C⊥平面ABCD，PO∥C1C，所以PO⊥平面ABCD，所以点P到平面ABCD的距离为PO的长度．因为sin θ＝＝，所以PO＝APsin θ＝1×＝．
2．如图，在长方体ABCD A1B1C1D1中，AB＝2，BC＝1，则直线AA1与平面BDD1B1的距离为(　C　)
A．　 B．
C．　 D．2
【解析】因为ABCD A1B1C1D1为长方体，所以平面BDD1B1⊥平面ABCD，平面BDD1B1∩平面ABCD＝BD，过A作AE⊥BD于E，则AE⊥平面BDD1B1，又AA1∥平面BDD1B1，所以直线AA1与平面BDD1B1的距离为AE．在Rt△ABD中，由等面积法可得AE＝＝＝．　
3．在三棱锥S ABC中，SA⊥底面ABC，SA＝4，AB＝3，D为AB的中点，∠ABC＝90°，则点D到平面BCS的距离等于(　C　)
A．　 B．
C．　 D．
【解析】如图，在△SAB中，过点A作AE⊥BS交BS于点E．因为SA⊥底面ABC，BC 平面ABC，所以SA⊥BC，又AB⊥BC，SA∩AB＝A，SA，AB 平面SAB，所以BC⊥平面SAB．因为AE 平面SAB，所以BC⊥AE，而AE⊥BS，且BC∩BS＝B，BC，BS 平面BCS，所以AE⊥平面BCS．在△SAB中，由勾股定理易得BS＝5，则由等面积法可得AE＝．因为D为AB的中点，所以点D到平面BCS的距离为．
4．在长方体ABCD A1B1C1D1中，有一过AD且与平面A1D1CB平行的平面α，棱AA1＝5，AB＝12，则平面α与平面A1D1CB间的距离是____．
【解析】因为平面α∥平面A1D1CB，AD 平面α，所以AD到平面A1D1CB的距离即为平面α与平面A1D1CB间的距离．易知AD∥平面A1D1CB，从而点A到平面A1D1CB的距离即为所求的距离．如图，过点A作AH⊥A1B于点H．因为A1D1⊥平面A1B1BA，A1D1 平面A1D1CB，所以平面A1B1BA⊥平面A1D1CB，又平面A1B1BA∩平面A1D1CB＝A1B，所以AH⊥平面A1D1CB，则AH即为所求距离．在Rt△BAA1中，AB＝12，AA1＝5，则A1B＝＝13，所以AH＝＝．故平面α与平面A1D1CB间的距离为．

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